精品解析：天津市双菱中学2026-2027学年高二第一学期第一次检测数学试卷

2026—2027第一学期高二数学第一次检测 一、单选题（每小题3分，共27分） 1. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 2. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 设x，y∈R，向量，且，则（ ） A. B. C. 3 D. 5. 已知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线，则点到直线的距离为（ ） A. 0 B. C. D. 6. 过点作圆的两条切线，设切点分别为、，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知对任意的实数k，直线l：与圆C：有公共点，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为（ ） ①∥平面； ②平面平面； ③直线与所成的角为； ④直线与平面所成的角为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.） 10. 已知直线与直线平行，则实数的值为________. 11. 如图，在长方体中，，，，分别是平面，平面的中心，则点到直线距离为__. 12. 方程所表示的圆的最大面积为________. 13. 圆关于直线对称的圆的方程为__. 14. 直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程为__. 15. 圆与x轴相切于点A．点B在圆C上运动，则AB的中点M的轨迹方程为______（当点B运动到与A重合时，规定点M与点A重合）；点N是直线上一点，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共5小题，共49分） 16. 在平面直角坐标系中，已知圆：和圆. （1）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 17. 已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求点到平面的距离． 18. 已知直线方程为． （1）若直线的倾斜角为，求的值； （2）若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程． 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 20. 已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过，两点. （1）求圆C的标准方程. （2）设直线与圆C交于A，B（异于坐标原点O）两点，若以AB为直径的圆过原点，试问直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027第一学期高二数学第一次检测 一、单选题（每小题3分，共27分） 1. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：C. 2. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【详解】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 3. 设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为直线与直线平行，所以的最小值为直线与直线距离，求解即可. 【详解】由直线可得， 所以直线与直线平行， 所以的最小值为直线与直线距离， 所以. 故选：C. 4. 设x，y∈R，向量，且，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】解：向量， 且， ∴，解得 ∴， ∴，选项B正确. 故选：B． 5. 已知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线，则点到直线的距离为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得直线为，再由点到直线距离公式解决即可. 【详解】由题知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线， 所以直线的斜率为， 所以直线为，即， 因为 所以， 故选：B 6. 过点作圆的两条切线，设切点分别为、，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可知圆的圆心为，半径，由切线长公式求出的长，进而可得以为圆心，为半径为圆，则为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方程作差后计算可得答案． 【详解】解：根据题意，可知圆的圆心为，半径， 过点作圆的两条切线，设切点分别为、， 而，则， 则以为圆心，为半径为圆为，即圆， 所以为两圆的公共弦所在的直线，则有， 作差变形可得：； 即直线的方程为. 故选：B. 7. 已知对任意的实数k，直线l：与圆C：有公共点，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知直线过定点，且定点在圆C上或圆C内，即可求解 【详解】由直线可化为，则直线l过定点， 因为直线l：与圆C：有公共点， 所以定点在圆C上或圆C内，可得，解得， 故选：B 8. 如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为（ ） ①∥平面； ②平面平面； ③直线与所成的角为； ④直线与平面所成的角为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为， ， 由正方体的性质可知：平面，则平面的法向量为， ，因为，所以，而平面， 因此∥平面，故①对； 设平面的法向量为，，， 所以有， 同理可求出平面的法向量， 因为，所以，因此平面平面，故②正确； 因为，， 所以， 因为异面直线所成的角范围为，所以直线与所成的角为，故③正确； 设直线与平面所成的角为， 因为，平面的法向量为， 所以， 所以直线与平面所成的角不是，因此④错误， 一共有个结论正确， 故选：C 9. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线和曲线方程在平面直角坐标系中画出图形，数形结合分析即可. 【详解】由题意，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， ，可化为其表示以为圆心，半径为2的圆的一部分，如图： 当与该曲线相切时，圆心到直线的距离，解得. 设，则. 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则. 故选：C. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.） 10. 已知直线与直线平行，则实数的值为________. 【答案】 【解析】 【详解】因为与平行， 故，整理得，解得或. 验证是否重合： 当时，化简为，化简为，两直线重合，不符合要求，舍去； 当时，为，为，两直线斜率相等且截距不同，满足平行条件. 综上，实数的值为. 11. 如图，在长方体中，，，，分别是平面，平面的中心，则点到直线距离为__. 【答案】. 【解析】 【分析】 连接，，，根据题中条件，计算的边长和面积，利用面积公式求出到的距离. 【详解】连接，，， ，分别是平面，平面的中心， 是的中位线，， 平面，， ，同理可得， ，， ， 设点到直线距离为，则， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了空间距离的计算，考查空间垂直的转化，属于基础题. 12. 方程所表示的圆的最大面积为________. 【答案】 【解析】 【详解】方程表示圆，化为圆的标准方程得， 圆的半径，由 ， 当时，半径的最大值. 所以圆的最大面积为. 13. 圆关于直线对称的圆的方程为__. 【答案】. 【解析】 【分析】 根据两圆关于直线对称，得两圆圆心关于直线对称，由此求出对称圆圆心，然后求解圆的方程即可. 【详解】圆的圆心为，设对称圆的圆心为， 由题意得，，解得，，对称圆的圆心， 半径为，对称圆的方程为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，对称圆的方程的求法，属于中档题. 14. 直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程为__. 【答案】或或或. 【解析】 【分析】 由圆的方程求出圆心坐标和半径，分类讨论，利用点到直线的距离等于圆的半径求得相应系数，即可求得直线方程. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 若直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为， 由，得，即，或. 直线方程为，或； 若直线在两坐标轴上的截距为零，设直线方程为， 由，得， 直线方程为. 综上所述，直线方程为或或或. 故答案为：或或或. 【点睛】本题考查圆的切线方程的求法，考查由直线与圆位置关系求参数，考查点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，属于常考题型. 15. 圆与x轴相切于点A．点B在圆C上运动，则AB的中点M的轨迹方程为______（当点B运动到与A重合时，规定点M与点A重合）；点N是直线上一点，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将点M的轨迹转化为以AC为直径的圆，再确定圆心及半径即可求解，将的最小值转化为点到圆心的距离再减去半径可求解. 【详解】依题意得，，因为M为AB中点，所以， 所以点M的轨迹是以AC为直径的圆，又AC中点为，， 所以点M的轨迹方程为，圆心， 设关于直线的对称点为， 则有，解得，所以， 所以由对称性可知的最小值为． 故答案为：， 三、解答题（本大题共5小题，共49分） 16. 在平面直角坐标系中，已知圆：和圆. （1）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1）或；（2）或. 【解析】 【分析】（1）分类讨论，利用点到直线的距离等于半径，求出，即可求直线的方程；（2）由题意直线的斜率存在，设的方程为，根据直线和圆相交的弦长公式设出直线斜率，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，解方程求出值，代入即得直线的方程． 【详解】（1）直线斜率不存在时，直线满足题意； 直线斜率存在时，设直线方程为，即. ∵直线与圆相切 ∴圆心到直线的距离为 ∴ ∴直线的方程为或 （2）由题意直线的斜率存在，设的方程为，即. 圆的半径为2，设圆的圆心到直线的距离为. ∵直线被圆截得的弦长为 ∴圆的圆心到直线的距离为，即. ∴，即或. ∴直线的方程为或 【点睛】本题主要考查直线方程的求解，根据直线和圆相交的弦长公式求出直线斜率是解决本题的关键． 17. 已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 因为平面，， 如图以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因为， 所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，计算出，即可证明； （2）求出平面的法向量，利用向量法求出线面角的正弦值，即可求出夹角； （3）由计算出点到面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量，， 则，即，取，得， 设直线与平面所成角为， 则，又， 所以，所以直线与平面所成角的大小为. 【小问3详解】 设点到平面的距离为，因为， 所以，所以点到平面的距离为. 18. 已知直线方程为． （1）若直线的倾斜角为，求的值； （2）若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）； （2）面积的最小值为，此时直线的方程为. 【解析】 【分析】（1）由直线的斜率和倾斜角的关系可求得的值； （2）求出点、的坐标，根据已知条件求出的取值范围，求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求得面积的最小值，利用等号成立的条件可求得的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 解：由题意可得. 【小问2详解】 解：在直线的方程中，令可得，即点， 令可得，即点， 由已知可得，解得， 所以， ， 当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】（1） 连结，交于点，连结， 点是的中点，点是的中点， 所以，平面，平面， 所以平面； （2） （3） 或 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，根据几何关系，构造中位线，即可证明； （2）首先建立空间直角坐标系，分别求平面和的法向量，根据法向量夹角的余弦值，即可求解； （3）根据（2）的结果，代入线面角的向量公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以向量，，为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，， 则，， 设平面的法向量， 则，令，，， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 ，，，， ，，， ， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则，， 解得或， 又， 则或. 20. 已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过，两点. （1）求圆C的标准方程. （2）设直线与圆C交于A，B（异于坐标原点O）两点，若以AB为直径的圆过原点，试问直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由. 【答案】（1） （2）过定点，定点为 【解析】 【分析】（1）设出圆C的标准方程，由题意列出方程从而可得答案. （2）设，，将直线的方程与圆C的方程联立，得出韦达定理，由条件可得，从而得出答案. 【小问1详解】 设圆C的标准方程为 由题意可得解得，，. 故圆C的标准方程为. 【小问2详解】 设，.联立 整理的 ，则，， 故. 因为以AB为直径的圆过原点，所以， 即 则， 化简得. 当时，直线，直线l过原点，此时不满足以AB为直径的圆过原点. 所以，则，则直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $