1.2.4 绝对值 知识清单2026-2027 学年人教版七年级数学上册

1.2.4 绝对值　知识清单2026-2027 学年七年级数学上册人教版 （复习提纲 · 中考基础考法覆盖版） 一、复习目标与重难点 维度 内容 知识目标 1. 理解绝对值的几何意义与代数意义，会求一个数的绝对值；2. 掌握绝对值非负性，会用绝对值比较两个负数的大小。 能力目标 能借助数轴理解"距离"，把绝对值问题转化为求距离；体会数形结合思想。 重点 绝对值的意义与求法；两个负数比较大小的方法。 难点 理解"距离"与"绝对值非负"的本质；两个负数比较大小要"反过来"判断。 考查形式 选择题、填空题为主（约 2~4 分），常与数轴、有理数大小比较综合命题。 二、为什么研究"绝对值"——从距离说起 上一节我们学习了相反数，知道 3 和 −3 互为相反数，它们在数轴上分居原点两侧，到原点的距离都是 3。 在实际问题中，我们常常只关心"距离"本身，而不关心方向： · 出租车向东行驶 5 km 和向西行驶 5 km，路程都是 5 km； · 温度是零上 8℃ 还是零下 8℃，离 0℃ 的"差距"都是 8℃。 这种"不管方向、只看离原点有多远"的量，数学上就用绝对值来表示。 三、绝对值的定义 定义（几何意义）：数轴上表示数 a 的点与原点的距离，叫做数 a 的绝对值，记作 |a|。 定义（代数意义）：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。 看下面的数轴，能更直观地理解绝对值的几何意义： 因为 3 和 −3 到原点的距离都是 3，所以 |3| = 3，|−3| = 3。可见互为相反数的两个数，绝对值相等。 四、绝对值的性质与求法 由定义可以直接得到求绝对值的方法： 数的类型 绝对值 举例 正数（含正分数） 等于它本身 |6| = 6，|2.5| = 2.5，|| = 0 等于 0 |0| = 0 负数（含负分数） 等于它的相反数（去掉负号） |−7| = 7，|−1.2| = 1.2，|−| = 求一个数的绝对值，先看这个数的正负：正数与 0 直接照抄，负数去掉负号。 重要性质：绝对值表示距离，而距离不可能是负数，所以对任意有理数 a，都有 |a| ≥ 0（即绝对值非负）。 由此还能得到： ① 绝对值最小的数是 0（因为 |a| ≥ 0，只有 |0| = 0）； ② 互为相反数的两个数，绝对值相等，即 |a| = |−a|； ③ 绝对值相等的两个数，可能相等，也可能互为相反数（如 |a| = 5，则 a = 5 或 a = −5）。 五、用绝对值比较有理数的大小 比较两个有理数的大小，有两种思路，都要掌握： 思路一（用数轴）：数轴上右边的数总比左边的大。 思路二（用绝对值）：正数 > 0 > 负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 比较情形 方法 举例 正数与正数 绝对值大的数就大 6 > 4（因为 |6| > |4|） 正数与 0、正数与负数 正数 > 0 > 负数 3 > 0，3 > −100 两个负数 绝对值大的反而小 −5 < −3（因为 |−5| = 5 > |−3| = 3）；− < − 记忆口诀："两个负数比大小，绝对值大的反而小。" 也可以想象成"离原点越远的负数越小，越靠右越大"。 看数轴理解这条规律： 在上图中，|−5| = 5 > |−3| = 3，而 −5 反而更小（更靠左）。这就是"绝对值大的负数反而小"的道理。 六、绝对值的非负性 "|a| ≥ 0"是这个知识点中最重要的结论之一，很多题目都要用到它： ① 绝对值最小的数是 0；任何一个数的绝对值都不小于 0； ② 若一个数的绝对值等于它本身，则这个数是非负数（正数或 0）； ③ 已知一个数的绝对值，求这个数时，一般有两个答案，注意不要漏解。 易错提示："|a| = 5，则 a = 5 或 a = −5"，千万不要只写 a = 5。绝对值等于一个正数的数，通常有两个。 七、分层例题精讲 【第一层：概念识别】 例 1　求下列各数的绝对值： −8，　6，　0，　−2.5，　，　−。 解：|−8| = 8；　|6| = 6；　|0| = 0； 　　|−2.5| = 2.5；　|| = ；　|−| = 。 提示：正数和 0 的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。 例 2　下列说法正确的是（　　） A. 一个数的绝对值一定是正数 B. 绝对值等于它本身的数只有 0 C. 互为相反数的两个数，绝对值相等 D. 绝对值相等的两个数一定相等 思路：A 错，0 的绝对值是 0，不是正数；B 错，正数的绝对值也是它本身；D 错，绝对值相等的两个数还可能互为相反数。 答案：C。 例 3　在数轴上，表示 −3 的点到原点的距离是多少？|−3| 等于多少？表示 4 的点呢？ 解：表示 −3 的点在原点的左边，到原点的距离是 3，所以 |−3| = 3； 表示 4 的点在原点的右边，到原点的距离是 4，所以 |4| = 4。 提示：绝对值的几何意义就是"到原点的距离"，与方向（正负）无关。 【第二层：求值与计算】 例 4　计算： （1）|−7| + |3|；　（2）|−7 + 3|；　（3）|−6| − |−2|；　（4）|−6 − 2|。 解：（1）|−7| + |3| = 7 + 3 = 10； 　　（2）|−7 + 3| = |−4| = 4； 　　（3）|−6| − |−2| = 6 − 2 = 4； 　　（4）|−6 − 2| = |−8| = 8。 点评：要分清"先算绝对值再运算"和"先运算再求绝对值"，两者结果可能不同（如 (1) 与 (2)）。 例 5　已知 |a| = 5，求 a 的值。 思路：绝对值等于 5 的数，是数轴上到原点距离为 5 的点表示的数，有两个。 解：因为 |5| = 5，|−5| = 5，所以 a = 5 或 a = −5。 注意：本题不能漏解，两个答案都要写。 例 6　若 |a| = 3，且 a 在原点左侧，求 a 的值。 解：由 |a| = 3 得 a = 3 或 a = −3。 又因为 a 在原点左侧，即 a 是负数，所以 a = −3。 点评："在原点左侧"就是额外条件，用来在两个答案中做取舍，属于数形结合的基础考法。 例 7　求绝对值小于 3 的所有整数。 解：先找绝对值等于 0、1、2 的整数： 绝对值是 0 的整数：0；绝对值是 1 的整数：±1；绝对值是 2 的整数：±2。 所以绝对值小于 3 的整数有：−2，−1，0，1，2，共 5 个。 点评："绝对值小于某数"要按 0、1、2…逐步列举，同时别忘 0，也不要漏掉成对出现的正负数。 【第三层：比较大小与说理】 例 8　比较下列各组数的大小： （1）−7 与 −4；　（2）0 与 −3；　（3）− 与 −。 解：（1）|−7| = 7，|−4| = 4，因为 7 > 4，所以 −7 < −4； 　　（2）0 大于一切负数，得 −3 < 0； 　　（3）|−| = ，|−| = ， 　　　因为 = ， = ，所以 < ，即 |−| < |−|，故 − > −。 点评：两个负数比较大小，先求绝对值、再比绝对值，最后"反过来"下结论。 例 9　比较 −|−4| 与 −(−4) 的大小。 解：先化简：−|−4| = −4；−(−4) = 4。 因为 −4 < 0，4 > 0，负数小于正数，所以 −|−4| < −(−4)。 点评：遇到带绝对值符号和括号的数，先分别化简，再比较，不要直接凭感觉判断。 例 10　小明说："因为 |−6| = 6，|−4| = 4，而 6 > 4，所以 −6 > −4。"他的说法对吗？为什么？ 解：不对。 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 因为 |−6| = 6 > |−4| = 4，所以 −6 反而比 −4 小，即 −6 < −4。 点评：这是本节最常见的错误——把两个正数比大小的规律"照搬"到负数上，一定要"反过来"。 【第四层：实际应用】 例 11　某工厂生产一批零件，规定直径为 100 mm 为合格标准，误差不超过 0.5 mm 为合格。检查三个零件，测得直径分别为 99.6 mm、100.4 mm、100.7 mm。 （1）分别求三个零件直径与标准的差的绝对值； （2）哪些零件是合格的？ 解：（1）|99.6 − 100| = |−0.4| = 0.4（mm）； 　　|100.4 − 100| = 0.4（mm）；　|100.7 − 100| = 0.7（mm）。 　　（2）因为 0.4 ≤ 0.5，0.4 ≤ 0.5，而 0.7 > 0.5， 　　所以直径为 99.6 mm 和 100.4 mm 的两个零件合格，100.7 mm 的不合格。 点评：实际测量中常用"与标准的差的绝对值"来衡量误差大小，这就是绝对值的现实意义。 例 12　一袋大米的标准质量是 25 kg，质检员抽查 5 袋，记录与标准质量的差（单位：kg）如下：+0.3，−0.2，0，+0.4，−0.5。请用绝对值说明"哪一袋偏离标准质量最大"。 解：各袋与标准质量的差的绝对值为： |+0.3| = 0.3，|−0.2| = 0.2，|0| = 0，|+0.4| = 0.4，|−0.5| = 0.5。 因为 0.5 最大，所以与标准质量相差 −0.5 kg 的那一袋偏离最大。 点评："偏离大小"只看差的绝对值，与正负（偏多偏少）无关——这正是绝对值的意义所在。 八、方法总结与知识结构 内容 要点 几何意义 数轴上表示 a 的点到原点的距离，就是 |a| 求绝对值 正数与 0 照抄；负数去掉负号（取相反数） 非负性 对任意有理数 a，都有 |a| ≥ 0；绝对值最小的数是 0 比较两个负数 先比绝对值，绝对值大的反而小 带符号化简 遇到 −|−4|、−(−4) 先分别化简，再比较大小 已知绝对值求原数 一般有两个答案，注意结合条件取舍、防止漏解 三句口诀：① 绝对值，是距离，不管方向只看"多远"；　② 正数零，照原样，负数去号变成正； ③ 负数比，别着急，绝对值大的反要小。 易错清单（考前必看）： ① 漏解——已知 |a| = 5 只写 a = 5，忘记 a = −5； ② 性质误用——误以为"一个数的绝对值一定是正数"，忽略 0 的绝对值是 0； ③ 负数比大小——用绝对值大小直接判断，忘了负数"绝对值大的反而小"； ④ 计算顺序乱——分不清"先算绝对值再运算"与"先运算再求绝对值"，如 |−7| + |3| 与 |−7 + 3| 不同； ⑤ 符号化简错——遇到 −|−4|、−(−4)，不化简就直接比较，导致判断出错。 学科网（北京）股份有限公司 $