17.3 勾股定理 课时作业 2026-2027学年冀教版数学八年级上册

冀教版八年级上册　第十七章　17.3 勾股定理　课时作业 冀教版 · 八年级上册 · 第十七章 特殊三角形 17.3　勾股定理 课时作业 （含知识点梳理、典型例题、分层练习、答案与解析） 班级：__________ 姓名：__________ 学号：________ 用时：约45分钟 一、学习目标 1．经历用面积法探索、验证勾股定理的过程，掌握勾股定理的内容． 2．掌握勾股定理的逆定理，能判断一个三角形是否为直角三角形，认识常见的勾股数． 3．能运用勾股定理及其逆定理解决简单的几何计算和实际问题（梯子、折竹、航行、最短路径等）． 4．体会数形结合、方程思想和分类讨论思想． 二、知识梳理 知识点1　勾股定理 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则 ． 常用变形：，，． 图1 注意：（1）勾股定理只适用于直角三角形；（2）应用时要先分清哪条边是斜边，斜边是直角所对的边，也是最长的边． 知识点2　勾股定理的证明（面积法） 我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图2，用四个全等的直角三角形（直角边为a，b，斜边为c）拼成一个大正方形，中间是一个边长为 b－a 的小正方形． 图2　赵爽弦图 大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ， 所以 ． 知识点3　勾股定理的逆定理 逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是直角三角形，并且边c所对的角是直角． 判断步骤：①找出最长边c；②计算 与 ；③若相等，则是直角三角形，否则不是． 知识点4　勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．常见的勾股数如下表（勾股数的正整数倍仍是勾股数）： a b c 验证 3 4 5 5 12 13 6 8 10 7 24 25 8 15 17 知识点5　勾股定理的实际应用 解决实际问题的一般步骤：①从实际问题中抽象出直角三角形；②确定已知边和未知边，必要时设未知数；③利用勾股定理列式或列方程求解；④检验并作答．立体图形表面上的最短路径问题，通常把立体图形展开成平面图形，再利用“两点之间，线段最短”和勾股定理求解． 三、典型例题 例1　在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c． （1）若a＝6，b＝8，求c；（2）若c＝13，a＝5，求b；（3）若a＝2，b＝3，求c． 解：（1）； （2）； （3）． 例2　已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，求第三边的长． 分析：题目没有说明4是直角边还是斜边，需要分类讨论． 解：①当4为直角边时，第三边为斜边，长为 ； ②当4为斜边时，第三边为直角边，长为 ． 所以第三边的长为5或 ． 例3　判断以下列各组数为边长的三角形是不是直角三角形：（1）9，40，41；（2）1.5，2，2.5；（3）4，5，6． 解：（1）∵ ，∴ 是直角三角形； （2）∵ ，∴ 是直角三角形； （3）∵ ，，41≠36，∴ 不是直角三角形． 例4　（《九章算术》“折竹抵地”问题）今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子高1丈（1丈＝10尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，问折断处离地面的高度是多少？ 解：设折断处离地面的高度为x尺，则折断部分的长为(10－x)尺． 由勾股定理，得 ， 即 ，解得 ． 答：折断处离地面的高度为4.55尺． 例5　如图①，一个圆柱的底面周长为12 cm，高为8 cm．一只蚂蚁从下底面的点A出发，沿圆柱的侧面爬到上底面与点A相对的点B处，求蚂蚁爬行的最短路程． （例5图） 解：将圆柱的侧面沿过点A的母线剪开并展开，取展开图的一半，得到如图②所示的长方形．其中点A，B是长方形的两个相对顶点，长方形的长为底面周长的一半，即 （cm），宽为圆柱的高8 cm． 由“两点之间，线段最短”及勾股定理，得最短路程为 （cm）． 例6　如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积． （例6图） 解：连接AC．在Rt△ABC中，． 在△ACD中，∵ ， ∴ △ACD是直角三角形，∠ACD＝90°． ∴ ． 点评：先用勾股定理求边，再用逆定理判定直角，是求不规则四边形面积的常用方法． 四、课时作业 （一）基础巩固 一、选择题 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝12，则c的值为（　　） A．13 B．17 C． D．169 2．下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（　　） A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，13 D．6，7，8 3．直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则斜边上的高为（　　） A．4.8 B．5 C．10 D．2.4 4．若一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长为（　　） A．10 B． C．10或 D． 5．如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别为64和100，则字母A所代表的正方形的面积为（　　） A．36 B．6 C．164 D．14 （第5题图） 6．一个三角形的三边长分别为15，20，25，则这个三角形的面积为（　　） A．150 B．187.5 C．300 D．375 7．如图，一棵大树在离地面9 m处折断，树的顶端落在离树干底部12 m处，则这棵大树折断前的高度为（　　） A．15 m B．21 m C．24 m D．25 m （第7题图） 8．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A． B．a∶b∶c＝3∶4∶5 C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D．∠A＝∠B－∠C 二、填空题 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则BC＝________，△ABC的面积为________． 10．等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则底边上的高为________，面积为________． 11．如图，梯子AB长2.5 m，顶端A靠在墙上，梯子底端B到墙角C的距离为0.7 m，则梯子顶端A到地面的距离为________m． （第11题图） 12．若三角形的三边长分别为6，8，10，则最长边上的高为________． 13．如图，在数轴上以原点为圆心、正方形的对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是________． （第13题图） 14．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足 ，则△ABC是________三角形． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则CD的长为________． （第15题图） （二）能力提升 三、解答题 16．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝15，AC＝13，AD＝12．求BC的长． （第16题图） 17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12．求△ABC的面积及AB边上的高CE的长． （第17题图） 18．如图，某小区有一块四边形空地ABCD，∠A＝90°，AB＝9 m，AD＝12 m，BC＝8 m，CD＝17 m． （1）求这块空地的面积；（2）若每平方米草皮需要100元，则在这块空地上铺满草皮共需多少元？ （第18题图） 19．如图，甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以每小时16海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时12海里的速度向东南方向航行．1.5小时后，甲船到达A处，乙船到达B处，求此时两船之间的距离． （第19题图） 20．（《九章算术》“引葭赴岸”问题）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．求水的深度与这根芦苇的长度． （第20题图） 21．如图，在△ABC中，AB＝17，BC＝16，BC边上的中线AD＝15．求证：AB＝AC． （第21题图） （三）拓展探究 22．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝8，BC＝10，求CE的长． （第22题图） 23．观察下列各组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；… （1）请写出下一组勾股数； （2）若第一个数用n（n为大于1的奇数）表示，请用含n的式子表示另外两个数，并说明它们是勾股数的理由． （四）易错专练 24．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．若∠B＝90°，a＝3，b＝5，则c＝________． 25．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则BC的长为__________． 26．已知三角形的三边长分别为 ，2n，（n为大于1的整数），判断这个三角形是否为直角三角形，并说明理由． 五、参考答案与解析 （一）基础巩固 1．【答案】A 【解析】． 2．【答案】C 【解析】，其余各组都不满足两较短边的平方和等于最长边的平方． 3．【答案】A 【解析】斜边为 ，由面积法得斜边上的高为 ． 4．【答案】C 【解析】若8为直角边，第三边为 ；若8为斜边，第三边为 ． 5．【答案】A 【解析】由勾股定理，两直角边上正方形面积之和等于斜边上正方形的面积，所以A的面积为 100－64＝36． 6．【答案】A 【解析】，是直角三角形，面积为 ． 7．【答案】C 【解析】折断部分长为 （m），所以树高为 9＋15＝24（m）． 8．【答案】C 【解析】C项三个角分别为45°，60°，75°，不是直角三角形；A项 ，∠B＝90°；B项符合勾股数3，4，5；D项∠B＝∠A＋∠C，∠B＝90°． 9．【答案】8；24 【解析】，面积＝ ． 10．【答案】12；60 【解析】底边上的高平分底边，高＝ ，面积＝ ． 11．【答案】2.4 【解析】． 12．【答案】4.8 【解析】∵ ，∴ 是直角三角形，最长边上的高为 ． 13．【答案】 【解析】正方形边长为1，对角线长为 ，所以OA＝ ． 14．【答案】直角 【解析】由非负数的性质得a＝5，b＝12，c＝13，且 ，所以△ABC是直角三角形． 15．【答案】 【解析】连接BD．∵ DE垂直平分AB，∴ BD＝AD．设CD＝x，则BD＝AD＝8－x．在Rt△BCD中，，解得 ． （二）能力提升 16．解：在Rt△ABD中，； 在Rt△ACD中，． ∴ BC＝BD＋CD＝9＋5＝14． 17．解：过点A作AD⊥BC于点D．∵ AB＝AC，∴ ． 在Rt△ABD中，． ∴ ． 又 ，∴ ． 18．解：（1）连接BD．在Rt△ABD中，（m）． 在△BCD中，∵ ，∴ ∠DBC＝90°． ∴ （）． （2）114×100＝11400（元）．答：共需11400元． 19．解：由题意得OA＝16×1.5＝24（海里），OB＝12×1.5＝18（海里）． ∵ 东北方向与东南方向的夹角为 45°＋45°＝90°，∴ ∠AOB＝90°． ∴ （海里）． 答：此时两船之间的距离为30海里． 20．解：设水深为x尺，则芦苇长为(x＋1)尺．芦苇底端到池边中点的水平距离为 （尺）． 由勾股定理，得 ，即 ，解得x＝12． ∴ x＋1＝13．答：水深12尺，芦苇长13尺． 21．证明：∵ AD是BC边上的中线，BC＝16，∴ BD＝CD＝8． 在△ABD中，∵ ， ∴ ∠ADB＝90°，即AD⊥BC． 又∵ BD＝CD，∴ AD垂直平分BC，∴ AB＝AC． （三）拓展探究 22．解：由折叠可知AF＝AD＝BC＝10，EF＝DE． 在Rt△ABF中，，∴ FC＝10－6＝4． 设CE＝x，则EF＝DE＝8－x． 在Rt△ECF中，，解得x＝3．即CE的长为3． 23．解：（1）11，60，61． （2）另外两个数分别为 和 ． 理由：∵ n为大于1的奇数，∴ ， 都是偶数，两个式子的值都是正整数． ∵ ， ∴ n，， 是一组勾股数． （四）易错专练 24．【答案】4 【解析】∠B＝90°，所以斜边是b，．易错点：习惯性地认为c是斜边而得到 ． 25．【答案】14或4 【解析】BD＝9，CD＝5．当∠C为锐角时，D在BC上，BC＝9＋5＝14；当∠C为钝角时，D在BC的延长线上，BC＝9－5＝4． 26．解：是直角三角形．理由如下： ∵ ， ∴ 由勾股定理的逆定理可知，这个三角形是直角三角形，且边长为 的边所对的角是直角． 第 1 页 / 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $