第06讲 全称量词和存在量词 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第06讲 全称量词与存在量词 模块一 全称量词与存在量词（重点） 1 题型讲解：恒成立问题（1）二次函数相关 模块三 判断命题真假（难点） 5 模块二 命题的否定（重点） 3 课后作业 附解析 9 6 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第06讲 全称量词和存在量词 课堂思维碰撞 本 课 目 标 1. 理解核心概念：准确理解全称量词、存在量词的意义，能正确使用符号“ ”和“ ”对全称量词命题和存在量词命题进行符号化表达。 2. 掌握真假判定：熟练掌握判断全称量词命题（需证明或举反例）与存在量词命题（需找特例或证明不存在）真假的方法。 3. 掌握命题的否定：理解并掌握含有一个量词的命题的否定法则，能准确写出全称量词命题与存在量词命题的否定形式。改量词，否结论！ 模块一 全称量词与特称量词 知 识 点 睛 1. 全称量词与全称量词命题 全称量词：短语“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等在逻辑中叫做全称量词，用符号“ ”表示。 全称量词命题：含有全称量词的命题。一般形式为“对 中任意一个 ， 成立”，符号简记为： 。 2. 存在量词与存在量词命题 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等在逻辑中叫做存在量词，用符号“ ”表示。 存在量词命题：含有存在量词的命题。一般形式为“存在 中的元素 ，使 成立”，符号简记为： 。 【小练一下】 （一）概念辨析：指出量词并判断命题类型 1. 任意一个自然数都是正整数。 1. 存在一个实数 ，使得 。 1. 菱形的对角线互相垂直。 【解析】1.全称量词命题。量词：“任意一个”，符号： 。 2.存在量词命题。量词：“存在一个”，符号： 。 3.全称量词命题。隐藏了全称量词，补全为“所有的菱形的对角线互相垂直”。 （二）真假判断 4. 判断真假： 。 5. 判断真假： 。 【解析】 4. 真命题。解析：任意实数的平方都大于或等于，对所有元素都成立。 5. 假命题。解析：要使，则，而（不是整数），在整数集中找不到这样的特例。 热 点 题 型 归 纳 【练习1】 （单选）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （ ）（特称命题找特例，有1个特例符合要求就对） A. ， B. 有的矩形不是平行四边形 C. ， D. ， 【答案】C 【解析】ABC均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D不符合题意， 选项A：因为，所以命题为假命题； 选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题； 选项C：，故命题为真命题，故C正确. 故选：C． 模块二 命题的否定 知 识 点 睛 命题的否定（核心难点） · 否定法则：全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题。 · 操作口诀：“改量词，否结论”。 1　 的否定为： 。 2　 的否定为： 。 · 易错警示： 必须同时完成量词的改写和结论的否定，缺一不可！ 注意结论否定的准确性，例如“大于”的否定是“小于或等于”，“都是”的否定是“不都是”。 【小练一下】写出下列命题的否定并判断真假 1. : 所有的素数都是奇数。 2. : 。 【解析】1. 解析：原命题是全称量词命题。否定为：存在一个素数不是奇数 判断：真命题。解析：因为是素数，但是偶数，举出反例 即可证明原命题为假，故其否定为真。 2. 解析：原命题是存在量词命题。否定为： 。 判断：假命题。解析：当 时， ，故否定为假，原命题为真。 热 点 题 型 归 纳 【例1】 （单选） 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】存在量词命题“”的否定为全称量词命题“”， 命题“，”的否定是：，．故选：D． 【练习2】 （单选） 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由特称命题的否定是全称命题可得，“”的否定为“”.故选：B 【练习3】 （单选）命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】命题“，”的否定是“，”.故选：D. 【练习4】 （单选）已知命题，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得： 命题的否定是．故选：D 模块三 判断命题真假 知 识 点 睛 全称量词命题真假判定（重点）： · 判真：需要对集合 中的每一个元素进行证明，说明 都成立。（演绎推理） · 判假：只需在集合 中找到一个元素 ，使得 不成立即可。（即“举反例”） 存在量词命题真假判定（重点）： · 判真：只需在集合 中找到一个元素 ，使得 成立即可。（即“找特例”） · 判假：需要证明在集合 中，不存在任何一个元素能使 成立。（通常需结合函数性质或判别式等证明） 热 点 题 型 归 纳 复习二次函数图像的相应知识点： 从图像看方程的根为两个函数图像交点的横坐标， 即：图像和x轴（y=0）的交点横坐标， 若1，则根为图像和直线y=1的交点横坐标 Key：方程是否有解，除了判根公式，还可以看成，即与y=-c图像是否有交点，此方法适合在x有范围要求的时候使用！ Eg：在x∈（1,5）上是否有解 常见恒成立问题 1. （代端点法）如果函数图像在要求的部分是连续的，可以把端点代入判断。 Eg.在上恒成立，只需符合和 即可；因为在y<0时图像连续，y>0的部分分成两截， 如果是在上恒成立，这个方法就不适用。从图中易知几时符合 和,图像在区间(-1,2)上并无恒大于0. 2. +开口方向（当，只需符合a>0和） 画图分析：，看a的取值范围。（a<0和） 【例2】 （单选）已知命题：，；命题：，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】命题：，假命题，即在上无解， 即与，函数图象没有交点， 由图可知：或， 命题：，为真命题， 则，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 【练习5】 （单选）命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若命题“”为真命题，因函数在单调递减，所以，即. 根据补集的思想方法，所以命题“”为假命题，则. 因，所以命题“”为假命题的一个必要不充分条件是.故选：C. 【练习6】 命题“，”为假命题，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】若原命题为假命题，则其否定“，”为真命题， 这等价于，解得,故答案为：. 【练习7】 （多选）已知命题：，，则命题成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】若命题:，成立，则，解得， 故命题成立的充分不必要条件是属于的真子集，因此选项AD符合要求，故AD正确. 故选：AD. 【练习8】 命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】若命题为真命题， 即方程在上有解，则满足，解得， 若命题为真命题， 即不等式在上恒成立，则满足，解得， 当命题为真命题且为假命题时，则满足； 当命题为假命题且为真命题时，则满足； 所以命题､一真一假时，可得或 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 课后作业 一、 选择题（概念辨析，夯实基础） 1. 下列命题中，是全称量词命题的是（ ） A. 存在一个实数 ，使得 B. 有些平行四边形是菱形 C. 所有的矩形都有外接圆 D. 至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 1. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 1. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. B. C. D. 1. 已知命题 : 为真命题，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、 填空题（精准识记，规范表达） 1. 用符号“ ”或“ ”填空： ①______ ，使得 ； ②______ ，都有 。 1. 命题“所有的素数都是奇数”的否定是 ____________，它是 ____________ 命题（填“真”或“假”）。 1. 若命题“ ”是真命题，则实数 的取值范围是 ____________。 三、 解答题（逻辑推理，综合应用） 1. 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： （1）每个二次函数的图象都有最低点； （2） 存在一个四边形不是平行四边形。 1. 已知命题 : 。若命题 是真命题，求实数 的取值范围。 【作业解析】 一、 选择题 1. 【答案】C。解析：A、B、D 选项中的“存在一个”、“有些”、“至少有一个”都是存在量词，属于存在量词命题。C 选项中的“所有的”是全称量词，属于全称量词命题。 2. 【答案】B。解析：全称命题的否定是存在命题，需要“改量词，否结论”。 改为 ， 改为 。故选 B。 3. 【答案】B。解析：A 错，当 时 ，不满足 ；B 对，当 时， ，存在特例；C 错，当 时， ；D 错， 是无理数，不属于有理数集 。 4. 【答案】C。解析：命题为真，说明方程 有实数根，判别式 ，即 ，解得 。 2、 填空题 5. 【答案】 ① ； ② 。解析：① 存在 满足条件；② 所有的自然数都大于等于 0。 6. 【答案】 存在一个素数不是奇数；真。解析：原命题是全称命题，否定为存在命题。因为 是素数但不是奇数，所以否定是真命题。 7. 【答案】 。解析：要使二次函数 恒大于等于 0，需判别式 ，解得 。 三、 解答题 8. 【解析】 （1）假命题。理由：当二次项系数 时，抛物线开口向下，只有最高点没有最低点。 命题的否定：存在一个二次函数的图象没有最低点。（真命题） （2）真命题。理由：例如梯形，它有一组对边平行，另一组不平行，不是平行四边形。 命题的否定：所有的四边形都是平行四边形。（假命题） 1. 【解析】 因为命题 : 是真命题，需分情况讨论： ① 当 时，方程化为 ，解得 ，符合题意。 ② 当 时，方程为一元二次方程，要使其有实数根，需判别式 。 即 ，解得 。 又因为 ，所以此时 且 。 综合①和②的结果，实数 的取值范围是 。 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $ 彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第06讲 全称量词与存在量词 模块一 全称量词与存在量词（重点） 1 恒成立问题（1）二次函数相关 模块三 判断命题真假（难点） 4 模块二 命题的否定（重点） 3 课后作业 ··································································································································· 7 5 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第06讲 全称量词和存在量词 课堂思维碰撞 本 课 目 标 1. 理解核心概念：准确理解全称量词、存在量词的意义，能正确使用符号“ ”和“ ”对全称量词命题和存在量词命题进行符号化表达。 2. 掌握真假判定：熟练掌握判断全称量词命题（需证明或举反例）与存在量词命题（需找特例或证明不存在）真假的方法。 3. 掌握命题的否定：理解并掌握含有一个量词的命题的否定法则，能准确写出全称量词命题与存在量词命题的否定形式。改量词，否结论！ 模块一 全称量词与特称量词 知 识 点 睛 1. 全称量词与全称量词命题 全称量词：短语“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等在逻辑中叫做全称量词，用符号“ ”表示。 全称量词命题：含有全称量词的命题。一般形式为“对 中任意一个 ， 成立”，符号简记为： 。 2. 存在量词与存在量词命题 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等在逻辑中叫做存在量词，用符号“ ”表示。 存在量词命题：含有存在量词的命题。一般形式为“存在 中的元素 ，使 成立”，符号简记为： 。 【小练一下】 （一）概念辨析：指出量词并判断命题类型 1. 任意一个自然数都是正整数。 1. 存在一个实数 ，使得 。 1. 菱形的对角线互相垂直。 （二）真假判断 4. 判断真假： 。 5. 判断真假： 。 热 点 题 型 归 纳 【练习1】 （单选）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （ ）（特称命题找特例，有1个特例符合要求就对） A. ， B. 有的矩形不是平行四边形 C. ， D. ， 模块二 命题的否定 知 识 点 睛 命题的否定（核心难点） · 否定法则：全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题。 · 操作口诀：“改量词，否结论”。 1　 的否定为： 。 2　 的否定为： 。 · 易错警示： 必须同时完成量词的改写和结论的否定，缺一不可！ 注意结论否定的准确性，例如“大于”的否定是“小于或等于”，“都是”的否定是“不都是”。 【小练一下】写出下列命题的否定并判断真假 1. : 所有的素数都是奇数。 2. : 。 热 点 题 型 归 纳 【例1】 （单选） 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【练习2】 （单选） 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【练习3】 （单选）命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【练习4】 （单选）已知命题，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 模块三 判断命题真假 知 识 点 睛 全称量词命题真假判定（重点）： · 判真：需要对集合 中的每一个元素进行证明，说明 都成立。（演绎推理） · 判假：只需在集合 中找到一个元素 ，使得 不成立即可。（即“举反例”） 存在量词命题真假判定（重点）： · 判真：只需在集合 中找到一个元素 ，使得 成立即可。（即“找特例”） · 判假：需要证明在集合 中，不存在任何一个元素能使 成立。（通常需结合函数性质或判别式等证明） 热 点 题 型 归 纳 复习二次函数图像的相应知识点： 从图像看方程的根为两个函数图像交点的横坐标， 即：图像和x轴（y=0）的交点横坐标， 若1，则根为图像和直线y=1的交点横坐标 Key：方程是否有解，除了判根公式，还可以看成，即与y=-c图像是否有交点，此方法适合在x有范围要求的时候使用！ Eg：在x∈（1,5）上是否有解 常见恒成立问题 1. （代端点法）如果函数图像在要求的部分是连续的，可以把端点代入判断。 Eg.在上恒成立，只需符合和 即可；因为在y<0时图像连续，y>0的部分分成两截， 如果是在上恒成立，这个方法就不适用。从图中易知几时符合 和,图像在区间(-1,2)上并无恒大于0. 2. +开口方向（当，只需符合a>0和） 画图分析：，看a的取值范围。（a<0和） 【例2】 （单选）已知命题：，；命题：，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【练习5】 （单选）命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【练习6】 命题“，”为假命题，则实数的取值范围是___________. 【练习7】 （多选）已知命题：，，则命题成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（ ） A. B. C. D. 【练习8】 命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为________. 课后作业 一、 选择题（概念辨析，夯实基础） 1. 下列命题中，是全称量词命题的是（ ） A. 存在一个实数 ，使得 B. 有些平行四边形是菱形 C. 所有的矩形都有外接圆 D. 至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 1. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 1. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. B. C. D. 1. 已知命题 : 为真命题，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、 填空题（精准识记，规范表达） 1. 用符号“ ”或“ ”填空： ①______ ，使得 ； ②______ ，都有 。 1. 命题“所有的素数都是奇数”的否定是 ____________，它是 ____________ 命题（填“真”或“假”）。 1. 若命题“ ”是真命题，则实数 的取值范围是 ____________。 三、 解答题（逻辑推理，综合应用） 1. 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： （1）每个二次函数的图象都有最低点； （2） 存在一个四边形不是平行四边形。 1. 已知命题 : 。若命题 是真命题，求实数 的取值范围。 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $