17.3勾股定理（勾股定理的应用）（题型专练）数学新教材冀教版八年级上册

17.3勾股定理（勾股定理的应用） （10大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 用勾股定理解决河宽问题 题型二 用勾股定理解决梯子滑动问题 题型三 用勾股定理解决旗杆高度问题 题型四 用勾股定理解决小鸟飞行问题 题型五 用勾股定理解决大树折断前高度问题 题型六 用勾股定理解决杯中筷子问题 题型七 用勾股定理解决地毯长度问题 题型八 用勾股定理解决最短路径问题 题型九 用勾股定理解决选址问题 题型十 用勾股定理解决其他问题 能力提升题 题型一 用勾股定理解决航海问题 题型二 用勾股定理解决台风影响问题 题型三 用勾股定理解决超速问题 基础达标练 题型一 用勾股定理解决河宽问题 1．如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 2．山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（　　） A．7km B．6km C．5km D．2km 3．如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时，梯子底端与左侧书柜的距离为1.5米，顶端与地面的距离为2米．在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上时，顶端与地面的距离为2.4米，则两个书柜之间的距离为（   ） A．1.5米 B．2.2米 C．2.4米 D．2.5米 4．四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． (1)求支渠的长度．（结果保留根号） (2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 题型二 用勾股定理解决梯子滑动问题 5．如图，一架靠墙摆放的梯子长10米，底端离墙角的距离为6米，则梯子顶端离地面的距离为（   ）米 A．8 B．7 C．6 D．5 6．如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A到墙根的距离为7米，云梯顶端到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台，连接，现将云梯的底端A向外移动到处，则的长将（   ） A．小于12.5米 B．大于12.5米 C．等于12.5米 D．大于等于12.5米 7．如图，一架长13米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙12米． (1)此时梯子顶端离地面多少米？ (2)若梯子顶端上移2米，那么梯子底端将向右滑动多少米？ 8．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 题型三 用勾股定理解决旗杆高度问题 9．为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 10．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅8米处（米），升起云梯到火灾窗口．已知云梯的长为17米，云梯底部距地面的高米，则发生火灾的住户窗口距离地面的高为（    ） A．19.5米 B．17.5米 C．15米 D．16.5米 11．如图，小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆的高度，他发现绳子刚好比旗杆长1米，若把绳子往外拉直，当绳子的另一端和地面接触时，绳子与旗杆底端的距离恰好为，求旗杆的高度． 12．某“项目学习实验”小组开展了测量本校旗杆高度的项目主题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量数据如下表（不完整）： 项目主题 测量旗杆的高度 测量步骤 如图，线段AB表示学校旗杆． 步骤一：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，用皮尺测量多出的这段绳子的长度； 步骤二：用手握住绳梢在地面移动，并逐步远离旗杆底部，直到绳子拉直到不能再移动时为止，用皮尺测量此时拉绳子的手到地面的距离（CD的长度）； 步骤三：用皮尺测量点C与旗杆之间的距离（CE的长度） 测量数据 绳子垂到地面，比旗杆多出一段的长度 CD的长度 CE的长度 2m 1m 9m … … 请你帮助该小组根据表中的测量数据，求出学校旗杆AB高度． 题型四 用勾股定理解决小鸟飞行问题 13．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高2米，两树相距15米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（   ）米． A．17 B．15 C．10 D．8 14．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 15．如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 16．在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 题型五 用勾股定理解决大树折断前高度问题 17．《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其大意是：如图，一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 18．如图，一棵大树在离地面，两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 19．如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 20．如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 题型六 用勾股定理解决杯中筷子问题 21．如图：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出，吸管长（    ）    A． B． C． D． 22．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 23．印度数学家什迦罗（1141年～1225年）曾提出过“荷花问题”： “平平湖水清可鉴，面上一尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位五尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 请用学过的数学知识解答这个问题． 24．如图，一个直径为（即）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外（即），当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯壁D，求筷子的长度．    题型七 用勾股定理解决地毯长度问题 25．如图，已知楼梯长，高，现计划在楼梯的表面铺地毯，则地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 26．如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（  ）    A．65 B．85 C．90 D．150 27．某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 28．如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．      题型八 用勾股定理解决最短路径问题 29．如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 30．如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（   ）． A． B． C．3 D．9 31．如图是一个长为，宽为，高为的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎．在点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离应为（    ） A． B． C． D． 32．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺． 题型九 用勾股定理解决选址问题 33．A、B、C分别表示三个村庄，米，米，米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（  ） A．AB的中点 B．BC的中点 C．AC的中点 D．的平分线与AB的交点 34．如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（　　）km． A．5 B．10 C．15 D．25 35．如图，某学校（点）到公路（直线）的距离为300米，到公交站（点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（点），使之到学校及到车站的距离相等，求商店与车站之间的距离． 36．如图甲，笔直的公路上，两点相距20，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产品收购站． (1)若规划，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？ (2)若规划，两村到收购站的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站的位置，计算得到距离的和最短值为 ． 题型十 用勾股定理解决其他问题 37．某校预建如图1所示自行车棚，钢架已完成，现需要棚顶覆盖铁皮，图2是自行车棚顶的示意图．已知，棚宽米，棚高米，棚长米．求一个车棚顶需要的铁皮面积．（车棚顶铁皮褶皱忽略不计，车棚最顶端梁脊不用铁皮） 38．有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 39．如图是一台手机支架的示意图．，可分别绕点A，B转动，测得，，若，，垂足分别为点B，E，，求点D到的距离． 40．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． (1)请求出的长度； (2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． ． 题型一 用勾股定理解决航海问题 41．海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（   ） A．16海里小时 B．20海里小时 C．32海里小时 D．34海里小时 42．如图，一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛80海里的处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为（    ）海里/小时 A． B． C．40 D．20 43．如图，南北向为我国的领海线，即以西为我国领海，以东为公海上午时分，我国反走私艇发现正东方有一走私艇以每小时海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇密切注意反走私艇通知反走私艇：和两艇的距离是海里，两艇的距离是海里反走私艇测得距离艇是海里，若走私艇的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？ 44．禁渔期的规定对渔业资源的保护起了良好作用．如图，在一次禁渔期间，渔政部门发现一艘渔船正在违规捕鱼，于是派出甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的、两地前去劝阻，后同时到达处．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西． (1)求甲巡逻艇的航行方向； (2)成功劝阻后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？ 45．如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？ 46．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米． (1)出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 【 题型二 用勾股定理解决台风影响问题 47．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 48．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（　　） A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒． 49．如图，在A地往北的B处有一栋民房，往东的C处有一变电设施，在的中点D处有一古建筑，因施工需要必须在A处进行一次爆破，为使民房、变电设施、古建筑都不遭破坏，问爆破影响的半径应控制在什么范围之内？ 题型三 用勾股定理解决超速问题 50．滨海西大道的限速为（已知）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为，问：这辆小汽车超速了吗？ 51．行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 52．小明和同桌小聪在课后自主复习时，对一道思考题进行了探索．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时点到墙底端的距离为．如果梯子的顶端沿墙下滑，那么点将向外移动多少米． (1)请你将小明对思考题的解答补充完整： 解：设点将向外移动，即． 则，． 在中，，，可得方程 ， 解方程，得 ， 答：点将向外移动 (2)解完思考题后，小聪提出了下面两个问题： ①在思考题中，将“下滑”改为“下滑”，那么该题的答案会是吗？为什么？ ②在思考题中，梯子的顶端从点处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？为什么？ 请你解答小聪提出的这两个问题． 53．综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 54．综合与实践： 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过去某超市实地考察调研，发现超市购物车的结构蕴含着许多数学知识，并对购物车的支架等进行测量，如图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图．测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行． 请按要求完成下列任务： (1)判断支架与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，作图提示：过点作交的延长线于，延长交于，请按作图提示添加辅助线，若的长度为，，求购物车把手到的距离．（结果精确到1cm，，） 55．（1）【阅读理解】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 ； A．     B．       C．       D． （2）【实践操作】如图1，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，长为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点表示的数是 ； （3）【延伸应用】如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽尺，求竹竿长． 56．综合与实践 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． (1)把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理． (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； (3)在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． (4)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.3勾股定理（勾股定理的应用） （10大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 用勾股定理解决河宽问题 题型二 用勾股定理解决梯子滑动问题 题型三 用勾股定理解决旗杆高度问题 题型四 用勾股定理解决小鸟飞行问题 题型五 用勾股定理解决大树折断前高度问题 题型六 用勾股定理解决杯中筷子问题 题型七 用勾股定理解决地毯长度问题 题型八 用勾股定理解决最短路径问题 题型九 用勾股定理解决选址问题 题型十 用勾股定理解决其他问题 能力提升题 题型一 用勾股定理解决航海问题 题型二 用勾股定理解决台风影响问题 题型三 用勾股定理解决超速问题 基础达标练 题型一 用勾股定理解决河宽问题 1．如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度． 【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得：． ∴该河流的宽度为． 故选：C． 2．山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（　　） A．7km B．6km C．5km D．2km 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，由勾股定理求出，因此，即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴从A村到B村比原来减少的路程为． 故选：B． 3．如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时，梯子底端与左侧书柜的距离为1.5米，顶端与地面的距离为2米．在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上时，顶端与地面的距离为2.4米，则两个书柜之间的距离为（   ） A．1.5米 B．2.2米 C．2.4米 D．2.5米 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理；在中，利用勾股定理，求出，在中，利用勾股定理求出，再求和即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴在中，， 即， ∵， ∴在中， ∴， ∴， ∴， ∴两个书柜之间的距离为2.2米； 故选：B． 4．四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． (1)求支渠的长度．（结果保留根号） (2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 【答案】(1) (2)万元 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出，则，再由勾股定理求出的长即可； （2）由的面积求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意可知：， ， ，， ， ， ， 答：公路的长度为； （2）， ， ， ， ∴修建林荫小道需要的费用为万元． 题型二 用勾股定理解决梯子滑动问题 5．如图，一架靠墙摆放的梯子长10米，底端离墙角的距离为6米，则梯子顶端离地面的距离为（   ）米 A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，梯子顶端离地面的距离为米， 故选：A． 6．如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A到墙根的距离为7米，云梯顶端到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台，连接，现将云梯的底端A向外移动到处，则的长将（   ） A．小于12.5米 B．大于12.5米 C．等于12.5米 D．大于等于12.5米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，直角三角形斜边中线性质，是解题的关键． 先利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，由M是的中点，所以中，． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵M是的中点， ∵， M是的中点， ∴中，． 故选：C． 7．如图，一架长13米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙12米． (1)此时梯子顶端离地面多少米？ (2)若梯子顶端上移2米，那么梯子底端将向右滑动多少米？ 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形． （1）根据勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出即可． 【详解】（1） 由题意得，米，米， 在中，（米）， 故此时梯子顶端离地面5米； （2）由题意得，（米），米， 在中，（米）， 则（米）， 故梯子底端将向右滑动米． 8．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可； 【详解】（1）解：根据题意得：米，米，米， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴风筝的垂直高度为米； （2）如图，在上取点，使米，连接， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线米． 题型三 用勾股定理解决旗杆高度问题 9．为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵ ∴， 在中，米，米。 ∴， 米 ， 故选：A． 10．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅8米处（米），升起云梯到火灾窗口．已知云梯的长为17米，云梯底部距地面的高米，则发生火灾的住户窗口距离地面的高为（    ） A．19.5米 B．17.5米 C．15米 D．16.5米 【答案】D 【分析】本题考查利用勾股定理解实际问题，在中，由勾股定理求出，由求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，结合题意，米，米，米， 在中，，则由勾股定理可得（米）， 米， 故选：D． 11．如图，小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆的高度，他发现绳子刚好比旗杆长1米，若把绳子往外拉直，当绳子的另一端和地面接触时，绳子与旗杆底端的距离恰好为，求旗杆的高度． 【答案】12米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，再利用勾股定理建立方程即可． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米， 在中，，即， 解得． 答：旗杆的高度为12米． 12．某“项目学习实验”小组开展了测量本校旗杆高度的项目主题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量数据如下表（不完整）： 项目主题 测量旗杆的高度 测量步骤 如图，线段AB表示学校旗杆． 步骤一：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，用皮尺测量多出的这段绳子的长度； 步骤二：用手握住绳梢在地面移动，并逐步远离旗杆底部，直到绳子拉直到不能再移动时为止，用皮尺测量此时拉绳子的手到地面的距离（CD的长度）； 步骤三：用皮尺测量点C与旗杆之间的距离（CE的长度） 测量数据 绳子垂到地面，比旗杆多出一段的长度 CD的长度 CE的长度 2m 1m 9m … … 请你帮助该小组根据表中的测量数据，求出学校旗杆AB高度． 【答案】学校旗杆高度为13m 【分析】本题主要考查了勾股定理测旗杆高，熟练掌握勾股定理，测量方法步骤，增大测量结果的精确度是解题的关键． 【详解】解：设，则． 在中，， 由勾股定理，得， 所以，解得． 故学校旗杆高度为． 题型四 用勾股定理解决小鸟飞行问题 13．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高2米，两树相距15米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（   ）米． A．17 B．15 C．10 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：两棵树的高度差为（米，间距为15米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米． 故选：A． 14．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．过点作于点，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点． ， 四边形是长方形， 米，米， 米， （米， （米． 故选：B． 15．如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 16．在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． （1）过点A作于点E，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点A作于点E，则，，， 在中，， ∴； （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升，如图所示，延长至点F，连接，则， ∴， 在中，， ∵，余线仅剩， ∴， ∴不能上升，即不能成功． 题型五 用勾股定理解决大树折断前高度问题 17．《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其大意是：如图，一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．可根据题意画出示意图，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则尺，尺， 在中，由得． 故选：A． 18．如图，一棵大树在离地面，两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作于点O，首先由题意得：，，然后根据，得到，最后利用勾股定理得的长度即可． 【详解】解：如图，作于点O， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴大树的高度为， 故选：D． 19．如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 【答案】(1)木杆折断之前的高度是 (2)的长是 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理列出直角三角形的三边关系，即可求出的长； （2）根据（1）的结论结合勾股定理列式求解． 【详解】（1）解：在中，，，， 根据勾股定理：，， 答：木杆折断之前的高度是． （2）解：设的长为，则， 在中，根据勾股定理： ，解得：． 的长是． 20．如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【答案】树枝砸不到小车 【分析】本题考查勾股定理．大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车． 【详解】如下图所示， ， 为直角三角形， 在中，，， ， ，， 树枝砸不到小车． 题型六 用勾股定理解决杯中筷子问题 21．如图：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出，吸管长（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱体的性质，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据圆柱体的性质，结合勾股定理解答即可． 【详解】解：根据题意，得圆柱底面半径为，    故底面直径为，高为， 则， 故圆柱内部吸管长， 又露出的部分至少为， 故吸管长． 故选：A． 22．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为勾股定理问题成为解题的关键． 如图：设芦苇的长度是尺，即，再表示出水深，然后根据勾股定理建立方程即可解答． 【详解】解：依题意画出图形： 如图：设芦苇的长度是尺，即，则水深尺， ∵尺， ∴尺， 在中，， ∴． 故选B． 23．印度数学家什迦罗（1141年～1225年）曾提出过“荷花问题”： “平平湖水清可鉴，面上一尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位五尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 请用学过的数学知识解答这个问题． 【答案】尺 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 利用未知数表示出三角形的各边，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图进行标注： 由题意可得：尺， 设尺，则（尺）， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴（尺）， ∴湖水深12尺． 24．如图，一个直径为（即）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外（即），当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯壁D，求筷子的长度．    【答案】 【分析】设杯子的高度是，则筷子的高度为，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到答案，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 【详解】解：设杯子的高度是，则筷子的高度为，    ∵杯子的直径为， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 解得， ∴筷子． 答：筷子的长度为． 题型七 用勾股定理解决地毯长度问题 25．如图，已知楼梯长，高，现计划在楼梯的表面铺地毯，则地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的基本应用，能够正确计算是解题关键． 先通过勾股定理算出楼梯的水平宽度，再通过“地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和”即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 地毯的长度至少是． 故选：D． 26．如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（  ）    A．65 B．85 C．90 D．150 【答案】B 【分析】勾股定理求出，平移的性质推出防滑毯的长为，利用面积公式进行求解即可． 【详解】解： 由图可知：， ∵米，米， ∴米， 由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度（米），铅直的防滑毯的长度（米）， ∴至少需防滑毯的长为：（米）， ∵防滑毯宽为5米 ∴至少需防滑毯的面积为：（平方米）． 故选：． 【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和． 27．某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 【答案】1020 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【详解】解：由勾股定理得， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要（元）． 故答案为：1020． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 28．如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．      【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先利用勾股定理求出每一级石阶的斜边长，再乘以200即可求出护栏的长度． 【详解】解：根据勾股定理，每一级石阶的斜边长为， ． 答：护栏的长度为． 题型八 用勾股定理解决最短路径问题 29．如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力，将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答，解题的关键是能将侧面展开成长方形，从而用勾股定理求解． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的边长， ∴长为米；宽为米． 于是最短路径为：米． 故选：B．    30．如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（   ）． A． B． C．3 D．9 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理中最短路径问题，解题的关键是理解圆柱展开图，结合两点间线段最短得到最短线段．将圆柱展开，根据图形得到A，C两点的位置结合两点间距离公式及勾股定理直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，圆柱展开图如图所示，根据两点间线段最短，连接，即为最短距离， ∵圆柱体的底面圆周长为，高为， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 故选：A． 31．如图是一个长为，宽为，高为的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎．在点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用．将点A和点B所在的面展开，则为矩形，连接，分类探讨壁虎爬到蚊子处的距离，找到最短距离即可． 【详解】解：如图， ①将正面和右面展开，过点B向底面作垂线，垂足为点C，则为直角三角形， ，， ， 故壁虎爬到蚊子处的最短距离为． ②将正面和上面展开，则A到B的水平距离为6，垂直距离为7， 此时的最短距离为， ， 故选：A． 32．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺． 【答案】25尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先将葛藤缠绕的状态展开（见解析），再根据题意可得尺，尺，，然后利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】解：将葛藤缠绕的状态展开如图所示： 则一条直角边（即枯木的高）尺，另一条直角边（尺）． 由勾股定理，得， 所以， 所以尺（负值已舍）． 答：葛藤的最短长度为25尺． 题型九 用勾股定理解决选址问题 33．A、B、C分别表示三个村庄，米，米，米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（  ） A．AB的中点 B．BC的中点 C．AC的中点 D．的平分线与AB的交点 【答案】A 【分析】先计算AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000，可得BC2+AC2=AB2，那么△ABC是直角三角形，而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而可确定P点的位置． 【详解】解：如图 ∵AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000 ∴BC2+AC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴活动中心P应在斜边AB的中点． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ABC是直角三角形． 34．如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（　　）km． A．5 B．10 C．15 D．25 【答案】C 【分析】根据题意设出AE的长为x，再由勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设AE＝x，则BE＝25﹣x， 由勾股定理得： 在Rt△ADE中， DE2＝AD2+AE2＝102+x2， 在Rt△BCE中， CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2， 由题意可知：DE＝CE， 所以：102+x2＝152+（25﹣x）2， 解得：x＝15km． 所以，E应建在距A点15km处． 故选：C． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 35．如图，某学校（点）到公路（直线）的距离为300米，到公交站（点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（点），使之到学校及到车站的距离相等，求商店与车站之间的距离． 【答案】米 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，过点作于点，如图所示，在中，由勾股定理求出米，设米，则米，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案．根据题意，构造直角三角形，运用勾股定理求解是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 在中，，，，则由勾股定理可得米， 设米，则米， 在中，，，，，则由勾股定理可得，即， ，解得， 则商店与车站之间的距离为米． 36．如图甲，笔直的公路上，两点相距20，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产品收购站． (1)若规划，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？ (2)若规划，两村到收购站的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站的位置，计算得到距离的和最短值为 ． 【答案】(1) (2)图见解析，25 【分析】本题考查了作图—应用设计作图、勾股定理、轴对称—最短路线问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． （1）设，则，在与中，由勾股定理结合得出方程，求出的值即可求解； （2）作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求，长即为距离的和最短值，过点作交的延长线于点，在中由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：（1）设，则， 在与中，由勾股定理得， ，， ∵， ∴， ∴， 解得， 即收购站应建在离点处； （2）如图，作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求，长即为距离的和最短值， 过点作交的延长线于点， 则． 故答案为：25． 题型十 用勾股定理解决其他问题 37．某校预建如图1所示自行车棚，钢架已完成，现需要棚顶覆盖铁皮，图2是自行车棚顶的示意图．已知，棚宽米，棚高米，棚长米．求一个车棚顶需要的铁皮面积．（车棚顶铁皮褶皱忽略不计，车棚最顶端梁脊不用铁皮） 【答案】平方米 【分析】本题考查了勾股定理的应用和等腰三角形的性质，掌握以上知识是解决问题的关键． 本题根据，，棚宽米，可得米，根据勾股定理求得米，然后根据长方形的面积公式即可求解； 【详解】解：∵，，棚宽米， （米）． ∴（米）， 一个车棚顶需要的铁皮面积为（平方米）． 答：一个车棚顶需要的铁皮面积为平方米； 38．有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】5米 【分析】本题主要考查勾股定理，根据题意，四边形是矩形，设，则，，在中，，，代入计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中，，， ∴， 解得， 答：绳索的长度米． 39．如图是一台手机支架的示意图．，可分别绕点A，B转动，测得，，若，，垂足分别为点B，E，，求点D到的距离． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，先由得，结合勾股定理得，又因为得，则，整理得，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：连接． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴点D到的距离为 40．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． (1)请求出的长度； (2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】(1)的长度为 (2)该车符合安全标准 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，理解题意是关键． （1）在中，由勾股定理求得； （2）由勾股定理的逆定理判断是否是直角三角形即可； 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：； 答：的长度为； （2）解：， 即， ∴是直角三角形，且， 即； 答：该车符合安全标准． ． 题型一 用勾股定理解决航海问题 41．海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（   ） A．16海里小时 B．20海里小时 C．32海里小时 D．34海里小时 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行线的性质，正确理解题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据平行线的性质求得，并推得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，由题意知，，， ， ， ， 根据题意，（海里），（海里）， （海里）， 我军巡逻舰队的航行速度为（海里小时）． 故选：D． 42．如图，一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛80海里的处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为（    ）海里/小时 A． B． C．40 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，掌握直角三角形的性质，等角对等边是解题的关键． 过点A作于点D，则，根据海里，得，在中，根据勾股定理得海里，根据，得，根据海里，得海里，可得海里，即可得行驶速度． 【详解】解：如图所示，过点A作交于点D， ∴， ∵海里， ∴在中，海里， （海里）， ∵，， ∴， ∵， ∴海里， ∴海里， 则该船行驶的速度为：（海里/小时）． 故选：B 43．如图，南北向为我国的领海线，即以西为我国领海，以东为公海上午时分，我国反走私艇发现正东方有一走私艇以每小时海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇密切注意反走私艇通知反走私艇：和两艇的距离是海里，两艇的距离是海里反走私艇测得距离艇是海里，若走私艇的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？ 【答案】走私艇最早在时分进入我国领海 【分析】先通过三边关系判断三角形形状，再利用三角形面积公式和勾股定理求出走私艇到领海线的最短距离，结合速度算出时间，进而确定最早进入我国领海的时间．本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握从实际问题中整理出几何图形并运用勾股定理相关知识求解是解题的关键． 【详解】解：设与相交于，则， ， 为直角三角形，且， ∵， ∴走私艇进入我国领海的最短距离是， 由，得海里， 由，得海里， （分）， 时分分时分． 答：走私艇最早在时分进入我国领海． 44．禁渔期的规定对渔业资源的保护起了良好作用．如图，在一次禁渔期间，渔政部门发现一艘渔船正在违规捕鱼，于是派出甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的、两地前去劝阻，后同时到达处．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西． (1)求甲巡逻艇的航行方向； (2)成功劝阻后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？ 【答案】(1)甲巡逻艇的航行方向为北偏东 (2)6.5海里 【分析】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形是解题的关键． （1）先用路程等于速度乘以时间计算出，的长，利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解； （2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， （海里），（海里）， （海里）， ， 是直角三角形， ， ， 甲的航向为北偏东； （2）解：甲巡逻船航行3分钟的路程为：（海里）， 乙巡逻船航行3分钟的路程为：（海里）， 3分钟后，甲乙两巡逻船相距为：（海里）． 45．如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】(1) (2)轮船继续向正东方向航行是安全的 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等角对等边，30度角的性质，勾股定理的应用． （1）作于H，可知，根据平行线的性质得到，，即可求出的度数； （2）根据等角对等边得到海里，根据30度角的性质结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：作于H， 则， ∴，， ∴； （2）∵一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处， ∴海里， ∵， ∴海里， ∵，， ∴海里， ∴， ∴轮船继续向正东方向航行是安全的． 46．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米． (1)出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)不会 (2)两赛车距点A的距离之和为35米时，遥控信号将会相互干扰，见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰； （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 题型二 用勾股定理解决台风影响问题 47．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 时， 即A市经过个小时开始受到台风影响． 故选：D 48．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（　　） A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒． 【答案】B 【分析】过点A作AC⊥ON，利用锐角三角函数的定义求出AC的长与200m相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米， ∵∠QON=30°，OA=240米， ∴AC=120米， 当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米， ∵AB=200米，AC=120米， ∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米， ∵72千米/小时=20米/秒， ∴影响时间应是：320÷20=16秒． 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理、点与圆的位置关系，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，200米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对A处产生噪音的时间，解题关键是根据勾股定理求BD的长.． 49．如图，在A地往北的B处有一栋民房，往东的C处有一变电设施，在的中点D处有一古建筑，因施工需要必须在A处进行一次爆破，为使民房、变电设施、古建筑都不遭破坏，问爆破影响的半径应控制在什么范围之内？ 【答案】爆破影响的半径应小于 【分析】此题考查了勾股定理的应用、直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出，由直角三角形斜边中线的性质得到．比较后即可得到结论． 【详解】解：由题意，，， ∴在中，由勾股定理，得． ∵D是斜边的中点， ∴． ∴． ∴爆破影响的半径应小于． 题型三 用勾股定理解决超速问题 50．滨海西大道的限速为（已知）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为，问：这辆小汽车超速了吗？ 【答案】没有超速，理由见详解 【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 利用勾股定理求出然后求出速度进行比较即可． 【详解】解：根据题意得，由勾股定理得， ∴小车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车没有超速． 51．行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 【答案】未超速，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． 先求出，，则，可求出，继而求出．可得此车的速度为，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ， ． 此车的速度为． ，， 此车未超速． 52．小明和同桌小聪在课后自主复习时，对一道思考题进行了探索．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时点到墙底端的距离为．如果梯子的顶端沿墙下滑，那么点将向外移动多少米． (1)请你将小明对思考题的解答补充完整： 解：设点将向外移动，即． 则，． 在中，，，可得方程 ， 解方程，得 ， 答：点将向外移动 (2)解完思考题后，小聪提出了下面两个问题： ①在思考题中，将“下滑”改为“下滑”，那么该题的答案会是吗？为什么？ ②在思考题中，梯子的顶端从点处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？为什么？ 请你解答小聪提出的这两个问题． 【答案】(1)，0.8，（舍去），0.8 (2)①不会是，理由见解析；②有可能，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理正确列出方程是解题的关键． （1）仔细审题，根据已知的解答步骤可知的长度，只要将其代入中即可得到方程，求解即可解答问题，注意x的取值范围； （2）①只需将（1）中的长度变为0.9米，列方程求解即可解答；②假设有可能相等，设这个相等的距离为x，根据勾股定理列出关于x的方程，然后进行求解，看得到的解是否有意义即可完成解答． 【详解】（1）解：设点将向外移动，即． 则，． 在中，，， 可得方程， 解方程，得，（舍去） 答：点将向外移动 故答案为：，0.8，（舍去），0.8； （2）解：①不会是0.9米．理由如下： 设点B将向外移动x米，即． 则，． 在中，，， 可得方程， 解方程，得，（舍去） 点将向外移动，不是； ②设下滑的距离与向外移动的距离均为x米， 则，， ∵米，米，米，， ∴， 解得或（舍去）， 故当梯子的顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米， 即梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等． 53．综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)A，C (2)建造绿化地的费用为11300元 (3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为700元． 54．综合与实践： 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过去某超市实地考察调研，发现超市购物车的结构蕴含着许多数学知识，并对购物车的支架等进行测量，如图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图．测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行． 请按要求完成下列任务： (1)判断支架与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，作图提示：过点作交的延长线于，延长交于，请按作图提示添加辅助线，若的长度为，，求购物车把手到的距离．（结果精确到1cm，，） 【答案】(1)，理由见解析 (2)购物车把手到的距离为． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，直角三角形的特征等； （1）计算得出，由勾股定理逆定理可判定为直角三角形，即可求解； （2）过作交的延长线于，延长交于，由直角三角形的特征得 ，由勾股定理得，由三角形面积得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， 为直角三角形， ， ； （2）解：过作交的延长线于，延长交于， ， ，， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故购物车把手到的距离为． 55．（1）【阅读理解】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 ； A．     B．       C．       D． （2）【实践操作】如图1，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，长为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点表示的数是 ； （3）【延伸应用】如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽尺，求竹竿长． 【答案】（1）C；（2）；（3）竹竿长尺 【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用、实数与数轴，理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）观察图形，根据各个图形面积之间的和差关系，列出等式整理，逐个判断即可； （2）根据勾股定理求得，根据交点在数轴负半轴，得出答案即可； （3）设竹竿长尺，根据题意，则尺，门高尺，门宽尺，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵A图形中，四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ∴， 整理得：，能证明勾股定理； ∵B图形中，四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ∴， 整理得：，能证明勾股定理； ∵C图形中，大正方形的面积两个小正方形的面积两个长方形的面积， ∴，不能证明勾股定理： ∵D图形中，两个小直角三角形的面积大直角三角形的面积整个梯形的面积， ∴， 整理得：，能证明勾股定理； 综上所述，不能证明勾股定理的是C， 故答案为：C； （2）∵由题意得：，，， 在中，， ∴， ∵交点在数轴负半轴， ∴点表示的数为， 故答案为：； （3）设竹竿长尺，则尺，门高尺，门宽尺， 在中， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 答：竹竿长尺． 56．综合与实践 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． (1)把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理． (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； (3)在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． (4)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)千米 (4) 【分析】（1）根据可得四边形为直角梯形，则，根据，可得，则，由，可得，，进而可得，再根据可得，据此即可得出答案； （2）连接，过点作于点，根据，可得四边形是矩形，进而可得千米，千米，于是可得千米，然后利用勾股定理即可求得、两个村庄之间的距离； （3）由题意可知，点在的垂直平分线上，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；设千米，则千米，在和中，分别利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可求出的距离； （4）根据轴对称—最短路线的求法即可求出：先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则就是代数式的最小值；然后利用轴对称的性质、矩形的判定与性质及勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：依题意得：，，，， ， ， 四边形为直角梯形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理，得：， 故答案为：； （2）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （3）解：由题意可知，点在的垂直平分线上， 如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：， 即：千米； （4）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 【点睛】本题是四边形—三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用（包括：选址使到两地距离相等、求最短路径等），轴对称—最短路线问题，线段的垂直平分线，矩形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，这是解本题的关键，而构造出直角三角形则是解本题的难点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $