16.3 乘法公式重难点检测2026-2027学年人教版八年级数学上册

16.3 乘法公式 重难点检测2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列式子中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．如图可以解释的乘法公式是（    ） A． B． C． D． 3．下列选项与不一定相等的是（   ） A． B． C． D． 4．有最值是（   ） A．最小值 B．最大值 C．最大值 D．最小值 5．已知，，且，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 6．若是一个完全平方式，则k的值为（   ） A．4 B．24 C． D． 7．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 8．的个位数是（    ） A．6 B．8 C．4 D．2 9．关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（    ） ①当时，； ②当为关于x的三次三项式时，则； ③当多项式M与N的乘积中不含项时，则； ④； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 10．已知，则的值_______． 11．数学活动 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ． ， ． …… 请你写出一般的规律__________． 12．是一个完全平方式，则常数m的值为______． 13．___________． 14．数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得．则由图3可以解释的等式是_____． 三、解答题 15．计算： (1) (2) (3) 16．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座边长为米的雕像，则绿化的面积是多少平方米?并求出当，时的绿化面积． 17．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形， 把余下的部分剪拼成一个矩形． (1)通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以验证的等式是 ；（请选择正确的一个） A．  B． C．     D． (2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算 18．如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)图②中的大正方形的边长为_______；阴影部分的正方形的边长为_______； (2)请用两种方式表示图②中阴影部分的面积； (3)观察图②，、、这三个代数式之间有何数量关系？若，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B B D D A D A A D 1．【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式的形式为． 判断各选项是否符合的形式即可． 【详解】解：A．，不符合的形式； B．，符合的形式； C．，不符合的形式； D．，不符合的形式； 故选：B． 2．【答案】B 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【详解】解：图形的面积可表示为，也可以表示为， 即可以解释的乘法公式是． 3．【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，掌握完全平方公式是解题的关键．通过对每个选项进行变形，比较与的关系，逐项判断即可． 【详解】解：A、，相等，不符合题意； B、，相等，不符合题意； C、，相等，不符合题意； D、，与不一定相等，符合题意； 故选：D． 4．【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式的应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 根据完全平方公式把原式变形为，然后根据偶次幂的非负性求解即可． 【详解】解：， ， ， （当时取等号），（当，即时取等号）， 当且时，原式取最小值． 故选：． 5．【答案】A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．将两个方程相减，利用平方差公式并结合的条件，得到的值；再将两个方程相加，利用完全平方公式，代入的值求解即可． 【详解】解：∵, ， ∴， 即， ∵， ∴， 两边除以得：， 又∵， 而， ∴， 代入， 得， ∴， ∴． 故选：A． 6．【答案】D 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】根据完全平方公式的结构，先确定首项和末项对应的平方底数，再根据完全平方式的两种形式计算中间项系数即可. 【详解】解：∵ 完全平方公式为， 又∵，， ∴， ∴. 7．【答案】A 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式的图形推导，根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， ， 故选：A． 8．【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算、数字类规律探索、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 原式中的3变形为，反复利用平方差公式计算得到结果为，再求出2的幂的个位数的规律，即可解答． 【详解】解： … ， ∵，，，，，末尾是2，4，8，6四个一组循环， ， ∴的个位数是6， 即的个位数是6， 故选：A． 9．【答案】D 【知识点】多项式的项、项数或次数、整式的混合运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，整式的加减运算，多项式乘多项式中不含某一项的问题．将代入代数式求出的值，判断①，根据多项式的和为三次三项式，得到的常数项为0，求出的值，确定②，计算多项式乘多项式后，项的系数为，求出的值判断③，根据恒等式对应项的系数相等，求出的值，判断④．掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，；故①正确； ∵，为关于x的三次三项式，且a，b均为非零常数， ∴， ∴；故②正确； ∵ ， 又多项式M与N的乘积中不含项， ∴， ∴；故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；故④正确； 综上：正确的个数为4个； 故选D． 10．【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算 【分析】运用平方差公式，结合化简求值即可． 【详解】解：原式 ． 11．【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查数字变化规律的探究以及完全平方公式，关键是通过观察已知等式，提取共性特征，再用字母表示数推导一般规律．观察给出的等式可知，左边均为个位数字是5的两位数的平方，右边的结果可拆分为“”的形式．设该两位数的十位数字为(为正整数)，将这个两位数表示为，通过整式的乘方运算展开验证，即可得到通用的规律表达式． 【详解】解：设个位为5的两位数的十位数字为(为正整数)，则该两位数可表示为， ∵， ∴一般规律为． 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】根据完全平方式的特点进行求解即可. 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴. 13．【答案】 【知识点】整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了多项式乘法的几何意义、数形结合思想以及面积法的应用．解题的关键是通过 “整体面积法” 和 “分割求和法” 计算同一图形的面积，从而建立等式关系．先计算图 3 大长方形的整体面积，再将其分割为小正方形和小长方形并求面积和，最后根据面积相等得到对应的多项式乘法等式． 【详解】解：方法一：图 3 是一个大长方形，其长为，宽为， 因此整体面积为： 方法二：将图 3 分割为各小图形，面积分别为： 边长为 的正方形：2 个，面积和为 边长为 的正方形：1 个，面积和为 长为 、宽为 的长方形：3个，面积和为 总面积为： 两种方法计算的面积相等，因此图 3 可以解释的等式为 故答案为：． 15．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】单项式乘多项式的应用、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式进行展开，再合并同类项，即可作答． （2）运用完全平方公式进行计算，即可作答． （3）先整理原式，再运用完全平方公式，然后去括号，得即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： 16．【答案】绿化面积是平方米，当，时的绿化面积为 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积、整式的混合运算 【分析】此题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．阴影部分即绿化面积等于大长方形面积减去小正方形面积，化简得到最简结果；然后把，的值代入计算即可． 【详解】解：绿化面积为 ， ， 当，时，原式， 答：绿化面积是平方米，当，时的绿化面积为． 17．【答案】(1)B (2)①3；② 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了矩形的面积公式和平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键，（1）分别表示左图和右图中的阴影部分的面积，根据面积相等得出结论；（2）由（1）的规律，利用平方差公式，将整体代入即可求出答案． 【详解】（1）解：由题可得：左图中阴影部分的面积为：， 右图阴影部分的面积为：， ∴， 故选：B． （2）①解：∵， ∴， ∵， ∴， ②解： ． 18．【答案】(1)， (2)， (3) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、已知式子的值，求代数式的值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义与代数运算，以及非负数的性质，通过图形拼接理解代数公式是解答本题的关键． （1）结合长方形的长、宽与拼接后图形的边长关系，确定大正方形和阴影正方形的边长； （2）从 “阴影图形本身的形状” 和 “大图形与小图形的面积差” 两个角度，表示阴影部分的面积； （3）通过观察图形面积的数量关系，推导代数公式，再利用绝对值的非负性求出对应字母的值，代入公式计算结果． 【详解】（1）解：大正方形的边长，阴影部分的正方形的边长； （2）解：阴影部分的面积第一种直接用， 第二种可看作用大正方形的面积减去4个小长方形的面积为； （3）解：由（2）可得， ， 由题意可得，， 代入上式可得． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $