第一章勾股定理 素养过关自测卷 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

第一章勾股定理 素养过关自测卷 八年级数学(北师版) 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.满分120分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置. 第I卷 选择题(共30分) 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1.如图，Rt△ABC的两直角边的长分别为3和4，则斜边的长为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 2.下列选项中的每组数，不能作为直角三角形三条边的长度的是 ( ) A.3.4.5 B.5,12、13 C.7,14,15 D.9,12,15 3.下列各组数中，是勾股数的是 ( ) A.0.3,0.4,0.5 B.5,12,13 C.4.5.6 D.0.7,2.4,2.5 4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以AB为边作正方形ABDE,则正方形ABDE的面积为 ( ) A.5 B.7 C.12 D.25 5.三角形的三边长分别为a，b，c，且( 则这个三角形是 ( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 6.如图，一根竹子折断前总高18m，在离地面5m处断裂，竹子顶部落在地面上，则顶部落地点到竹子底部的距离为 ( ) A.10m B.12m C.15m D.16m 7.如图，分别以Rt△ABC的三边向外作等腰直角三角形，其面积分别为S₁,S₂,S₃.若 则S，等于 ( ) A.3 B.4 C.4.5 D.5 8.若一个直角三角形的两边长分别为8和15，则第三边长的平方为 ( ) A.17 B.289 C.289或225 D.289或161 9.如图，在小正方形边长均为1的网格中有四个三角形，其中是直角三角形的是 ( ) A.④ B.③ C.② D.① 10.如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这张正方形纸片翻折，使点C刚好落在点E处，折痕分别交AB，CD于点G，F，则CF的长为 ( ) A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 第Ⅱ卷 非选择题(共90分) 二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分) 11.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,AD为BC边上的高,则AD的长为 . 12.一个三角形草坪的三边长分别为5m，12m，13m，则这个草坪的面积为 m². 13.如图,在Rt△ABC中,斜边BC=6,则 14.如图，圆柱形笔简的内部底面直径为6cm，内壁高为8cm，现将一支长为15cm的铅笔放入笔简中，则铅笔露在笔筒外面部分的长度x的取值范围是 . 15.如图，一只蚂蚁在高为10cm，底面周长为12cm的圆柱上底面的点A处，在与点A相对，且距离下底面2cm的点B处放有食物.若这只蚂蚁想爬过去吃食物，则它所爬行的最短路程为 cm. 三、解答题(本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题5分)如图，已知∠A=∠CBF=90°. AF=5cm,AB=12cm,BC=9cm,求正方形CDEF的面积. 17.(本题6分)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，按照下列要求在方格纸中作图(要求：正确标注字母). (1)以AB为边,画正方形ABCD. (2)以AB为斜边，在正方形ABCD的内部画等腰直角三角形ABE. 18.(本题10分)如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,已知BC=15,BD=9,AC=20. (1)求AD的长. (2)判断△ABQ的形状，并说明理由. 19.(本题8分)如图是某山区文旅项目规划平面图(单位：m)，为打通两山之间的观景通道，计划架设一条依次经过观景台M、中转平台O、山谷观景点Q的空中栈道.空中栈道的建设造价为2000元/m，则该空中栈道建设成本预计为多少元? 20.(本题10分)农技人员需要测量农田沟渠两端A，B之间的距离，沟渠内不便直接测量，因此设计了如下测量方案：①沿着AB的延长线在田地里选取点G；使得BC=5m；②在AC一侧选定点D(可到达A、B两点),使得BD=12m;③测得CD=13m,AD=20m. (1)求∠ABD的度数. (2)求沟渠两端A、B之间的距离.C 21.(本题13分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=4,AD平分∠BAC,交BC于点D.若 (1)求点D到AC的距离. (2)求AC的长. (3)求△ABC的面积. 22.(本题10分)如图，一辆工程洒水车沿笔直公路MN从M向N行驶，点P是居民小区，小区P到公路上M,N两点的距离分别为90m,120m(PM=90m,PN=120m),M,N两点相距150m.洒水车行驶时，车身周边75m范围内会产生扬尘污染，请问这个小区会不会受到扬尘污染?请说明理由. 23.(本题13分)勾股定理可借助赵爽弦图进行证明.如图1，弦图由四个全等的直角三角形拼接而成，图形内部、外部各形成一个正方形、设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用面积法能够推导出直角三角形三边长a，b，c满足关系式： (1)求证: (2)图2是由图1中四个直角三角形的较短直角边分别向外延长相同的长度，并与正方形对应的顶点连接得到的，整体像一个风车.若外围轮廓(图中虚线部分)的总长度为56，a=6，b=4，求这个风车图案的面积. 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D C B C D A C 二、填空题 三、解答题 16.解:在Rt△ABF中,∠A=90°,由勾股定理, 得， 2分 在Rt△BCF中,∠CBF=90°,由勾股定理, 得 4分 所以正方形CDEF的面积 5分 17.解:(1)如答图,正方形ABCD即为所求 3分 (2)如答图，等腰直角三角形ABE即为所求 6分 18.解:(1)因为CD⊥AB,所以∠ADC=∠BDC=90°.·1分 在Rt△BCD中,由勾股定理, 得 3分 在Rt△ACD中,由勾股定理, 得 4分 所以AD=16.·5分 (2)△ABC是直角三角形 6分 理由如下： 由(1),得AD=16,所以AB=AD+BD=16+9=25.·7分 在△ABC中,AC=20,BC=15,AB=25, 因为 8分 所以 9分 所以△ABC是直角三角形.·10分 19.解:由图,得∠N=∠P=90°,MN=15,NO=20,OP=48,PQ=14 1分 在Rt△MNO中,由勾股定理, 得 2分 所以MO=25.·3分 在Rt△POQ中,由勾股定理, 得 4分 所以OQ=50.··5分 所以MO+OQ=25+50=75(m).·6分 2000×75=150000(元).· 7分 答：该空中栈道建设成本预计为150000元. 8分 20.解:(1)因为BC=5,BD=12,CD=13, 所以 2分 因为 所以 4分 所以△BCD是直角三角形,且∠CBD=90°.·5分 所以∠ABD=180°-∠CBD=90°.··6分 (2)由(1),得∠ABD=90°,在Rt△ABD中, 由勾股定理，得 8分 所以AB=16(m) 9分 答：沟渠两端A，B之间的距离为16m 10分 21.解:(1)如答图,过点D作DE⊥AC于点E,则∠AED=∠DEC=90° 1分 因为AD平分∠BAC,∠B=90°,∠DEC=90°, 所以BD=DE 2分 因为 所以 3分 所以点D到AC的距离为 4分 (2)因为BC=4,所以 5分 在Rt△CDE中,由勾股定理, 得 所以CE=2.·6分 因为 8分 所以 9分 所以△ABC是直角三角形. 10分 19.解:由图,得∠N=∠P=90°,MN=15,NO=20,OP=48,PQ=14. 1分 在Rt△MNO中,由勾股定理, 得 2分 所以MO=25. 3分 在Rt△POQ中,由勾股定理, 得 4分 所以OQ=50. 5分 所以MO+OQ=25+50=75(m). 6分 2000×75=150000(元). 7分 答：该空中栈道建设成本预计为150000元. 8分 20.解:(1)因为BC=5,BD=12,CD=13, 所以 2分 因为 4分 所以△BCD是直角三角形,且∠CBD=90°. 5分 所以∠ABD=180°-∠CBD=90°. 6分 (2)由(1),得∠ABD=90°,在Rt△ABD中, 由勾股定理，得 8分 所以AB=16(m). 9分 答：沟渠两端A，B之间的距离为16m. 10分 21.解:(1)如答图,过点D作DE⊥AC于点E,则∠AED=∠DEC=90°. 1分 因为AD平分∠BAC,∠B=90°,∠DEC=90°, 所以BD=DE. 2分 因为 3分 所以点D到AC的距离为 4分 (2)因为BC=4,所以 5分 在Rt△CDE中,由勾股定理, 得 所以CE=2. 6分 因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠EAD. 在△ABD和△AED中 ∠BAD=∠EAD,∠B=∠AED,BD=ED, 所以△ABD≌△AED(AAS) 7分 所以AB=AE 8分 设AB=AE=x,则AC=x+2.·9分 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 即 10分 解得x=3.所以AC=3+2=5.·11分 得AB=3,因为∠B=90°, 所以 13分 22.解：这个小区会受到扬尘污染 理由如下： 如答图,过点P作PO⊥MN于点O 由题意,得PM=90,PN=120,MN=150, 所以. 因为 所以 所以△PMN是直角三角形,且∠MPN=90°.· 因为PO⊥MN, 所以 所以 因为72<75，所以这个小区会受到扬尘污染 23.解:(1)因为BC=a,AC=b,∠ACB=90°, 所以 1分 由图1，得内部小正方形的边长=a-b， 2分 所以 3分 4分 因为大正方形的边长为c，所以S₂大正方形=c².· 5分 所以 6分 (2)如答图.由题意，得风车图案由四个全等的直角三角形(Rt△DEF)和内部小正方形组成. 因为外围轮廓的总长度为56， 所以56÷4=14,即BD+DE=14. 7分 设BD=x,则DE=14-x,DF=x+b,EF=a 8分 因为a=6,b=4,所以DF=x+4,EF=6. 在Rt△DEF中，由勾股定理，得 即 解得x=4. 9分 所以BD=4,DF=8.· 10分 所以 11分 由(1),得 12分 所以风车图案的面积： 13分 学科网（北京）股份有限公司 $