精品解析：陕西省西安市西光中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

西安市西光中学 2025—2026学年度第一学期月考二高二年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分150分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 设全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出集合A与集合B，再求补集及交集运算即可. 【详解】解不等式得或，所以； 解不等式得，所以， 所以，所以， 故选：B 2. 某企业对一种特殊零部件进行招标，共有7个厂商参与竞标.将7个厂商的报价整理得到如下数据（单位：元/个）：，则这组数据的第70百分位数为（ ） A. 5.8 B. 5.9 C. 6.0 D. 6.1 【答案】D 【解析】 【分析】由百分位数的定义及求法求已知数据的第70百分位数. 【详解】将这组数据从小到大进行排列得到：， 由可知，第70百分位数为第5个数，即6.1. 故选：D 3. 已知，且，则实数（ ） A. -3 B. 6 C. -1或-2 D. 1或2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得或2. 故选：D. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式将已知条件化简，再结合同角三角函数的基本关系式求解即可. 【详解】由，可得，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以. 故选：B. 5. 已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则（ ） A. 1941 B. 1961 C. 1981 D. 2001 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可得数列是首项为1，公差为20的等差数列，从而得所求. 【详解】由题可知是首项为1，公差为4的等差数列，是首项为1，公差为5的等差数列， 则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为20的等差数列，故. 故选：C. 6. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 7. 过点作曲线的切线，所得切线斜率为（ ） A. －3 B. 0或3 C. －3或24 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】设切点，根据导数的意义可得，切线斜率.又，即可推出，进而可得出，解方程即可得到的值，进而得出斜率. 【详解】由已知可得，点不在曲线上，设切点为 因为，根据导数的几何意义可得，切线斜率， 又切线过点，所以， 所以，整理可得. 又，所以有， 即，解得或. 当时，；当时，. 所以切线斜率为－3或24. 故选：C. 8. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法1，由题意可得有两根，则，，令，对函数求导，求出函数的单调区间，从而画出函数的图象，结合图象可求得结果； 方法2：由题意得有两根，令，对函数求导，求出其单调区间，画出图象，将问题转化为直线与图象有两个交点，从而可求出实数的取值范围 【详解】方法1：，有两个零点，即有两根， 则，， 设，则， 令，则，， 令，得，则在且； 令，得，则在且； ，图象如图所示， 实数时函数有两个零点. 方法2： 有两个都零点，即有两根， 设，则， 令，则，， 令，得，则在单调递增且； 令，得，则在单调递减且； ，图象如图所示， 设与相切于 则，解得， 所以实数时函数有两个零点. 故选：C 【点睛】关键点睛：此题考查导数的综合应用，考查函数与方程的应用，解题的关键是将问题转化为，，然后构造函数，利用导数求出其单调区间，画出图象，利用数形结合的方法求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题. 二、多选题（每小题6分，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.共18分） 9. 关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（ ） A. 若数列为等差数列，且，则 B. 若数列的前项和为，且，则是等差数列. C. 若数列为等比数列，为前项和，，，则 D. 若数列为等比数列，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及求和公式计算判断A；先求出，再当时求出，判断当时有，判断B；根据等比数列的性质计算求值判断C；由题意得，可判断D. 【详解】对于A，由，正确； 对于B，数列的前项和，当时，， 当时，， 当时，，错误； 对于C，因为数列是等比数列，所以，，成等比数列， 因为，，所以，所以， 所以，正确； 对于D，由，，则，所以， 若时，由，可得， 所以，与已知条件矛盾，所以，错误. 故选：AC 10. 如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，则（ ） A. 若，则异面直线和所成角的余弦值为 B. 若，则平面 C. 若，则点到平面的距离为 D. 若三棱柱存在内切球，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法线线角，与点到平面的距离，并判断线面垂直是否成立，再结合内切球概念可知. 【详解】如图，过点作的平行线，交于点， 则平面，又， 故以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，， 对于A，依题意，，，， 则，， 由， 可得异面直线和所成角的余弦值为，故A正确； 对于B，由，，可得， 即与不垂直，故与平面不垂直，故B错误； 对于C，依题意，，， 设平面的法向量为，则 故可取，又， 故点到平面的距离为，故C正确； 对于D，若三棱柱存在内切球，不妨设其半径为，则， 且内切球在底面上的射影是底面三角形的内切圆，故由， 解得，则，故D正确； 故选：ACD. 11. 设函数，则下列命题中是真命题的是（ ） A. 是偶函数 B. 在单调递增 C. 相邻两个零点之间的距离为 D. 在上有个极大值点 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项的正误；利用函数的单调性与导数的关系以及函数的奇偶性可判断B选项的正误；解方程可判断C选项的正误；利用函数的极值点与导数之间的关系可判断D选项的正误. 【详解】函数的定义域为，因为，所以为偶函数，A正确； 当时，，， 当时，，，，所以，单调递增， 又因为为偶函数，所以在单调递减，B错误； 令，则，所以相邻两个零点之间的距离为，C正确； 当时，令，则， 当时，，当时，， 当时，，，所以是的一个极大值点， 又因为是偶函数，所以在上有个极大值点，D正确， 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知函数，其导函数为，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】将代入，则得，再将代入，得，从而可求得结果. 【详解】因为 , 所以，即， 由， 得， 所以，即， 所以， 故答案为：1 13. 设等比数列的前项和为，若，则______． 【答案】31 【解析】 【分析】设，根据等比数列的前项和的性质列式求解即可. 【详解】因为为等比数列，且，所以，，成等比数列． 设，则． 因则有，即，所以． 故． 故答案为：31. 14. 已知双曲线 的左右顶点分别为，双曲线在第一象限内存在一点，使得直线 的斜率，满足，则该双曲线的离心率的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】设.利用过两点的斜率公式，及点在双曲线上，变形化简，得到，将其代入双曲线方程得到，再根据及离心率公式计算即可得解. 【详解】设，则有， 即，所以. 由题意知， 则. 所以，即. 将代入双曲线方程可得，即. 因为，所以，即. 由可得，所以离心率. 所以双曲线的离心率的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 （2）， 【解析】 【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，即可求出最大值，而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【小问1详解】 函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以在上的最小值为. 又因为，所以， 所以函数在上的最小值为，即. 16. 已知等差数列的前项和为． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出等差数列的公差后，根据题目所给条件列出方程即可求出，进而得解； （2）利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则由，可得， 因，代入解得，则， 因此. 【小问2详解】 由， 得 . 17. 在四棱锥中，平面底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中点，，，． （1）证明：平面EAC； （2）求直线EC与平面PAB所成角的正弦值． 【答案】（1） 如图1，连接，设与交于点，连接. 因为底面ABCD是菱形，所以为的中点，又E是PD的中点， 所以，又平面EAC，平面EAC， 所以平面EAC； （2） 【解析】 【分析】（1）构造中位线，通过线线平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，先求平面PAB的法向量，再求与法向量所成角的余弦值，再得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图2，取的中点. 在中，，，为的中点，所以， 所以. 因为平面底面ABCD，平面底面ABCD， 所以底面ABCD，又底面ABCD， 所以. 在菱形ABCD中，，，所以△与△是等边三角形， 所以，，. 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，则，，. 设为平面的一个法向量，则， 即，令，则，则. . 所以直线EC与平面PAB所成角的正弦值． 18. 已知点分别是椭圆的左右顶点，为其右焦点，与的等比中项是，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设不过原点的直线与该轨迹交于两点，若直线的斜率依次成等比数列，求的面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由是与的等比中项，得到，结合椭圆的离心率即可求得椭圆的方程；(2)设直线，联立直线和椭圆方程可得，利用判别式以及韦达定理，且的斜率依次成等比数列，可得，然后求出点到直线的距离，表示出三角形面积，求解范围即可. 【小问1详解】 由题意可知，， 是与的等比中项， ∴，得， 又，解得， ∴椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意可知，直线的斜率存在且不为0， 故可设直线，，， 联立直线和椭圆并消去， 得， 所以， 即， 且，， 又直线的斜率依次成等比数列，所以， 将，代入得，即 得， 因为，，所以，且， 设为点到直线的距离，则有， ， ， 当且仅当，即时，等号成立； 又因为，且，所以 即三角形面积的取值范围为. 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论在上的单调性； （3）若，求证：当时，． 【答案】（1） （2） 时，在上单调递增； 时，在上单调递减；在上单调递增 （3） 证明：设． ，由（2）可知 ①当时，在上单调递增，所以， 即在上单调递增，所以，满足题意； ②当时， 当时，单调递减； 当时，单调递增， ， ，，即， 在上单调递增，，满足题意， 综上可得，当且时，． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案； （2）利用导数与函数单调性的关系即可判断在上的单调性； （3）设，结合（2）分类讨论，可判断该函数的单调性，即可证明不等式. 【小问1详解】 当时，，则， 所以． 又，故所求切线方程为． 【小问2详解】 ，，， ①当时，，在上单调递增． ②当时，令，解得． 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 故时，在上单调递增； 时，在上单调递减；在上单调递增． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市西光中学 2025—2026学年度第一学期月考二高二年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分150分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 设全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 某企业对一种特殊零部件进行招标，共有7个厂商参与竞标.将7个厂商的报价整理得到如下数据（单位：元/个）：，则这组数据的第70百分位数为（ ） A. 5.8 B. 5.9 C. 6.0 D. 6.1 3. 已知，且，则实数（ ） A. -3 B. 6 C. -1或-2 D. 1或2 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则（ ） A. 1941 B. 1961 C. 1981 D. 2001 6. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 7. 过点作曲线的切线，所得切线斜率为（ ） A. －3 B. 0或3 C. －3或24 D. 0 8. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.共18分） 9. 关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（ ） A. 若数列为等差数列，且，则 B. 若数列的前项和为，且，则是等差数列. C. 若数列为等比数列，为前项和，，，则 D. 若数列为等比数列，且，则 10. 如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，则（ ） A. 若，则异面直线和所成角的余弦值为 B. 若，则平面 C. 若，则点到平面的距离为 D. 若三棱柱存在内切球，则 11. 设函数，则下列命题中是真命题的是（ ） A. 是偶函数 B. 在单调递增 C. 相邻两个零点之间的距离为 D. 在上有个极大值点 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知函数，其导函数为，则__________. 13. 设等比数列的前项和为，若，则______． 14. 已知双曲线 的左右顶点分别为，双曲线在第一象限内存在一点，使得直线 的斜率，满足，则该双曲线的离心率的取值范围是_____ 四、解答题（共77分） 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最值. 16. 已知等差数列的前项和为． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 在四棱锥中，平面底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中点，，，． （1）证明：平面EAC； （2）求直线EC与平面PAB所成角的正弦值． 18. 已知点分别是椭圆的左右顶点，为其右焦点，与的等比中项是，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设不过原点的直线与该轨迹交于两点，若直线的斜率依次成等比数列，求的面积的取值范围. 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论在上的单调性； （3）若，求证：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $