第二章《实数》单元自测卷2026-2027学年北师大版八年级数学上册

第二章《实数》单元自测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列实数中是无理数的是() 2 A.7 B.-38 C.10 D.3.14 2.当x=3时，下列二次根式没有意义的是() A.V4-x B.Vx-4 C.3+x D.3-x 3.若n为正整数，并且使得√5n是一个最简二次根式，则n的值不可能是() A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，数轴上点N表示的数可能是（) N 0123456 A.V15 B.V5 C. D.v10 5.下列计算正确的是() A.2V3+V3=3 B.V12=4V3 C.V27÷V5=3 D.V-3=-3 6.若-2<a<2,则化简a+5+a-5可的结果为( A.2a B.25 C.-25 D.-2a 7.如图，在数轴上，若点A表示的实数是V5,以原点O为圆心，OA为半径画弧，点B为弧 上一点，过点B向数轴作垂线，垂足为点C,点C表示的实数是2，则点B到数轴的距离BC的 长为( A -3-2-10123 A.1 B.2 C.5 D.2 8.小南按图的方法把边长为5cm和3cm的两个正方形切割成5块，按图的方式拼成一个大正 方形，则大正方形的边长是( 4 A.4cm B.8cm C./34cm D.34cm 9.已知a,b在数轴上的位置如图所示，化简v匠-口+-Q-b的结果是（） a 0 6→ A.a B.a-2b C.-a+2b D.-3a 10.如图，在△ABC中，AB=2N5,BC=3V2,点D是BC上一点，且BD=2DC,连接AD.若 AD=2V3 ，则4ABC 的面积为() B D A.2V6 B.3v6 C.45 D.6√5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.若最简二次根式a+2与5是同类二次根式，则a= 12.已知a+5是4的算术平方根，2b-6的立方根是2，则-3a+b的平方根是 已知，当>0，y0时，位三=x,则当r<0,<0时 (直接 写化简结果)· 14.对于任意的正数a、b,定义一种新的运算“★”，a★b=Vab-va;如： 3★4=3x4-V3=V5 ,计算2★9的结果为一 15.我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念.如图所示 的是一个简单的二阶幻圆模型，若内、外两个圆周上四个数之和以及外圆两直径上的四个数 之和都相等，则a-b= 2 2 32 16,实数B9满足P-3+94=0,则以P9为边长的直角三角形的第三边长为一 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题， 每题12分；共9小题，共72分) 17.求下列各式中x的值： ()4(x+=49 (2)(3x-y+64=0 18.计算： (1)45÷23xV5 e2-5j+2G*35 19.把下列各数分别填到相应的横线上（只填编号即可）. 0-12,②8，@03，①-子，⑤-，00，⑦20101001…（每丙个1之间多-个0）， ⑧22 7,⑨5： 属于整数的有： 属于有理数的有： 属于无理数的有： 20.已知5a+2的立方根是3,3a+b-1的算术平方根是4，c是17的整数部分. (1)求a,b,c的值； (2)求2a+b+4c的平方根. 21.阅读与思考： 形如Vm±2的化简，只要我们找到两个数a,b,使得a+b=m,地， 这样（回+(b=m,a6=n, 那么便有Vm±2=a±=a±Ba>b). 例如：化筒V7+4 解：首先把V7+4W5化为7+2而，这里m=7,n=12. 由于4+3=7,4x3=12,(4+(5=7,4×5=2 V7+45-v7+2i2=4+5=2+5 仿照上面的例题，解决下列问题 (1)V11-230 (2)V7+V40 22.如图，这是一个数值转换器. 是无理数 输出x 取算术平方根 输出y 是有理数 (1)当输入x的值为9时，输出y= (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”.请你 51 判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由.备选数据：4,7，ˉ3： (3)小明输入了某个x的值后得到了V2,请你写出2个不同的x值. 23.阅读素材： ,.石-器…按玩 -9-4 (1)初步探究： ①填空：V81 ②计算：？ g小6y (2)迁移应用：计算： 厚g 24.再谈海伦-秦九韶公式 材料1：古希腊的几何学家海伦(Hron,约公元50年)，在其著作《度量》一书中，给出 了已知三角形三边长求其面积的海伦公式S=VP(pa(p-bpc)(其中a、b、c为三角形 的三边长，p=+h+c 2一，s为三角形的面积)： 材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式： a2+ 其中三角形边长分别为。。'。：三角形的面积为。 【解决问题】 (1)已知如图在△ABC中，AB=10,AC=7,BC=9.△ABC的面积： (2)当△ABC的三边长分别为a=3,b=V7,c=0时，这个三角形的面积为 (3)在(1)基础上，设AB边上的高为h,BC边上的高为h,AC边上的高为h,求h+h+h 的值. 25.定义：因为a+5a-)=c,c是有理数，所以称a+6与后-历是关于c的“美 好数”· 例如：(5+(5-同)=(5-(=2，则称5+5与5-5是关于2的“美好数”.当 已知V5+V5与m是关于2的“美好数”，求m的值时，可用 2 25-3 m=5+5(5+35- 25-5-5来得到. ）2 (1)V2+1关于1的“美好数”是 (2)若y是V5+1关于4的“美好数”，求y2+2y+2026的值； 11 1 ③)化简：5++5+5++81+V79 参考答案 一、选择题 1.C 解：无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，有限小数和无限循环小数都属 于有理数， 22 :7是分数，属于有理数，-8=-2，-2是整数，属于有理数，3.14是有限小数，属于有 理数，0开平方开不尽，是无限不循环小数，是无理数： 2.B 解：X=3, ∴.4-x=4-3=1>0,x-4=3-4=-1<0,3+x=3+3=6>0,3-x=3-3=0 六二次根式没有意义的是 x-4 3.D 解：A.当n=1时，5n=5,不含能开得尽方的因数，V5是最简二次根式； B.当n=2时，5n=10,不含能开得尽方的因数，V10是最简二次根式； C.当n=3时，5n=15,不含能开得尽方的因数，15是最简二次根式； D.当n=4时，5n=20=2×5,含有能开得尽方的因数22，√20=25，不是最简二次根式，即 的值不可能是4， n 4.D 解：设点N所代表的数为x, 由数轴可知：3<x<3.5,即9<x<12.25,故B、C错误， :5<10<12.25<5<16, 数轴上点N表示的数可能是V10. 5.C 解：对于选项A:2V5+V5=3V5≠3，故A错误； 对于选项B:V2=V4×3=2W5≠4W5,故B错误； 对于选项C:V27÷V5=V27÷3=9=3,故C正确： 对于选项D: -3=9=3≠-3，故D错误. 6.B 解：-2<a<2,且2<5<3， .a+5>0a-V5<0 a+5+a-5 -a+v5+la-V5 =a+5+(W5-a =a+V5+V5-a =2√5 7.A 解：点A表示的实数是5， :0A-5=5 OA 以原点°为圆心，0为半径画弧，点“为孤上一点， ∴.OB=OA=V5 点C表示的实数是2，且 C BC⊥OC ∴.OC=2∠OCB=90° 在R1aOBC中，由勾股定理得：BC=VOB-0C2=VN5-2=5-4=1 8.C 解：左图两个正方形的面积之和为 52+32=25+9=34(cm2) 所以右图的正方形的面积为34cm2,边长为V34cm. 9.C 解：：a在0的左边，b在0的右边，且la>, .a<0,b>0,a+b<0, :匠-a+-a-b). =-a+(a+b)-(a-b) =-a+a+b-a+b =-a+2b 10.B 解：BC=3V2,BD=2DC, ÷BD=2BC=2V2 在AABD中，BD+AD=(22+(2-8+12=20,AB=(25=20, :BD2+AD2=AB2 △ABD是直角三角形，且 ADB=90° ..AD⊥BC Se=号BcAD=32x25=36 1 二、填空题 11.3 解：最简二次根式a+2与V5是同类二次根式， .a+2=5, 解得a=3. 12.±4 解：，a+5是4的算术平方根，4的算术平方根是2， .a+5=2, 解得a=-3, .2b-6的立方根是2， .2b-6=2=8, 解得b=7, 将a=-3,b=7代入3a+b得 -3a+b=-3×(-3)+7=16 .16的平方根是±4， ∴.-3a+b的平方根是±4. 死 13. 解：x<0,y<0 层层祭四 14.2√2 解：由题意可知：2★9=V2x9-V2=32-√2=2√2. 15.0 解：设内圆圆周上未知的数为℃， 由题意得：a+V32+c+3W2=b+c+V18+√32， .a-b=V18-3W2=3√2-3√2=0 16.5或V7 解：p-3+g-4=0 ∴.p-3=0,9-4=0 解得p=3,9=4 当4为直角边时，第三边为斜边，第三边长为V3+4=V25-5: 当4为斜边时，第三边为直角边，第三边长为V④-3=V万 综上可知，第三边长为5或V7. 三、解答题 17.(1)解：4(x+=49 两边同除以4得：x+1=9 4, 开平方得：x+1=± 2, 2或ts、9 5 解得：x 2; (2)解：(3x-+64=0 移项得：(3x--64 开立方得：3x-1=4, 解得：x=-1. 18.(1)解：4v5÷2√3×V5 =2V15÷3×5 =225 =2×5 =10 2)解，5-+35x35 =2-2√6+3+6， 3 =5-26+6 2 =5-2V6+6x6 =5-2W6+2W6 =5 19.解：①-1.2是无限循环小数，故不是整数，是有理数： ②8=2 ,是整数，也是有理数： ③0.3 是有限小数，是有理数， ④π是无限不循环小数，所以-3也是无限不循环小数，故是无理数； ⑤-V64=-8 ，是整数，也是有理数： ⑥0 是整数，也是有理数； ⑦2.010010001.. (每两个'之间多一个0)是无限不循环小数，故是无理数： ⑧22 是分数，故是有理数； ⑨5 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，故是无理数 综上，属于整数的有：②⑤⑥： 属于有理数的有：①②③⑤⑥⑧； 属于无理数的有：④⑦⑨. 故答案为：②⑤⑥；①②③⑤⑥⑧；④⑦⑨. 20.(1)解：5a+2的立方根是3,3a+b-1的算术平方根是4， .5a+2=33=273a+b-1=42=16 解得：a=5,b=2; .16<17<25 4<17<5 是 的整数部分， ∴.c=4 ； (2)a=5,b=2,c=4, .2a+b+4c=2×5+2+4×4=28 .2a+b+4c √28=+27 的平方根为 21.（1)解：令m=11,n=30， 5+6=1,5×6=30,(5+(6=5+6=Ⅱ，5×6=50， .1-23o=6-5=6-5: (2)解：V7+√40=√7+210， 令m=7,n=10 :5+2=7,5x2=10,(N5+(2=5+2=7,5x2=0, :V7+40=V7+2i0=5+2=5+2 22.(1)解：V5=3是有理数， √5 是无理数， .当输入x的值为9时，输出y=V3; 1 (2)解：输入x的值可能是3，理由如下： “,运算无意义，即输入的数没有算术平方根， 输入的数为负数， 1 .输入x的值可能是3； (3)解：当第一次取算术平方根后输出的结果为√2时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为√2时，则第一次取算术平方根后的结果为2， .输入的数为2=4， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为V2时，则输入的数为4=16，…， .输入的数可以为2或4. a.w.0层-.店-5，。层-，-层 2n+1_ n .Vn+)2n+1(n是正整数，且n≥1)； 17648 :1-81819: 8944 ②根据①中规律可得：当n=4时，V1 202545, 89 2025 =123 44 X…X 234 45 、1 45. Vi+ m+1m+1 m(m是正整数，且m≥2)； 最后一项中2025=452,2×45+1=91，符合规律， 57. 91 1+41+g+6 6×…x1+ 2025 345 46 一X一X一X…X 23445 =23 24.(1)解：AB=10,AC=7,BC=9, p=10+7+9-13 2 .aMBC的面积V3x3-10)xI3-7)x13-9)=6N26 (2)解：a=3,b=V7,c=10, 32+(万-(1o)1 V日×9x7-3) 36 2； (3)解：中题毫，484=8c4=4C4=62函， .AB=10,AC=7,BC=9, ·6②612√2664v26 5,么 7, 3, :4+6+4-626,466,12254626 5 3 7105 1_=2-1: 25.(1)解：由“美好数”的定义得：2+1关于1的“美好数”是2+1 (2)解：y是5+1关于4的“美好数”， 4=5-1 V5+1 :.广+2y+2026=(y2+2y+1)+2025=(y+1+2025=2030 1,1 1 (3)解：5++5+5++81+7网 3- 5-5 √81-√79 5+5-而W5+55-同…+8+V网W-列 -5-+5-5++81-四 2 2 2 5-i+5-5++8-v7列 =(8-） =9- =4