1.2集合间的基本关系导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“集合间的基本关系”，核心涵盖子集、真子集、相等及空集概念。课堂导入先通过知识回顾巩固元素与集合关系、集合表示方法，再类比实数大小关系提出新问题，搭建从元素与集合关系到集合间关系的学习支架。 资料特色在于以实例观察（如班级学生、三角形类型）抽象集合关系，培养数学眼光，通过类比实数性质归纳子集性质发展数学思维，借助Venn图与符号语言强化数学语言表达。分层习题设计（A组基础、B组能力）助力学生巩固提升，有效培养从具体到抽象的思维能力与应用意识。

课题 1.2集合间的基本关系 学习目标 1.理解集合之间包含与相等的含义，在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强从具体到抽象的思维能力，体会数形结合的思想． 2.能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，能区别元素与集合间的属于关系和集合间的包含关系． 学习过程 一、知识回顾 （1）一般地，我们把 统称为元素，把一些元素组成的总体叫做 ．只要构成两个集合的 是一样的，我们就称这两个集合是相等的． （2）除了用自然语言表示集合，还能用 、 表示集合． 二、新知探究 探究一 回顾旧知，提出新问 ●活动① 回顾旧知 元素与集合的关系是什么？ 如果a是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 ；如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 ． ●活动② 创设情境，提出问题 【思考】 对两个实数，有的大小关系和相等关系，如5＞3,5<7,5=5等。对于两个集合、，它们之间有什么关系？ 探究二 探究集合间的关系、集合的子集以及集合的性质 ●活动① 归纳提炼子集和集合相等的概念 观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗? (1)A={1，2,3}，B={1，2,3,4,5}; （2）C为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合; (3)E={x|x是两条边相等的三角形}，F={x|x是等腰三角形}. 【思考1】请你阅读课本第7页中的例子，思考下面两个小问题： （1） 实例中的两个集合间的元素有何特点？ （2）类比实数之间的大小关系、相等关系，你能发现每个小题中两个集合之间的关系吗？ 【总结归纳】请继续阅读第7页思考第3自然段和第6自然段填写如下定义： 子集： ， 。 记作： ，读作： 集合相等： ， 。记作： 。 【思考2】在数学中，除了用列举法、描述法来表示集合之外，还有其他方法来表示集合吗？它可以用来集合间的关系吗？ 【思考3】你能举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例吗？ 练习1、用适当的符号填空： 0 N, -3 R, 5 Z, 3 Q, R____N, Z____Q, N____Z, Q____R 【思考4】包含关系与属于关系有什么区别? ●活动② 归纳提炼真子集的概念 【思考1】观察下列两组集合，它们之间有何关系？ A＝{x|x<-4或x>2}与B={x|x<0或x>1} A＝{x|-1<x<3}与B={x|-3<2x-1<5} 【思考2】 若，则可能有，也可能．当 ，且时，我们如何进行数学解释？ 【总结归纳】请继续阅读第8页思考第1自然段填写如下定义： 真子集： ， 。 记作： 。 ●活动③ 归纳提炼空集的概念 【思考1】观察下面2个集合，它们有何共同特点？ （1）； （2）． 【总结归纳】请继续阅读第8页思考第4自然段填写如下定义： 空集： 。 规定：空集是任何集合的子集，即 ． 空集是任何非空集合的真子集，即 ． ●活动④ 类比实数大小关系，归纳子集基本性质 【思考1】类比实数大小关系,子集哪些基本性质？ 实数 集合 对于实数，有； 对于集合，有 ． 对于实数如果 ●活动⑤ 归纳提炼含n个元素的集合的子集与真子集的个数 填写下表，并回答问题 原集合 子集 子集的个数 真子集个数 【思考1】含n个元素的集合的所有 （1）子集的个数是多少？ （2）真子集的个数是多少？ （3）非空子集及非空真子集个数是多少？ 练习3、写出集合N＝{1,3,5}的子集，其中真子集的个数是多少？ 课后作业 [A组　必备知识练] 1．已知集合A＝{1，2，3}，则下列集合是集合A的真子集的是(　　) A．{1，2，3}　　　　　　　 B．{2，3} C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4} 2．已知A＝{x|x是正数}，B＝{x|x是正整数}，C＝{x|x是实数}，那么A，B，C之间的关系是(　　) A．A⊆B⊆C B．B⊆A⊆C C．AB⊆C D．A＝B⊆C 3．现有以下三组集合： ①{a，b}和{b，a}； ②{1，0}和{(1，0)}； ③{y|y＝x2，x∈R}和{x|y＝x2，x∈R}． 其中，满足集合相等的有(　　) A．3组 B．2组 C．1组 D．0组 4．若集合A＝{x|1≤x<2}是集合B＝{x|x>b}的子集，则实数b的取值范围是(　　) A．b≥2 B．1<b≤2 C．b≤2 D．b<1 5．已知集合A＝{－1，3，m}，B＝{3，4}，若B⊆A，则实数m＝__________． 6．满足{0，2，4}A{0，2，4，6，8，10}的集合A的个数是________． 7．指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|0<x<5}； (2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}； (3)A＝{x|x2－x＝0}，B＝. [B组　关键能力练] 8．已知集合A＝{x|0<x<7，x∈N}，则B＝的真子集的个数为(　　) A．4 B．8 C．15 D．16 9．已知非空集合M满足：对于任意x∈M，总有x2∉M；对于任意x∈M，总有∉M，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件的M的个数是(　　) A．11 B．12 C．15 D．16 10．已知集合M＝，N＝{x|x＝n＋，n∈Z}，则集合M与集合N的关系是__________． 11．已知集合A＝{x|x2＋x＝0，x∈R}，则集合A＝________．若集合B满足{0}B⊆A，则集合B＝________． 12．设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}． (1)若a＝，试判定集合A与B的关系． (2)若B⊆A，求实数a的取值集合． 参考答案 ============================================ 一、知识回顾 (1)研究对象；集合；元素 (2)列举法；描述法 探究一 活动① 属于； a∈A； 不属于；a∉A 概念填空 子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说集合A为集合B的子集。 记作：A⊆B（或B⊇A）；读作：A包含于B（或B包含A） 集合相等：如果集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A与集合B的元素完全一样，称集合A与集合B相等。记作：A=B。 练习1符号填空： 0 ∈ N, -3 ∈ R, 5 ∈ Z, 3 ∈ Q, R ⊇ N, Z ⊇ Q不成立，Z ⊆ Q； N ⊆ Z, Q ⊆ R 修正完整：0∈N，‑3∈R，5∈Z，3∈Q； R⊇N， Z⊇Q错误→Z⫋Q，N⫋Z，Q⫋R 思考4：∈是元素和集合之间的关系；⊆、⫋是集合与集合之间的关系。 活动②思考1： A＝{x|x<-4或x>2}，B={x|x<0或x>1}，A⫋B； A＝{x|-1<x<3}，B={x|-3<2x‑1<5}化简得‑1<x<3，A=B。 真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集；记作A⫋B（B⫌A）。 活动③空集：不含任何元素的集合，记作∅。 规定：∅⊆A； 若A非空，则∅⫋A。 活动④子集性质 ①A⊆A；②若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；③A⊆B且B⊆A ⇒A=B。 活动⑤n个元素集合： (1)子集：2ⁿ；(2)真子集：2ⁿ‑1；(3)非空子集：2ⁿ‑1；非空真子集：2ⁿ‑2。 练习3： N={1,3,5}的子集：∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}； 真子集共7个。 —————————— A组 必备知识练 1.B 2.B 3.C 解析：①相等；②不相等；③不相等；共1组。 4.D 5.m=4 6. 6 解析：A必须至少多一个元素，最多少一个，候选元素{6,8,10}，A要真包含于大集合，不能取全部3个，可取1个或2个，3+3=6。 7. (1) B⫋A (2) B⫋A (3) A=B —————————— B组 关键能力练 8.C 解析：B={1,2,3,6}共4个元素，真子集24‑1=15。 9.A 解析：不能包含0、1；可选{2},{3},{4},{5},{2,3},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},{2,3,5},{3,4,5}，一共11个。 10. N⫋M 11. A={0,-1}； B={-1, 0} 12. A={3,5} (1) a=，B={5}，B⫋A。 (2)B⊆A，分B=∅时a=0；B={3}时a=；B={5}时a=； a的取值集合 {0，，}。 学科网（北京）股份有限公司 $