12.1.2+定理与证明 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

华东师大版（新教材）数学八年级上册 第12章 全等三角形 12.1.2 定理与证明 22100 定义 命 题 对某一件事作出判断的语句叫做命题. 由条件和结论两部分组成，常写成 “如果……，那么……”的形式. 结构 分类 真命题：演绎推理证明 假命题：举反例 复习导入 22100 新知探究 基础定义 在数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据， 这样的真命题叫做定理。 定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据。 注意：定理是命题，命题不一定是定理，而且定理是真命题。 22100 典例分析 例1 . 下列语句中，属于定理的是（       ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 D 解析：A、在直线AB上取一点E，不是命题，故不是定理 B、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，命题是假命题，故不是定理 C、“内错角相等”缺少“两直线平行”，是假命题，故不是定理 D、同角的补角相等，是定理。 22100 我们已经学过线段、角、平行线等许多名词，我们需要用不同的语句来说明这些名词各自所包含的确切意义. 例如：我们用“在同一平面内不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义，这样的语句叫做这些名词的定义. 讨论：你能举出其他类似的例子吗? 定义、定理与证明 1 22100 知识点1 定义 1.下列语句中，是定义的是( ) D A.点到点的距离是 B.两点之间线段最短 C.直角都相等 D.有两条边相等的三角形是等腰三角形 返回 22100 6 合作学习 通过观察，先猜想结论，再验证： 1. 如图所示，一组直线 a、b、c、d 是否互 相平行？ 2.当n=0、1、2、3、4、5时，代数式n2-3n+7的值分别是 7，5，5，7，11，17，它们都是质数，那么，命题“对于自然数 n，代数式 n2-3n+7的值都是质数”是真命题吗？ 同学们可以讨论一下 22100 新知探究 通过实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理等，一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明 基础定义 思考 “证明三角形的内角和为180”．要求：已知和求证，并尝试证明． 22100 讨论：判断下列命题哪些是真命题? 哪些是假命题? (1) 内错角相等,两直线平行； (2) 如果两个角互补，那么它们是邻补角； (3) 如果 | a | = | b |，那么 a = b； (4) 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； (5) 两点确定一条直线. 真命题 假命题 假命题 真命题 真命题 22100 (4)(5)是公认的真命题. (4) 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； (5) 两点确定一条直线. 基本事实：我们将这些命题视为基本事实，它们是我们在继续学习过程中用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点. 思考：你能举例说出几个学过的基本事实吗? 22100 新知探究 例2 . 证明三角形的内角和为180°．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明． 已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：过点A作EF∥BC，如图， ∵EF∥BC ∴∠B=∠1，∠C=∠2 ∵∠1+∠BAC+∠2=180° ∴∠A+∠B+∠C=180° 1 2 E F 22100 1．下列语句中，是定义的是(　　) A．点A到点B的距离是3 cm B．两直线平行，同位角相等 C．直角都相等 D．有两边相等的三角形是等腰三角形 1星题 夯实四基 D 22100 2. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 1. 两点之间线段最短. 3. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 (简述为：同位角相等，两直线平行). 22100 知识点2 基本事实和定理 2.“等角的补角相等”是一个( ) B A.基本事实 B.定理 C.假命题 D.定义 返回 22100 14 3．小明用两块三角板拼接时发现，若∠1和∠2都是∠3的补角，则∠1＝∠2，这一结论属于(　　) A．定义 B．基本事实 C．定理 D．假命题 C 22100 4．下列说法中，错误的是________．(填序号) ①所有的定义都是命题；②所有的基本事实都是命题；③所有的定理都是命题；④所有的命题都是定理． ④ 22100 （1）一位同学在钻研数学题时发现： 2 + 1 = 3， 2×3 + 1 = 7， 2×3×5 + 1 = 31， 2×3×5×7 + 1 = 211， 于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数 2 开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定也是质数. 他的结论正确吗？ 试一试：计算一下 2×3×5×7×11 + 1 与2×3×5×7×11×13 + 1，你发现了什么？ 结果都是质数. 思考 22100 (2) 如图，一位同学在画图时发现：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部. 他的结论正确吗？ 不正确. 如钝角三角形. 22100 变式训练 命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 已知：如图，a⊥b，a⊥c，求证：b∥c 证明：∵a⊥b，∴∠1=90°， ∵a⊥c，∴∠2=90°， ∴∠1=∠2 ∴b∥c 22100 变式训练 求证：两个连续自然数（0除外）的积是偶数． 已知：n，n+1是两个连续的自然数，求证：n（n+1）是偶数 证明：当n是奇数时，n+1就是偶数 所以n（n+1）是偶数 当n是偶数时，n（n+1）是偶数 综上所述，n(n+1)是偶数。 即两个连续自然数的积是偶数。 22100 （3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n 边形的内角和等于(n - 2)×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？ 实际上，这是一个正确的结论. 22100 上面的几个例子说明了什么问题？ 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确. 证明：根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明. 探讨归纳 22100 典例分析 例3 补全下列推理过程： 如图，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2，试说明DG∥BA． 解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，（已知） ∴∠BFE=∠BDA=90°（垂线的定义） ∴EF∥AD（ ） ∴∠2=∠3（ ） ∵∠1=∠2（已知） ∴ （等量代换） ∴DG∥AB（ ） 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 ∠1=∠3 内错角相等，两直线平行 22100 变式训练 补全下列推理过程： 如图，已知AB∥CE，∠A=∠E，试说明：∠CGD=∠FHB 两直线平行，内错角相等 解：∵AB∥CE（已知） ∴∠A=∠ADC（ ） ∵∠A=∠E（已知） ∴∠E=∠ADC（ ） ∴AD∥EF（ ） ∴∠CGD=∠GHE( ) ∵∠FHB=∠GHE( ) ∴∠CGD=∠FHB 等量代换 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 对顶角相等 22100 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课你还有哪些疑惑？说一说． 22100 一级标题：黑体， 25 命题 真命题 假命题 基本事实 一般举一个反例即可 定理 基本事实是定理推导的起点，无需证明但被广泛接受为真. 定理是命题和基本事实的逻辑延伸，通过证明得到的真命题. 定义，命题，基本事实，定理之间的区别与联系： 定义是命题、基本事实和定理的基础，明确了它们的讨论范围. 定义 归纳总结 22100 谢谢大家聆听 22100 $