第三章 代数式 单元自测卷2026-2027学年人教版七年级数学上册

第三章 代数式 单元自测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1．已知则代数式的值是（   ） A．−3 B．−1 C．2 D．3 2．某工厂需要加工2000个零件，平均每天加工m个，则需要n天完成，下列结论正确的是（    ） A．m=2000n B．n=2000m C．m与n成正比例关系 D．m与n成反比例关系 3．下列问题中的数量或数量关系，可以用代数式表示的是（    ）． ①一件衣服标价元，打七折后再优惠50元的实际售价 ②苹果售价为每千克7元，小天买了千克，微信里全部余额为50元（未绑定银行卡），扫码时提示余额不足，他还差的钱数 ③从长米，宽7米的长方形木板上裁去面积为50平方米的一块，剩余的面积 ④小天如果以每天7页的速度读一本书，读了天后还剩50页，这本书的总页数 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③④ 4．我校航模社团利用若干台无人机操作，按照某种规律摆出家乡盐城的拼音缩写．按照这种规律，需要越来越多的无人机，则第5次需要的无人机数量为（   ）。第1次7架，第2次13架，第3次19架，每次比前一次多6架。 A．28架 B．31架 C．33架 D．47架 5．用代数式表示“比a的2倍小3”，正确的是（   ） A．2a−3 B．2(a−3) C．a−2×3 D．a²−3 6．某型号智能采摘设备的一个采摘臂平均每分钟采摘8个草莓．若该设备配备个采摘臂（），则该设备平均每分钟采摘的草莓个数是（    ） A．8n B．n+8 C．48n D．16n 7．已知：有理数我们把称为a的差倒数，例如：2的差倒数是，−1的差倒数．如果是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么…的值为（    ） A． B．−1 C． D． 8．如图所示的运算程序中，若开始输入的值是2，第1次输出的结果是，第2次输出的结果是1，依次继续下去…，第2025次输出的结果是（   ）。运算规则：输入x，若x为负数则输出x²，若x为非负数则输出x−3，结果返回输入端循环运算。 A．−2 B．−1 C．1 D．4 9．意大利著名数学家斐波那契在兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造一组正方形（如图），再分别依次从左到右取个、个、个、个正方形拼成如下矩形并记为、、、．相应矩形的周长如下表所示： 序号 ① ② ③ ④ 周长 6 10 16 26 若按此规律继续作矩形，则序号为的矩形周长（    ） A．288 B．178 C．168 D．110 10．如图，敲击三根管时依次发出“1”、“3”、“5”，两只音锤同时从“1”开始，以相同的节拍往复敲击，不同的是：甲锤每拍移动一位(左中右中左中右…)，乙锤则在两端各有一拍不移位(左中右右中左左中右…)，在第2023拍时，你听到的是（     ）。三根音管从左到右依次发出“1”“3”“5”三个音。 A．同样的音“1” B．同样的音“3” C．同样的音“5” D．不同的两个音 二、填空题（共5题，每题4分，共20分） 11．当时，代数式________． 12．一个三位数的百位数字是7，十位数字是个位数字是则这个三位数可表示为______．用含的代数式表示） 13．如图都是由同样大小的正三角形按一定的规律组成的，其中第1个图形共有1个正三角形，第2个图形中共有5个正三角形，第3个图形中共有13个正三角形…，按照此规律第5个图形中正三角形的个数为_______．第1个图形边长为1，第2个图形边长为2（含正放、倒放三角形共5个），第3个图形边长为3（共13个）。 14．算筹是世界上最古老的计数工具，算筹的摆法有如图纵式和横式两种，以算筹的计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横这样纵横依次交替，零以空格表示．如就表示成．（计数规则：个位用纵式，十位用横式，纵横交替；1~5用对应数量算筹表示，6~9用一横加对应纵线表示，零用空位表示） 若用三根算筹表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），一共可以表示______个两位数． 15．如图是一个正方体的展开图，正方体的相对面上的数字之和相等，则的值为____．展开图六个面数字分别为x、y、z、−1、2、−6，相对面不相邻。 三、解答题（共8题，共50分） 16．判断下面各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由 (1)三角形的面积一定，三角形的底与高； (2)一辆汽车匀速从甲地运动到乙地，路程一定时，运动时间和运动速度． 17．探索发现： (1)当a取不同数值时，计算代数式a²与代数式(−a)²的值，请将正确结果填入下表： 的取值 当a=3 当a=−2 当a=0.5 a² (−a)² (2)根据上表，给任意一个数a，计算a²与(−a)²的值，蕴含着一个规律，写出你的发现：______。 (3)用你发现的规律计算：(−7)²−7²+3²。 18．在下面的网格中，每个小正方形的边长都是1．（原长方形长6格、宽3格） (1)请你按画出图中长方形缩小后的图形． (2)直接写出缩小后长方形的面积是______． 19．某实验学校为了更好的开展劳动教育，在校外开辟了一块荒地作为实践活动基地．如图，这是某班级自己设计的一块菜园种植区域，该区域是一块长为20米、宽为10米的长方形土地，该土地一面靠墙，其余三面均留出宽为米的小路，中间余下的长方形部分作为菜地．（长边靠墙，左右、下侧各留宽为x米的小路，中间为菜地） (1)菜地种植区域的长为_________米，菜地种植区域的宽为_______米；菜地种植区域的周长（包括靠墙的部分）为_______米．（用含的式子表示，并化简结果） (2)当米时，求该菜地种植区域的周长． 20．如图，在一个底为a高为h的三角形铁皮上剪去一个半径为r的半圆．（三角形底为a，高为h，半圆半径为r，半圆直径与三角形底边重合） (1)用含ahr的代数式表示剩下铁皮阴影部分的面积S； (2)若分米，分米，分米时，请求出剩下铁皮阴影部分的面积计算结果精确到1平方分米， 21．如图，每个小正方形的面积均为1．（图形由边长为2、4、6…的正方形依次拼接，对应连续偶数相加的等式） 等式：；      等式：；          等式：； 认真研读图形及对应的等式，寻找规律，完成下列问题： (1)请写出第5个等式； (2)猜想第个等式，用含的等式表示这个等式，并通过计算说明这个等式的正确性； (3)一个用形状大小一样的无数个小正方体搭成的几何体，若从其正面看到的形状图是上面规律图的左图，从其上面看到的形状图是由400个小正方形组成的大正方形，则这个几何体最多共有多少个小正方体？ 22．让我们一起探索有趣的“渔网中的数学”： (1)观察与探究：图1~4都是由绳索编织成的网状图形，我们把这种网状图形中的交叉点称为“结点”，把网中的洞称为“网眼”，把构成网眼的小段绳索称为“边”．（图1到图4依次为从小到大的网状结构，结点为绳索交叉点，网眼为中间的空洞，边为每段绳索） 观察图形，补全下列表格： 序号 结点数 网眼数 边数 图1 2 5 图2 4 6 图3 5 4 图4 8 12 (2)猜想与验证：上述V、F、E之间具有怎样的数量关系？再画一个类似的平面图形，验证你的猜想． (3)应用与拓展：科研人员要考察水域中某类型鱼的种群密度，经过对该水域某种鱼体型大小的初步判断，认为使用单位面积中含485~525个网眼的渔网效果最佳，上图中的渔网单位面积有530个“结点”，每个“结点”处有4条“边”，通过计算说明这张渔网是否符合这次鱼群考察． 23．窗户的形状如图所示（长度单位：米）．其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形．已知下部小正方形的边长是a米，请完成下列各题（结果保留）：（窗户下部为边长2a的正方形，由4个边长为a的小正方形组成；上部为直径2a的半圆） (1)求窗户的面积； (2)某人要加工一个图中所示窗户的外框，请用a表示窗户外框的总长；并求当米，每米材料20元时，他买这些材料需要多少元？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 第三章 代数式 单元自测卷 参考答案 1. 【答案】D 解题步骤： ① 由 x−2y=−1，两边同乘 −1 得 2y−x=1。 ② 1+4y−2x=1+2(2y−x)=1+2×1=3。 ③ 故选 D。 【知识点睛】整体代入法：先由已知等式变形出整体（2y−x）的值，再代入求值，避免分别求 x、y。 2. 【答案】D 解题步骤： ① 每天加工 m 个、加工 n 天，共加工 m×n 个；题中总共 2000 个，所以 mn=2000。 ② mn 为常数，m 增大时 n 减小，m 与 n 成反比例关系。 ③ 故选 D。 【知识点睛】判断反比例关系看两个量的乘积是否为常数（xy=k）；比值固定才是正比例，不要混淆。 3. 【答案】C 解题步骤： ① 逐项列式：①打七折后售价 0.7m，再优惠 50 元为 0.7m−50；② 7m−50；③ 7m−50；④ 总页数 7m+50。 ② 只有②③与 7m−50 一致。 ③ 故选 C。 【知识点睛】列代数式要逐项翻译数量关系：打七折是 0.7m 不是 7m；总页数=已读+剩余，注意加减方向。 4. 【答案】B 解题步骤： ① 由图形数出第1、2、3次无人机数量分别为 7、13、19 架。 ② 相邻两次相差 6 架：13−7=6，19−13=6。 ③ 第4次 19+6=25，第5次 25+6=31（架），故选 B。 【知识点睛】图形规律题：先数出前几次的数量，再求相邻差；差相等的数列用“末项+公差”依次推算后面的项。 5. 【答案】A 解题步骤： ① “a 的 2 倍”表示为 2a。 ② “小 3”即减去 3，得 2a−3。 ③ 故选 A。 【知识点睛】按文字顺序列代数式：“的几倍”写乘法，”小/大多少”做加减；注意 2a−3 与 2(a−3) 含义不同。 6. 【答案】A 解题步骤： ① 每分钟采摘总数=单个采摘臂每分钟采摘数×采摘臂数量。 ② 8×n=8n。 ③ 故选 A。 【知识点睛】总量=单位量×数量；数与字母相乘时数字写在字母前面，写成 8n。 7. 【答案】A 解题步骤： ① 由差倒数定义依次求：a₁=，a₂=1/(1)=，a₃=1/(1)=−3，a₄=1/(1−(−3))==a₁。 ② 数列以 、、−3 循环，周期为 3；每周期三数之积=××(−3)=−1；2026÷3=675 余 1。 ③ 总积=(−1)^675×=，故选 A。 【知识点睛】周期规律题：先算前几项找循环节；求积时用“每周期积的周期数次方×余下项的积”，注意余数对应正确位置。 8. 【答案】A 解题步骤： ① 第1次输出 −1；第2次输出 1；第3次 1−3=−2；第4次 (−2)²=4；第5次 4−3=1；第6次 1−3=−2…… ② 从第2次起，输出按 1、−2、4 循环（周期 3）；(2025−1)÷3=674 余 2。 ③ 余 2 对应循环中第2个数 −2，故选 A。 【知识点睛】程序输出规律：先列出前几次结果找循环节，用（总次数−循环前次数）÷周期取余定位；易错点是把第1次计入周期。 9. 【答案】A 解题步骤： ① 各序号矩形的宽、长依次为：①1、2；②2、3；③3、5；④5、8；⑤8、13；⑥13、21；⑦21、34；⑧34、55；⑨55、89（后一个宽=前一个长，后一个长=前一个宽+前一个长）。 ② ⑨的周长=2×(55+89)=2×144=288。 ③ 故选 A。 【知识点睛】斐波那契式递推规律：每步“宽=上一步长，长=上一步宽+长”；矩形周长=2×(长+宽)。 10. 【答案】D 解题步骤： ① 甲锤每 4 拍一循环：2023÷4=505 余 3，第 2023 拍甲锤在第 506 组第 3 拍，发出音“5”。 ② 乙锤每 6 拍一循环：2023÷6=337 余 1，第 2023 拍乙锤在第 338 组第 1 拍，发出音“1”。 ③ 两锤发出的音不同，故选 D。 【知识点睛】周期定位法：n÷周期取余数对应循环中的位置，余 0 时对应周期末拍；两组不同周期分别计算再比较。 11. 【答案】−2 解题步骤： ① 把 x=−3、y=2 代入代数式。 ② 2x+y²=2×(−3)+2²=−6+4=−2。 ③ 故填 −2。 【知识点睛】代数式求值：先代入、再按先乘方后乘除最后加减的顺序计算；注意 (−3)² 与 −3² 的区别。 12. 【答案】700+10a+b 解题步骤： ① 三位数=百位×100+十位×10+个位。 ② 百位 7 写作 700，十位 a 写作 10a，个位 b 写作 b。 ③ 该三位数为 700+10a+b。 【知识点睛】用字母表示数位：某一位上的数字要乘该位的计数单位（百、十、个）再相加。 13. 【答案】41 解题步骤： ① 第1个图形正放 1²=1 个；第2个图形正放 2²=4 个、倒放 1²=1 个，共 5 个；第3个图形正放 3²=9 个、倒放 2²=4 个，共 13 个。 ② 规律：第 n 个图形正放 n² 个、倒放 (n−1)² 个，总数=n²+(n−1)²。 ③ 第5个图形：5²+4²=25+16=41（个）。 【知识点睛】数形结合找规律：先数出前几项（1、5、13）验证，再归纳“正放 n² 个、倒放 (n−1)² 个”，代入求第 n 项。 14. 【答案】6 解题步骤： ① 算筹个位用纵式、十位用横式；横式中 1~5 用 1~5 根、6 用 2 根，纵式中 6 也用 2 根，零用空位表示。 ② 十位用 1 根时，个位用 2 根可为 2 或 6，得 12、16；十位用 2 根时，十位可为 2 或 6，个位用 1 根，得 21、61；十位用 3 根时，十位可为 3 或 7，个位为 0，得 30、70。 ③ 共可表示 12、16、21、61、30、70 六个两位数，故填 6。 【知识点睛】算筹计数：个位纵、十位横、零用空位；按“十位筹数+个位筹数=3”分类列举，注意 6、7 分别只用 2、3 根算筹。 15. 【答案】2 解题步骤： ① 正方体展开图中，z 与 −1、2 与 −6、x 与 y 分别是相对面。 ② 相对面上的数字之和相等：z+(−1)=2+(−6)，得 z=−3；x+y=2+(−6)=−4。 ③ x+y−2z=−4−2×(−3)=−4+6=2。 【知识点睛】正方体展开图找相对面：“Z”字两端或间隔一格的相对；相对面和相等列等式，用整体代入求值。 16. 【答案】(1)成反比例，(2)成反比例 解题步骤： ① (1) 三角形面积=底×高÷2 一定，即底×高=2S（常数），底与高成反比例。 ② (2) 路程=速度×时间一定，即速度×时间=路程（常数），运动时间与速度成反比例。 ③ 两个量都是乘积为常数，均成反比例关系。 【知识点睛】判断反比例：两个量的乘积为常数（xy=k，k≠0）即成反比例；判断正比例则看两个量的比值是否恒定。 17. 【答案】(1) 9，4，0.25；9，4，0.25；(2) a²=(−a)²，互为相反数的两个数的平方相等；(3) 9 解题步骤： ① 逐组代入：a=3时，3²=9，(−3)²=9；a=−2时，(−2)²=4，2²=4；a=0.5时，0.5²=0.25，(−0.5)²=0.25。 ② 每一组中a²与(−a)²的值都相等，规律：互为相反数的两个数的平方相等，即a²=(−a)²。 ③ 用规律计算：(−7)²−7²+3²=49−49+9=9。 【知识点睛】互为相反数的两个数的平方相等；负数平方要先加括号，如(−2)²=4；利用该规律可简化含相反数平方的计算。 18. 【答案】(1)作图见下图（长4格、宽2格），(2) 8 解题步骤： ① 原长方形长 6 格、宽 3 格。 ② 按 2:3 缩小：长=6×=4（格），宽=3×=2（格），画出长 4 格、宽 2 格的长方形。 ③ 缩小后面积=4×2=8（平方单位）。 【知识点睛】按比缩小：新长度=原长度×比的前项÷比的后项；网格作图先定新长宽的格数再画图，面积用新长×新宽。 19. 【答案】(1)(20−2x)，(10−x)，(60−6x)；(2) 54 米 解题步骤： ① 靠墙一边为长边，左右各留 x 米小路：菜地长=20−x−x=20−2x；下方留 x 米：菜地宽=10−x。 ② 周长（含靠墙部分）=2×(20−2x)+2×(10−x)=40−4x+20−2x=60−6x。 ③ 当 x=1 时，周长=60−6×1=54（米）。 【知识点睛】靠墙留路问题：长=总长−两边路宽，宽=总宽−一边路宽；含墙周长四条边都算，再代入字母值求结果。 20.【答案】；18 平方分米 解题步骤： ① 阴影面积=三角形面积−半圆面积：S=×ah×πr²。 ② 代入 a=8、h=6、r=2：S=×8×6×3.14×2²=24−6.28=17.72（平方分米）。 ③ 精确到 1 平方分米：17.72≈18（平方分米）。 【知识点睛】组合图形面积用割补法：阴影面积=三角形面积−半圆面积，即 S=ah−πr²。求近似值时先算准确值，再按精确度要求四舍五入。易错点：半圆面积要乘，π取3.14时代入计算。 21. 【答案】(1) 2+4+6+8+10+12=6×7；(2) 2+4+…+2n=n(n+1)；(3) 8400 个 解题步骤： ① (1)(2) 观察等式：2+4=2×3、2+4+6=3×4、2+4+6+8=4×5，第 n 个等式为 2+4+…+2n=n(n+1)。 ② 验证：2+4+…+2n=2(1+2+…+n)=2×=n(n+1)；第5个等式为 2+4+6+8+10+12=6×7。 ③ (3) 正面为 20 列阶梯（第 i 列高 2i），上面为 20×20：每列纵深 20 个位置都堆到正面高度，最多=20×(2+4+…+40)=20×420=8400（个）。 【知识点睛】连续偶数和=个数×(首项+末项)÷2=n(n+1)；堆小正方体最值：正面图定每列高度上限、上面图定底层范围，各列取最大层数求和。 22. 【答案】(1) 4；3；8；5；(2) V+F=E+1；(3) 不符合 解题步骤： ① (1) 由图①可知结点数为 4；由图②可知网眼数为 3；由图③可知边数为 8；由图④可知网眼数为 5，补全表格。 ② (2) 由表格数据可得 V+F−E=1，即 V+F=E+1（结点数+网眼数=边数+1），所画验证图形见下图。 ③ (3) 总边数=530×4÷2=1060（每条边连接 2 个结点）；网眼数=1060+1−530=531；531 不在 485~525 范围内，所以这张渔网不符合考察要求。 【知识点睛】平面网状图形满足 V+F−E=1（欧拉公式）；统计总边数时每条边被两个结点共用要除以 2；用关系式反推未知量再与范围比较。 23.【答案】(1) 窗户面积为(4+)a²平方米；(2) 买材料需要(72+12π)元 解题步骤： ① 下部四个小正方形边长 a，拼成 2a×2a 的正方形；上部半圆半径 a。 ② (1) 面积 S=4a²+×πa²=(4+)a²（平方米）。 ③ (2) 外框总长=下底 2a+左右两边各 2a+半圆弧 πa=(6+π)a（米）；当 a=0.6 时，(6+π)×0.6=3.6+0.6π（米），材料费=20×(3.6+0.6π)=72+12π（元）。 【知识点睛】组合图形：面积分块求和（正方形+半圆），周长只算外轮廓各段（底边、两竖边、半圆弧），不重复算内部线段；含 π 的式子按要求保留或代入。 $