精品解析：四川达州市宣汉县天生中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题

四川省达州市宣汉县天生中学2026－2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义依次判定即可．本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 【详解】解：A. 是一元一次方程，不符合题意； B. 是二元二次方程，不符合题意； C. 是一元二次方程，符合题意； D. 是分式方程，不符合题意． 故选：C． 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 四条边都相等的四边形是正方形 B. 四个角相等的四边形是矩形 C. 平行四边形，菱形，矩形都既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是矩形，则原来的四边形一定是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】根据四边形的相关性质依次分析即可. 【详解】解：A.四条边和四个角都分别相等的四边形是正方形，错误； B.由四边形的四个角都相等可知，它的每个角都等于90°，所以该四边形是矩形，正确； C.平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，错误； D.对角线互相垂直的任意四边形，顺次连接其四边的中点得到的四边形都是矩形，错误. 故选B. 【点睛】本题考查了真假命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题． 3. 下列图形中，不是相似图形的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，对各选项进行一一分析，即可得出结论． 【详解】解：A.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； B.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； C.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； D.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似图形的定义，掌握相似图形的定义并能结合具体图形进行准确判断是解题的关键． 4. 菱形的一条对角线长为6，边的长是方程的一个根，则菱形的面积为（　　） A. 48 B. 24 C. 15 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的解法是解本题的关键． 求出已知方程的解，确定出的长，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 可得或， 解得：或， 当时，，不能构成三角形，舍去； 当时，设菱形对角线相交 于O，如图， ∵菱形， ∴，， 由勾股定理，得， ∴ ∴菱形面积为； 故选：B． 5. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，易得F，进而可得，代入数据求解即可得答案． 【详解】解：根据题意做出示意图，则，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴（负值舍去）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键． 6. 某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（　　） A. 12（1+x）=17 B. 17（1﹣x）=12 C. 12（1+x）2=17 D. 12+12（1+x）+12（1+x）2=17 【答案】C 【解析】 【分析】设游客人数的年平均增长率为x，由2015年约为12万人次，到2017年约为17万人次，增长了2次，可列出方程. 【详解】设游客人数的年平均增长率为x，由2015年约为12万人次，到2017年约为17万人次，增长2次，可列出方程12(1＋x)2＝17. 故选C 【点睛】本题考核知识点：列一元二次方程解应用题.解题关键点：找出相等关系，列方程. 7. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OA=OB═OC， ∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA， ∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD， ∵∠EAC=2∠CAD， ∴∠EAO=∠AOE， ∵AE⊥BD， ∴∠AEO=90°， ∴∠AOE=45°， ∴∠OAB=∠OBA=（180°-45°）=67.5°， ∴∠BAE=∠OAB-∠OAE=22.5°． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现△AEO是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型． 8. 四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形与菱形面积，涉及含直角三角形的三边关系，熟记正方形与菱形面积公式是解决问题的关键． 过作于，如图所示，设正方形边长为，求出，利用含直角三角形的三边关系，在中得到，从而，两个面积作比即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 设正方形边长为， ， ， 在中，，，则， ， ，， 菱形与正方形ABCD的面积之比是， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 把方程化成一般形式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式．先去括号，再移项，合并同类项即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 10. 如图：延长正方形的边至，使，连接交于，则_____度． 【答案】112.5 【解析】 【分析】根据已知及正方形的性质可先求得及的度数，从而可求得的度数． 【详解】解：因为， 所以， 又，， 所以， 所以， 又， 所以 11. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金比的定义列出等式解答即可求解，掌握黄金比的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 12. 若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m﹣9的值为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义代入求值即可．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 【详解】 m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，理解一元二次方程的根的定义是解题的关键． 13. 如图，矩形纸片折叠，使点与点重合，若，，则折痕的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠问题，矩形的性质与判定以及勾股定理的运用，解题时注意方程思想的运用．过E作于G，设，根据勾股定理得到，进而得出的长，根据，可求出的长，运用勾股定理即可得到． 【详解】解：过E作于G， 在矩形中，，， ， ∴四边形是矩形， ， 设，则， 在中，， ∴ 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴中，， 故答案是：． 三、解答题（本大题共5小题，14题－15题每小题8分，16－17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程运用配方法求解即可； （2）方程移项后运用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ∴，． 15. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求出的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．，． （1）根据根的判别式得出关于m的不等式，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得出，，根据，得出，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根． ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵，， 又∵， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 16. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，与关于原点位似，的对应点分别为，其中的坐标是． （1）和的相似比是 ； （2）请画出； （3）边上有一点，在边上与点对应点的坐标是 ； （4）的面积是 ． 【答案】（1） （2） 如图所示，即为所求； （3） （4）3 【解析】 【分析】（1）直接利用点对应点坐标，即可得出相似比； （2）利用相似比即可得出对应点位置，进而确定答案； （3）直接利用位似图形的性质得出点坐标即可； （4）利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：和的相似比是； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 边上有一点，在边上与点对应点的坐标是； 故答案为：； 【小问4详解】 的面积是：． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 17. 如图，在中，点D，E分别是边AB和AC的中点，过点C作，交DE的延长线于点F，连接AF，BF． （1）求证：△ADE≌△CFE （2）若∠AFB=90°，试判断四边形BCFD的形状，并加以证明． 【答案】（1） 证明：∵在中，点E是边AC的中点， ∴， ∵， ∴ 在和中 ∴（ASA） （2） 解：四边形BCFD的形状为菱形． 证明：由（1）得， ∴ 又∵D是AB的中点， ∴， ∴， 又∵即 ∴四边形DBCF为平行四边形． 又∵， ∴DBCF为菱形． 【解析】 【分析】（1）根据点D，E分别是边AB，AC的中点，可得，，根据可得内错角相等，进而可以证明△ADE≌△CFE． （2）由（1）可知△ADE≌△CFE，进而可得，由点D是边AB的中点可知，结合已知条件进而可证四边形ADCF是平行四边形，再证明，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定以及三角形中位线的判定与性质，灵活应用相关性质和判定定理是解答本题的关键． 18. 如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点在x轴上，点在y轴上，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即沿着长方形的边移动一周）． （1）分别求出A，C两点的坐标； （2）当点P移动了4秒时，求出点P的坐标； （3）在移动过程中，当的面积是10时，求满足条件的点P的坐标及相应的点P移动的时间． 【答案】（1）点，点 （2） （3）的坐标为，运动时间为（秒）；点的坐标为，运动时间为（秒）；点的坐标为，运动时间为（秒）；点的坐标为，运动时间为（秒）． 【解析】 【分析】（1）由点A，点C分别在x轴上，y轴上，可求解； （2）通过计算可得此时点P在上，且，可求点P坐标； （3）分点P在，，，上，由三角形面积公式可求解． 【小问1详解】 解：（1）点在轴上，点在轴上， ， ， 点，点； 【小问2详解】 由（1）可知：点，点， 当点移动了4秒时，移动的路程为：， 此时点在上，且， 点； 【小问3详解】 ①如图1所示，当点在上时， 的面积是10， ，即， 解得：， 点的坐标为， 运动时间为（秒）； ②如图2所示，当点在上时， 的面积是10， ，即， 解得：， ， 点的坐标为， 运动时间为（秒）； ③如图3所示，当点在上时， 的面积为10， ，即， 解得：， ， 点的坐标为， 运动时间为（秒）； ④如图4所示，当点在上时， 的面积是10， ，即，解得， 点的坐标为， 运动时间为（秒）． 综上所述：①的坐标为，运动时间为（秒）；②点的坐标为，运动时间为（秒）；③点的坐标为，运动时间为（秒）；④点的坐标为，运动时间为（秒）． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为： 20. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了整体代入的思想． 把代入方程，整理得，把所求的代数式变形为，再整体代入计算即可． 【详解】∵是一元二次方程的一个根， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 21. 如图，在直角坐标系中，矩形，点的坐标是，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据勾股定理求出是解本题的关键． 根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出即可解答． 【详解】解：∵点B的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 故答案为：． 22. 四边形是菱形，，且，M为对角线（不含B点）上任意一点，的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，两点之间线段最短、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会作辅助线，利用等边三角形的性质进行转化的思想． 根据题意，将绕点B逆时针旋转，结合等边三角形的性质得到，再求的长即可． 【详解】解：将绕点B逆时针旋转，得到，图形如下： 则，，， 所以为等边三角形，即， 则，当C、M、、共线时取等号， 因为，且，所以， 在中，，， 所以，， 则，，， 所以的最小值是． 故答案为：． 23. 如图，已知中，，E是的中点，过点B作，交的延长线于点D，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作于点F，先根据题意作出辅助线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，利用勾股定理推出，即，解出x的值，可求出、、和的长，根据和推出，可求出和的长，再求出的长，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图所示，过点C作于点F， 设，则， ∵在中，点E为的中点， ， ， ， ，即， 解得：， ，， ， ， ， 又， ， ，即， 解得： ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，作出辅助线及利用直角三角形的性质是解决问题的关键． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 某商店从厂家以每件25元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为50元，每天可卖出30件，经市场调查发现，如果每件降价2元，则销量增加20个，设每件商品降价x元时： （1）每天可销售 件，每件盈利 元．（用含x的代数式表示） （2）为尽量减少库存，每件商品降价多少元时，可每天获利750元？． 【答案】（1）； （2）每件商品应降价 22元 【解析】 【分析】本题考査了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据每件降价2元，则销量增加20个，可得商场日销售量增加的件数，由售价减进价可得每件商品利润； （2）根据总利润单件利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意：设每件商品降价x元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得， ∵要更有利于减少库存， ， 答：每件商品应降价 22元． 25. 如图1，已知正方形的边长为4，点E，F分别是，上的动点，满足，连接点，交于点G． （1）求证：； （2）如图2，连接与交于点H，恰好点G是的中点． ①求的长； ②如图3，点P为上一点，，垂足为点Q，求的最小值． 【答案】（1） 证明：∵是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可知，，证明，可知，即，即可证明； （2）①由勾股定理求出，根据垂直平分线的性质得到，根据等边对等角得到，根据正方形的性质得到，进而得到，由可知，根据等角对等边得到，可得，进而计算即可； ②作，垂足为点K，根据等腰三角形三线合一可知平分，根据角平分线的性质可知，即，则当点H，P，K三点共线时，的值最小，最小值为，由正方形的性质得到，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴； ②作，垂足为点K， ∵，， ∴平分， 又∵，， ∴， ∴， ∴当点H，P，K三点共线时，的值最小， 此时，的最小值为， ∵是正方形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 26. 如图1，在正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，使点B落在F处， 连接，延长交于点G． （1）【初步探究】在E的运动过程中，与始终保持全等的关系，请说明理由． （2）【深入探究】把图1中的延长交于点H，如图2，若 ，求线段的长． （3）【拓展延伸】如图3，将正方形改成矩形，同样沿折叠，连接，延长交直线CD与点G、H两点，若 ，直接写出的值 （用含m的代数式表示）． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴． 在△ABE与△BCG中， ， ∴． （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，折叠的性质，利用证明即可； （2）折叠，得到，，等边对等角，得到，利用正方形的性质，对顶角相等，等角对等边推出，设，得到，求出的值，连接，利用勾股定理进行求解即可； （3）分H在上和H在的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据折叠性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴设， ∴， 由（1）知： ∴， ∴， 解得：． 连接，则：在中，，在中， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：设， ①当H在线段上时，连接， 由折叠可得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 设， ∴， 利用折叠性质可得， ∴， 又∵， ∴． 又∵， ∴． ∴，即， ∴． 同（2）利用勾股定理可得：， 即， 解得：． ∴． ②当H在的延长线上时，如图4所示， 同理可得，， ∴， 同理可证明， ∴，即， ∴． 利用勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 综上，的值为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查正方形与折叠，矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市宣汉县天生中学2026－2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 四条边都相等的四边形是正方形 B. 四个角相等的四边形是矩形 C. 平行四边形，菱形，矩形都既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是矩形，则原来的四边形一定是菱形 3. 下列图形中，不是相似图形的一组是（ ） A. B. C. D. 4. 菱形的一条对角线长为6，边的长是方程的一个根，则菱形的面积为（　　） A. 48 B. 24 C. 15 D. 12 5. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 6. 某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（　　） A. 12（1+x）=17 B. 17（1﹣x）=12 C. 12（1+x）2=17 D. 12+12（1+x）+12（1+x）2=17 7. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（ ） A. B. C. D. 1 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 把方程化成一般形式是_________． 10. 如图：延长正方形的边至，使，连接交于，则_____度． 11. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为______．（结果保留根号） 12. 若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m﹣9的值为 ____． 13. 如图，矩形纸片折叠，使点与点重合，若，，则折痕的长度为______． 三、解答题（本大题共5小题，14题－15题每小题8分，16－17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 解下列方程： （1）； （2）． 15. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求出的值． 16. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，与关于原点位似，的对应点分别为，其中的坐标是． （1）和的相似比是 ； （2）请画出； （3）边上有一点，在边上与点对应点的坐标是 ； （4）的面积是 ． 17. 如图，在中，点D，E分别是边AB和AC的中点，过点C作，交DE的延长线于点F，连接AF，BF． （1）求证：△ADE≌△CFE （2）若∠AFB=90°，试判断四边形BCFD的形状，并加以证明． 18. 如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点在x轴上，点在y轴上，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即沿着长方形的边移动一周）． （1）分别求出A，C两点的坐标； （2）当点P移动了4秒时，求出点P的坐标； （3）在移动过程中，当的面积是10时，求满足条件的点P的坐标及相应的点P移动的时间． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，则的值为________． 20. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______． 21. 如图，在直角坐标系中，矩形，点的坐标是，则的长是______． 22. 四边形是菱形，，且，M为对角线（不含B点）上任意一点，的最小值是____________． 23. 如图，已知中，，E是的中点，过点B作，交的延长线于点D，若，，则_____． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 某商店从厂家以每件25元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为50元，每天可卖出30件，经市场调查发现，如果每件降价2元，则销量增加20个，设每件商品降价x元时： （1）每天可销售 件，每件盈利 元．（用含x的代数式表示） （2）为尽量减少库存，每件商品降价多少元时，可每天获利750元？． 25. 如图1，已知正方形的边长为4，点E，F分别是，上的动点，满足，连接点，交于点G． （1）求证：； （2）如图2，连接与交于点H，恰好点G是的中点． ①求的长； ②如图3，点P为上一点，，垂足为点Q，求的最小值． 26. 如图1，在正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，使点B落在F处， 连接，延长交于点G． （1）【初步探究】在E的运动过程中，与始终保持全等的关系，请说明理由． （2）【深入探究】把图1中的延长交于点H，如图2，若 ，求线段的长． （3）【拓展延伸】如图3，将正方形改成矩形，同样沿折叠，连接，延长交直线CD与点G、H两点，若 ，直接写出的值 （用含m的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $