12.2.5 斜边直角边 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

华东师大版（新教材）数学八年级上册 第12章 全等三角形 12.2.5 斜边直角边 22100 边边边 内容 三边分别相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”) 应用 思路分析 书写步骤 结合图形找隐含条件和现有条件，证准备条件 注意 四步骤 1. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写. 2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. 复习导入 22100 新知探究 直角三角形特殊判定 在前面我们学习了全等三角形的判定，知道”SSA”是不能证明两个三角形全等的（如图所示），AC=DF，CB=DE，∠A=∠F，但是△ABC和△FDE不全等。当△ABC和△FDE是直角三角形的时候呢？ 22100 新知探究 尺规作图作三角形 （教材母题）如图所示，已知线段a、b（b＞a），试作Rt△ABC，使∠B=90°，BC=a，AC=b，。 22100 舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住，无法测量． (1) 你能帮他想个办法吗？ 根据“SAS”可测量其余两边与这两边的夹角. 根据“ASA”，“AAS”可测量对应一边和一锐角. 利用“HL”判定直角三角形全等 1 22100 5 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等.于是，他就肯定 “两个直角三角形是全等的”. 你相信这个结论吗？ (2) 如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗?　 下面，让我们来验证这个结论. 斜边和一条直角边对应相等 → 两个直角三角形全等 22100 新知探究 尺规作图作三角形 作法： （1）作线段BC，使BC=a； （2）作∠CBM=90°; （3）以点C为圆心、线段b的长为半径作圆弧，交射线BM于点A； （4）连接AC; 如图所示，△ABC即为所要求作的三角形 22100 合作学习 小组活动：同学们分别在草稿纸上利用尺规作图画出上述三角形， 再跟周围的同学对比看是否能完全重合。 三边的情况 边 边 角 2cm 5cm 90° 2.5cm 2cm 90° 3.5cm 5cm 90° 4cm 4cm 90° 注意：长边为斜边，短边为一直角边 22100 如图，已知两条线段，试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边. 2 cm 3 cm 步骤： 1. 画一条线段 AB，使它等于 2 cm； 2. 画∠MAB = 90°(用量角器或三角尺)； 3. 以点 B 为圆心、3 cm 长为半径画圆弧，交射线 AM 于 C； △ABC 即为所求. 4. 连结 BC. M A B C 把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形相比较，它们全等吗？ 画一画 22100 “斜边、直角边”判定方法 文字语言： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (简写成“斜边、直角边”或“HL ”). 几何语言： A B C A′ B′ C′ 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL ). ∵AB = A′B′， BC = B′C′， “SSA ”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. 知识要点 22100 新知探究 直角三角形的判定（HL） 在Rt△ABC和Rt△DFE中， 则Rt△ABC≌Rt△DFE(HL) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成 “斜边直角边”或“HL” 22100 典例分析 例1 . 如图，可直接用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是（ ） A. AC=DF，BC=EF B. ∠A=∠D，AB=DE C. AC=DF，AB=DE D. ∠B=∠E，BC=EF C 22100 知识点1 利用“斜边直角边”判定三角形全等 1.如图，能用“”判断和 全等的条件是( ) C A.， B.， C.， D.， 返回 22100 13 2.如图，在中， ，是上一点，于点 ， ，连结，若，则 等于( ) C （第2题） A.6 B.7 C.8 D.10 返回 22100 14 典例分析 例2 .如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE=CF.求证：△DBE≌△DCF 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°， ∵D是BC的中点，∴BD=CD 在Rt△DBE和Rt△DCF中 ∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL) 22100 变式训练 如图，点C，E，F，B在同一条直线上，DF⊥BC，AE∥DF，AB=CD，AE=DF．求证：CE=BF． 证明：∵DF⊥BC， ∴∠DFC=90°， ∵AE∥DF，∴∠AEB=∠DFC=90° 在Rt△AEB和Rt△DFC中 ∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL) ∴BE=CF ∴BE-EF=CF-EF ∴BF=CE 22100 例3 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD， 求证：BC = AD. 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角. ∵AB = BA， AC = BD . 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC = AD. A B D C 应用“HL ”的前提条件是在直角三角形中 这是应用“HL”判定方法的书写格式 利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路 典例精析 22100 练一练 变式1 如图，∠ACB ＝ ∠ADB ＝ 90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由. (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) A B D C AD ＝ BC ∠DAB ＝∠CBA BD ＝ AC ∠DBA ＝∠CAB HL HL AAS AAS 22100 典例分析 例4 .在四边形ABCD中，BM⊥AC于点M，DN⊥AC于点N，CN=AM，BC=DA． (1)证明：∵CN=AM ∴CN+MN=AM+MN，即CM=AN 在Rt△CBM和Rt△ADN中 ∴Rt△CBM≌Rt△ADN(HL)，∴∠BCM=∠DAN，∴AD∥BC (1)求证：AD∥BC； 22100 典例分析 例3 .在四边形ABCD中，BM⊥AC于点M，DN⊥AC于点N，CN=AM，BC=DA． (2)解：由（1）得Rt△CBM≌Rt△ADN ∴MB=DN 在△ABM和△CDN中 ∴△ABM≌△CDN， ∴∠ABM=∠CDN=20°， ∴∠DCN=90°-20°=70° (2)若∠ABM=20°，求∠DCN的度数． 22100 如图，AC、BD 交于点 P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C、D，AD = BC. 求证：BD = AC. 变式2 HL BD ＝ AC Rt△ABD ≌ Rt△BAC 22100 如图，AB⊥AD，CD⊥BC，AB = CD，判断 AD 和 BC 的位置关系. 变式3 HL ∠ADB ＝ ∠CBD Rt△ABD ≌ Rt△CDB AD∥BC 22100 课堂小结 HL定理内容 定义：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，则这两个直角三角形全等。 适用条件 必须为直角三角形：两个三角形必须都有90°的直角。 斜边相等：两个三角形的斜边长度相同。 一条直角边相等：任意一条直角边（非斜边）的长度相同。 22100 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课你还有哪些疑惑？说一说． 22100 一级标题：黑体， 24 “斜边直角边” 内容 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 前提条件 在直角三角形中 使用方法 只须找除直角外的两个条件即可 （两个条件中至少有一个条件是一组对应边相等） 22100 谢谢大家聆听 22100 $