精品解析：天津市求真高级中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试卷

求真中学2026年09月月考高三数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 4. 5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示： 时间 1 2 3 4 5 销售量（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 若与线性相关，且经验回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） A. 由题中数据可知，变量与正相关 B. 在经验回归方程中 C. 可以预测时该商场5G手机销量约为1.72千只 D. 时，残差为 5. 若，，，则，，之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A. 若则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 函数的最小值为（ ）． A. 4 B. 3 C. D. 8. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 9. 函数，若对于，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 10. 已知函数，关于有下面四个说法： 的图象可由函数的图象向右平行移动个单位长度得到； 在区间上单调递增； 当时，的取值范围为； 在区间上有个零点． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 11. i是虚数单位，复数________________. 12. 若的展开式中常数项为________. 13. 已知函数，则__________；不等式的解集是__________． 14. 函数的单调递减区间为__________． 15. 已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数，设，，，则的大小关系是__________． 16. 已知，则__________． 17. 函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，满足不等式的的取值范围是__________． 18. 若，且，则的最小值为___________． 三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 已知． （1）求最小正周期； （2）求函数的单调区间； （3）若，求的最大值和最小值． 20. 在中，内角所对的边分别是，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 21. 如图，在直三棱柱中，，点为线段的中点，点为线段的中点． （1）求证：∥平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离﹒ 22. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程. （2）讨论的单调区间. （3）若恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 求真中学2026年09月月考高三数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知集合，根据交补运算求即可. 【详解】由题意知：，而， ∴， 故选：B 2. 设，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及集合间的包含关系求解即可. 【详解】由，得， 解得， 又因为是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 3. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解. 【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，排除AC； 当时， ，所以，排除D. 故选：B. 4. 5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示： 时间 1 2 3 4 5 销售量（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 若与线性相关，且经验回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） A. 由题中数据可知，变量与正相关 B. 在经验回归方程中 C. 可以预测时该商场5G手机销量约为1.72千只 D. 时，残差为 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，利用表中的数据分析即可求解；对于B，利用平均数的定义及样本中心，结合样本中心在回归直线上即可求解；对于C，利用回归方程即可求出预测值，对于D，利用预测值和残差的定义即可求解. 【详解】对于A，从数据看随的增加而增加，所以变量与正相关，故A正确； 对于B，由表中数据知，，， 可得样本中心点为，将样本中心点代入中， 得到，故B正确； 对于C，当时该商场5G手机销量约为（千只），故C正确； 对于D，经验回归方程为，所以， 则残差为，故D错误. 5. 若，，，则，，之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数性质和指数函数性质，借助中间量进行比大小. 【详解】因为，即； ，即； ，即， 所以. 故选：D 6. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A. 若则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确. 考点：空间点线面位置关系． 7. 函数的最小值为（ ）． A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 等号成立时，即， 故函数的最小值为. 8. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 9. 函数，若对于，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设条件可以得到函数在上单调递减，再分别根据一次函数单调性、二次函数单调性、分段点处的函数值约束列不等式，求解得到的取值范围. 【详解】由，都有成立，得函数在上单调递减. 当时，为一次函数，则，解得； 当时，为开口向上的二次函数，对称轴为，则，解得. 由函数在上单调递减，得分段点处左段函数值不小于右段函数值， 即，解得. 综上所述，，则实数的取值范围为. 10. 已知函数，关于有下面四个说法： 的图象可由函数的图象向右平行移动个单位长度得到； 在区间上单调递增； 当时，的取值范围为； 在区间上有个零点． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先把用三角恒等变换公式化简，再逐一比对各个命题，判断真假即可. 【详解】因为， 即. 对于，函数的图象向右平行移动个单位长度， 得到，所以正确； 对于，，则， 先减后增，所以错误； 对于，当，则， 当且仅当时，即时，， 当且仅当时，即，， 所以的取值范围为，所以正确； 对于，由，则， 则当时，， 所以在上有个零点，所以错误. 故选：B. 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 11. i是虚数单位，复数________________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简求解即可. 【详解】， 故答案为：. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 12. 若的展开式中常数项为________. 【答案】28 【解析】 【分析】求出展开式d 通项，令的指数为0即可求出. 【详解】的展开式的通项为， 令，解得， 则展开式的常数项为. 故答案为：28. 13. 已知函数，则__________；不等式的解集是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】易得，，则； 若，则由得或，故； 若，则由得， 故的解集是. 14. 函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【解析】 【详解】要使函数有意义，则  ，整理得，解得， 所以函数的定义域为， 令，，则， 外层函数的底数满足，因此在上为单调递减函数. 是开口向下的二次函数，对称轴为， 因此在上单调递增，在上单调递减. 根据复合函数“同增异减”的法则得的单调递减区间为. 15. 已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数，设，，，则的大小关系是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数性质将的自变量转化为正数，再根据在上的单调性，比较三个正自变量的大小即可得到函数值的大小关系. 【详解】因为是定义在上的偶函数，故对任意，均有， 因此：  ， 因为对数函数在上单调递增，故， 指数函数在上单调递减，故， 综上可得， 又在上为减函数，由偶函数的对称性可得，在上是增函数， 所以 ，即. 16. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】，. . 17. 函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，满足不等式的的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数的奇偶性将不等式化为，再利用单调性即可求解． 【详解】由函数是定义在上的奇函数， 又在上单调递增， 由，得， 得， 得，解得， 故的取值范围是． 18. 若，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】换元可得，，利用基本不等式“1”的妙用进行求解 【详解】令，则，， 则， 其中， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以的最小值为. 三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 已知． （1）求最小正周期； （2）求函数的单调区间； （3）若，求的最大值和最小值． 【答案】（1）最小正周期为； （2）单调递增区间为，单调递减区间为； （3）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用最小正周期的公式求解； （2）以 为整体，结合正弦函数单调性分析求解； （3）以 为整体，结合正弦函数的图像和性质求解. 【小问1详解】 的最小正周期为. 【小问2详解】 由，解得， 所以的单调递增区间为， ，解得， 所以的单调递减区间为. 【小问3详解】 当 时，则 ， 则，. 即的最大值为，最小值为. 20. 在中，内角所对的边分别是，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理代入计算解方程可得结果； （2）由正弦定理直接计算即可； （3）先由二倍角公式计算得出，再由两角和的正弦公式计算可得结果. 【小问1详解】 由可得， 整理可得，即， 解得； 【小问2详解】 易知， 由可得； 由正弦定理可得； 【小问3详解】 因为，； 所以. 21. 如图，在直三棱柱中，，点为线段的中点，点为线段的中点． （1）求证：∥平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离﹒ 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】(1)以点A为坐标原点，以的方向分别为轴､轴､轴的方向建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面的一个法向量，证明与该法向量垂直即可； (2)分别求平面与平面的法向量，利用向量方法即可求夹角； (3)求出平面的一个法向量，利用向量在该法向量上投影即可计算． 【小问1详解】 以点A为坐标原点，以的方向分别为轴､轴､轴的方向建立空间直角坐标系， 则， ∴． 易知为平面的一个法向量． ∵，∴， 又∵平面，∴∥平面． 【小问2详解】 ，，， 设为平面的一个法向量， 则，即取，则． 设为平面的一个法向量， 则，即取，则． ∵， ∴平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 ∵，为平面的一个法向量， ∴点到平面的距离为． 22. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程. （2）讨论的单调区间. （3）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （3）. 【解析】 【分析】（1）将代入，利用导数的几何意义求解即可； （2）求导，分、、，及求解即可； （3）由题意可得在上恒成立，令，利用导数求出的最大值即可得答案. 【小问1详解】 当时，， 则， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为：， 即； 【小问2详解】 由题意可得， 又因为， 当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以函数单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，令，得， 当时，， 所以当时，单调递增，当时，单调递减； 所以函数单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，， 当时，单调递增；当时，单调递减，当时，单调递增， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，恒成立， 所以函数在上单调递增，即函数的单调递增区间为； 当时，， 当时，单调递增；当时，单调递减，当时，单调递增， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问3详解】 由题意可得在上恒成立， 即在上恒成立， 令， 则， 令，得， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以， 所以，解得， 所以实数的范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $