精品解析：四川达州市渠县中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题

四川省达州市渠县中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等且互相平分 B. 对角线相等且互相垂直平分 C. 对角线互相平分 D. 四条边相等，四个角相等 2. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有一个解为，则m的值是（    ） A. 1 B. 3 C. D. 4 4. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC＝8，则菱形ABCD的周长为（ ） A. 32 B. 24 C. 8 D. 16 5. 如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则x满足的方程为（ ） A. x2=102+（x-5-1）2 B. x2＝（x﹣5）2+102 C. x2＝102+（x+1-5）2 D. x2＝（x+1）2+102 8. 如图，E是边长为1的正方形的对角线上的一点，且，P是上任意一点，于点Q，于点R，则的长度为（ ） A. B. 1 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 关于的方程是一元二次方程，则的值是_____________ 10. 已知是关于x的方程的一个根，则______． 11. 如图,中,，点E为的中点，点D在上，且、相交于点F，若，则等于__________． 12. 若为方程的解，则的值为______． 13. 如图，菱形的面积为，对角线长，点O为的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，则线段的长度是_____． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 15. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若是方程的两根，且，求的值． 16. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 17. 在正方形中，为对角线，E为上一点，连接． （1）求证：． （2）延长交于F，当时，求的度数． 18. 阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； （2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； （3）提升：已知实数s，t满足且，求的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为﹡，根据这个规则，求方程﹡的解为________． 20. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，与CD交于点E，连接BE，若，直线MN恰好经过点A，则BE的长为_________． 21. 若实数满足 ，则的值为____． 22. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点作OE⊥AC交于点E，若AB=4，BC=8，则的长为__________． 23. 正方形和正方形中，点D在上，，，H是的中点，那么的长是 __ ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒． （1）设售价每盒下降元，则每天能售出____________盒（用含的代数式表示）； （2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元； 25. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形； （3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积． 26. 综合与实践课上，李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究． 【问题情境】 如图①，在矩形中，．将边绕点A逆时针旋转（）得到线段，过点E作交直线于点F． 【猜想证明】 （1）当时，四边形的形状为________；（直接写出答案） （2）如图②，当时，连接，求此时的面积； 【能力提升】 （3）在【问题情境】的条件下，是否存在θ，使点F，E，D三点共线？若存在，请直接写出此时的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等且互相平分 B. 对角线相等且互相垂直平分 C. 对角线互相平分 D. 四条边相等，四个角相等 【答案】C 【解析】 【分析】对菱形对角线相互垂直平分，矩形对角线平分相等，正方形对角线相互垂直平分相等的性质进行分析从而得到其共有的性质． 【详解】解：A、不正确，菱形的对角线不相等； B、不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不垂直； C、正确，三者均具有此性质； D、不正确，矩形的四边不相等，菱形的四个角不相等； 故选C． 2. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的识别，熟记一元二次方程的概念是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、为二元二次方程，故错误； B、为分式方程，故错误； C、当时，为一元二次方程，故错误； D、是一元二次方程，故正确； 故选：D． 3. 若关于x的一元二次方程有一个解为，则m的值是（    ） A. 1 B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得，再求解即可． 【详解】解：， ， 解得， 故选：C． 4. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC＝8，则菱形ABCD的周长为（ ） A. 32 B. 24 C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°，由直角三角形的性质可求OB＝OA＝4，AB＝2OB＝8，即可求解． 【详解】解：连接BD，AC交于点O，如图： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°， ∴∠BAO＝30°， ∴OB＝OA＝4，AB＝2OB＝8， ∴菱形ABCD的周长＝4AB＝32； 故选：A． 【点睛】此题考查了菱形的有关性质，涉及了直角三角形的性质，熟练掌握菱形的有关性质是解题的关键． 5. 如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故C正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式大于0及二次项系数不为0列不等式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得：， ， 实数k的取值范围为且， 故选C． 7. 在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则x满足的方程为（ ） A. x2=102+（x-5-1）2 B. x2＝（x﹣5）2+102 C. x2＝102+（x+1-5）2 D. x2＝（x+1）2+102 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意做出简图如下，在中应用勾股定理即可． 【详解】根据题意做出简图如下： 其中AC=x，BC=10，AB=x+1-5 中，由得， 故选C． 【点睛】本题考查了列方程解应用题，实质是考查了勾股定理的应用，做题过程中要注意做出简图是本题的关键． 8. 如图，E是边长为1的正方形的对角线上的一点，且，P是上任意一点，于点Q，于点R，则的长度为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了正方形的性质，勾股定理．过E点作于H点，连接，根据正方形的性质可得是等腰直角三角形，，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过E点作于H点，连接， ∵四边形是正方形，且边长为1， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 关于的方程是一元二次方程，则的值是_____________ 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程.，根据未知数的最高次数是2建立等式，再根据即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 已知是关于x的方程的一个根，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于m的一次方程，求解即可． 【详解】解：把代入方程，得， ∴． 故答案为：12． 11. 如图,中,，点E为的中点，点D在上，且、相交于点F，若，则等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练运用“直角三角形斜边中点到三顶点距离相等”得出等腰三角形，再结合等腰三角形底角相等和三角形外角等于不相邻两内角和推导角度． 由且E为中点，得，故；由得，再利用三角形外角性质得，，计算得角度． 【详解】解：由条件可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 若为方程的解，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，先把代入得，变形为，然后利用整体代入求值即可，正确理解一元二次方程的解的概念，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】解：∵为方程的解， ∴，整理得：， ∴， 故答案为：． 13. 如图，菱形的面积为，对角线长，点O为的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，则线段的长度是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质得出，由菱形的面积得出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，根据方程特点灵活选用恰当的方法进行求解是关键． （1）利用开平方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴ 则或 解得， 【小问2详解】 ∴， 则或 解得， 【小问3详解】 则， ∵ ∴ ∴， 【小问4详解】 ∴ 则或 解得， 15. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， 则 ， ∴无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及配方法即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， 又， ， 整理得：， 解得：． 16. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）10 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）如图，首先证明四边形是平行四边形，然后证明，即可解决问题． （2）因为四边形为菱形，得，再结合矩形的对角线相等得，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意，连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， 由（1）得四边形是矩形， ∴． 17. 在正方形中，为对角线，E为上一点，连接． （1）求证：． （2）延长交于F，当时，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质进行推理是解题的关键． （1）根据正方形的性质得出，根据即可证出结论； （2）由等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 18. 阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； （2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； （3）提升：已知实数s，t满足且，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）的值为或． 【解析】 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵实数s、t满足， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为﹡，根据这个规则，求方程﹡的解为________． 【答案】， 【解析】 【分析】直接根据定义的这种运算的规则求解． 【详解】解：， ， 解方程， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了运算新定义问题，平方差公式、解一元二次方程，解题的关键是正确理解这种运算的规则． 20. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，与CD交于点E，连接BE，若，直线MN恰好经过点A，则BE的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可知，，再根据菱形的性质利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：根据作图可知直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵菱形中，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 21. 若实数满足 ，则的值为____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键．设，则原方程变形为，运用因式分解法解得，然后确定的值． 【详解】解：设，则， ，即， 解得：， ， ． 故答案为：1． 22. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点作OE⊥AC交于点E，若AB=4，BC=8，则的长为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】连接CE，根据矩形的对边相等可得AD=BC=8，CD=AB=4，根据矩形的对角线互相平分可得OA=OC，然后判断出OE垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE=CE，设AE=CE=x，表示出DE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接CE， ∵矩形ABCD中，AB=4，BC=8， ∴AD=BC=8，AB=CD=4，OA=OC， ∵OE⊥AC， ∴OE垂直平分AC， ∴AE=CE， 设AE=CE=x，则DE=8−x， 在Rt△CDE中，CD2＋DE2=CE2， 即42＋(8−x)2=x2， 解得x=5， 即AE的长为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并运用勾股定理列出方程是解题的关键． 23. 正方形和正方形中，点D在上，，，H是的中点，那么的长是 __ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由正方形的性质和勾股定理可推出的长，以及，利用勾股定理求出的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形和正方形中，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵H是的中点， ∴． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒． （1）设售价每盒下降元，则每天能售出____________盒（用含的代数式表示）； （2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元； 【答案】（1） （2）当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润为2550元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式． （1）根据每盒月饼降价2元，商场每天就可以多售出5盒．列出代数式即可； （2）设月饼每盒售价下降元，则每天能售出盒，单件利润为元，列出方程，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒， ∴售价每盒下降x元，则每天能售出盒； 【小问2详解】 解：降价前，单件利润为：元， 降价后，单件利润为元，每天能售出盒， 则：， 整理得：， 解得：，， ∴每盒月饼的售价为：元或元； 答：当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润为2550元． 25. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形； （3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积． 【答案】（1） 证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）； （2） 证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB． ∵AD为BC边上的中线， ∴DB=DC， ∴AF=CD． ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC=90°，D是BC的中点， ∴AD=DC=BC， ∴四边形ADCF是菱形； （3）10． 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论； （2）由（1）可得AF=BD，结合条件可求得AF=DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD=CD，可证得四边形ADCF为菱形； （3）连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接DF， ∵AF∥BD，AF=BD， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF=AB=5， ∵四边形ADCF是菱形， ∴S菱形ADCF=AC▪DF=×4×5=10． 【点睛】本题主要考查菱形的性质及判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，利用全等三角形的性质证得AF=CD是解题的关键，注意菱形面积公式的应用． 26. 综合与实践课上，李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究． 【问题情境】 如图①，在矩形中，．将边绕点A逆时针旋转（）得到线段，过点E作交直线于点F． 【猜想证明】 （1）当时，四边形的形状为________；（直接写出答案） （2）如图②，当时，连接，求此时的面积； 【能力提升】 （3）在【问题情境】的条件下，是否存在θ，使点F，E，D三点共线？若存在，请直接写出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）正方形；（2）；（3）存在，的长为或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和旋转的性质可得，，即可证明； （2）作于G，可得，从而得到，再根据勾股定理可得，然后根据即可求解； （3）分两种情况讨论：当点E在上时；当点E在的延长线上时，利用矩形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将边绕点A逆时针旋转（）得到线段， ∴， ∴此时点在上， ∵， ∴ ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； 故答案为：正方形； （2）如图2，作于G， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）存在θ，使点F，E，D三点共线，理由如下： 如图，当点E在上时，连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， 根据旋转的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：； 如图，当点E在的延长线上时， 同理， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $