广东深圳2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考测试

广东深圳2026-2027学年九年级数学第一次月考测试 （2027中考新题型结构） 时间：90分钟 分值：100分 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列说法不正确的是（    ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线相互垂直的四边形是菱形 C．菱形的对角线平分一组对角 D．矩形的对角线相互平分 3．（本题3分）如图，在矩形中，若，则（     ） A．10 B．8 C．6 D．12 4．（本题3分）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，在中，，是斜边的中点，把沿着折叠，点的对应点为点，连接，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，延长正方形的边至点E，使得．连结交边于点F，则的大小是(     ) A．112.5度 B．120度 C．115度 D．135度 7．（本题3分）如图，正方形和正方形中，D在上，，，H是的中点，则长为（     ）． A． B．2.5 C． D．2 8．（本题3分）设、是方程的两个实数根，实数、满足：，，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共15分） 9．（本题3分）如图，在中，点是斜边的中点，，则________． 10．（本题3分）如图，在正方形中，点是上一点，过点作于点，于点，连结，若，则的最小值为________． 11．（本题3分）设、是方程的两个实数根，则________． 12．（本题3分）某制药厂在九月末进行统计发现：该月已生产万箱抗病毒药物，根据市场调研，计划接下来连续两个月加大投入提高生产量，设九月份到十一月份平均每月增长的百分率为，预计十一月份产量比九月份新增万箱．根据以上信息可以列出的正确的方程为_______． 13．（本题3分）如图，在菱形中，，，点是对角线上的一个动点（不与，两点重合），过点作分别交，于点，．将沿折叠，点落在点处，当是等腰三角形时，的长为____________． 三、解答题（共61分） 14．（本题6分）用适当的方法解方程． (1) (2) 15．（本题7分）如图，点E，F分别是矩形的和边上的点，且．求证：． 16．（本题8分）如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 17．（本题8分）已知关于x的一元二次方程（m为实数且）． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程有两个异号的整数根，求整数m的值． 18．（本题9分）如图，在中，，相交于O，经过点的直线分别交、于点E、F，连接、，且平分． (1)求证：四边形为菱形； (2)若为的中点，，，求的长． 19．（本题11分）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马月份销量为万件，月份销量已增至万件．求该电商平台“哭哭马”月到月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为元/件时，日销量为件．售价每降低元，日销量可增加件．借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到元，则每件应降价多少元？ 20．（本题12分）在正方形中，点在对角线上，连接． 【问题提出】 (1)如图①，连接，若，则的长为__________； 【问题探究】 (2)如图②，过点作，交边于点，试探究线段，与之间存在的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，四边形是正方形观景平台，对角线为平台的检修通道，检修通道上有一点，从点安装护栏，，使得，，护栏端点，分别落在平台边缘，上，连接，并加装护栏，为统计管材用料，试探究护栏与之间存在的数量关系． 试卷第4页（共4页） 试卷第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 广东深圳2026-2027学年九年级数学第一次月考测试 （2027中考新题型结构） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A D A A C D 1．D 【分析】只含有一个未知数，未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程，据此逐一判断，即可得出答案． 【详解】解：A．方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意， B．方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意， C．方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意， D．方程符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故该选项符合题意． 2．B 【详解】解：A．对角线相等的平行四边形是矩形，说法正确； B．对角线相互垂直且平分的四边形是菱形，仅对角线垂直的四边形不一定是菱形，说法错误； C．菱形的对角线平分一组对角，说法正确； D．矩形的对角线相互平分，说法正确． 3．A 【详解】解：∵在矩形中，， ∴． 4．D 【分析】一元二次方程是指只含一个未知数、且未知数最高次数为2的整式方程，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.方程中，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，本选项不符合题意； B.方程中，含分式，不是整式方程，本选项不符合题意； C.方程中，含有x、y两个未知数，不是一元二次方程，本选项不符合题意； D.方程，是一元二次方程，本选项符合题意． 5．A 【分析】根据直角三角形的性质、折叠的性质，垂直的含义即可解答． 【详解】解：∵在中，，是斜边的中点， ∴， 根据折叠的性质得：， ∴， ∴， 故A正确； ∵由折叠可得：，而， ∴无法证明， 故B错误； 根据三角形三边关系可得：， 故C错误； 无法证明， 故D错误． 6．A 【分析】根据正方形的性质求得，从而根据三角形外角的性质得到，根据等边对等角求出，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．C 【分析】连接、，结合正方形性质证得为直角三角形，利用勾股定理，以及直角三角形斜边中线定理求解，即可解题． 【详解】解：连接、. ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，， ∵点在上，， ∵，， 则，， 在中，， ∵是的中点， ∴． 8．D 【分析】先由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到两根之和、两根之积，构造恒等式，代入已知条件整体代换求值即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ，，， ． 9． 【分析】根据直角三角形的斜边中线定理可得，，推出，即可求解． 【详解】解：在中，点是斜边的中点， ，， ， ． 10． 【分析】连接，证明四边形是矩形，得，根据“垂线段最短”可求出的最小值为，从而可得出的最小值． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵于点，于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 根据“垂线段最短”，当时，取得最小值，即取得最小值． 当时， ∵， ∴是斜边上的中线， ∴ ∴的最小值为． 11．21 【分析】首先根据根与系数的关系得到，，然后将原式利用完全平方公式变形后代入求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 12．或 【分析】已知九月份产量为万箱，平均月增长率为，经过两次增长得到十一月产量，新增产量万箱即十一月产量比九月多万箱，按增长率规律列方程即可． 【详解】解：∵九月份生产量为万箱，平均每月增长百分率为， ∴十月份生产量为万箱， ∴十一月份生产量为万箱， ∵到十一月份新增生产万箱，即十一月份生产量比九月份增加万箱， ∴可得方程整理得． 13． 或 【分析】分两种情形①，②，分别求解即可解决问题． 【详解】 解：在菱形中，连接交于点， 则, ∵， ∴， ∵， ∴ , ∴ , ∴， ①当时， ， ∵将沿折叠，点落在点处， ∴． ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ , ∴， 即 , ∴, ∴ , ∴， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查菱形的性质、翻折变换、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解． 14．(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， 解得，； （2）解：， ， ， 解得，． 15．见解析 【分析】根据“”证明即可求解． 【详解】证明：在矩形中， ，． 在和中， ， ∴， ∴． 16．(1) 证明：∵点为的中点，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形； (2)54 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和面积公式等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定，并灵活应用． （1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）直接利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∴菱形的面积为． 17．(1) 证明：依题意，得 ，，， ， ， 方程总有两个实数根； (2)或 【分析】本题考查的是根的判别式，公式法解一元二次方程． （1）求出的值，再判断出其符号即可； （2）利用公式法解一元二次方程，求出，，，再由方程的实数根都是整数，且异号，由m是整数求出m的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， 方程有两个异号的整数根，且m是整数． 或， 或． 18．(1)证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 平分， ， ， ， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由“”证，得，证出四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，可得．再证明四边形是平行四边形，进而可求出的长． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 19．(1) 该电商平台“哭哭马”月到月销量的月平均增长率为 (2) 每件应降价元 【分析】（1）根据月平均增长率的增长规律，结合月与月的销量列一元二次方程求解； （2）利用“日总利润单件利润日销售量”的等量关系列方程，结合尽快减少库存的条件选取符合题意的解． 【详解】（1）解： 设该电商平台“哭哭马”月到月销量的月平均增长率为， ∵月份销量为万件， ∴月份销量为万件， 依题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该电商平台“哭哭马”月到月销量的月平均增长率为． （2）解：设每件应降价元， ∵进价为元/件，原售价元/件，原日销量件，售价每降低元日销量增加件， ∴降价后单件利润为元，日销量为件， 依题意得：， 整理得， 解得，， ∵要尽快减少库存，需日销量尽可能大， ∴选择更大的降价幅度，即． 答：每件应降价元． 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正方形的性质，证明，再根据全等三角形的性质求解即可； （2）过点作于，作于，证明四边形是正方形，可得，，证明，可得，再根据等量代换即可得解； （3）过点作于，作于，连接，，证明是等腰直角三角形，得到，根据等腰三角形三线合一结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，得到，由（1）知；由（2）知，推出，，证明，即可得到． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于，作于， ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形是正方形， 点在对角线上， ∴平分， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，过点作于，作于，连接，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即点是的中点， ∴，即， ∴， 由（1）知，； 由（2）中可得， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即． 答案第12页（共12页） 答案第11页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $