第2章 实数 分层训练- 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

第2章实数分层训练-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024） 基础巩固 一、单选题 1．在、、5、、、（相邻的两个1之间多一个0）中，无理数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各式中，一定是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 4．估算的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．12和13之间 5．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（     ） A． B． C． D． 7．如果实数，满足，那么值为（     ） A．0 B．-1 C．1 D．2 8．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．在中，非负整数有___________，正分数有_____________________________． 10．比较大小：______． 11．一个正方形的面积是，其边长是______；另一个正方形的面积是这个正方形面积的3倍，那么它的边长是______． 12．若最简二次根式与是同类二次根式，则_______． 13．已知实数、、在数轴上的位置如图所示，则___________． 14．如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则 （1）________， （2）与表示的两个数的积是________． 三、解答题 15．计算 (1) (2) (3) (4) 16．已知和是某正数的两个不同的平方根，的立方根为2． (1)求、的值； (2)求的算术平方根． 17．如图，A，B两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号并乘以2后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式C． (1)若抽中的卡片是A． ①求整式C； ②当时，求整式C的值． (2)若无论x取何值，整式C的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片？ 18．阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的：．请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 19．在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： ， ； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若，，则 ， ． 难题突破 20．小李同学探索的近似值的过程步骤如下： 步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即①②， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即③，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积④．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵，∴④． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴． (1)请仔细阅读以上探究过程，根据上下文和图示，在横线处按序号①、②、③、④、⑤依次填写对应内容．（注：两处序号④填写内容相同．） ①______；②______；③______；④______；⑤______． (2)结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，求的近似值．（用含有a，b的式子表示） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第2章实数分层训练-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B C C D A A 1．B 【分析】先化简，再筛选无理数即可． 【详解】解：和5是整数，是有限小数，是分数，均为有理数，，和（相邻两个1之间多一个0）是无限不循环小数，为无理数， 即无理数共2个． 2．A 【详解】解：A、一定是最简二次根式； B、中的被开方数，无意义，不是最简二次根式； C、当时，，则无意义；当时，；则此项不是最简二次根式； D、，不是最简二次根式． 3．B 【分析】利用算术平方根的非负性排除错误选项，验证立方根运算． 【详解】解：A,，不符合题意； B, ，符合题意； C,，不符合题意； D,，不符合题意． 4．C 【分析】找到与11相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，进而推导的范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 5．C 【分析】利用完全平方公式的变形，由已知和式推导差式的平方，再开方求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 6．D 【分析】先根据一个正数的两个平方根分别是和，列出关于a的方程，求出a的值，然后求出其中一个平方根，最后求出这个正数即可． 【详解】解：∵和是一个正数的两个平方根， ∴与互为相反数， ∴， 解得：， ∴其中一个平方根为， ∴这个正数为． 7．A 【分析】利用平方差公式对含二次根式的式子有理化，联立等式消去根号求解． 【详解】解：∵， ∴， 代入已知等式得 ①， 同理得 ②， ①+②得 ， 化简得， ∴． 8．A 【分析】先利用勾股定理求出（如图），再根据数轴求出答案． 【详解】解：如图， 由勾股定理知， ． 又点在数轴的负半轴上， 的值为． 9． ， ，， 【分析】根据非负整数和正分数的定义，对给出的数逐个判断分类即可； 【详解】解：非负整数有和， 正分数有，，． 10． 【分析】先比较两个数的绝对值，将整数化为二次根式形式，再根据负数比较大小的规则判断，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 11． 【分析】根据正方形面积等于边长的平方，边长为正数，因此求边长就是对面积开算术平方根，先计算第一个正方形的边长，再求出第二个正方形的面积，进而计算其边长. 【详解】解：设正方形的边长为，正方形面积满足，且边长， 对于第一个正方形，已知面积， ，， ； 对于第二个正方形，已知它的面积是第一个正方形面积的倍， ， ，， . 12． 【分析】根据同类二次根式的定义，先确定根指数得到n的值，再由被开方数相等求出m的值，最后计算． 【详解】解：∵ 最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ，解得 ， ∴ ． 13． 【分析】由数轴可得，，从而可得，，，再结合二次根式的性质、绝对值的性质化简即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴ ． 14． 【分析】（1）第n排有n个数，且按照1、、的顺序，每3个数为一个循环排列，确定第5排第3列是第几个数即可得到答案； （2）同（1）确定第8排第2列是第几个数和第2014排第2014列是第几个数即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，第n排有n个数，且按照1、、的顺序，每3个数为一个循环排列， ， ， ∴； （2）， ， ， ∴，， ∴与表示的两个数的积是． 15．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 16．(1)a的值为1，b的值为5 (2)3 【分析】（1）根据“一个正数的两个平方根互为相反数”得，根据立方根的定义得，继而得到关于的二元一次方程组，求解后可得答案； （2）根据（1）的结论可得的值，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：和是某正数m的两个不同的平方根，的立方根为2， ， 解得：， a的值为1，b的值为5． （2）解：根据（1）知， 则， 9的算术平方根为3， 的算术平方根为3． 17．(1)①；② (2)当抽中的卡片是A时， 由②得 ∴无论x取何值，整式C的值都是非负数，符合题意； 当抽中的卡片是B时， ∵，， ∴， ∵无论x取何值，整式C的值都是非正数， ∴不符合题意， 综上所述，抽中的卡片是A． 【分析】（1）①根据题意并结合整式的混合运算法则，计算即可得出结果；②将①中的C进行变形，再代入计算即可得出结果； （2）分两种情况，根据整式的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②， 当时，； （2）略． 18．(1)； (2)12． 【分析】（1）根据所给材料，分子分母同乘，计算即可； （2）先将a分母有理化，再代入求值即可． 【详解】（1）解：． （2）解：， ． 19．(1) (2)， (3)， 【分析】（1）观察给出的表格数据得结论； （2）利用（1）的结论，可得结果； （3）先猜测立方根与被开方数间的关系，利用猜测的关系可得结论． 【详解】（1）解：通过观察可以发现当被开方数扩大倍时，它的算术平方根扩大倍； （2）解：∵， ∴，； （3）解：如果把算术平方根换成立方根，发现当被开方数扩大倍时，它的立方根扩大倍； ∵ ，， ∴，． 20．(1)11，12，11，； (2) 【分析】（1）根据题目提供的示例解答即可； （2）设，两边平方得，，依照示例得，可得结论． 【详解】（1）解：步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵， ∴． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴． （2）解：∵，且， ∴设， 两边平方得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $