12.2.5 斜边直角边 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

# 东师大版数学八年级上册 12.2.5 斜边直角边专项练习（1232 字） ## 核心知识点梳理 1. **HL 判定定理**：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为 “斜边、直角边” 或 HL。HL**只适用于直角三角形**，普通三角形不能使用这个判定方法。在\(\text{Rt}\triangle ABC\)与\(\text{Rt}\triangle DEF\)中，\(\angle C=\angle F=90^\circ\)，若\(AB=DE\)（斜边），\(AC=DF\)（直角边），则\(\text{Rt}\triangle ABC≌\text{Rt}\triangle DEF\)。 2. **直角三角形全等判定汇总**：直角三角形除了 HL，SSS、SAS、ASA、AAS 同样适用。HL 是直角三角形专属判定，简化了证明条件，只需斜边 + 一组直角边对应相等即可，不需要寻找角的条件。 3. **书写前提**：使用 HL 证明全等时，必须先写明两个三角形是直角三角形，不能直接套用 HL。审题要先确认三角形内存在直角，图形中直角标记、垂直条件都可以推出\(90^\circ\)。 4. **常见隐含条件**：公共斜边、公共直角边；垂直关系推出直角；同角（等角）的余角相等。很多题目需要先证明垂直，得到直角，再寻找斜边、直角边相等的条件。 5. **判定方法辨析**：普通三角形没有 SSA，但直角三角形的 HL 本质是特殊的 SSA，因为直角固定，所以可以判定全等，这是极易混淆的考点。证明全等之后，依旧可以得到对应边相等、对应角相等，用于线段、角度推导。 6. **易错提醒**：①HL 仅限直角三角形，非直角三角形绝对不能用；②条件必须是**斜边 + 一条直角边**，两条直角边对应相等不属于 HL，而是 SAS；③书写证明格式，一定要标注\(\text{Rt}\triangle\)；④不要看到 SSA 就认为一定不能判定，直角三角形的 HL 是特例。 ## 一、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 下列条件可以用 HL 判定两个三角形全等的是（） A. 两个三角形斜边相等 B. 两个直角三角形一条直角边相等 C. 两个直角三角形斜边与一条直角边对应相等 D. 两个普通三角形两边及其中一边对角相等 2. 在\(\text{Rt}\triangle ABC\)和\(\text{Rt}\triangle DEF\)中，\(\angle C=\angle F=90^\circ\)，\(AB=DE\)，\(BC=EF\)，则判定依据是（） A. SSA B. HL C. ASA D. SSS 3. 下列不能判定两个直角三角形全等的是（） A. 一条直角边和一个锐角对应相等 B. 斜边和一个锐角对应相等 C. 两个锐角对应相等 D. 斜边和一条直角边对应相等 4. 如图，\(AC\perp BC\)，\(AD\perp BD\)，垂足分别为 C、D，\(AC=BD\)，判定\(\text{Rt}\triangle ABC≌\text{Rt}\triangle BAD\)依据是（） A. HL B. SAS C. AAS D. ASA 5. 关于 HL，说法正确的是（） A. HL 可用于任意三角形 B. 两条直角边相等可用 HL 证明全等 C. HL 只适用于直角三角形 D. HL 就是 SSA，所有三角形都能用 ## 二、填空题（每题 4 分，共 20 分） 6. 斜边和一条________对应相等的两个直角三角形全等，简写为 HL。 7. 使用 HL 证明全等，前提是两个三角形为________三角形。 8. 在\(\text{Rt}\triangle ABC、\text{Rt}\triangle DEF\)中，\(\angle C=\angle F=90^\circ\)，若\(AB=DE\)，________，则两直角三角形 HL 全等。 9. 两个直角三角形两条直角边对应相等，全等依据是________。 10. 直角三角形全等判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、________。 ## 三、解答题（共 60 分） 11. 判断下列说法对错，并说明理由（16 分） （1）有斜边和一条直角边相等的两个三角形全等； （2）两个直角三角形，斜边相同，一组直角边相等，可用 HL 证明全等。 12. 证明题（16 分） 已知：\(AC\perp BC\)，\(AD\perp BD\)，垂足 C、D，\(AC=BD\)。求证：\(\text{Rt}\triangle ABC≌\text{Rt}\triangle BAD\)。 13.（14 分）已知：点 D 是 BC 中点，\(DE\perp AB\)，\(DF\perp AC\)，\(DE=DF\)。求证：\(\text{Rt}\triangle BDE≌\text{Rt}\triangle CDF\)。 14.（14 分）已知：\(AB\perp CD\)，垂足为 B，\(AD=AC\)。求证：\(BD=BC\)。 ## 参考答案与解析 选择题： 1.C。解析：HL 要求直角三角形，斜边 + 一条直角边对应相等。 2.B。解析：\(\angle C、\angle F\)是直角，斜边\(AB=DE\)，直角边\(BC=EF\)，HL。 3.C。解析：两个锐角相等只能证明相似，边长不确定，不能全等。 4.A。解析：公共斜边 AB，直角边\(AC=BD\)，HL。 5.C。解析：HL 只能用于直角三角形；两直角边相等用 SAS。 填空题： 6. 直角边。 7. 直角。 8.\(AC=DF\)（答案不唯一）。 9. SAS。 10. HL。 解答题： 11. 解：（1）错误。没有说明是直角三角形，不能使用 HL 判定；（2）正确，满足 HL 全部条件。 12. 证明：\(\because AC\perp BC，AD\perp BD\)（已知），\(\therefore\angle C=\angle D=90^\circ\)。 在\(\text{Rt}\triangle ABC\)和\(\text{Rt}\triangle BAD\)中，\(\begin{cases}AB=BA(\text{公共斜边})\\AC=BD(\text{已知})\end{cases}\) \(\therefore\text{Rt}\triangle ABC≌\text{Rt}\triangle BAD(\text{HL})\)。 13. 证明：\(\because D\)是 BC 中点，\(\therefore BD=CD\)。 \(\because DE\perp AB，DF\perp AC\)，\(\therefore\angle BED=\angle CFD=90^\circ\)。 在\(\text{Rt}\triangle BDE\)和\(\text{Rt}\triangle CDF\)中，\(\begin{cases}BD=CD(\text{已证})\\DE=DF(\text{已知})\end{cases}\) \(\therefore\text{Rt}\triangle BDE≌\text{Rt}\triangle CDF(\text{HL})\)。 14. 证明：\(\because AB\perp CD\)，\(\therefore\angle ABD=\angle ABC=90^\circ\)。 在\(\text{Rt}\triangle ABD\)和\(\text{Rt}\triangle ABC\)中，\(\begin{cases}AD=AC(\text{已知})\\AB=AB(\text{公共直角边})\end{cases}\) \(\therefore\text{Rt}\triangle ABD≌\text{Rt}\triangle ABC(\text{HL})\)，\(\therefore BD=BC\)（全等三角形对应边相等）。 （全文 1232 字） 全等三角形判定全部讲完，下一节**12.3 角平分线**，继续同格式 1232 字专项练习吗？ 华东师大版（新教材）数学八年级上册 12.2.5 斜边直角边 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/27 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第12章 全等三角形 学习目标 1. 全等三角形的对应边 　 ，对应角 　 ． 相等 相等 2. 判定三角形全等的方法有： SAS ，ASA ， AAS ，SSS . 再忆直角三角形 Rt△ABC 直角边 斜边 A B C 直角边 情境导入 2 新知探究 直角三角形特殊判定 在前面我们学习了全等三角形的判定，知道”SSA”是不能证明两个三角形全等的（如图所示），AC=DF，CB=DE，∠A=∠F，但是△ABC和△FDE不全等。当△ABC和△FDE是直角三角形的时候呢？ 新知探究 尺规作图作三角形 （教材母题）如图所示，已知线段a、b（b＞a），试作Rt△ABC，使∠B=90°，BC=a，AC=b，。 同学们，动手画一画 新知探究 尺规作图作三角形 作法： （1）作线段BC，使BC=a； （2）作∠CBM=90°; （3）以点C为圆心、线段b的长为半径作圆弧，交射线BM于点A； （4）连接AC; 如图所示，△ABC即为所要求作的三角形 合作学习 小组活动：同学们分别在草稿纸上利用尺规作图画出上述三角形， 再跟周围的同学对比看是否能完全重合。 三边的情况 边 边 角 2cm 5cm 90° 2.5cm 2cm 90° 3.5cm 5cm 90° 4cm 4cm 90° 注意：长边为斜边，短边为一直角边 新知探究 直角三角形的判定（HL） 在Rt△ABC和Rt△DFE中， 则Rt△ABC≌Rt△DFE(HL) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成 “斜边直角边”或“HL” 典例分析 例1 . 如图，可直接用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是（ ） A. AC=DF，BC=EF B. ∠A=∠D，AB=DE C. AC=DF，AB=DE D. ∠B=∠E，BC=EF C 变式训练 如图，已知AB⊥AC，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DCB，还需补充一个条件，可以是（ ） A．AC=BC B. AD=BD C. ∠ACD=∠BCD D. ∠A=∠B B 1．尺规作图：如图，分别以线段a，c的长为一直角边和斜边的长，作直角三角形．(保留作图痕迹，不写作法) 1星题 夯实四基 解：如图，△ABC即为所求． 举一反三 2．如图，BD⊥AB，BD⊥CD，添加下列条件后能用“HL”判定△ABD≌△CDB的是(　　) A．AD＝CB B．AB＝CD C．∠A＝∠C D．AD∥BC A 举一反三 3．[山西运城期中]如图，一架梯子AB斜靠在竖直的墙CE上，梯子底部B到点C的距离为1 m．若梯子底部B沿水平方向向右滑动至点D，梯子顶部A落在竖直墙体的点E处，此时梯子与水平地面的夹角∠EDC＝32°，点E到点C的距离为1 m，则∠AOE的度数为__________． 26° 举一反三 4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D为斜边BC上一点，且BD＝BA，过点D作BC的垂线交AC于点E.求证：点E在∠ABC的平分线上． 证明：连结BE，∵ED⊥BC，∴∠BDE＝∠A＝90°. 在Rt△ABE和Rt△DBE中，∵ ∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL)．∴∠ABE＝∠DBE. ∴点E在∠ABC的平分线上． 举一反三 典例分析 例2 .如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE=CF.求证：△DBE≌△DCF 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°， ∵D是BC的中点，∴BD=CD 在Rt△DBE和Rt△DCF中 ∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL) 变式训练 如图，点C，E，F，B在同一条直线上，DF⊥BC，AE∥DF，AB=CD，AE=DF．求证：CE=BF． 证明：∵DF⊥BC， ∴∠DFC=90°， ∵AE∥DF，∴∠AEB=∠DFC=90° 在Rt△AEB和Rt△DFC中 ∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL) ∴BE=CF ∴BE-EF=CF-EF ∴BF=CE 典例分析 例3 .在四边形ABCD中，BM⊥AC于点M，DN⊥AC于点N，CN=AM，BC=DA． (1)证明：∵CN=AM ∴CN+MN=AM+MN，即CM=AN 在Rt△CBM和Rt△ADN中 ∴Rt△CBM≌Rt△ADN(HL)，∴∠BCM=∠DAN，∴AD∥BC (1)求证：AD∥BC； 典例分析 例3 .在四边形ABCD中，BM⊥AC于点M，DN⊥AC于点N，CN=AM，BC=DA． (2)解：由（1）得Rt△CBM≌Rt△ADN ∴MB=DN 在△ABM和△CDN中 ∴△ABM≌△CDN， ∴∠ABM=∠CDN=20°， ∴∠DCN=90°-20°=70° (2)若∠ABM=20°，求∠DCN的度数． 变式训练 如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°． （1）证明：∵∠C=∠D=90° ∴△ACB和△BDA都是直角三角形 在Rt△ACB和Rt△BDA中，, ∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL） (1)求证：△ACB≌△BDA； 变式训练 如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°． 证明：在Rt△ACB中 ∵∠ABC=28° ∴∠CAB=90°-28°=62° 由（1）可知△ACB≌△BDA ∴∠BAD=∠ABC=28° ∴∠CAO=∠CAB-∠BAD=62°-28°=34° (2)若∠ABC=28°，求∠CAO的度数． 5．[江苏徐州期中]下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是(　　) A．两个锐角对应相等 B．一个锐角和斜边对应相等 C．两条直角边对应相等 D．一条直角边和斜边对应相等 A 举一反三 6. 过程性学习【新趋势·】如图，在△ABC中，AD⊥BC，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD. 求证：BD＝AD. 证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在△BFD和△ACD中， ∴△BFD≌△ACD.∴BD＝AD. 举一反三 解：不正确，理由：边边角无法证明三角形全等． 正确的证明过程如下： ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在Rt△BFD和Rt△ACD中，∵BF＝AC，FD＝CD， ∴Rt△BFD≌Rt△ACD(HL)，∴BD＝AD. 上面的证明过程正确吗？如果不正确，说明理由，并写出正确的证明过程． 举一反三 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，BC＝BD.如果AC＝3 cm，那么AE＋DE＝(　　) A．2 cm B．4 cm C．3 cm D．5 cm C 2星题 提升四能 举一反三 8.(分类讨论思想)如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝____________时，△ABC与△APQ全等． 5或10 举一反三 课堂小结 HL定理内容 定义：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，则这两个直角三角形全等。 适用条件 必须为直角三角形：两个三角形必须都有90°的直角。 斜边相等：两个三角形的斜边长度相同。 一条直角边相等：任意一条直角边（非斜边）的长度相同。 课堂小结 与其他全等判定的区别 SSS/SAS/ASA：适用于任意三角形，而HL仅适用于直角三角形。 特殊性：HL本质是“SSA”在直角三角形中的特例（直角固定了边角关系，避免了SSA的不确定性）。 谢谢观看 THANKS $