第二十六章 二次函数（A卷·基础知识达标卷） 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十六章 二次函数（A卷·基础知识达标卷） （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2025九上·鄞州月考）二次函数的解析式为，则它图象的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（2025九上·浙江月考）将先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·成都模拟）已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： … … … … 以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③关于的方程的根为和；④当时，的取值范围是或．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025·南山模拟）在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（　　）． A． B． C． D． 5．（2025九上·余姚期中）某商城计划销售拉布布，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个拉布布降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 6．（2025九上·荔湾月考）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，我市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年七月份与九月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，若该公司每月投递的快递总件数的增长率x相同．则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2026·中山模拟）抛物线的对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 8．（2026·南宁模拟）已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（2025九上·浙江月考）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（　　） A． B． C． D． 10．（2025九上·义乌开学考）某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A． B． C． D． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．（2025九上·绍兴期中）二次函数 的开口方向是　 　(填“向上”或“向下”). 12．（2025·闵行模拟）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是　 　．（不写定义域） 13．（2025九上·温州期中）将抛物线 向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为　 　. 14．（2025九上·古丈期末）抛物线与轴的交点的坐标为　 　． 15．（2025九上·辽源期中）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离OA的长是　 　m． 16．（2026九上·杭州开学考）二次函数（a，b，c是已知数，且）的x与y的部分对应值如表，则当时，　 　 ． x … 0 1 2 3 … y … 7 6 7 … 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（2025九上·乐清期中）已知二次函数． （1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）当时，请直接写出的取值范围__________． 18．（2025九上·萧山期中）已知二次函数 的图像与轴交于两点（点A在点B的左侧），与轴交于点. （1）求三点的坐标； （2）求的面积 19．（2025九上·兰溪期中）已知：抛物线. 经过(2，-3). （1）求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标 （2）X取何值时，Y随X增大而减小 20．（2025九上·东莞期中）某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 21．（2024九上·吉林期中）已知抛物线 在对称轴右侧呈下降趋势，其中． （1）求抛物线的对称轴； （2）二次函数有最大值还是最小值?请求出这个最值． 22．（2024九上·横州期中）如图是二次函数的图象，根据图象回答以下问题 （1）抛物线的对称轴是直线____________； （2）当____________时，二次函数有最____________值（填大或小），是____________； （3）当____________时，随的增大而增大． 23．（2026·兴宁模拟）某商品的进价为每件10元，售价为每件16元，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于20元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为元． （1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是550元？ www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 第二十六章 二次函数（A卷·基础知识达标卷） （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2025九上·鄞州月考）二次函数的解析式为，则它图象的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：二次函数的解析式为的顶点坐标是． 故选C． 【分析】 对于二次函数，其顶点坐标为． 2．（2025九上·浙江月考）将先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：将先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是， 故选：A． 【分析】 二次函数图象的平移变换规则“左加右减，上加下减”． 3．（2025·成都模拟）已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： … … … … 以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③关于的方程的根为和；④当时，的取值范围是或．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】【解答】解：由表格可知， 抛物线的对称轴是直线，故②正确； 设抛物线解析式为，将代入解得， ∵， 故抛物线的开口向下，故①错误； 由抛物线关于直线对称知， 当时，或， 故方程的根为和，故③正确； 当时，的取值范围是或，故④正确 ． 故选：C． 【分析】利用表格数据确定抛物线的对称轴、开口方向及x轴的交点坐标，进而判断相关结论即可. 4．（2025·南山模拟）在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：二次函数（，）的顶点坐标为，选项C、D错误 对称轴为y轴，它的开口方向向下，选项B错误． 故选：A． 【分析】根据二次函数（，）的顶点坐标为，即可判断C、D不符合题意，再根据它的开口方向向下，即可判断A、B，即可解答． 5．（2025九上·余姚期中）某商城计划销售拉布布，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个拉布布降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：降价x元，则每天销量为(80+5x)，单件利润为(120-x-50)，故总利润. 故答案为：A. 【分析】由题意分别求出每天的销量(80+5x)和单件利润(120-x-50)，即得总利润y与x的函数关系式. 6．（2025九上·荔湾月考）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，我市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年七月份与九月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，若该公司每月投递的快递总件数的增长率x相同．则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：若该公司每月投递的快递总件数的增长率相同， 则根据题意可列方程为：， 故选：． 【分析】根据该公司每月投递的快递总件数的增长率x相同建立方程，解方程即可求出答案. 7．（2026·中山模拟）抛物线的对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：， ∴对称轴为直线， 故选：A． 【分析】根据二次函数的对称轴公式即可求出答案. 8．（2026·南宁模拟）已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】【解答】解：二次函数开口向上，即；而二次函数与y轴交于负半轴，即；二次函数对称轴在y轴右侧，即，因此， 综上得出，，c＜0， ∴点在第三象限． 故答案为：C。 【分析】本题结合二次函数的性质，可以首先得出、，然后结合二次函数的对称轴，分析得出b＜0，此时综合得出，c＜0，最后根据象限坐标的特点即可得出答案。 9．（2025九上·浙江月考）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 【分析】 平均增长（减小）率，常列方程，其中分别代表起始数据、终止数据和平均增长（减小）率，注意求增长率时用“+”号，反之用“-”． 10．（2025九上·义乌开学考）某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：∵水面宽为， ∴的横坐标为 把代入 得： ∴ ∴此时拱顶到水面的距离为 故答案为：A． 【分析】按照题目的要求，将代入解析式，再通过计算就能得到对应的结果. 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．（2025九上·绍兴期中）二次函数 的开口方向是　 　(填“向上”或“向下”). 【答案】向下 【解析】【解答】解： ∵二次函数的二次项系数是-1，-1<0， ∴二次函数的开口向下， 故填：向下 . 【分析】二次函数图象的开口由二次项的系数a决定：若a>0，则开口向上；若a<0，则开口向下. 12．（2025·闵行模拟）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是　 　．（不写定义域） 【答案】 【解析】【解答】解：根据题意得：． 故答案为：． 【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，据此可表示出12月份印书的份数为20(1+x)2，根据“ 12月份比10月份多印了y万册 ”可建立出y关于x的函数关系式. 13．（2025九上·温州期中）将抛物线 向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为　 　. 【答案】y=x2-2 【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2向下平移2个单位的顶点坐标为(0，-2)， ∴所得抛物线的表达式为：y=x2-2. 故答案为：y=x2-2. 【分析】求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式解析式形式写出即可. 14．（2025九上·古丈期末）抛物线与轴的交点的坐标为　 　． 【答案】， 【解析】【解答】解：∵抛物线， ∴令，则， 解得：， ∴抛物线与轴的交点的坐标为， 故答案为：． 【分析】根据轴上的点的坐标特点：纵坐标等于0，然后令得到方程并解之即可. 15．（2025九上·辽源期中）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离OA的长是　 　m． 【答案】10 【解析】【解答】解：令，有， 解得：，（舍去）， ∴铅球推出的水平距离的长是， 故答案为：10. 【分析】由图可知，要求的长实际求点的横坐标，则令得到关于的方程并解之即可. 16．（2026九上·杭州开学考）二次函数（a，b，c是已知数，且）的x与y的部分对应值如表，则当时，　 　 ． x … 0 1 2 3 … y … 7 6 7 … 【答案】10 【解析】【解答】解：由表格可知， 二次函数 的对称轴是直线 ∴x=4和x=0时对应的函数值相等， ∵x=0时， y=10， ∴x=4时， y=10. 故答案为：10. 【分析】根据表格中的数据可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数图象具有对称性，可以求得x=4时的函数值. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（2025九上·乐清期中）已知二次函数． （1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）当时，请直接写出的取值范围__________． 【答案】（1）解：∵二次函数的解析式为：， ∴该抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-2）. （2）． 【解析】【解答】解：（2）解：∵二次函数的解析式为：， ∴该抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-2）， ∴当x=1时，y取得最小值，最小值为-2， ∵1-（-1）＞2-1， ∴yx=-1＞yx=2， ∴y的取值上界由处的函数值决定， 将代入，得， ∴当时，y的取值范围， 故答案为：． 【分析】（1）直接根据抛物线的解析式即可得出答案； （2） 根据抛物线的解析式可知开口方向、对称轴和顶点坐标，结合自变量的取值即可得出答案. （1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为 （2）解：∵，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，函数最小值为， ∵ ∴y的取值上界由处的函数值决定， 将代入，得， ∴当时，y的取值范围， 故答案为：． 18．（2025九上·萧山期中）已知二次函数 的图像与轴交于两点（点A在点B的左侧），与轴交于点. （1）求三点的坐标； （2）求的面积 【答案】（1）解： 二次函数 ，令x=0，得y=-3，故二次函数与y轴的交点为(0，-3)， 令x=0，得，得x1=-3，x2=1，故与x轴的交点为(-3，0)、(1，0) 故A(-3，0) B(1，0) C(0，-3). （2）解：AB=1-(-3)=4，OC=3，故. 【解析】【分析】(1)分别令x=0，y=0求出对应的y值与x的值，即可得抛物线与坐标轴的交点坐标； (2)由(1)知AB=4，OC=3，即可得△ABC的面积. 19．（2025九上·兰溪期中）已知：抛物线. 经过(2，-3). （1）求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标 （2）X取何值时，Y随X增大而减小 【答案】（1）解：将点(2，-3)代入二次函数得4-4a-3a=-3，得a=1， 故二次函数表达式为y=，令y=0得，解得x1=-1，x2=3， 二次函数与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0) 令x=0，得y=-3，故抛物线与y轴的交点为(0，-3)； （2）解：二次函数y=开口向上，且对称轴为直线x=1，故当x<1(x≤1)时，y随x的增大而减小. 【解析】【分析】(1)将点(2，-3)代入抛物线解析式可得a的值，由此得抛物线解析式，分别令y=0和x=0求出x、y的值，由此可得抛物线与x轴、y轴的交点坐标； (2)由二次函数解析式知开口方向与对称轴，由此知当x<1时，y随x的增大而减小. 20．（2025九上·东莞期中）某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】（1）解：根据题意，将球出手点、最高点和篮圈的位置标点如下： 则，， ∴设二次函数解析式为， 则将点A代入可得，16a+4=， 解得：a=， ∴抛物线的解析式为； （2）解：此球能否准确投中， 理由：根据题意可知，点C的坐标为（7，3）， 将x=7代入得，， ∴点C在抛物线上， ∴此球一定能投中. 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）将代入抛物线解析式求得的值，进而即可得出答案． （1）解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 21．（2024九上·吉林期中）已知抛物线 在对称轴右侧呈下降趋势，其中． （1）求抛物线的对称轴； （2）二次函数有最大值还是最小值?请求出这个最值． 【答案】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线在对称轴右侧呈下降趋势， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：由（1）得抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，的值最大，． 【解析】【分析】（1）先求出，从而得抛物线的解析式，进而求出抛物线的对称轴为直线的值； （2）由（1）的结论，结合二次函数的最值知识即可求解. （1）解：∵， ∴， ∵抛物线在对称轴右侧呈下降趋势， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵抛物线的开口向下， ∴二次函数有最大值， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，的值最大，． 22．（2024九上·横州期中）如图是二次函数的图象，根据图象回答以下问题 （1）抛物线的对称轴是直线____________； （2）当____________时，二次函数有最____________值（填大或小），是____________； （3）当____________时，随的增大而增大． 【答案】（1） （2），大，3 （3） 【解析】【解答】（1）解：根据二次函数的图象知，二次函数的顶点坐标为． 抛物线的对称轴是直线， 故答案为：； （2） 解：∵， ∴当时，二次函数有最大值，是 3 ， 故答案为：，大， 3 ； （3） 解：当时，随的增大而增大， 故答案为：． 【分析】（1）结合函数图象，根据二次函数的性质即可求解． （2）结合函数图象，根据二次函数的性质即可求解． （3）结合函数图象，根据二次函数的性质即可求解． （1）解：根据二次函数的图象知，二次函数的顶点坐标为． 抛物线的对称轴是直线， 故答案为：； （2）解：∵， ∴当时，二次函数有最大值，是 3 ， 故答案为：，大， 3 ； （3）解：当时，随的增大而增大， 故答案为：． 23．（2026·兴宁模拟）某商品的进价为每件10元，售价为每件16元，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于20元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为元． （1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是550元？ 【答案】（1）（且为整数） （2）解：， 因为， 所以当时，有最大值640，此时售价为元， 答：每件商品的售价为元时，每个月可获得最大利润，最大利润是640元； （3）解：当时，可得，解得， ∵且为整数， ∴均不符合自变量的取值范围， ∴不存在符合条件的售价， 答：不存在这样的售价，使得每个月的利润恰好是550元． 【解析】【解答】 （1）解：根据题意可得单件利润为元，销量为件， 可得函数关系式为， 每件售价不能高于20元， ，即且为整数， 与的函数关系式为（且为整数）； 【分析】 （1）依据“销售利润单件利润销售量”的关系列出利润关于售价的函数解析式，再结合题目中“每件售价不能超过20元”的限定，确定自变量x的取值范围； （2）把得到的二次函数一般式配方整理为顶点式，就可以结合x的取值范围求出利润的最大值，得到对应售价； （3）如果要求利润达到550元时的售价，令，就可以得到关于x的一元二次方程，求解方程后结合x的取值范围舍去不符合题意的解，就能得到对应售价. （1）解：根据题意可得单件利润为元，销量为件， 可得函数关系式为， 每件售价不能高于20元， ，即且为整数， 与的函数关系式为（且为整数）； （2）解：， 因为， 所以当时，有最大值640，此时售价为元， 答：每件商品的售价为元时，每个月可获得最大利润，最大利润是640元； （3）解：当时，可得， 解得， ∵且为整数， ∴均不符合自变量的取值范围， ∴不存在符合条件的售价， 答：不存在这样的售价，使得每个月的利润恰好是550元． 学科网（北京）股份有限公司 $