第7期：幂函数 、函数的应用(一)-【数理报】2026-2027学年高一数学必修第一册同步学案（人教A版）

高中数学人教A(必修第一册)第6~9期 数理橘 答案详解 2026~2027学年 高中数学人教A(必修第一册)第6~9期(2026年8月) 所以f(-10)=f(10). 第6期2版参考答案 又f(x)在[0，+∞)上单调递减，且1<10， 专项小练一 所以f(1)>f(10), 1.B;2.BCD;3.A;4.[0,+∞)；5.(-7，-2) 即f(1)>f-10) 6解：当a=1时)=2+子 4.x）=x2-2x+t=(x-1)2+t-1,其图象的对称轴 方程为x=1, 任取x1,x2e[2,+∞)，且x1<2, 由于x=-2比x=3到x=1的距离较远， 则)-)=(2+）-(2+） 故当x=-2时f代x)取得最大值，且f代x)m=t+8. =2(名-x)(+x）+与-西 5.f-x)=[(-x)2-1]√(-x)2+1=(x2-1)· x1X2 +1=fx), =（2-x)[2xx2(x1+为)-1] 3X1X2 则f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项(C), 因为2≤x1<2, (D):f(0)=(02-1)√2+1=-1，排除选项(A).故选(B). 所以为-x1>0,xx2>4,2x12(x+x2)-1>0, 6.「f(x+1)I≥1可化为f(x+1)≤-1或f代x+1)≥1， 所以f(x2)-f(x1)>0,即f(2)>fx1). 因为A,B为f(x)图象上的两点， 所以f代x)在[2，+∞)上是增函数， 所以f(0)=-1f3)=1, 专项小练二 所以f(x+1)≤f0)或fx+1)≥f(3), 1.D;2.D;3.ABD;4.0;5.-2. 又f(x)为R上的增函数， 6.解：(1)由于f代x+1)=x2+2x+1=(x+1)2, 所以x+1≤0或x+1≥3，解得x≤-1或x≥2， 所以f(x）=x2 即不等式的解集为(-o,-1]U[2,+o). (2)g(x)=fx) 7.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0, 显然x=0时，满足(x)≥0； g(x)为偶函数，证明如下： 因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，f(5)=0, g(x)的定义域为x1x≠0}， 所以f(x)在(-∞，0)上单调递增，f(-5)=0, 且g(-x)=(-x)2- 1 1 (-x)2 =2- =g(x), 当x>0时，不等式f(x)≥0等价于fx)≥0=f(5), 所以g(x)是偶函数 因为f(x)在(0，+0)上单调递增，所以x≥5； 当x<0时，不等式f(x)≥0等价于f(x)≤0=f-5), 第6期3,4版参考答案 因为f(x)在(-∞，0)上单调递增，所以x≤-5； 函数的基本性质同步核心素养测评 综上可知不等式f(x)≥0的x的取值范围是(-∞，-5] 一、单项选择题 U[5,+o)U0. 1~4 ABAC 5~8 BDBD 8.y=3x+2=3a-）+5-3+5 x-1 x-1 -1 提示： 1.由题可知k-1>0,即k>1. 因为y=3x+2在xe(m,n]上的最小值为8， x-1 2.因为f代x)为偶函数， 所以f-2)=f2)=22+2=6. 所以当x∈(m,n]时，3+5 之7≥87≥51 3.因为f代x)是偶函数， ≤2，所以1≤m<n, 高中数学人教A(必修第一册)第6~9期 易知反比例型函数)=3+，三在(1，+如)上单调递减， 再以-x代x得-)-代x)=f(华) ② 5 所以y=3+x之在x=n处取到最小值8， ①+2得f(）+(1)=0, 即3+3=8=m-2 所以()-)。 所以1≤m<2. 所以定义在(-1,1)上的函数f(x)为奇函数，故(B)正确； 二、多项选择题 对于(C),因为函数fx)为定义在(-1,1)上的奇函数， 9.BCD:10.ACD:11.ABD. 且当xe（-1,0)时，fx)<0, 提示： 不妨设-1<x<x2<1, 9.由题意可知，f(-x)=f(x), 所以ff(-x)）=ff代x), 则)-)=f作） 所以ff(x)为偶函数，(A)错误； 因为-1<x1<2<1, 由g(-x)=-g(x), 得g(g(-x)=g(-g(x))=-g(g(x)), 所c0克套+1>0， 1-x1x2 所以g(g(x))为奇函数，(B)正确： 因为fg(-x)=f-g(x)=fg(x)), 所以-1<0， 所以fg(x)为偶函数，(C)正确； 所u(作-）<， 因为gf(-x)=g(f(x)), 则fx)-fx2)<0,即fx)<f), 所以g(f(x)为偶函数，(D)正确. 故函数f代x)在(-1,1)上单调递增，故(C)错误； 故选(B)(C)(D). 5 10由函数=号=1+ 对于(D),令x=号y=3, x-1, 则两数了=导的图象可由y=土的图象先向右平移1 则()-（号）=f(分) 个单位长度，再向上平移1个单位长度得到， 即(2)+兮)=() 所以函数y=+3的图象上点的纵坐标不可能为1，所以 x-1 因为号<各，且函数)在(-1，山上单调递增， (A)正确； 令=0，可得=0，解得天：-3， 所以（号）<f(各）， 所以函数与x轴的交点为(-3,0)，所以(B)错误； 即f(分)+（行）<各)，故(D)正确， 由函数y=4在(-0,0)上单调递减， 故选(A)(B)(D). 三、填空题 可得y=兰在(-，)上单调递减， 12.3;13.-x(答案不唯一)； 则函数)一号在(-“0)上单阁递减，所以(C正确： 14.(-0,-2]U[2,+∞)U0} 提示： 由函数y=兰的图象关于原点(0.0)对稀。 12.因为y=f(x)的图象关于直线x=2对称， 所以f(1)=f3)=3, 可得y=的图象关于点(1,0)对称。 又y=f代x)是偶函数，所以f(-1)=f1)=3. 则数y=兰的图象关于点1，）对称，所以0D)正疏 13.由题意f(x)为奇函数，且f代x)在R上单调递减， 可假设f代x)=-x, 故选(A)(C)(D). 此时Hm,n∈R,f(m+n)=-(m+n)=-m-n=f(m) 11.对于(A),令x=y=0得f(0)-f(0)=f0), +f(n),即①成立， 即f(0)=0,故(A)正确； 故答案为：-x(答案不唯一) 对于(B),令y=-得)--)=(2小，① 14因为y=士+x在[2,3】]上单调选增。 -2 高中数学人教A(必修第一册)第6~9期 所以)=士+-子在xe[23]上单调遥增， 则f(x)-f代)=- 1 3 1 则f(x)在xe[2,3]上的最小值为1. =(1-x2)· 1+(:1+1)(x2+1) 对任意a∈[-1,1]，总存在x∈[2,3]，使不等式2-2at （x+1)(x2+1) +1≥f(x)成立， 因为-1<x1<2, 即2-2at+1≥1对a∈[-1,1]恒成立， 所以x1-2<0,x1+1>0,x2+1>0, 即2ta-≤0对a∈[-1,1]恒成立. 所以f(x)-fx2)<0,即fx)<f(x), 令ga）=2a-亡，只要-1）≤0即可， 所以f(x)在(-1，+∞)上单调递增. g(1)≤0 18.解：(1)因为fx)的定义域为(-0,0)U(0,+∞)， 解得t≤-2或t≥2或t=0. 关于原点对称，且K-)=-+品=-(x+是）=-代)， 四、解答题 15.解：(1)当a=-1时f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1. 则f(x)是奇函数，从而f(-b)=-fb), 因为x∈[-5,5]，故当x=1时，fx)取得最小值为1， 因为g(x)=fx)-4, 当x=-5时，f代x)取得最大值为37. 所以g(b)=fb)-4=-8,得fb)=-4, (2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2图象的对称轴为x=-a. 所以g(-b)=f-b)-4=-f(b)-4=0. 因为f(x)在[-5,5]上是单调函数， (2)若a≤0，则x)=x+在[4，+)上单调递增， 故-a≤-5或-a≥5. 因为f(x)≥a在x∈[4，+o)时恒成立， 即实数a的取值范围是(-0，-5]U[5,+∞). 16.解：由f代x)在R上是偶函数，在区间(-0,0)上单调 所以f)m=4)=4+￥≥a, 递增，可知f(x)在(0，+∞)上单调递减， 解得a≤号，所以a≤0， 因为2+a1=2+)广+>0， 若a>0,由x>0可得f代x)=x+g≥2a, 2-2+3=2(a-+>0 当且仅当x=是，即x=后时等号成立， 且f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3), 所以2a2+a+1>2a2-2a+3, 则f(x)在(0，√a)上单调递减，在(Va,+∞)上单调递增. 2 即3a-2>0,解得a>亏， 若a>16,则f(x)m=f(a)=2a≥a, 解得0<a≤4，与a>16矛盾； 所以a的取值范围为（号，+0）片 若0<a≤16，则)a=f4)=4+4≥a, 1.解：(1)由/)=得a-= 解得a≤白所以0<u≤苧 所以a=子+分 棕上，“的取值范固是(-“号] 所以)=（分+受） 19.解：(1)f(x)为奇函数，证明如下： 因为f2)<2, 因为f(x)的定义域是(-1,1)，关于原点对称， 令u=v=0,则f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0, 所以（行+分）×2-号<2，解得6<子 令m=-,则u)+-w）=f("二)=0)=0， 又因为b∈N,所以b=1,所以a=1. (2)由(1)知f)=x-+ 1 所以f(u)=-f代-u),所以f(x)为奇函数. (2)不妨设-1<x1<x2≤0， 所以2)=2-号=音>)=子 由）-f》>0得)>)， x2-x1 故可判断f孔x)在(-1，+0)上单调递增.证明如下： 则f(x)在(-1,0]上单调递减， 任取，x2∈（-1，+0)，且x1<x2, 又f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数 3 高中数学人教A(必修第一册)第6~9期 所以f(x)在(-1,1)上单调递减 当x≥650时，P=41. 则2)+/(-x-4）>0可变形为2)>-(-x 52, 0<x≤100， 所以P=f代x）= 54- 4)=(x+子) 50, 100<x<650,xeN, 41. x≥650. 「-1<2x<1, (3)设工厂获得的利润为L元， 则L=(54-9-30）×500=70, 1 2x<x+4 即销售商一次订购500个零件时，该刻厂获得的利润是7000元 故所求不等式的解架为{：-<x<} 第7期3,4版参考答案 (3)由(1)(2)知fx)在(-1,1)上是减函数，且f0)= 幂函数、函数的应用（一）同步核心素养测评 0,所以1f(x)1=0, 一、单项选择题 所以Vxe(-1,1),-2+mlx1-号≤0， 1~4 ABAC 5~8 CDAB 提示： 令t=lxle[0,1),-+mt-g≤0， 1.由函数为幂函数，故a=1,2b+4=0, 所以b=-2,所以a+b=-1. 当t=0时，meR: 当≠0时，m≤(+) 恒成立， 2因为（兮）广”=2所以3=分 所以f3)=3=2 1 3.由题意，h=-3.62+28.8t=-3.6(t-8t+16)+57.6 1 因为t+9死 1 ≥2t·9i =-3.6(t-4)2+57.6, 则当t=4时，烟花达到最高点，爆裂的时刻是第4秒. 当且仅当t= 子时等号成立，放m≤子 4.令y=60,若4x=60,则x=15>10,不满足题意； 综上，实数m的取值范围足(-，子] 若2x+10=60,则x=25,满足题意； 若1.5.x=60,则x=40<100,不满足题意. 第7期2版参考答案 故该公司拟录用25人. 5.因为（元）寺=[（√）]子=π号，3方=(5) 专项小练一 又y=x子在(0，+0)上单调递减，m>2>5, 1.B;2.C;3.ABC;4.二、四；5.(3,4). 所以m寺<2子<(5)子， 6.解：(1)依题意有m2-3m+3=1, 解得m=1或m=2, 所以3寸>2子>(m)寺 又函数f代x)为偶函数，则m=1, 6.根据题意设f= (k≠0)， W防 所以f代x）=x2 (2)g(x)=x2-2ax,对称轴为x=a,且图象开口向上， 当W=2时f=210,则k=210×23 则a≤2或a≥4， 当/=70时，时=210x2立=3×2， 70 所以实数a的取值范围为(-∞，2]U[4,+∞). 专项小练二 所以W=54. 1.D;2.AC;3.125. 7.由题意，污水池的宽为20米，则四周池壁总造价为400 4.解：(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为41元时，一 次订购量为，个， ×(+婴）×2=800×(+)（无， 则x0=100+5241=650. 池底造价为：200×80=16000（元）， 0.02 两道隔壁墙造价为：248×20×2=99200（元）， (2)当0<x≤100时，P=52; x 当100<x<650时，P=52-0.02(x-100)=54- 所以0)=80×(+2婴）+1600+920 高中数学人教A(必修第一册)第6~9期 =800(x+324 +16000, (A)正确： 对于(B),x<0时，fx)<0,x>0时f(x)>0, r0<x≤16， 解得受≤≤16 f(x)在(-∞，0)和(0，+∞）上单调递减，定义域内不是 0<200≤16 x 单调递减，(B)错误； 8.因为函数f(x)=(-2m2+m+2)x"1为幂函数， 对于(C),Hx1,x∈(0，+∞)，x1≠x2, )+f 2 则-2m2+m+2=1, 即2m2-m-1=0, 房园)。 解得m=1或m=-2, ΛV2 当m=1时，f代x)=x2为偶函数，符合题意； f(x)+f(x2) 则 2 1/1 当m=之时)=位=店为非奇非偶函数，不符合 题意 所以fx)=x2, =1, 则y=fx)-2(a-1)x+1=x2-2(a-1)x+1, 二次函数y=x2-2(a-1)x+1图象的对称轴为直线x= 当且仅当x=2时等号成立， a-1. f(x)+f(x2) 2 ①若函数y=x2-2(a-1)x+1在(2,3)上单调递增， 由1≠2，则有 >1, 则a-1≤2，解得a≤3； ) ②若函数y=x2-2(a-1)x+1在(2,3)上单调递减， 所以∈(0，+西)≠，）+ 则a-1≥3，解得a≥4. 综上，实数a的取值范围是(-0,3]U[4,+∞) f作)(c)正确： 二、多项选择题 对于(D),f(a+1)+f2a-3)<0, 9.ABD;10.BCD;11.ACD. 即f(a+1)<-f2a-3)=f(3-2a), 提示： 则有a+1>3-2a>0或0>a+1>3-2a或 9.将点(2,8)代人f(x)=x,可得2=8， 解得a=3,所以fx)=x3, 「a+1<0, 则f(0)=0,且f(x)在R上单调递增，函数f(x)为奇函 l3-2a>0, 数，故(A)(B)(D)正确； 解得号<a<号或a<-1 若x>1,则f代x)>f1)=1,故(C)错误. 所以不等式f代a+1)+f2a-3)<0的解集为(-，-1) 故选(A)(B)(D). 10.在(A)中，出租车行驶4km,乘客需付费8+1×2.15 U(号子)，(D)正确 +1=11.15(元)，(A)错误； 故选(A)(C)(D). 在(B)中，出租车行驶10km,乘客需付费8+2.15×5+ 三、填空题 2.85×(10-8)+1=25.45(元)，(B)正确； 12.3;13.9;14.6. 在(C)中，乘出租车行驶5km,乘客需付费8+2×2.15+ 提示： 1=13.3(元)，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，(C)正确； 在(D)中，设出租车行驶xkm时，付费y元， 12由题意知m-3m+1-1, lm2-4m+1<0, 由8+5×2.15+1=19.75（元）<22.6元知x>8, 解得m=3. 因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6, 13.设加密密钥为幂函数y1=x“,则4“=2， 解得x=9,(D)正确。 故选(B)(C)(D 则0=2，则=之， 11.对于(A),函数f(x)=x寸= 定义城-”0 解密密钥为反比例函数为=本 U0.中-)六宏-风，函数为奇函数， 1 则6=乞k=12, 高中数学人教A(必修第一册) 第6~9期 则=2，所以通过逆运算可得， 72+300x-20000,0≤x≤400.， 当接受方得到明文“4”时，则发送方发送的明文为“9” L60000-100x. x>400. 14.因为函数f代x)=(m-2)x"是幂函数， (x- (2)由(1)可知，当0≤x≤400时，f(x)=-2 所以m-2=1,解得m=3, 300)2+25000, 所以fx)=x3 所以当x=300时，f(x)mx=25000; 因为fx)的定义域为R,且f孔-x)=-x3=-fx), 当x>400时，f(x)=60000-100x是减函数， 所以函数f代x)=x3是R上的奇函数. 所以f(x)<60000-100×400<25000, 又函数f(x)=x3在(0，+∞)上单调递增，且在定义域内 所以当x=300时f(x)max=25000, 连续， 即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元 所以函数f(x)=x3在R上单调递增. 不等式fk2+3)+f(9-8k)≤0，即为不等式f(2+3)≤ 1&解：1)由题可知+3m-方=1， f8k-9), 解得m=-3或m=之 所以2+3≤8k-9,解得2≤k≤6， 当m=-3时，4m2-m=39,可得fx)=x9, 所以实数k的最大值是6. 由f(-x)=（-x)9=-x9=-fx), 四、解答题 知函数f(x)为奇函数，不合题意； 15.解：1)由幂函数y=经过点(4，日）可得4=22 当m=分时，m2-m=分，可得)=， 8 由函数的定义域为[0，+∞)，知满足题意 即2m=-3解得m=-子 综上，m的值为分 (2)由(1)得fx)=, 则)=-2a反+之-是， 由x3>0可得x>0, 令t=(t≥0)，则x=, 所以函数y=x子的定义域为(0，+). (2)由(1)可知幂函数y=x乏在(0，+0)上为减函数， 即a=f-21+分-是， 所以当xe[1,4时y=子e[g小， 可化为g()=-a)2-口2+20-多， 所以函数y的值城为[尽，小 令k0=(-a)2-d+3-u≥0 ①当a≤0时，A0n=h0)=4- 3 16.解：设饼干的质量为x克，则其售价y(单位：元)与x之 间的函数解析式为y=(mx+n√)(1+0.2). 又由g)的最小值为-3，则24子=-3， 由题意得1.6=(100m+/100n)(1+0.2), 解得a=-3; 即子 =50m+5n, ① ②当a>0时，h()=ho）=-d+之- 4.8=(400m+√/400n)(1+0.2), 又由g()的最小值为-3，则-2+分-多 =-3, 即1=100m+5n. ② 1 1 解得a=-1(舍去)或a=之， 3 由①②解得m=150n=5 x 所以y=125+12.5 由①2知a=-3或a=子 当x=900时，y=9.6. 19.(1)证明：Hx1,x2∈(1，+0)，x1<x2, 故这种饼干900克装的售价为9.6元. 则g()-g()=+2-好-2 17.解：(1)月产量为x台，则总成本为(20000+100x)元， 从而f(x)=R(x)-(20000+100x) =(-)(+) 2 6 高中数学人教A(必修第一册) 第6~9期 因为1<x1<2,所以x1-x2<0,x1+2>2,2>1, 减函数 即2<2，所以g()-g(x）<0, 12 4由y=3计有意义可得x1. 所以g(x)<g(x2), 设t=x-1,则x=t+1,t≠0， 所以g(x)是(1，+∞)上的单调递增函数 所以y=3+)+-3+兰 2解两任意se[2e受+士≥ t 所以y≠3. m m≤2+2+1恒成立， 2 5.由图可知a<0,0<d<1,b>c>1, 所以b>c>d>a,所以b>c, 即xe[22]m-1≤(, 又c>1,0<d<1, 所以b>c>>0>a. 而函数)在[分，上单洞递减，在[1,2]上单调递增， 6.由f(3-x)=f(x+1)可知f八x)关于直线x=2对称， 因此g(x)m=g(1)=3, 则f0)=f(4). 则m-1≤3，解得m≤4， 因为当x≥2时(x)单调递减， 所以实数m的最大值为4. 所以当x<2时，(x)单调递增. (3)解：不存在正实数a,b,使得函数h(x)=x3+2,x∈ 又f(x)的定义域为R,fa)≥f0), [a,b]的值域为[a,b].理由如下： 所以a∈[0,4]. 由幂函数y=x在R上单调递增得函数h(x)=x3+2在 7.因为f代x)=(m2+m-1)x"是幂函数， R上单调递增， 所以m2+m-1=1,解得m=1或m=-2, 若存在正实数a,b,使得函数h(x)=x3+2,x∈[a,b]的 当m=1时f(x)=x不满足fx)在(0，+0)上是减函数， 值域为[a,b], 当m=-2时f代x)=x2满足f代x)在(0，+∞)上是减函数， 则，fh(a)=a, 所以m=-2, Ch(b)=b, 将不等式1-2x+11<1的两边同时平方得， 正实数a,b(a<b)是方程h(x)=x,即x3-x+2=0的 4x2-4x+1<1,解得0<x<1, 两个不等的正根，x>0, 所以1mx+11<1的解集为(0,1) 由2-x+2=0得x2+2=1,即g()=1, x 8.由奇函数f(x)在[-1,1]上是增函数，且f(-1)=-1 又函数g(x)在(0,1]上单调递减，在[1，+∞)上单调递增， 得，fx)在[-1,1]上的最大值为f(1)=-f代-1)=1. 故函数g(x)在(0，+∞)上的最小值为g(1)=3, 因为对所有的x∈[-1,1]都有f(x)≤子-2mt+1, 因此方程g(x)=1无实数解， 所以f(x)mx≤？-2mt+1, 即方程x3-x+2=0无实数解， 即2-2mt≥0，设g(m）=2-2mt 所以不存在正实数a,b,使得函数h(x)=x3+2,xe[a, 又因为对任意的me[-1,1]都有g(m)=t2-2t≥0， b]的值域为[a,b] 所以g(m)min≥0. 由函数g(m)=t?-2mt的图象是直线得， 第8期3,4版参考答案 g(m)m为g(-1)或g(1), 函数的概念与性质核心素养综合测评 所以g(-1)≥0，且g(1)≥0， 一、单项选择题 即t2-2t≥0，且2+2t≥0， 1~4 CDAC 5~8 CBAD 解得t≤-2或t≥2或t=0. 提示： 二、多项选择题 1.由题意得任0故随数)=店+2的定义域是 9.AB:10.AC:11.AC x≠2， 提示： [0,2)U(2,+0. 9令1=2x+1,则x=2 2.因为点(-1,3)在y=f(x)的图象上，所以f(-1)=3. 因为y=f(x)是偶函数，所以f代-1)=f1),所以f1)=3. 因为2x+1=,所以0=(）)-+ 3.y=|xl-1= -1,x≥0函数在(-0)上为 则fx)=-2+1,故(B)正确，(C)错误： -x-1,x<0, 4 高中数学人教A(必修第一册)第6~9期 -3)=-3°-2X(-3)+1=4,放(A)正确： 故不等式的解集为(-0，-1)U(1,+0),(D)错误。 4 故选(A)(C). 3)=3-2x3+1=1,故(D)错误 三、填空题 4 故选(A)(B) 2-113.-1014吕 10.设fx)=x“,将点(9,3)代人可得9“=3， 提示： 解得a=子，则)=中， 12.依题意，f(-1)=-f1)=-(2-1)=-1. 因为函数f(x)和函数y=x在(0，+∞)上都单调递增， 13.当x=0时，f0)·g(0)=b≤0， 所以6=0： 所以函数y=x+x云在(0，+∞)上单调递增， 当x=1时，f1)·g(1)=(1+a)·(1+a)=(1+a)2 所以+f代x)<x2+f2),(A)正确； ≤0， 函数y=x-F=(-）°-在(0，)上单调 所以a=-1. 14.作出函数f代x)的图象，如右图， 递减，在（行，+如）上单调递增， 设f(n)=f代m)=k, 故x-f(x)与x2-f()的大小不确定，(B)错误； 则由图可知0<k≤4， 因为函数y=fx)=x之在(0，+∞)上单调递增， 令fx)=4, 所以xfx1)<x2f(x2),(C)正确； 即3x+1=4或-1=4， 23 【x≤1 【x>1, 因为函数y=卫=x宁在(0，+)上单调递减， 得x=1或x=√5， 所以>），则)>)，(D)错误 又n>m,且fn)=fm), 所以m≤1,1<n≤√5， 故选(A)(C) 1 11.令x=y=1,则f1)=2f(1),解得f1)=0: 所以由3m+1=n-1可得m=3(n2-2), 令x=y=-1,则f1)=-2f(-1), 则1=a-m=a-(公-2)=-++ 2 = 解得f(-1)=0,(A)正确： 3 令y=-1,则f(-x)=xf-1)-f(x)=-f(x), 3(a-)+品1<n≤5， 又f(x)的定义域为R,关于原点对称， 所以f代x)是奇函数，(B)错误； 所以当=含时，取到最大伯号 Hx1,x2∈(1，+0)，且x1>x2,令x=x2,y= 四、解答题 X2 r1-x2≥0， 15.解：(1)由题意得 1+x≥0， 当x>1时，fx)>0, 1-x≥0， 解得-1≤x≤1， 所以)-)=（） >0, 故定义域为[-1,1]. 故)>)>， (2)将t=√个+x+-x两边平方得2=2+ 所以f(x)在(1，+∞)上单调递增，(C)正确： 2-,整理得-=2-1e[0,1小， 1>1 令xe(0,1),y= 又t≥0，所以2≤t≤2， 期=（）+）=0， 所以，所求h()=子d+1-a,定义域为[万，2]， 16.解：(1)y=-x2+12x-9=-(x-6)2+27, 根据性质②知（士）=-）>0， 因为x≤11，且x∈N, 所以x∈(0,1)时fx)<0, 所以当x=6时，y=-x2+12x-9取得最大值， 结合奇函数的性质知x∈(-1,0)时，f(x)>0, 故这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为 同理，由x>1时f(x)>0得x<-1时fx)<0, 27万元. 型>0等价于)>0或)<0， (2)设年平均利润为w, Lx>0 lx<0, 因为x≤11，且x∈N, -8 高中数学人教A(必修第一册)第6~9期 则=兰=--+12=12-(+是） 19.解：(1)取x1=x2=1得f代1)+f1)=f1), 得到f1)=0, ≤2-2=6 取x1=x2=-1得f代-1)+f(-1)=f1)=0, 得到f代-1)=0， 当且仅当=是即x=3时，等号成立， 取x2=-1得f代x)+f代-1)=f代-x), 故当运转3年时，这批机器的年平均利润最大. 即f(-x)=f代x),故函数f代x)为偶函数. 17.解：(1)由题意知m2-5m+7=1, (2)设>>0则)-f)=f(年）-f) 解得m=2或m=3. 又因为f(x)的图象关于y轴对称， =f(停)+)-)=f(年) 所以f代x)为偶函数，从而m=2. (2)由(1)知fx)=x2, 因为空>1，所以（色）<0， 则g(x)=fx)-2√爪x)=x2-2=x2-21x1. 即fx2）-fx)<0, 当x≥0时，g(x)=x2-21xl=x2-2x, 故函数f(x)在(0，+∞)上单调递减. 因为y=x2-2x图象的对称轴为直线x=1, 又函数f(x)为偶函数， 所以g(x)在[0,1)上单调递减，在(1，+0)上单调递增； 所以函数f(x)在(-∞，0)上单调递增。 当x<0时，g(x)=x2-21xl=x2+2x, 又f1)=f(-1)=0, 因为y=x2+2x图象的对称轴为直线x=-1, 若f(x-3)≥0，则-1≤x-3≤1，且x-3≠0， 所以g(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1,0)上单调 解得x∈[2,3)U(3,4]. 递增. (3)f2x2-3x+3)≤fx2-2x+2)+fa)=fax2-2ax 因此，g(x)的单调递增区间为(-1,0)，(1，+0) +2a), 18.解：(1)设每台A型，B型挖掘机一小时分别挖土x立方 根据(2)知12x2-3x+31≥|ax2-2ax+2a1, 米和y立方米， 因为2x2-3x+3>0,x2-2x+2>0恒成立， 根据题意得3x+5y=165, 所以2g-3x+3≥1a. l4x+7y=225, x2-2x+2 解得/=30， 号2* x2-2x+2 Ly=15. 所以每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘 当=1时，2-3+3=2： x2-2x+2 机一小时挖土15立方米. (2)设A型挖掘机有m(m∈N,)台，总费用为W元， 当>1时2>2： 则B型挖掘机有(12-m)台.根据题意得 当x<1时，2+-1 W=4×300m+4×180(12-m）=480m+8640, (x-1)2+1=2-1 ”1-x+1x 1 因为4×30m+4×15(12-m）≥1080， l4×300m+4×180(12-m)≤12960， 1 解得6≤m≤9， 2√(1-x)×1-x 又因为m≠12-m,解得m≠6， 所以7≤m≤9.所以共有三种调配方案. 当且仅当1-=十云即x=0时等号成立， 方案-：当m=7时，12-m=5, 因为≠0，放号>子 x2-2x+2 即A型挖掘机7台，B型挖掘机5台； 方案二：当m=8时，12-m=4, 综上，1a1≤}解得-号≤a≤子 3 即A型挖掘机8台，B型挖掘机4台： 又a≠0，故a∈ 方案三：当m=9时，12-m=3, [-）u(o,2] 即A型挖掘机9台，B型挖掘机3台. 第9期3,4版参考答案 由一次函数的性质可知，W随m的减小而减小， 所以当m=7时，W最小=480×7+8640=12000， 核心素养阶段测评（一） 此时A型挖掘机7台，B型挖掘机5台的施工费用最低，最 一、单项选择题 低费用为12000元. 1~4 CCAB 5~8 ABCC -9 高中数学人教A(必修第一册)第6~9期 提示： 所以1x|>1不成立，此时不符合题意； 1.由于集合A中只含有一个元素a,由元素与集合的关系 当ke{-1,子，1}时，若xe(-1,0), 可知，a∈A. 2.观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0,3)， 则f(x)<0,不满足f(x)>1x1,不合题意. 从而其最大值是3； 故选(C). 另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值 二、多项选择题 3.由Ial<b可知b>0,则-b<a<b,等价于“a<b且 9.BCD;10.ABC;11.BC. -a<b". 提示： 4.因为p:了x∈R,x2+4x+a=0是真命题， 9.“Vx>0,都有x2>x-1”的否定是“]x>0,使得x2 所以方程x2+4x+a=0有实数根， ≤x-1”,(A)错误； 所以4=42-4a≥0，解得a≤4， 当x>1时，2+=2-)）++2≥ 故实数a的取值范围为(-∞，4]. 5.设矩形框架一边长为xm, 2V2x-0+2=2+2 则其邻边长为2,2=(6-m 当日仅当2x-》=即=1+受时，等号规立。 由/>0， 得0<x<6, l6-x>0 放当x>1时，2x+的最小值为2万+2，(B)正确： 所以面积S=x(6-x)=-x2+6x=-(x-3)2+9(0< 由题意得-1,2为aa2+2x+c=0的两个根， x<6), 1+2=-,-1×2-父 所以当x=3时，S取最大值9. a 故框架的最大面积是9m2. 解得a=-2,c=4,则a+c=2,(C)正确； 6.由+3<0解得！<x<3即2<x<3 a>1→1<1，但1<1a>1, lx2-6x+8<0, 2<x<4, 由题知关于x的不等式x2-3x+a<0的解集包含{x12 比如a=-1满足。<1，但不满足a>1, <x<3}, 4=9-4a>0, 放“口>”是“。<1”的充分不必要条件，(D)正确 则22-3×2+a≤0，解得a≤0. 故选(B)(C)(D). 32-3×3+a≤0， 10.由题意得M=xl(x-a)(x-3)=0}=a,3},N 7.f八x)=-x3+(a-2)x2+x是定义在[2b,b+3]上的奇 ={x1(x-4)(x-1)=0}={1,4}. 函数， 对于(A),若MUN有4个元素，则a{1,3,4}, 所以f代-x)=-f八x), 所以M∩N=☑，故(A)错误； 即-(-x)3+(a-2)·(-x)2-x=-[-x3+(a-2)x2 对于(B),若M∩N≠0，则a∈{1,4， +x],且2b+b+3=0, 所以MUN有3个元素，故(B)错误； 所以a=2,且b=-1, 对于(C),若MUN={1,3,4},则当a=3时，M∩N= 所以fx)=-x2+x, ⑦，故(C)错误； 所以fa·b)=f(-2)=-(-2)3-2=6. 对于(D),若M∩N≠0，则a∈{1,4}， 8.当k=-2时，若fx)>|x1恒成立， 所以MUN={1,3,4},故(D)正确. 则x2>1x1,即1x13<1, 故选(A)(B)(C). 由于x∈(-1,0)U(0,1), 所以1x3<1恒成立，此时符合题意； 1-=--受引=-小+受 当k=0时，若f(x)>Ix1恒成立， 对于(A),若x)为偶函数， 则x>xl,即1x1<1, 则x-受=xx+受 由于x∈(-1,0)U(0,1), 所以1x1<1恒成立，此时符合题意； 当x>0时x-罗≥0， 当k=2时，若f(x)>1x1恒成立， 则x2>1x1,即1x1>1, 而-xx+受≤0， 由于x∈(-1,0)U(0,1), 故f代x)与f代-x)不一定相等，故f(x)不可能是偶函数， -10 高中数学人教A(必修第一册)第6~9期 (A)错误； 14.在fxx2)=fx)+f(x2)+2中， 对于(B),当m=0时，f代-x)=-x1x1=-f(x), 令x1=x2=1,得f1)=-2, 故f(x)为奇函数，故(B)正确； 令x1=x2=-1,得f代-1)=-2， 对于(c))=xx-受 的定义域为R, 令x1=x,x2=-1,得f代-x)=f代x), 又f(x)的定义域为(-0,0)U(0,+∞)， 因此[0，+∞)是f(x)的值域的子集， 所以f(x)为偶函数， 因此对任意实数M>0,存在实数xo,使得f代x)>M,故 又对x3,x4∈(2，+0)，都有(x3-x4)[f(x3-2)-fx4 (C)正确； -2)]<0, (-罗> 即对x3,x4∈(2，+∞)，都有[(x3-2)-(x4 对于(D)f(x) 2)][f3-2)-fx4-2)]<0, -x-受)x≤受 所以y=f代x-2)在(2，+∞)上为减函数， 当m>0时fx)的图象如图1， 所以y=f(x)在(0，+∞)上为减函数， 要使f(x)在区间(a,b)上单调递减， 又f(1)=-2,f(m)>-2f(x)为偶函数， 则(6-a）=受-朵= 所以1ml<1,解得-1<m<0或0<m<1, 所以m的取值范围为(-1,0)U(0,1). 四、解答题 1解：D图为企集U=RB=品≤0}= -5≤x<14}, 图2 所以CB=x1x<-5或x≥14}， 当m=0时，f代x)的图象如图2， 又集合A={xlx2-3x-18≥0}={xlx≤-3或x≥6， 此时(x)在定义域内单调递增，无单调递减区间； 所以(CB)∩A={x1x<-5或x≥14. 当m<0时f(x)的图象如图3， (2)因为B∩C=C,所以CCB. 要使f(x)在区间(a,b)上单调递减， 当C=0时，2a≥a+1,解得a≥1； 则(6-a）=朵-受=-平 r2a<a+1, 综上.6-a的最大值为？，放(D)错误 当C≠⑦时，a+1≤14，解得-子≤a<1 l2a≥-5， 故选(B)(C) 综上，实数a的取值范围为[-弓，+） 三、填空题 12.必要不充分条件；13.15；14.（-1,0)U(0,1). 16.解：(1)因为函数y=(m2+4m+4)x2是幂函数， 提示： 所以m2+4m+4=1,得m=-3或m=-1, 12.因为A=1,2,3,5},B={1,2,3}, 因为幂函数在(0，+∞)上为严格减函数， 所以B手A, 所以m=-1不符合题意， 则由x∈A推不出x∈B,故充分性不成立， 所以m=-3. 由x∈B推得出x∈A,故必要性成立， (2)由(1)可得(2a-1)3<(a+3)3, 所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件。 设函数y=x3, 因为函数y=x3在(-∞，0)，(0，+0)上严格单调递减， 13.由题意可知，利润为)0,10<x≤25， 所以2a-1>a+3>0或0>2a-1>a+3或 不妨令t=x-10∈(0,15]， 则利润为，10： 104 2u-1<0解得a>4或-3<a<2 (t+5)2 a+3>0, 1*2 t +10 所以实数a的取值范围是(-3，分)U(4,+x) 2孕0 ≤ 109 =500. 17.解：(1)由题知，x=0时，a=4, 当且仅当1=2空，即：=5时取等号，此时x=15, 所以8-0车=4，解得长=4 t 4 故售卖价格每件应定为15元. 所以，a=8-x+ -11 高中数学人教A(必修第一册)第6~9期 根据题意，y=a(36+） -20a-x, 在[0,1]上单调递增，在[1，+∞)上单调递减； 当x<0时6(x)=x2-2x=(x-1)2-1,此时6(x)在 即y=16a+10-x=138-x+- 64 （-∞，0)上单调递减. 所以(x)的单调递增区间为[0,1]，单调递减区间为 所以y=1358--年≥0. （-∞，0)和[1，+∞). (2y=158--4=1B9-(x+1+0）】 (2)因为函数y=fm(x-2025)的图象关于点(2025,0) 对称，所以y=f(x)的图象关于点(0,0)对称， ≤139-2√x+1)· x+1=123, 所以函数y=f(x)是奇函数， 所以fm（-x)=-fm(x), 当且仅当x+1=即x=7时，等号成立 即(m+x)1-x|=-(m-x)1x1, 所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利 即2mlx1=0,由x的任意性得m=0, 润为123万元. 则/()=6()=-x1x=，￥≥0， le. 18.解：(1)因为g(x)=fx)+x是偶函数， x<0, 所以f代-x)-x=f代x）+x, 所以fm(fm(x)）=f6(-x1x1）={ x,x>0, 即-(2a+1)x=(2a+1)x恒成立， -x,x≤0， 所以2a+1=0,解得a=-之 因为Hx∈[-2,2]，nax2+n>fm(fm(x)), 所以n>》在[-2,2]上恒成立，只需n> 则)=子-x+山， x2+1 「fm(fm(x)1 则不等式f(x)>0可化为3x2+4x-4<0, x2+1 ,xe[-2,2]. 解得-2<x<行， 2 令g(x)=((x) +,则当8x)取最大值时，x>0, 所以所求不等式的解集为{✉-2<<号} x 1 此时g)=+=(+)++2, (2)不妨设有>与≥1，则不等式）-）<1可化 当x>0时，根据对勾函数的单调性知g(x)单调递增， 1-X2 为f(x1)-f2)<x-x2, 所以e[-2,2]时g)=g2)=5即a>台. 即f(x）-x<f(x2)-2, 所以实数n的取值范围为(9，+） 令h(x)=fx)-x,所以h(x)<h(x2), 所以h(x)=(a2-1)x2+(2a-1)x+1在[1，+o)上 单调递减。 当a2-1=0时，a=±1. 当a=1时，h(x)=x+1是增函数，不符合题意； 当a=-1时，h(x)=-3x+1是减函数，所以a=-1符 合题意： a2-1<0, 当a2-1≠0时，则 2a-1≤1. 2(a2-1) 解得-1<a≤万-1 21 参上，实数的取值范围为[-1,7] 19.解：(1)因为fm(x)=(m-x)1xl(m∈R), 所以5()=2-01122人0 当x≥0时，5(x）=2x-x2=-(x-1)2+1,此时5(x) 1217.(15分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元， 18.(17分)已知幂函数f(x)=(m2+)m-)）“既不是奇 每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数R(x)= 19(17分)小明同学在学习“对勾函数”)=x+的图象 函数，也不是偶函数 ∫400x-2,0≤x≤400， 与性质后，研究了函数g(x)=2+2,发现：函数g(x)在(-0,0) '其中x(台)是仪器的月产量， (1)求m的值； 80000, x>400. 上单调递减，在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增 (2)若函数g(x)=x-2()+7a-子 3 的最小值为-3，求 (1)将利润表示为月产量的函数f(x): (1)证明：g(x)是(1，+∞)上的单调递增函数： (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少 实数a的值， (2)若对任意[分，2])≥兴-是恒成立，求实数m的 元？（总收益=总成本+利润） 最大值： (3)是否存在正实数a,b,使得函数h(x)=x3+2,x∈[a,b]的 值域为[a,b]?若存在，求出a,b;若不存在，请说明理由. 高中数学·必修第一册（人教A版）同步核心素养测评 高中数学·必修第一册（人教A版）同步核心素养测评 参考答案见下期 本版责任编辑：张瑞霞 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： “数理橘 2026年8月14日·星期五 高中数学 第 7期总第1203期 人教A 0351-5271248 必修（第一册） 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F)邮发代号：21-201 几何图形中 的哲理 幂函数y=x(n∈Q)的图象及性质 方法指津 时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小； 一、第一象限内图象类型（如图1） 水平线 1.n>1时，图象为过(0 (4)当+>0 即k<-1或k> -1 lk2-2k-1>0, 当一个人本能 0),(1,1)点的曲线，下凸递增 利用幕函数 地追求一条水平线 2.n=1时，图象为过(0 解题 +√2时，函数为增函数，函数值随x的增大而 时，他体验到了一种 0),(1,1)点的射线. 增大； 内在感，一种合理 3.0<n<1时，图象为过 图1 ⊙湖南贺诗军 (5)当+<0， 即1-2<k<0 (0,0),(1,1)点的曲线，上凸递增 函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高 lk2-2k-1<0, 性，一种理智。 4.n=0时，函数变形为y=1(x≠0)，图象 时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大； 垂直线 中数学学习的始终，而幂函数是其中的一部分 为平行于x轴的射线 人要追随一条 内容，这部分内容虽然少而简单，但对初学者来 5.n<0时，图象为过(1,1)点的曲线，下凸 (6)当+k<0, 即-1<k<1 垂直线，是由于一种 l2-2k-1>0, 递减，与两坐标轴的正半轴无限接近 说，接受还是有一定的困难，特别是含有参数的 狂喜和激情的驱使， 二、第一象限内图象走向 幂函数问题.下面就如何利用幂函数的相关知 2时，函数为减函数，函数值随x的增大而 就必须中断他正常 xe[1,+∞)时，指数大的图象在指数小 识解题进行举例分析 减小 的观看方向，而举目 的图象的上方；反之，x∈(0,1)时，指数越小， 一、利用幂函数的图象 三、利用幂函数的奇偶性 例1已知点(2,2)是幂函数(x)图象上 望天。 对应的图象越靠上.这两部分的图象经(1,1) 例4已知幂函数f(x)=(m2+3m+3)x3m- 点，穿越直线y=x,连成一体 的点，点(-2,4)是幂函数g(x)图象上的点 为偶函数. 直线 向两边延伸，无 (1)求fx)的解析式； 当x为何值时，有(1)fx)>g(x);(2)f(x)= (2)若f(a-1)≥f(1+2a),求实数a的取 始无终，无边无际 评述 g(x);(3)fx)<g(x) 值范围. 代表着果断、刚劲和 幂函数图 解：设f(x)=x“,g(x)=x. 解：(1)因为函数fx)=(m2+3m+ 往无前的毅力。 曲线 ⊙四川白洁 因为点(2,2)是幂函数fx)图象上的点，3)xm-1为幂函数， 三、各个象限内图象分布 所以2=(2)“，所以&=2， 所以m2+3m+3=1,即m2+3m+2=0 轻快流畅，犹如 则f(x)=x2. 解得m=-1或m=-2. ·条静静流淌的小 设n=卫(p,9是互质的正整数，9>1)： 当m=-1时f(x)=x4,满足-x)= 溪；蜿蜒、曲折，犹如 1.任何幂函数在第一象限必有图象，第四 因为点(-2,4)是幂函数g(x)图象上的 人生历程的轨迹。望 象限必无图象 f(x),此时f(x)为偶函数，符合题意； 点，所以4=(-2)， 当m=-2时，f(x)=x7,不满足f-x)= 着您纤细不倦的身 2.n=L= 禽畿封医数椅非偶函数只 影，却放大成奔腾浩 所以B=-2,则g(x)=x2(x≠0) f(x),此时f(x)不是偶函数，不符合题意， 在第一象限有图象（如图1） 在同一平面直角坐标 荡的大河和博大幽 x)=x 综上(x)=x4 3.n=卫= 系中作出两函数的图象 1 深的海洋。 9 (2)由()得x)==京， 螺旋线 函数是偶函数，在第 一、 如右图所示 二象限有图象，且图象关 (1)若f(x)>g(x) 所以f(x)在(0，+∞)上单调递减，在 知识的掌握，生 于y轴对称（如图2）. (-∞，0)上单调递增且f(x)为偶函数， 图2 则x>1或x<-1; 活的积累，都是沿着 4n=卫-奇整时，函 (2)若fx)=g(x),则x=1或x=-1; 因为f(a-1)≥f1+2a), 螺旋线上升的 9 奇数 (3)若f(x)<g(x),则-1<x<0或0< ra-1≠0， 圆形 数是奇函数，在第一、三象限 <1. 所以1+2a≠0 从各个方向看 有图象，且图象关于原点对 二、利用幂函数的单调性 la-11≤11+2al, 都是同一个图形，有 称（如图3）. 解得a≤-2或0≤a<1或a>1. 其完美的对称性，使 四、幂函数y=x”的定 例2若(3-2m)>(m+1)÷,则实数m的 故实数a的取值范围为(-o,-2]U[0, 义域 图3 取值范围为 人产生“完美无缺” 1.当指数n是正整数时，y=x的定义域是R 解：因为y=x立在定义域[0，+∞)上是增 1)U(1,+0). 的美感和向往。难怪 四、联想幂函数处理抽象函数问题 2.当指数n是正分数时，设n=卫(p,9是 函数， 有圆满、圆润、圆通、 例5已知函数f(x)≠0，对任意正实数x,y 3-2m≥0， 圆场之说和“花好月 互质的正整数，9>1)，则x”=x号= 所以 m+1≥0， 解得-1≤m< 都有f(xy)=f(x)·fy),当x>1时f(x)<1, 如果q是奇数，y=x”的定义域是R; 3 圆”的成语。但是“圆 3-2m>m+1, 又2)=子，则)满足 滑”一词，却为人们 如果q是偶数，y=x”的定义域是[0，+∞). 3.当指数n是负整数时，设n=-k(k∈ 所不爱。 故实数m的取值范国为[-1，号)】 (A)在区间(0，+∞)上单调递增 N),则=显然x不能为零，所以y=的 例3讨论函数y=(k2+k)x2-2k-1在x>0 (B)在区间(0，+∞)上单调递减 等腰三角形 (C)在区间(-∞，0)上单调递减 有扎实、深厚的 定义域是(-∞，0)U(0,+0) 时，随着x的增大其函数值的变化情况 解：(1)当2+k=0,即k=0或k=-1时， (D)在区间(-∞，0)上不具有单调性 基础知识功底，才能 4.当指数n是负分数时，设n=-卫(p,9是 y=0为常函数； 解：因为xy)=f(x)·f(y)与x“·y= 构建起尖端的科技 大厦。 （2)当-2k-1=0时，6=1-万或6()，且2)=子 如果q是奇数，y=x”的定义域是(-∞，0) =1+2,此时函数为常函数： 因而可猜测f(x)的原型函数为f(x)=x2。 U(0,+∞)； (3)+6s0, 即0<k<1+2 由原型函数可判断函数f(x)在区间(0 如果q是偶数，y=x”的定义域是(0，+ L2-2k-1<0. +∞)上单调递减，故选(B) 素养·专练A 数理极 专项小练一、幂函数 专项小练二、函数的应用（一） 1.在函数y= 京，y=2x,y=(x+1)2,y=3x中，是幂函数的个数为 1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y =5x+4000,而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至 少为 () (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (A)200副 (B)400副 (C)600副 (D)800副 2.下列函数中既是偶函数，又在(-∞，0)上是增函数的是 2.(多选)国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购 (A)y= (B)y=x 买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送 (C)y=x-2 (D)y=x号 40元”的促销策略.某顾客计划消费x(x>0)元，并且要利用商场的优惠活 3.（多选)下列结论中不正确的是 动，使消费更低一些，则 () (A)当a=0时，函数y=x“的图象是一条直线 (A)当0<x<200时，应进甲商场购物 (B)幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点 (B)当200≤x<300时，应进乙商场购物 (C)幂函数的图象不可能出现在第三象限 (C)当400≤x<500时，应进乙商场购物 (D)图象不经过点(-1,1)的幂函数，一定不是偶函数 (D)当x>500时，应进甲商场购物 3.某药厂研制出一种新型药剂，投入市场后其广告投入x(万元)与药 4当Qe{-1,7,1,3}时，幂函数y=的图象不可能经过第 品利润y(万元)存在的关系为y=x“(为常数)，其中x不超过5万元.已 象限 知去年投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5 5已知函数)=（） 万元，预计今年药品利润为万元. ,若f(a-1)<f(8-2a),则a的取值范 4.某厂生产某种零件，每个零件的成本为30元，出厂单价定为52元，该 围 厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订 6.已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm+1为偶函数 购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于41元. (1)求幂函数f(x)的解析式； (1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？ (2)若函数g(x)=f(x)-2ax在[2,4]上单调，求实数a的取值范围， (2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P= f(x)的表达式： (3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂 售出一个零件的利润=实际出厂单价一成本) 数理报社试题研究中心 参考答案见下期 第6期2版参考答案 2-2a+3=2(a-）+3>0. 则f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,+)上单调递增. 若a>16,则f(x)mm=f(a)=2a≥a, 专项小练一 且f2a2+a+1)<f(2a2-2a+3), 解得0<a≤4，与a>16矛盾： 1.B;2.BCD;3.A;4.[0,+0);5.(-7,-2) 所以2a2+a+1>2a2-2a+3, 6.解：当a=1时(x)=2+1 即3a-2>0,解得a>子， 若0<a≤16，则fx)m=4)=4+≥a, 任取x,西∈[2，+0)，且<， 解得a≤9，所以0<a≤华 则，)-)-(+)(2+日） 所以a的取值范围为（号，+） 1n解：()由1)=子得。-=分 综上，0的取值范围是(-，]。 =2(名-)(+)+当型 19.解：(1)f(x)为奇函数，证明如下： X1X2 =（-)[2(1+2)-1] 所以a=号+宁所以=（分+合）年 因为(x)的定义域是(-1,1)，关于原点对称， 令u==0,则f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0, 1x2 因为2≤1<2， 因为2)<2所以（宁+之）x2-÷<2,解得6<是， 令=-，则)+-)=（是）=0）=0， 所以x2-x1>0,x12>4,2x12(x1+2）-1>0, 所以fu)=-f(-),所以f(x)为奇函数. 所以fx)-x) 所以fx)在2，+ >0,即fx2）>x1) 又因为beN,所以b=1,所以a=1. (2)由()知)=x+ 1 上是增函数 (2)不妨设-1<<≤0，由）->0得) 专项小练二 1.D:2.D:3.ABD;4.0:5.-2. 所以2)=2-片=子>1)=分 数片幸是定义在- 6.解：(1)由于f(x+1)=x2+2x+1=(x+1)2 所以f(x)=x2. 故可判断f(x)在(-1，+∞）上单调递增证明如下： 则2)+(-x-}）>0可变形为2)>-(- 任取x1,2∈(-1，+0)，且x1<2, 2g()=)-f）=-(0. .-1<2x<1 g(x)为偶函数，证明如下： 则))=女（国） 1 2 g(x)的定义域为xx≠0 =(知-)-（1 1 x1+12+1 (2x<x+1 4 且g(-x)=(-x)2- -=-是=g 故所求不等式的解集为{：-之<x<子} 所以g(x)是偶函数 =(-).1+(+1)(32+1) (x1+1)(x,+1) 因为-1<x<2,所以 3<0,+1>0,西+1>0，以1)1m=0, (3)由(1)(2)知(x)在(-1,1)上是减函数，且f(0)=0,所 第6期3,4版参考答案 所以f(x1)-f(2)<0,即f(x)<f(x2), 一、单项选择题1~4ABAC5~8BDBD 所以f(x)在(-1，+0)上单调递增. 所以Ve(-1,),-r+mlx-号≤0， 、多项选择题 9.BCD:10.ACD:11.ABD. 18.解：(1)因为f(x)的定义域为(-0,0)U(0,+0),关于 三、填空题 令1=1x1e0.1),-f+t-号≤0， 12.3;13.-x(答策不唯一)； 原点对称，且-)=-+只=-(+）=， 当t=0时，m∈R; 14.(--2]U[2,+0）U0 则fx)是奇函数，从而f(-b)=-b), 四、解答题 当0时m≤（+安)恒成立。 15.解：(1)当a=-1时f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1. 因为g(x)=x)-4, 所以g(b)=b)-4=-8,得fb)=-4 因为x∈[-5,5]，故当x=1时f(x)取得最小值为1， 1 所以g(-b)=f(-b)-4=-八b)-4=0. 当x 5时f(x)取得最大值为37. (2)函数x)=(x+a)2+2-02图象的对称轴为x=-a (2)若a≤0，则)=x+只在[4，+)上单调递增， 1 2 因为f(x)在[-5,5]上是单调函数， 因为f(x)≥a在x∈[4，+∞)时恒成立， 因为1+≥2=号 士女-a≤-5成-a≥5. 即实数a的取值范围是(-，-5]U[5,+) 所以八)n=4)=4+子≥a,解得a≤5，所以a≤0 当且仅当1=专时等号成立，故m≤号 16.解：由f(x)在R上是偶函数，在区间(-0,0)上单调递增， 可知f(x)在(0，+0)上单调递减， 若a>0,由x>0可得/x)=x+≥2a, 综上，实数m的取值范围是（-， 因为2d2+a+1=2(a+子）+g>0, 当且仅当x=,即x=后时等号成立， 7.某工厂建一座平面图为矩形且面积为 幂函数、函数的应用（一 200平方米的三级污水处理池（如右图），由于 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 地形限制，长、宽都不能超过16米.如果池四 同步核心素养测评 周围壁建造单价为400元/米，中间两道隔壁墙建造单价为248元 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 米，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计.设污水池 12.已知幂函数f(x)=(m2-3m+1)x2-4m+1的图象不过原点，则 ◎数理报社试题研究中心 的长为x米，总造价为Q(x)(元)，则Q(x)的解析式为 实数m= 13.为了保证信息安全传输，有一种系统称为秘密密钥密码系统， 第I卷选择题（共58分） (A)0(x)=80(x+24)+1600(5≤x≤16) 其加密、解密原理如下：明文：加密密钥系统，密文1发选密文！ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (B)0()=80(x+4)+1600(0<x≤16) 1.若y=ax3+(2b+4)是幂函数，则a+b= 解密密钥系统，明文八.现在加密密钥为幂函数，解密密钥为反比例函 数，过程如下：发送方发送明文“4”，通过加密后得到密文“2”，再发送 (A)-1 (B)1 (C)-3 (D)3 (c)0)=(x+）+2um(穹≤≤16) 密文“2”，接受方通过解密密钥得到明文“6”.若接受方得到明文“4”， 2.已知a为常数，幂函数x)=x“满足了（仔）】 =2,则f3)= (D)Q(x)=800(x+324 +12000(0<x≤16) 则发送方发送的明文为 高中 8.已知幂函数f代x)=(-2m2+m+2)xm+1为偶函数，若函数y= 14.已知函数f(x)=（m-2)xm是幂函数，若f(k2+3)+f(9 警 (A)2 (B) (c)- f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数，则实数a的取值范 8k)≤0，则实数k的最大值是 (D)-2 高中数学 四、解答题：本题共5小题，共77分 必 围为 ( 3.你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触 修第 (A)(-∞，3) (B)(-∞，3]U[4,+∞) 目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没 15.(13分)已知幂函数y=x经过点(4,8) (C)(3,4) (D)(-1,3)U(4,6) 必修第一 册 有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来 (1)求此幂函数的表达式和定义域； 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度h(单位：米)与时间 (2)当x∈[1,4]时，求函数y的值域， 9.已知函数f代x)=x“的图象经过点(2,8)，则下列命题正确的有 册（人教 (单位：秒)之间的关系式为h=-3.62+28.81,则烟花在冲击后爆 A 版 裂的时刻是 (A)f(0)=0 (A)第4秒 (B)Va<b,都有f(a)<fb) 同 (B)第5秒 (C)若x>1,则f(x)≤1 (D)f(x)+f(-x)=0 核 (C)第3.5秒 (D)第3秒 10.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为 4.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式 素 3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过 养测 4x, 1≤x<10,x∈N, A版)同步核心素养测评 2x+10,10≤x<100,x∈N,其中，x代表拟录用人数，y代 部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元 评 为y= 1.5x,x≥100，x∈N. 收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是( 16.(15分)众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本 (A)出租车行驶4km,乘客需付费9.6元 表面试人数.若面试人数为60，则该公司拟录用人数为 低.某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其400克装的售价 (B)出租车行驶10km,乘客需付费25.45元 (A)15 (B)40 (C)25 (D)130 为4.8元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利 (C)某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶 5.下列比较大小正确的是 润。生产成本与饼干质量成正比且系数为m,包装成本与饼干质量的 10km一次的费用 (A)(元)寺>3字>2号 (B)3亨>（元）专>2 算术平方根成正比且系数为n,利润率为20%，求该种饼干900克装的 (D)某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km 售价 (C)3-宁>2号>（后） (D)2子>3宁>（石）寺 11.已知函数(x)=x,则下列说法正确的是 6.生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：心跳次数 (A)函数为奇函数 min')与体重（单位：kg)的写次方成反比若A,B为两个睡眠中 (B)函数在定义域内单调递减 的恒温动物，A的体重为2kg、脉搏率为210次·min,B的脉搏率是 （0V5e0,+)≠6）2>f( 2 70次·min,则B的体重为 (A)6 kg (B)8kg (D)不等式f(a+1)+f(2a-3)<0的解集为(-∞，-1)U (C)18 kg (D)54 kg /23 32