精品解析：陕西安康市汉阴县漩涡初级中学2026-2027学年度第一学期第一次阶段性作业九年级数学

2026-2027学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，答题卡交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先排除非整式的选项，再根据自变量最高次数判断剩余选项． 【详解】解：A选项自变量最高次数为1，是一次函数，不符合． B选项符合二次函数定义，符合． C选项与D选项的分母均含自变量，不是整式函数，不符合． 2. 抛物线的顶点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵抛物线解析式为，可变形为， 又∵抛物线顶点式为， ∴顶点的横坐标为． 3. 若二次函数（、为常数，且）的图象经过点，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把代入得到，再整体代入运算即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴把代入可得：， 整理得：， ∴． 4. 二次函数（a为常数）的图象与x轴交点的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】通过对应一元二次方程的根的判别式，判断二次函数图象与轴的交点个数． 【详解】解：令，得． ∵根的判别式． 又∵ ， ∴ ，即． ∴该方程有两个不相等的实数根，对应二次函数图象与轴有2个交点． 5. 若抛物线（a、c为常数，且）与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求抛物线的对称轴，再利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的性质计算另一个交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 且抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为， 设另一个交点为， ∴． 解得． ∴另一个交点坐标为． 6. 一次函数（a、b为常数，且）的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象确定  的符号． 【详解】解：由一次函数  的图象可知，, ． 对于二次函数 ， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下． ∵ ， ∴ 抛物线顶点在  轴正半轴． 故选C． 7. 若小敏骑单车的时间（单位：）受骑车速度（单位：）的影响，其关系可以用描述，则小敏从奥体中心回到家里所需的时间最短为（　　） A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．将函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质，即可得出最短时间． 【详解】解：，二次项系数为正，函数图象开口向上，有最小值， 故当时，最小，最小值为， 最短时间为分钟． 故选：B． 8. 在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若其中一条抛物线的表达式为，则m的值为（ ） A. 2或 B. 或6 C. 2或6 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知每条抛物线顶点与原点的连线与y轴夹角为45°，再联系已知抛物线的对称轴，即可得出结论． 【详解】解：∵这两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直， ∴每条抛物线顶点与原点的连线与y轴夹角为45°， 又∵其中一条抛物线为， ∴该抛物线的对称轴为x＝2， ∴顶点纵坐标的绝对值为2， 即， 解得m＝6或m＝2． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图像性质，熟练掌握二次函数知识点，运用数形结合是解题的关键． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若抛物线（为常数）与轴的交点在轴上方，则的值可以是______．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】（答案不唯一，任意满足的数均可） 【解析】 【分析】令得到抛物线与轴交点的纵坐标，根据交点位置得到的取值范围，写出符合范围的一个数即可． 【详解】解：令，得， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵交点在轴上方， ∴， ∴的值可以是． 10. 二次函数的图象的对称轴是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数一般式的对称轴公式计算，即可得出答案． 【详解】解：在二次函数中，，， ∴对称轴是． 11. 将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为___________（写顶点式）． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数图象平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”计算得到新解析式． 【详解】解：原二次函数解析式为， 将图象向左平移3个单位长度，根据平移规律对自变量左加，得到， 即再将图象向上平移2个单位长度，根据平移规律对常数项上加，得到， 整理得新二次函数解析式为． 12. 已知抛物线（为常数，）关于轴对称的抛物线经过点，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出原抛物线关于轴对称的抛物线解析式，再将已知点坐标代入解析式求解的值． 【详解】解：∵关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴将原抛物线中的替换为，得到， 整理得对称后抛物线的解析式为， ∵对称后的抛物线经过点， ∴， 化简得，解得． 13. 若二次函数（m为常数）的图象与x轴有两个不同的交点，则该函数图象的顶点在第___________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】根据顶点式得到顶点横纵坐标与的关系，再由二次函数与轴有两个交点得到判别式大于0，求出的取值范围，根据坐标符号判断顶点所在象限. 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式， ∴该函数的顶点坐标为， 将解析式展开整理为一般式得， ∵二次函数图象与轴有两个不同的交点， ∴， 解得， ∴顶点横坐标，纵坐标，坐标符号为横正纵负， ∴该函数图象的顶点在第四象限． 14. 如图，已知顶点A的坐标为，点B在y轴上，且轴，过B，C，D三点的抛物线的顶点坐标为，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线顶点坐标设出顶点式，利用平行四边形性质及抛物线对称性确定长度，进而得到长度及点坐标，求出抛物线解析式后得到点纵坐标，最后利用平行四边形面积公式求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 四边形是平行四边形， 轴，， 点与点关于抛物线对称轴对称， 点在轴上， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， 点的坐标为，轴， 点的坐标为， 将点代入抛物线中得， 解得． 抛物线的表达式为， 令，得， 点的坐标为， 边上的高为， 平行四边形的面积为． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 已知抛物线（b为常数）经过点，求b的值． 【答案】 【解析】 【分析】将点的坐标代入抛物线解析式，列关于的一元一次方程求解． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴将，代入解析式得， 解得． 16. 将二次函数化成的形式，并判断该函数图象的开口方向． 【答案】 化成的形式为，该函数图象开口向上． 【解析】 【分析】将二次函数等号右边按照多项式乘法的运算技巧去括号，合并同类项化为一般式即可． 【详解】解：， ∴二次函数化成的形式为． ∵， ∴该函数图象的开口向上． 17. 已知二次函数（b为常数），求证：无论b为何值，该二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点． 【答案】 证明：令，得． 该方程的判别式为 ． ∵ 无论取何值，恒成立， ∴ ，即． ∴ 无论为何值，该一元二次方程总有两个不相等的实数根， 即该二次函数的图象与轴总有两个不同的交点． 【解析】 【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，运用一元二次方程根的判别式及平方的非负性进行判断即可证得结论． 【详解】略 18. 如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，点M是二次函数图象的顶点，连接AM、BM，求的面积． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据，确定点A，点B的坐标，抛物线的顶点坐标，根据，解答即可． 【详解】解：根据题意，得二次函数的图象与x轴交于A、B两点， 令， 得， 解得． ， ， ， ， ∴． 19. 定义：在平面直角坐标系中，横坐标是纵坐标的2倍的点称为“倍横点”，判断二次函数的图象上有没有“倍横点”，若有，请求出“倍横点”的坐标；若没有，请说明理由． 【答案】 解：二次函数的图象上没有“倍横点”. 理由如下： 设“倍横点”的坐标为， 由“倍横点”的定义得，即； 将代入，得， 整理得， ∵， ∴该一元二次方程无实数根， ∴二次函数的图象上没有“倍横点”. 【解析】 【分析】根据新定义，得到“倍横点”在直线上，联立直线和抛物线的解析式，求出判别式的符号，即可得出结论. 【详解】略 20. 如图1是我国最大的沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，若点，，点是沙丘的两个端点，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】设抛物线解析式为，然后代入点求出函数表达式，再代入点即可求解． 【详解】解：设抛物线解析式为， 将代入得， 解得， 抛物线解析式为， 将代入得， 解得， 点在第四象限， ． 21. 已知二次函数，利用描点法画该函数图象列表如下： x … 0 1 2 3 5 … y … 5 0 m n … （1）上表中，___________，___________； （2）①在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； ②观察图象，当时，函数y的取值范围是___________． 【答案】（1）， （2）①画出二次函数的图象如图所示： ② 【解析】 【分析】（1）将，分别代入计算即可得出结果； （2）①根据表格描点、连线即可画图；②根据函数图象即可得出结果． 【小问1详解】 解：在中，当时，，即， 当时，，即； 【小问2详解】 解：①图略； ②观察图象，当时，函数y的取值范围是． 22. 某商店销售一种齐齐哈尔特色手工艺品，进价为每件元，经市场调查发现，售价（元/件）与销售量（件）之间满足一次函数关系． （1）设该商店销售这种手工艺品的利润为元，求与之间的函数解析式； （2）当售价为多少元时，利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）售价元时，利润最大，最大利润元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意确定等量关系并据此列出函数解析式是解答本题的关键． （1）根据“每件利润销售量总利润”，列出与之间的函数关系式即可； （2）根据（1）中与之间的函数关系式，然后利用二次函数性质求最值即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得：， 将代入，得， 整理得， 故与之间的函数解析式为． 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为． 故售价元时，利润最大，最大利润元． 23. 已知二次函数（a、t为常数，）的图象经过点． （1）求证：； （2）若该二次函数的最小值为求该二次函数图象的顶点坐标． 【答案】（1） 证明：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式，得，整理得， 移项得， ∴. （2） 该二次函数图象的顶点坐标为. 【解析】 【分析】（1）把点代入解析式，即可得证； （2）根据（1）中结论以及二次函数的最小值为求出的值，进而求出顶点坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴顶点坐标为， ∵二次函数有最小值， ∴，最小值为顶点纵坐标， 由题意得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为. 24. 一次足球训练中，某足球运动员从球门正前方的O处射门，足球的飞行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，以O为原点建立如图所示平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）通过计算，判断球是否能射进球门（忽略其他因素）． 【答案】（1） （2）球不能射进球门 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）求出时的函数值即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， ∵该抛物线经过原点， ∴， ∴， ∴该抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∵， ∴球不能射进球门． 25. 如图，已知抛物线（b、c为常数）经过A，B两点，轴于点C，且点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是线段上一动点（不与A，B重合），过点M作y轴的平行线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得点的坐标，然后将点和点的坐标代入抛物线的解析式可得到关于、的方程组，从而可求得、的值，即可得到抛物线的解析式； （2）设直线的解析式为，求出解析式为，设，则，得到，得出，即可得出． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， 轴于点C， ， 将，代入得，， 解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 当时有最大值， ． 26. 【问题探究】 （1）如图1，是等腰直角三角形，，，点为边上一点（不与端点重合），连接，以为直角顶点，在右侧作等腰直角三角形，连接，设，的面积为． ①的长为___________； ②求关于的函数解析式． 【问题解决】 （2）图2是某公园计划修建主题活动区域的示意图，，在上找一点，在上方找一点，连接、、，将区域修建为体育健身活动区域，将区域修建为文艺活动表演区域，根据规划要求，设的长为，的面积为．求与之间的函数关系式，并求出当的值为时，的面积． 【答案】（1）①4；② （2）， 【解析】 【分析】（1）①根据勾股定理，得； ②首先证明，得到，利用直角三角形的面积公式，求解即可． （2）连接，证明都是等边三角形，过点E作交的延长线于点H，根据，，得到；过点A作于点G，利用等边三角形的性质，勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴； ②解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ∵， ∴， ∴， 过点E作交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的长为， ∴，， ∴， ∵的面积为 ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 当时，得， 整理，得， 解得， ∵， ∴舍去， 故， 过点A作于点G， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，答题卡交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若二次函数（、为常数，且）的图象经过点，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数（a为常数）的图象与x轴交点的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 若抛物线（a、c为常数，且）与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数（a、b为常数，且）的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 若小敏骑单车的时间（单位：）受骑车速度（单位：）的影响，其关系可以用描述，则小敏从奥体中心回到家里所需的时间最短为（　　） A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟 8. 在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若其中一条抛物线的表达式为，则m的值为（ ） A. 2或 B. 或6 C. 2或6 D. 或 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若抛物线（为常数）与轴的交点在轴上方，则的值可以是______．（写出一个符合题意的数即可） 10. 二次函数的图象的对称轴是___________． 11. 将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为___________（写顶点式）． 12. 已知抛物线（为常数，）关于轴对称的抛物线经过点，则的值为__________． 13. 若二次函数（m为常数）的图象与x轴有两个不同的交点，则该函数图象的顶点在第___________象限． 14. 如图，已知顶点A的坐标为，点B在y轴上，且轴，过B，C，D三点的抛物线的顶点坐标为，则的面积为___________． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 已知抛物线（b为常数）经过点，求b的值． 16. 将二次函数化成的形式，并判断该函数图象的开口方向． 17. 已知二次函数（b为常数），求证：无论b为何值，该二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点． 18. 如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，点M是二次函数图象的顶点，连接AM、BM，求的面积． 19. 定义：在平面直角坐标系中，横坐标是纵坐标的2倍的点称为“倍横点”，判断二次函数的图象上有没有“倍横点”，若有，请求出“倍横点”的坐标；若没有，请说明理由． 20. 如图1是我国最大的沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，若点，，点是沙丘的两个端点，求的值． 21. 已知二次函数，利用描点法画该函数图象列表如下： x … 0 1 2 3 5 … y … 5 0 m n … （1）上表中，___________，___________； （2）①在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； ②观察图象，当时，函数y的取值范围是___________． 22. 某商店销售一种齐齐哈尔特色手工艺品，进价为每件元，经市场调查发现，售价（元/件）与销售量（件）之间满足一次函数关系． （1）设该商店销售这种手工艺品的利润为元，求与之间的函数解析式； （2）当售价为多少元时，利润最大？最大利润是多少？ 23. 已知二次函数（a、t为常数，）的图象经过点． （1）求证：； （2）若该二次函数的最小值为求该二次函数图象的顶点坐标． 24. 一次足球训练中，某足球运动员从球门正前方的O处射门，足球的飞行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，以O为原点建立如图所示平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）通过计算，判断球是否能射进球门（忽略其他因素）． 25. 如图，已知抛物线（b、c为常数）经过A，B两点，轴于点C，且点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是线段上一动点（不与A，B重合），过点M作y轴的平行线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标． 26. 【问题探究】 （1）如图1，是等腰直角三角形，，，点为边上一点（不与端点重合），连接，以为直角顶点，在右侧作等腰直角三角形，连接，设，的面积为． ①的长为___________； ②求关于的函数解析式． 【问题解决】 （2）图2是某公园计划修建主题活动区域的示意图，，在上找一点，在上方找一点，连接、、，将区域修建为体育健身活动区域，将区域修建为文艺活动表演区域，根据规划要求，设的长为，的面积为．求与之间的函数关系式，并求出当的值为时，的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $