第1章 勾股定理 单元练习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

2026—2027 学年度第一学期 第 1 章 勾股定理 同步练习 （北师大版·数学八年级上册） 满分：100 分　　考试时间：45 分钟 密 封 线 内 不 要 答 题 学校：__________________　　班级：__________　　姓名：__________　　座号：_________ 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 注意事项： 1．本卷共六大题、29 小题，满分 100 分，考试时间 45 分钟。 2．答题前请将学校、班级、姓名、座号填写完整。 3．选择题答案填在题后括号内；解答题须写出必要的推理与演算过程，只写结果不得分。 4．多选题全部选对得 4 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。 一、单项选择题（第 1~10 题，每小题 3 分，共 30 分） 1．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，两直角边 a = 6，b = 8，则斜边 c 的长为（　　） A．8　　　B．10　　　C．12　　　D．14 2．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．2，3，4　　　B．5，6，7　　　C．8，15，17　　　D．9，16，25 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 5，BC = 12，则 AB 的长为（　　） A．13　　　B．14　　　C．15　　　D．17 4．等腰直角三角形的直角边长为 2，则斜边长为（　　） A．2　　　B．√2　　　C．2√2　　　D．4 5．直角三角形的两条直角边长分别为 3 和 4，则斜边上的高为（　　） A．2.4　　　B．2.5　　　C．4.8　　　D．5 6．一个直角三角形的斜边长为 10，其中一条直角边长为 6，则这个直角三角形的面积为（　　） A．20　　　B．24　　　C．28　　　D．30 7．在 △ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c，下列条件中不能判定 △ABC 是直角三角形的是（　　） A．∠C = 90°　　B．∠A + ∠B = ∠C　　C．a² = b² + c²　　D．a : b : c = 1 : 2 : 3 8．如图，将长方形 ABCD 沿 AE 折叠，使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处。已知 AB = 8，AD = 10，则 DE 的长为（　　） A．3　　　B．4　　　C．5　　　D．6 9．一架长 25 米的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子底端离墙 7 米，则梯子顶端到达的高度为（　　） A．18 米　　　B．20 米　　　C．24 米　　　D．26 米 10．一个圆柱形水杯的底面周长为 12 cm，高为 8 cm。一只蚂蚁从下底面的点 A 沿杯壁侧面爬到上底面与 A 相对的点 B（A、B 在底面同一直径的两端），则它爬行的最短路程为（　　） A．9 cm　　　B．10 cm　　　C．12 cm　　　D．13 cm 二、多项选择题（第 11~15 题，每小题 4 分，共 20 分） （说明：全部选对得 4 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。） 11．下列各组数中，是勾股数的有（　　） A．3，4，5　　　B．7，24，25　　　C．5，12，13　　　D．6，7，8 12．在 △ABC 中，a、b、c 分别为 ∠A、∠B、∠C 的对边长，下列条件中能判定 △ABC 是直角三角形的有（　　） A．a² + c² = b²　　B．∠A = 90°　　C．∠A + ∠B = ∠C　　D．a : b : c = 2 : 3 : 4 13．下列命题中，是真命题的有（　　） A．直角三角形的两个锐角互余 B．勾股定理对任意三角形都成立 C．在直角三角形中，斜边是最长的边 D．三边长分别为 6、8、10 的三角形是直角三角形 14．直角三角形的两条边长分别为 6 和 8，则第三边长可能是（　　） A．10　　　B．2√7　　　C．12　　　D．5 15．下列说法中，正确的有（　　） A．勾股定理只适用于直角三角形 B．勾股数必须是三个正整数 C．以 6、8、10 为三边的三角形中，斜边长为 8 D．勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否为直角三角形的重要依据 三、填空题（第 16~20 题，每小题 2 分，共 10 分） 16．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，两直角边 a : b = 3 : 4，斜边 c = 15，则 b = ＿＿＿＿＿＿。 17．直角三角形的两边长分别为 5 和 12，则第三边长为 ＿＿＿＿＿＿。 18．一个直角三角形的面积为 24，其中一条直角边长为 6，则它的斜边长为 ＿＿＿＿＿＿。 19．如图，一棵大树在离地面 6 米处折断，树尖恰好落在离树根 8 米处，则这棵树原来的高度是 ＿＿＿＿＿＿ 米。 20．观察下列勾股数：3² + 4² = 5²，5² + 12² = 13²，7² + 24² = 25²，……，按此规律，若 9² + b² = c²（b、c 为正整数），则 b = ＿＿＿＿，c = ＿＿＿＿。 四、判断题（第 21~25 题，每小题 2 分，共 10 分） （正确的在括号内打“√”，错误的打“×”。） 21．直角三角形的两边平方和等于第三边的平方。（　　） 22．若三角形的三边长为 a、b、c，且 a² + b² = c²，则该三角形中 ∠C = 90°。（　　） 23．只要三个数都是整数，它们就一定是勾股数。（　　） 24．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，则 a² + c² = b²。（　　） 25．已知两边可用勾股定理求第三边；已知三边可用勾股定理的逆定理判定直角三角形。（　　） 五、简答题（第 26~27 题，每小题 8 分，共 16 分） 26．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8。 （1）求 AB 的长； （2）求斜边 AB 上的高 CD 的长。 27．如图，在 △ABC 中，AB = 13，BC = 14，AC = 15，AD 是 BC 边上的高。 （1）设 BD = x，用含 x 的代数式表示 CD； （2）求 AD 的长。 六、材料分析题（第 28~29 题，每小题 7 分，共 14 分） 28．阅读材料，回答问题。 我国古代数学家赵爽利用“弦图”证明了勾股定理：用 4 个全等的直角三角形（两直角边分别为 a、b，斜边为 c，且 b > a）拼成一个大正方形，中间恰好留出一个边长为 b − a 的小正方形。 （1）请你用两种不同的方法表示大正方形的面积，从而证明 a² + b² = c²； （2）若已知大正方形的面积为 100，中间小正方形的面积为 4，求这 4 个直角三角形的面积之和。 29．阅读材料，回答问题。 《九章算术》中记载了“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。”意思是：有一个边长为 1 丈（10 尺）的正方形水池，一根芦苇生长在池子的正中心，露出水面 1 尺。如果把芦苇的顶端拉向岸边，恰好与水面齐平。 （1）设水深为 x 尺，请描述这个问题的直角三角形模型，并写出各边长； （2）求水深和芦苇的长。 《第 1 章 勾股定理 同步练习》参考答案与评分标准 （北师大版·数学八年级上册　　满分 100 分　　时间 45 分钟） 一、单项选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．B　【解析】c = √(6² + 8²) = √100 = 10。 2．C　【解析】8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17²，其余三组不满足两较小数平方和等于最大数平方。 3．A　【解析】AB = √(5² + 12²) = √169 = 13。 4．C　【解析】斜边 = √(2² + 2²) = √8 = 2√2。 5．A　【解析】斜边 = 5，由面积法 ½ × 3 × 4 = ½ × 5 × h，得 h = 12 ÷ 5 = 2.4。 6．B　【解析】另一直角边 = √(10² − 6²) = 8，面积 S = ½ × 6 × 8 = 24。 7．D　【解析】A、B、C 均可得 ∠ = 90°；D 中 1² + 2² ≠ 3²，且 1 + 2 = 3 不能构成三角形。 8．C　【解析】折叠得 AF = AD = 10，BF = √(10² − 8²) = 6，FC = 4。设 DE = x，则 EC = 8 − x，在 Rt△EFC 中 x² = 4² + (8 − x)²，解得 x = 5。 9．C　【解析】h = √(25² − 7²) = √576 = 24（米）。 10．B　【解析】侧面展开后，水平距离 = 12 ÷ 2 = 6（cm），竖直距离 = 8（cm），最短路程 = √(6² + 8²) = 10（cm）。 二、多项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 11．ABC　【解析】3² + 4² = 5²；7² + 24² = 25²；5² + 12² = 13²；而 6² + 7² = 85 ≠ 8²。 12．ABC　【解析】A 得 ∠B = 90°；B 显然；C 得 ∠C = 90°；D 中 2² + 3² ≠ 4²，不能判定。 13．ACD　【解析】B 错：勾股定理只适用于直角三角形。 14．AB　【解析】6、8 同为直角边时第三边为 10；8 为斜边时第三边为 √(8² − 6²) = 2√7。 15．ABD　【解析】C 错：三边 6、8、10 的三角形中，最长边 10 才是斜边。 三、填空题（每小题 2 分，共 10 分） 16．12　【解析】设 a = 3k，b = 4k，则 25k² = 225，k = 3，b = 12。 17．13 或 √119　【解析】5、12 同为直角边时斜边为 13；12 为斜边时第三边为 √(12² − 5²) = √119。 18．10　【解析】另一直角边 = 2 × 24 ÷ 6 = 8，斜边 = √(6² + 8²) = 10。 19．16　【解析】折断部分 = √(6² + 8²) = 10（米），原高 = 6 + 10 = 16（米）。 20．b = 40，c = 41　【解析】n 为奇数时 b = (n² − 1) ÷ 2，c = (n² + 1) ÷ 2；n = 9 时 b = 40，c = 41（81 + 1600 = 1681 = 41²）。 四、判断题（每小题 2 分，共 10 分） 21．×　【解析】必须是“两直角边的平方和等于斜边的平方”。 22．√　【解析】即勾股定理的逆定理。 23．×　【解析】还须满足两较小数平方和等于最大数平方，如 1、2、3 不是勾股数。 24．×　【解析】∠C = 90° 时斜边为 c，应为 a² + b² = c²。 25．√　【解析】勾股定理与逆定理的基本用途。 五、简答题（每小题 8 分，共 16 分） 26．（1）AB = √(AC² + BC²) = √(6² + 8²) = 10；　　　　　　　　　（4 分） 　 （2）由面积法 ½ × AC × BC = ½ × AB × CD，即 ½ × 6 × 8 = ½ × 10 × CD，得 CD = 4.8。　（4 分） 27．（1）CD = BC − BD = 14 − x；　　　　　　　　　　　　　　　　　（2 分） 　 （2）由 AB² − BD² = AC² − CD²，得 13² − x² = 15² − (14 − x)²， 　　　 展开得 169 − x² = 225 − (196 − 28x + x²) = 29 + 28x − x²， 　　　 所以 28x = 140，x = 5，AD = √(13² − 5²) = √144 = 12。　　（6 分） 六、材料分析题（每小题 7 分，共 14 分） 28．（1）方法一：大正方形面积 = 4 × ½ab + (b − a)² = 2ab + b² − 2ab + a² = a² + b²； 　　　 方法二：大正方形边长为 c，面积为 c²。同一图形面积相等，故 c² = a² + b²。　　　（4 分） 　 （2）4 个直角三角形面积之和为 2ab；由 c² = 2ab + (b − a)²，得 2ab = 100 − 4 = 96。　（3 分） 29．（1）芦苇根部 R、池中心水面处 O、岸边 A 构成直角三角形，∠AOR = 90°， 　　　 OA = 5 尺（池宽的一半），RO = x 尺（水深），RA = (x + 1) 尺（芦苇长）。　　　（3 分） 　 （2）由 OA² + RO² = RA²，得 5² + x² = (x + 1)²，即 25 + x² = x² + 2x + 1， 　　　 2x = 24，x = 12；水深 12 尺，芦苇长 12 + 1 = 13 尺。　　　　　　　　　（4 分） 评分标准速查 题型 题号 分值 说明 单项选择 1 ~ 10 30 分 每小题 3 分 多项选择 11 ~ 15 20 分 每小题 4 分；选对但不全得 2 分，错选得 0 分 填空题 16 ~ 20 10 分 每小题 2 分 判断题 21 ~ 25 10 分 每小题 2 分 简答题 26 ~ 27 16 分 每小题 8 分，按步骤给分 材料分析题 28 ~ 29 14 分 每小题 7 分，按步骤给分 合计 1 ~ 29 100 分 30 + 20 + 10 + 10 + 16 + 14 = 100 分 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $