第8课时1.5.1全称量词与存在量词导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦全称量词和存在量词，涵盖定义、命题辨析及真假判定。通过回顾命题概念导入，搭建从基础命题到量词命题的学习支架，以表格梳理核心知识，分题型典例深化理解，为后续量词命题否定铺垫。 资料特色是分层训练适配不同学生，典例结合方法总结与反思，强化逻辑推理。通过符号与文字语言互化培养数学抽象素养，参数范围问题提升应用能力，助力学生构建知识网络，发展数学思维。

第8课时1.5.1全称量词和存在量词 【学习目标】 ①理解全称量词、全称量词命题的定义； ②理解存在量词、存在量词命题的定义； ③会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假； ④借助全称量词、存在量词的含义，培养数学抽象素养； ⑤通过全称量词命题、存在量词命题的判断，提升逻辑推理素养. 【学习重点】 两类量词的概念识别；全称、存在量词命题的辨析与真假判定. 【学习难点】 精准区分全称与存在命题；理解全称命题全真、存在命题特真的判定逻辑. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.全称量词与全称量词命题 全称量词 短语“______”“________”在逻辑中通常叫做全称量词 符号表示 ___ 全称量词命题 含有________的命题，叫做全称量词命题 形式 “对中____一个，成立”，可用符号简记为_____________ 2.存在量词与存在量词命题 存在量词 短语“________”“__________”在逻辑中通常叫做存在量词 符号表示 __ 存在量词命题 含有________的命题，叫做存在量词命题 形式 “存在中的元素，成立”，可用符号简记为_____________ 二、典例精析 题型1全称量词命题及其判断 1．下列命题是全称量词命题且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．平面内存在一条直线与两条相交直线都平行 D．每个四边形的内角和都是360° 方法总结： 题型2存在量词命题及其判断 例2.以下四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是 A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使 方法总结： 题型3用量词改写命题 例3．判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”或“”表述下列命题. (1)对任意，成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 反思领悟： 题型4由含量词命题的真假求参数的取值范围 例4已知集合，且， （1）已知命题，若命题是真命题，求的取值范围； （2）已知命题，若命题是真命题，求的取值范围. 反思领悟： 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．下列全称命题中是真命题的个数是（   ） ①所有偶数都能被整除； ②所有的奇数都能被整除； ③任意实数的平方都不小于零． A． B． C． D． 2．下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 3．下列命题与“，”表述一致的（    ） A．只有一个实数x，使得 B．不存在实数x，使得 C．所有实数x，都有 D．至少有一个实数x，使得 4．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 5．若命题“已知，，有”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．将命题“实数的平方大于等于零”表示为全称量词命题：__________.（用符号语言表示） 7．若命题“”为真命题，则实数的取值范围是__________． 8．用量词符号表述下列命题： (1)任意一个实数乘以都等于它的相反数； (2)对任意实数，都有； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【能力提升】（多数必做） 9．（多选题）命题：存在实数，使得数据的中位数为．若命题为真命题，则实数的取值集合可以为（ ） A． B． C． D． 10．（多选题）已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．“”是真命题 C．“，使得”是真命题 D． 11．已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．根据下述事实，写出一个含有量词的全称量词真命题或存在量词的真命题：________ ， ， ， …… 14．请在下列条件中，分别求出t的取值范围． (1)，使得； (2)，使得； (3)且满足，使得． 四、课时小结 （1）核心概念：全称量词、存在量词定义；全称量词命题与存在量词命题；两类命题真假判定规则；隐藏量词识别； （2）工具：量词符号；文字语言与符号语言互化；逻辑推理、特例法；数形结合、分类讨论思想； （3）解题核心：显性量词直接识别命题类型，隐性量词先补全量词再判断；判真假全称命题找反例、存在命题找特例；含参恒成立或有解问题分清与，准确转化集合与函数关系. 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 预习1.5.2量词命题的否定，重点观察：全称命题、存在命题否定后量词与结论的变化规律。 | 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8课时1.5.1全称量词和存在量词 【学习目标】 ①理解全称量词、全称量词命题的定义； ②理解存在量词、存在量词命题的定义； ③会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假； ④借助全称量词、存在量词的含义，培养数学抽象素养； ⑤通过全称量词命题、存在量词命题的判断，提升逻辑推理素养. 【学习重点】 两类量词的概念识别；全称、存在量词命题的辨析与真假判定. 【学习难点】 精准区分全称与存在命题；理解全称命题全真、存在命题特真的判定逻辑. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.全称量词与全称量词命题 全称量词 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词 符号表示 全称量词命题 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题 形式 “对中任意一个，成立”，可用符号简记为 2.存在量词与存在量词命题 存在量词 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词 符号表示 存在量词命题 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题 形式 “存在中的元素，成立”，可用符号简记为 二、典例精析 题型1全称量词命题及其判断 1．下列命题是全称量词命题且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．平面内存在一条直线与两条相交直线都平行 D．每个四边形的内角和都是360° 答案：D 思路分析：先判断各命题的量词类型筛选出全称量词命题，再验证命题真假. 规范解答： 对于A：含存在量词“存在”，为存在量词命题，A错误； 对于B：含全称量词“所有的”，为全称量词命题；但存在素数2是偶数，不是奇数，故该命题为假命题，B错误； 对于C：含存在量词“存在”，为存在量词命题，C错误； 对于D：含全称量词“每个”，为全称量词命题；任意四边形均可分割为个不重叠的三角形，结合三角形内角和为，可得四边形内角和为，该命题为真命题，D正确； 方法总结：（1）判断一个命题是否是全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等表示全体的量词，表示某一类事物的描述中全称量词是隐藏的，要仔细辨别； （2）判断全称量词命题的真假时，若证为 ，需全部对象都满足条件；若证为假，找到一个反例即可.即“全真才真，一假则假”. 题型2存在量词命题及其判断 例2.以下四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是 A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使 答案：B 思路分析：先确定命题中的量词类型，筛选出存在量词命题，再判断真假. 规范解答： 对于A：命题等价于“所有锐角三角形的内角都是锐角或钝角”，其隐含的量词“所有”是全称量词，所以该命题为全称量词命题，A错误； 对于B：含有量词“至少有一个”为存在量词，是存在量词命题，取，满足是真命题，B正确； 对于C：命题等价于“任意两个无理数的和必是无理数”，其隐含的量词“任意”是全称量词，所以该命题是全称量词命题，C错误； 对于D：含有量词“存在一个”，是存在量词，所以该命题是存在量词命题，对任意，都有则，故此命题为假命题，D错误. 故选B. 方法总结： （1）判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等表示部分的量词； （2）判断存在量词命题的真假时，若证为真，只要找到至少一个，使得成立即可；若证为假，则需全体对象都不能满足，即一真则真，全假才假. 题型3用量词改写命题 例3．判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”或“”表述下列命题. (1)对任意，成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 思路分析：先读题识别其中的关键量词，判断命题类型，再按“量词+范围+结论”的形式规范写成符号语言. 规范解答： （1）全称量词命题，表示为：，. （2）全称量词命题，表示为：，，方程恰有一解. （3）存在量词命题，表示为：，既能被2整除，又能被3整除. （4）存在量词命题，表示为：，不是平行四边形. 反思领悟： （1）书写符号时，取值范围不能省略； （2）标准模板：①全称量词命题：取值范围，结论； ②存在量词命题：取值范围，结论. 题型4由含量词命题的真假求参数的取值范围 例4已知集合，且， （1）已知命题，若命题是真命题，求的取值范围； （2）已知命题，若命题是真命题，求的取值范围. 思路分析：（1）将问题转化为,结合数轴列不等式组求解； （2）将问题转化为，采用补集思想求解. 规范解答： 解析：因为，所以，解得. （1）若命题是真命题，则， 结合数轴可得 ，解得，即， 所以的取值范围是. （2）若命题是真命题，则， 若, 或 结合数轴可得①或②， ①无解，②解得，即满足的的取值范围为， 所以当时，， 所以的取值范围是. 反思领悟： （1）依据含量词命题的真假求参数取值范围时，把命题的真假问题先转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求解； （2）转化模板： 全称量词命题“全部在内”子集；存在量词命题“有公共点”交集非空. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．下列全称命题中是真命题的个数是（   ） ①所有偶数都能被整除； ②所有的奇数都能被整除； ③任意实数的平方都不小于零． A． B． C． D． 答案：C 解析：根据偶数的定义可知①为真命题；为奇数但不能被整除，因此②为假命题；由可知③为真命题， 所以真命题的个数为，故C正确. 2．下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 答案：D 解析：A选项完整含义为“所有正方形的四条边相等”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； B选项完整含义为“所有有三个角是的三角形是等边三角形”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； C选项完整含义为“所有正数的平方根不等于0”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； D选项含有存在量词“至少有一个”，属于存在量词命题. 3．下列命题与“，”表述一致的（    ） A．只有一个实数x，使得 B．不存在实数x，使得 C．所有实数x，都有 D．至少有一个实数x，使得 答案：D 解析：与“，”表述一致的为至少有一个实数x，使得. 4．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 答案：A 解析：， 对于A：，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可，例如，满足且， A正确； 对于B：，这是存在性命题，集合中的元素都在集合中，故不存在集合中的元素不属于集合， B错误； 对于C：，这是全称命题，要求所有集合中的元素都不属于集合，而属于集合，也属于集合， C错误； 对于D：，这是全称命题，要求所有集合中的元素都属于集合，而属于集合，但不属于集合， D错误． 5．若命题“已知，，有”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：C 解析：由，得，要使，有，只需， 所以实数m的取值范围是 6．将命题“实数的平方大于等于零”表示为全称量词命题：__________.（用符号语言表示） 答案： 解析：命题“实数的平方大于等于零”表示为全称量词命题，即. 7．若命题“”为真命题，则实数的取值范围是__________． 答案： 解析：已知命题“”为真命题，则方程有实根， 此时二次函数的判别式满足 . 即，解得： 综上，实数的取值范围是 . 8．用量词符号表述下列命题： (1)任意一个实数乘以都等于它的相反数； (2)对任意实数，都有； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 解析：（1）. （2）. （3）且. （4）｛四边形｝，｛平行四边形｝. 【能力提升】（多数必做） 9．（多选题）命题：存在实数，使得数据的中位数为．若命题为真命题，则实数的取值集合可以为（ ） A． B． C． D． 答案：ACD 解析：根据中位数定义可知，只需，则中位数必为 选项A,C,D中的取值集合均满足，均正确，选项B中取值集合不满足，错误. 10．（多选题）已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．“”是真命题 C．“，使得”是真命题 D． 答案：ACD 解析：对于A：由图可知，集合 与集合 有重叠部分，即公共元素，所以 ， A正确； 对于B： 表示集合 在全集 中的补集，即图中 圆圈外部的区域. 由图可知，集合 中有一部分元素在 的外部（即 独有的部分）， 这部分元素属于 但也属于 ，因此“”意味着 中没有元素在 外，即 ，这与图形不符， B错误； 对于C：命题“，使得”等价于 . 由图可知两集合有交集，故存在这样的元素， C正确； 对于D：根据集合运算的德·摩根定律， 恒成立， 表示既不在 中也不在 中的元素集合等于不在与并集中的元素集合，故D正确. 11．已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 答案：A 解析：因为集合，集合，命题“，使得”为真命题，所以 又命题“，都有”为假命题，可知集合不是集合的子集， 当时，，解得，此时，不满足， 当时，，解得， 因为，所以或 由，解得；由，解得 因此得到 又因为集合不是集合的子集，所以或，解得或， 结合，可得， 故选：A. 12．已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 解析：（1）集合，集合. 若“”是“”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集. 所以 ，解得. 当时，，符合题意； 所以的取值范围是. （2）若命题“，”是真命题，则集合是的子集. 或. 因为恒成立，所以. 所以或， 解得：或. 所以的取值范围是或. （3）因为“，”是真命题，所以. 当时，因为，所以或，即或. 所以当时，的取值范围是. 所以，若命题“，”是真命题，则的取值范围是. 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．根据下述事实，写出一个含有量词的全称量词真命题或存在量词的真命题：________ ， ， ， …… 答案：，. 解析：观察式子可知：从开始从小到大连续个奇数相加的和为， 故可得：，； 故答案为：，. 14．请在下列条件中，分别求出t的取值范围． (1)，使得； (2)，使得； (3)且满足，使得． 解析：（1）由可得，则， 又由，可得， 因，使得， 则有，即得，解得； （2）由题意，令，，则恒成立，故只需即可，即； （3）① 当时，，因， 令，则恒成立，可得，又，则， 而当时，令，因，则，取，则成立； ② 当时，令，则，可得； 而当时，令，，则恒成立. 综上，或． 四、课时小结 （1）核心概念：全称量词、存在量词定义；全称量词命题与存在量词命题；两类命题真假判定规则；隐藏量词识别； （2）工具：量词符号；文字语言与符号语言互化；逻辑推理、特例法；数形结合、分类讨论思想； （3）解题核心：显性量词直接识别命题类型，隐性量词先补全量词再判断；判真假全称命题找反例、存在命题找特例；含参恒成立或有解问题分清与，准确转化集合与函数关系. 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 预习1.5.2量词命题的否定，重点观察：全称命题、存在命题否定后量词与结论的变化规律。 | 学科网（北京）股份有限公司 $