16.3乘法公式（分层作业，10大题型）数学新教材人教版八年级上册

分层作业 16.3 乘法公式 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 运用平方差公式进行运算 题型02 平方差公式与几何图形 题型03 运用完全平方公式进行运算 题型04 整式的混合运算 B组 能力进阶 题型01 利用乘法公式进行简算 题型02 利用乘法公式变形求值 题型03 根据完全平方式求字母的值 题型04 乘法公式与几何图形的应用 题型05 乘法公式的综合应用 C组 思维拔高 题型 利用乘法公式求最值 运用平方差公式进行运算题型01 1．（24-25七年级下·江苏江阴·期末）下列各式中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平方差公式， 根据平方差公式的结构特点，逐一分析选项是否符合两数和与两数差的乘积形式． 【详解】A．是完全平方公式，展开为，不符合平方差公式． B．中两因式均为减法但常数项不同，展开后为，不符合平方差公式． C．符合平方差公式，即，，结果为． D．可变形为，属于完全平方的相反数，不符合平方差公式． 故选：C． 2．（24-25下·山东济宁·期末）运用乘法公式计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的乘法运算，利用平方差公式计算即可求解，掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3．（24-25七年级上·上海·期中）计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式计算，掌握平方差公式是解题的关键． 直接利用平方差公式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（2025·陕西咸阳·模拟）先化简，再求值：，其中． 【答案】；5 【分析】本题考查了整式的化简求值，包括平方差公式以及单项式乘多项式的运算，正确化简并运算是解决本题的关键． 先使用平方差公式化简，再进行同类项的合并，将代回求值即可． 【详解】解：， ， ∵， 上式． 5．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法运算，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 先用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可解决问题． 【详解】解： 平方差公式与几何图形题型02 1．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）一位庄园主把一块边长为米的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一组对边增加10米，一组对边减少10米，继续租给你，租金不变，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的应用，列出长方形面积的代数式，根据平方差公式计算是解题的关键．长方形的长为米，长方形的宽为米，长方形的面积为，根据平方差公式计算再比较即可得出答案． 【详解】解：长方形的面积为， ∴长方形的面积比正方形的面积小了100平方米， 故选：A． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，根据长方形的面积和正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：由图知，第一个长方形的面积为， 第二个图形的面积为， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，正方形的边长分别为，点在边上，连接，若阴影部分的面积为，则正方形与正方形的差为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据阴影部分的面积和图形特征，可得，，即可得解． 【详解】解：由题意知， ， ，， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·河南南阳·期中）街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加3米，东西向减少3米．改造后得到一块长方形的草坪． (1)求改造后的长方形草坪的面积； (2)改造后的图形面积是否变化？若有变化，面积增大或减小了多少平方米？ 【答案】(1)平方米 (2)有变化，减小了9平方米 【分析】此题主要考查了列代数式，平方差公式，理解题意，熟练掌握长方形的面积公式和平方差公式是解决问题的关键．根据南北向增加3米，东西向减少3米可得改造后的长方体草坪的长为米，宽为米，然后根据长方形的面积公式可得出答案． 【详解】（1）解：原来的正方形的边长为 ，则新的长方形的边长为， ， 改造后的长方形草坪的面积平方米； （2）变化了， 原来正方形草坪面积为： 改造后的长方形草坪的面积平方米 改造后的长方形草坪面积比原来的正方形草坪面积减小了9平方米． 5．（25-26七年级下·广东河源·期中）【探究发现】 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母序号） A． B． C． 【知识迁移】 (2)运用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． 【拓展应用】 (3)如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为________． 【答案】(1)B (2)① 3；② (3)20 【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）①根据平方差公式将化为，再整体代入计算即可；②利用平方差公式将原式变形即可求解； （3）设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则，阴影部分面积可以表示为，进而即可求解． 【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 故上述操作能验证的等式是； （2）解：①， ， ， ； ② ； （3）解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 大正方形与小正方形的面积之差是40， ， 阴影部分的面积为． 运用完全平方公式进行运算题型03 1．（24-25八年级上·河南驻马店·月考）小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是（        ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．根据完全平方公式的结构特征解答即可． 【详解】解：，， 所以墨迹覆盖的这一项是， 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏徐州·月考） ________． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解答的关键．根据完全平方公式求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（2025·河北唐山·二模）化简：________． 【答案】1 【分析】本题主要考查乘法公式，原式根据完全平方公式和单项式乘以多项式运算法则将括号展开后再合并即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算与化简求值，先根据完全平方公式与单项式乘以多项式进行计算，然后将代入化简结果进行计算即可求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 5．（24-25七年级上·上海·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式及整式的加减，熟记公式是解答本题的关键．先利用完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 整式的混合运算题型04 1．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据整式的运算法则计算各选项即可． 【详解】解：A、，故A选项不符合题意； B、，故B选项不符合题意； C、，故C选项符合题意； D、，故D选项不符合题意． 故选：C ． 2．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则． 将原式变形为，再由平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 4．（25-26七年级下·四川达州·月考）先化简，再求值： ，其中 ． 【答案】，当时，原式 【分析】先利用平方差、完全平方公式，以及单项式乘多项式的运算法则进行计算，再去括号，最后合并同类项，再将所给的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 5．（24-25八年级上·重庆·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式． （1）先单项式乘单项式、单项式乘多项式计算，再合并整式中的同类项即可； （2）先根据完全平方公式和多项式乘多项式计算，再合并整式中的同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 利用乘法公式进行简算题型01 1．若用简便方法计算，可以转化为计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用完全平方公式，将1999构造成整千数即可简化计算，故，然后利用完全平方公式展开即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．计算：用简便方法计算． 解： ① ② ． (1)例题的求解过程中，第②步变形是利用_______（填乘法公式的名称）； (2)用简便方法计算：． (3)计算：． (4)【拓展】计算：． 【答案】(1)平方差公式； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握相关公式特征是解题的关键． （1）由题意观察例题的求解过程，利用乘法公式进行判断匹配即可； （2）将化为，进一步利用平方差公式求解； （3）先将式子变形为，进一步利用平方差公式和完全平方差公式进行计算； （4）给式子前乘以，进一步利用平方差公式进行运算即可． 【详解】（1）解：例题的求解过程中，第②步变形是利用平方差公式； 故答案为：平方差公式． （2） ． （3） ． （4） ． 3．（24-25七年级下·江苏·月考）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10201 (2)1 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式，将各式进行正确变形是解题的关键． （1）将原式变形后利用完全平方公式计算即可； （2）将原式变形后利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 4．用简便方法计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)996004； (2)； (3)1 【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是． （1）把原式变为，利用完全平方公式计算； （2）把原式变为，利用完全平方公式计算 （3）把原式变为，逆用完全平方公式计算； 【详解】（1） （2） （3） 5．利用乘法公式简便计算： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）原式变形后，利用完全平方公式计算即可得到结果； （）原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果； 本题考查了平方差公式及完全平方公式，掌握平方差公式及完全平方公式的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ， ； （2）原式 ， ． 利用乘法公式变形求值题型02 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）若，，则   ） A．11 B．12 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．把原式转化为，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选B． 2．（24-25七年级下·广西来宾·期末）如果，那么   ） A．16 B．14 C．196 D．194 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式． 通过两次平方运算即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴ 故选：D． 3．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知，那么的值是______． 【答案】14 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式是关键，根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：14 ． 4．已知，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，熟记完全平方公式是解决问题的关键． 利用完全平方公式，恒等变形得到，再将，代入计算即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 5．（24-25七年级·江苏徐州·质检）阅读理解： 已知，，求的值． 解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 参考上述过程解答： (1)若，．求和的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的计算是关键． （1）根据材料提示，结合完全平方公式的变形计算即可； （2）运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 根据完全平方式求字母的值题型03 1．（24-25八年级上·福建晋江·期中）若是一个完全平方式，则常数a的值为（   ） A．8 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据完全平方式得出，再求出即可．本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 2．（24-25七年级下·山东济南·期中）若是一个完全平方式，则m的值是（   ） A．4 B．或7 C．或4 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据题意可知，进而可得出，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：∵若是一个完全平方式， ∴ ∴， 解得：或， 故选：B 3．已知是某个整式的平方的展开式，则的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式．根据完全平方公式，表达式应为的形式，比较系数进行列式求解，即可作答． 【详解】解：∵是某个整式的平方的展开式， ∴， ∴， ∴， ∴或 解得m的值为4或， 故选：C． 4．（25-26七年级上·上海·期中）若整式是一个完全平方式，则常数______． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式；根据完全平方式，整式应能写成的形式，通过比较系数求解． 【详解】解：设完全平方式为，展开得． 与给定整式比较系数，得 当时，； 当时，． 故答案为：或． 5．（25-26七年级下·江苏连云港·月考）已知多项式为常数）是一个完全平方式，则__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 乘法公式与几何图形的应用题型04 1．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）如图，利用图中阴影部分面积的等量关系，可以得到的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解题关键是掌握完全平方公式．图中最大的正方形的边长为，则其面积为，而边长为的正方形面积又等于两个较小的正方形面积加上两个长方形面积，据此求解即可． 【详解】解：图中最大的正方形的边长为，则其面积为， 而各部分的面积和， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·广东广州·期末）学习新知时，我们利用图形的拼接得到完全平方公式，小红也想探究一下图形的奥秘，她利用四块长为，宽为的长方形纸片，拼成如图形状．观察图片，写出代数式，，之间的等量关系______； 【答案】 【分析】本题考查乘法公式与图形面积关系，根据图形面积及面积和找到关系式， 【详解】解：由图形面积得： ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）如图有两张正方形纸片和，图将放置在内部，测得阴影部分面积为，图将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为，若将个正方形和个正方形并列放置后构造新正方形如图，（图，图中正方形纸片均无重叠部分）则图阴影部分面积_______． 【答案】 【分析】此题考查完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解图形的构成，正确掌握完全平方公式是解题的关键．由图1可知，阴影部分面积，图2可知，阴影部分面积，进而得到，由图3可知，阴影部分面积，进而即可求解． 【详解】解：设A卡片的边长为a，B卡片的边长为b，则A卡片的面积为，B卡片的面积为， 图1中阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图2阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图3阴影部分的面积可以表示为 ， 故答案为：． 4．（24-25七年级·期末）为了让学生们能更直观地理解乘法公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为，宽为的小长方形（如图①所示），拼成了一个边长为的正方形（如图②所示），观察图形，回答下列问题： (1)图②中，阴影部分的面积是　　． (2)观察图①②，请你写出三个式子：，，之间的关系：　　． (3)应用：已知，，求，． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握面积公式与完全平方公式是解题的关键． （1）利用面积公式列式即可； （2）根据面积的和差关系列式即可； （3）根据完全平方公式的变形求解即可； 【详解】（1）解：阴影部分是边长为的正方形， 阴影部分的面积是； 故答案为：； （2）由图可得， 故答案为：； （3）∵，， ∴， ∴． 5．（25-26七年级·江西吉安·期中）如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为，的正方形（阴影部分），观察图形，解答下列问题： (1)用两种方法表示阴影部分的面积，从中你可以得到等式__________； (2)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)； (2)①30；② 【分析】（1）根据图示，分别表示出阴影部分的面积即可求解； （2）①根据乘法公式的变形计算即可求解；②根据乘法公式的变形计算即可求解． 【详解】（1）解：阴影部分的面积可以表示为：，或者表示为， ∴； （2）解：①，， ； ②设，，则，， ， 答：的值为． 乘法公式的综合应用题型05 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）观察下列各式的规律，①；②；③；，请按以上规律用含有字母的式子表示第为正整数）个算式为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，涉及多项式乘多项式和完全平方公式，观察给定算式的规律，每个算式中第一个因数为序号n，第二个因数为，减去的数为的平方，结果均为． 【详解】解：根据规律，第n个算式可表示为 ， ， 则第n个算式为 ． 故答案为：． 2．仔细观察下列等式： 第一个： 第二个： 第三个： 第四个： …… (1)请你写出第六个等式：________； (2)运用上述规律，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是数字的变化类题型，根据题中所给出的式子找出规律是解答此题的关键． 对于（1），根据题目中的式子，可以发现数字的变化特点，从而写出第六个等式 对于（2），根据所求式子的特点和（2）中的结果，可以求得所求式子的值． 【详解】（1）解：第一个： 第二个： 第三个： 第四个： 第五个： ∴第六个：， 故答案为： （2）解： ． 3．阅读材料： 我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则． “整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，求的值； (3)探索：已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，完全平方公式的变形运用，整体代入计算的运用，掌握整式的混合运算法则，完全平方公式的运用是解题的关键． （1）根据材料提示的“整体思想”的运算方法即可求解； （2）将代数式变形为，再运用整体代数计算即可； （3）运用完全平方公式变形，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2）解：， ∵， ∴原式． （3）解：已知，， ∴，， ∵ ， ∴ ． 4．观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； ； 按照以上的规律，解决下列问题： (1)写出第等式：__________； (2)直接写出你猜想的第个等式，并证明该等式（用含字母的式子表示等式）． 【答案】(1)； (2)， 证明：由第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 则第个等式：； ； 则第个等式：； 证明：左边， 右边， 左边右边 所以等式成立． 【分析】（）根据题目中给出的等式寻找规律得到每一部分的规律总结出整个式子的规律，通过规律即可得到第个等式； （）根据上面得到的规律，将规律数替换成，使之由特殊到一般规律即可； 本题了数与代数式中的规律，读懂题意，找出等量关系以及利用整式的乘法公式进行化简证明是解题的关键． 【详解】（1）由第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 则第个等式：； 故答案为：； （2）略 5．仔细观察，探索规律： (1)； ； ． ①______（其中为正整数，且）； ②______； ③______； ④______； ⑤______； (2)根据上述规律求的值； (3)根据上述规律：的值为______． 【答案】(1)（1）①，②，③，④，⑤， (2) (3)342 【分析】本题考查了平方差公式以及拓展应用，多项式乘以多项式规律等知识，熟练掌握平方差公式并根据题目中呈现的式子发现其中规律并灵活应用是解题关键． （1）根据结果的规律得出答案； （2）将写成，通过（1）规律即可求解； （3）由得当，，，将变形为，即可得到再进行计算即可求解． 【详解】（1）解：（1）由上式的规律可得，， ①故答案为：； 由题干中提供的等式的规律可得， ②； 故答案为：； ③， 故答案为：； ④ 故答案为：； ⑤， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴取，，， ． 利用乘法公式求最值题型 1．（2025·四川南充·一模）代数式的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，把原式配成完全平方式即可求解 【详解】解：原式 ∵ ∴ 故最小值为2 故选：B ． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若定义：，则代数式的最小值为______． 【答案】或0.75 【分析】本题考查了完全平方公式、非负数的性质．解决本题的关键是将代数式转化为非负数与常数项的和的形式．根据新定义、完全平方公式将原式变形为，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ， ， 代数式的最小值为． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·四川成都·月考）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： ， 因为，所以当时，的值最小，最小值是． 所以．所以当时，的值最小，最小值是． 所以的最小值是． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当 时，有最 （填“大”或“小”）值，该值为 ． (2)已知的三边长分别为，，，且满足，求的周长． 【答案】(1)，大， (2) ， ， ，，， 边长为，，能构成三角形， 的周长为． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）将化成完全平方公式的形式计算即可； （2）将化成完全平方公式的形式计算，求出，，的值，根据三角形三边关系判断其可以构成三角形，即可求周长． 【详解】（1）解：， ， 当时，的值最小，为， ， 当时，有最小值，该值为． 故答案为：，大，． （2）略 4．（24-25八年级上·重庆·期末）定义：将多项式变形为的形式，我们称为配方．其本质是完全平方公式的逆用，即：． 例如：若将多项式进行配方，则． 配方法在解决最值问题、代数式求值问题等均有广泛应用． (1)将多项式配方为的形式，则__________， __________； (2)若多项式，证明：无论取何值，均成立； (3)已知为直角三角形的两条直角边的长，斜边长为，关于的代数式可变形为（为常数），求的值． 【答案】(1)； (2) ， ， ； ， ． 无论x取何值，均成立； (3) 【分析】本题主要考查了配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由即可得到的值； （2）把的式子带入得到，利用完全平方公式的非负性得到结果； （3）由题意得到，，利用求出的值． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）略 （3）解：， ， ， ， 在直角三角形中，斜边长为6， ， ， ， ， 答：的值为． 5．阅读材料：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解： ∵， ∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是． 根据阅读材料解决下列问题： (1)填空：_________________； (2)求代数式最小值． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是掌握的运用，即可． （1）根据，即可； （2），对变形为：，即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：，． （2）∵， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 16.3 乘法公式 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 运用平方差公式进行运算 题型02 平方差公式与几何图形 题型03 运用完全平方公式进行运算 题型04 整式的混合运算 B组 能力进阶 题型01 利用乘法公式进行简算 题型02 利用乘法公式变形求值 题型03 根据完全平方式求字母的值 题型04 乘法公式与几何图形的应用 题型05 乘法公式的综合应用 C组 思维拔高 题型 利用乘法公式求最值 运用平方差公式进行运算题型01 1．（24-25七年级下·江苏江阴·期末）下列各式中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25下·山东济宁·期末）运用乘法公式计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海·期中）计算：_____． 4．（2025·陕西咸阳·模拟）先化简，再求值：，其中． 5．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 平方差公式与几何图形题型02 1．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）一位庄园主把一块边长为米的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一组对边增加10米，一组对边减少10米，继续租给你，租金不变，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，正方形的边长分别为，点在边上，连接，若阴影部分的面积为，则正方形与正方形的差为___________． 4．（24-25八年级上·河南南阳·期中）街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加3米，东西向减少3米．改造后得到一块长方形的草坪． (1)求改造后的长方形草坪的面积； (2)改造后的图形面积是否变化？若有变化，面积增大或减小了多少平方米？ 5．（25-26七年级下·广东河源·期中）【探究发现】 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母序号） A． B． C． 【知识迁移】 (2)运用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． 【拓展应用】 (3)如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为________． 运用完全平方公式进行运算题型03 1．（24-25八年级上·河南驻马店·月考）小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是（        ） A． B．或 C． D．或 2．（24-25七年级下·江苏徐州·月考） ________． 3．（2025·河北唐山·二模）化简：________． 4．先化简，再求值：，其中． 5．（24-25七年级上·上海·月考）计算：． 整式的混合运算题型04 1．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）___________． 3．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 4．（25-26七年级下·四川达州·月考）先化简，再求值： ，其中 ． 5．（24-25八年级上·重庆·月考）计算： (1)； (2)． 利用乘法公式进行简算题型01 1．若用简便方法计算，可以转化为计算（    ） A． B． C． D． 2．计算：用简便方法计算． 解： ① ② ． (1)例题的求解过程中，第②步变形是利用_______（填乘法公式的名称）； (2)用简便方法计算：． (3)计算：． (4)【拓展】计算：． 3．（24-25七年级下·江苏·月考）用简便方法计算： (1)； (2)． 4．用简便方法计算： (1) (2) (3) 5．利用乘法公式简便计算： (1)； (2)； 利用乘法公式变形求值题型02 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）若，，则   ） A．11 B．12 C． D． 2．（24-25七年级下·广西来宾·期末）如果，那么   ） A．16 B．14 C．196 D．194 3．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知，那么的值是______． 4．已知，，则_____． 5．（24-25七年级·江苏徐州·质检）阅读理解： 已知，，求的值． 解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 参考上述过程解答： (1)若，．求和的值； (2)已知，，求的值． 根据完全平方式求字母的值题型03 1．（24-25八年级上·福建晋江·期中）若是一个完全平方式，则常数a的值为（   ） A．8 B． C． D．无法确定 2．（24-25七年级下·山东济南·期中）若是一个完全平方式，则m的值是（   ） A．4 B．或7 C．或4 D．7 3．已知是某个整式的平方的展开式，则的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．或2 4．（25-26七年级上·上海·期中）若整式是一个完全平方式，则常数______． 5．（25-26七年级下·江苏连云港·月考）已知多项式为常数）是一个完全平方式，则__________． 乘法公式与几何图形的应用题型04 1．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）如图，利用图中阴影部分面积的等量关系，可以得到的公式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东广州·期末）学习新知时，我们利用图形的拼接得到完全平方公式，小红也想探究一下图形的奥秘，她利用四块长为，宽为的长方形纸片，拼成如图形状．观察图片，写出代数式，，之间的等量关系______； 3．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）如图有两张正方形纸片和，图将放置在内部，测得阴影部分面积为，图将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为，若将个正方形和个正方形并列放置后构造新正方形如图，（图，图中正方形纸片均无重叠部分）则图阴影部分面积_______． 4．（24-25七年级·期末）为了让学生们能更直观地理解乘法公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为，宽为的小长方形（如图①所示），拼成了一个边长为的正方形（如图②所示），观察图形，回答下列问题： (1)图②中，阴影部分的面积是　　． (2)观察图①②，请你写出三个式子：，，之间的关系：　　． (3)应用：已知，，求，． 5．（25-26七年级·江西吉安·期中）如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为，的正方形（阴影部分），观察图形，解答下列问题： (1)用两种方法表示阴影部分的面积，从中你可以得到等式__________； (2)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 乘法公式的综合应用题型05 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）观察下列各式的规律，①；②；③；，请按以上规律用含有字母的式子表示第为正整数）个算式为_____． 2．仔细观察下列等式： 第一个： 第二个： 第三个： 第四个： …… (1)请你写出第六个等式：________； (2)运用上述规律，计算：． 3．阅读材料： 我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则． “整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，求的值； (3)探索：已知，，求的值． 4．观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； ； 按照以上的规律，解决下列问题： (1)写出第等式：__________； (2)直接写出你猜想的第个等式，并证明该等式（用含字母的式子表示等式）． 5．仔细观察，探索规律： (1)； ； ． ①______（其中为正整数，且）； ②______； ③______； ④______； ⑤______； (2)根据上述规律求的值； (3)根据上述规律：的值为______． 利用乘法公式求最值题型 1．（2025·四川南充·一模）代数式的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若定义：，则代数式的最小值为______． 3．（24-25七年级下·四川成都·月考）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： ， 因为，所以当时，的值最小，最小值是． 所以．所以当时，的值最小，最小值是． 所以的最小值是． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当 时，有最 （填“大”或“小”）值，该值为 ． (2)已知的三边长分别为，，，且满足，求的周长． 4．（24-25八年级上·重庆·期末）定义：将多项式变形为的形式，我们称为配方．其本质是完全平方公式的逆用，即：． 例如：若将多项式进行配方，则． 配方法在解决最值问题、代数式求值问题等均有广泛应用． (1)将多项式配方为的形式，则__________， __________； (2)若多项式，证明：无论取何值，均成立； (3)已知为直角三角形的两条直角边的长，斜边长为，关于的代数式可变形为（为常数），求的值． 5．阅读材料：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解： ∵， ∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是． 根据阅读材料解决下列问题： (1)填空：_________________； (2)求代数式最小值． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $