陕西西北工业大学附属中学2026-2027学年第一学期高二年级第一次月考数学试题

西工大附中2026-2027学年第一学期高二年级 第一次月考数学试题 一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．设，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 3．如图，在三棱台中，，、分别为、的中点，设，，，则可用，，表示为（ ） A． B． C． D． 4．已知直线与直线，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 7．在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ） A．和为对立事件 B．与为互斥事件 C．与为相互独立事件 D．与为相互独立事件 8．已知，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的值为（ ） A． B． C． D．1 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．下列结论正确的有（ ） A．倾斜角为的直线的一个方向向量是 B．已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 C．直线与直线之间的距离是 D．已知直线（，不同时为0），若直线过点，则直线的方程可化为 10．某市文化和旅游局制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长．现为进一步发展该市文旅，提升经济，2025年5月份对该市旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度得分成绩绘制成如下频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列结论正确的是（ ） A．频率分布直方图中 B．2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为79.5 C．2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的第60百分位数近似值为82.5 D．若落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，则落在的平均成绩为87，落在的成绩的方差为23 11．已知正方体的棱长为1，，其中，，点为线段中点，则下列选项正确的是（ ） A．时， B．时，三棱锥的体积为定值 C．当点落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为1 D．时，直线与面的交点轨迹长度为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知直线方程为，则直线的倾斜角为________． 13．已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为________． 14．是棱长为2的正方体的内切球的一条直径，点为的中点．若空间内动点满足，则的最小值为________． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知两直线，．（13分） （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，，动点在直线运动，求的最小值． 16．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，，且．（15分） （1）求的值； （2）若点，分别在边和上，且与的面积之比为，求的最小值． 17．甲、乙两人组成“光之队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否不影响，各轮结果也相互不影响．（15分） （1）求“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率； （2）求“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率； （3）求在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率． 18．如图，在四棱锥中，平面平面，，， ，为棱的中点．（17分） （1）证明：平面； （2）若，． （I）求平面与平面的夹角的正弦值； （II）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19．已知函数的部分图象如图1所示，，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于点，点为该部分图象与轴的交点．（17分） （1）求的解析式； （2）将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成的二面角，如图2所示． （i）求直线与平面所成的角的正弦值； （ii）求以线段的中点为球心，半径为的球与二面角所围成的几何体的体积． 注：球缺的定义：如图3，一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于底面的直径被截下的线段长叫做球缺的高．设球的半径为，球缺的高为，则球缺的体积公式为． 学科网（北京）股份有限公司 $