精品解析：天津市建华中学2025-2026学年高二上学期12月质量调查（第二次月考）数学试卷

2025-2026学年度第一学期高二年级数学学科 12月质量调查试卷 温馨提示：本试卷包括第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间共100分钟.祝同学们考试顺利! 第I卷选择题（共27分） 一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. 60° C. 120° D. 150° 2. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 两条平行直线与（为常数）之间的距离等于（ ） A. B. C. D. 4. 等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的前6项和为（ ） A. B. C. 3 D. 8 5. 一条渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前项和为，公差取得最大值时的值为（ ） A. B. C. D. 7. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为. A. 24里 B. 12里 C. 6里. D. 3里 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为 A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 9. 已知双曲线C：，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为.若为直角三角形，则 A. B. 3 C. D. 4 第Ⅱ卷非选择题（共73分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 抛物线的准线方程是_______． 11. 经过点，且在轴上的截距为轴上截距的2倍的直线方程为______. 12. 记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________． 13. 已知空间中三点，，，则点到直线的距离为______. 14. 圆与圆的公共弦长为______. 15. 已知为椭圆内一定点，经过引一条弦，使此弦被点平分，则此弦所在的直线方程为________________． 三、解答题：本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程． 17. 已知等差数列{an}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为Sn． （1）求数列{an}的通项公式an及Sn； （2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn． 18. 如图，在直三棱柱中，，，是中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 已知数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 20. 已知椭圆C：（）的长轴长为4，离心率为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若O为坐标原点，过定点的直线l与椭圆C交于E，F两点，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高二年级数学学科 12月质量调查试卷 温馨提示：本试卷包括第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间共100分钟.祝同学们考试顺利! 第I卷选择题（共27分） 一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程，求得其斜率，进而得到其倾斜角. 【详解】由，得. 所以直线的斜率为. 设直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理将用，和表示出来，对照各项系数计算即得. 【详解】∵，∴， ∴ ， 则，，，故． 故选：A. 3. 两条平行直线与（为常数）之间的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由平行充要条件求出B，再由两平行线距离公式即可求解. 【详解】因为直线与平行， 所以，所以即， 所以两条平行直线与之间的距离为. 故选：D 4. 等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的前6项和为（ ） A. B. C. 3 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，成等比数列，列方程可求出公差，再根据等差数列的求和公式可求出结果. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列，所以， 所以， 又，所以，整理得， 因为，所以， 所以数列前6项的和为. 故选：A 5. 一条渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意双曲线的方程为，将点代入计算可得. 【详解】由题意设双曲线的方程为， 将点代入双曲线方程得， 所以双曲线的方程为，即. 故选：A. 6. 已知等差数列的前项和为，公差取得最大值时的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出等差数列的前n项和，利用二次函数的性质即可求出. 【详解】 ， 可得对称轴为，开口向下， ，当时，取得最大值为. 故选：A. 【点睛】求等差数列前n项和最值： 方法点睛：由于等差数列是关于的二次函数，当与异号时，在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当与同号时，在取最值. 7. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为. A. 24里 B. 12里 C. 6里. D. 3里 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程． 【详解】解：记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列， 由，得，解得：， ， 故选C． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前项和，是基础的计算题． 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为 A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，结合，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，椭圆的短轴长为，离心率为， 所以，，则，所以， 所以的周长为， 故选C． 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程，以及简单的几何性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 9. 已知双曲线C：，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为.若为直角三角形，则 A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值. 【详解】根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为， 从而得到，所以直线的倾斜角为或， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为， 可以得出直线的方程为， 分别与两条渐近线和联立， 求得， 所以. 【点睛】该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果. 第Ⅱ卷非选择题（共73分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 抛物线的准线方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线方程化成标准方程，判断焦点位置，求出焦准距，即得准线方程. 【详解】由可得，则抛物线的焦点在轴的正半轴上，且， 解得，故抛物线的准线方程为. 故答案为：. 11. 经过点，且在轴上的截距为轴上截距的2倍的直线方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】分情况讨论直线是否过原点，然后根据不同情况求出直线方程. 【详解】当直线过原点时,因为直线过原点和点，则斜率. 直线方程为，即. 当直线不过原点时,设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，直线的截距式方程为. 因为直线过点，将点的坐标代入截距式方程. 解得. 所以直线方程为，化为一般式为. 故所求直线方程为或. 故答案为：或. 12. 记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________． 【答案】. 【解析】 【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】设等比数列的公比为，由已知，所以又， 所以所以． 【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误． 13. 已知空间中三点，，，则点到直线的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解. 【详解】由点的坐标可得， 则点到直线的距离为. 故答案为： 14. 圆与圆的公共弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长. 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以，两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为. 故答案为：. 15. 已知为椭圆内一定点，经过引一条弦，使此弦被点平分，则此弦所在的直线方程为________________． 【答案】 【解析】 【分析】 设弦所在的直线与椭圆相交于、两点，利用点差法可求得直线的斜率，进而可求得直线的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】设弦所在的直线与椭圆相交于、两点， 由于点为弦的中点，则，得， 由题意得，两式相减得， 所以，直线的斜率为， 所以，弦所在的直线方程为，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用弦的中点求弦所在直线的方程，一般利用点差法，也可以利用韦达定理设而不求法来解答，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题：本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解： （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可. 【小问1详解】 由题意设圆心， 因为，即， 解得，即，半径， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得， 此时切线的方程为：，即， 综上所述：过的切线方程为或． 17. 已知等差数列{an}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为Sn． （1）求数列{an}的通项公式an及Sn； （2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn． 【答案】（1）,；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． （2）利用“裂项求和”方法即可得出． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则， 解得，， ∴. （2）， ∴数列的前项和为 . 18. 如图，在直三棱柱中，，，是中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）在直三棱柱中，连接交于F点，连接， 由侧面是平行四边形，得是的中点，又是中点，则， 而平面，平面，所以平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）连接交于F点，利用线面平行的判断推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法求解. （3）由（2），利用点到平面距离的向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，底面，，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的一个法向量为，则，令，得， 而是平面的一个法向量，设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，， 所以点到平面的距离. 19. 已知数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式求解； （2）根据第（1）的结论，再利用错位相减法求解. 【小问1详解】 因为①， 所以时，②， 由①②相减，可得，， 当时，，满足， 故的通项公式为，． 【小问2详解】 因为， 所以③， 则④， 由③-④，得， ∴， ∴. 20. 已知椭圆C：（）的长轴长为4，离心率为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若O为坐标原点，过定点的直线l与椭圆C交于E，F两点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义和离心率可求得，进而可得到椭圆方程. （2）方法一：设直线方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理和三角形面积表达式（）即可求出面积的最大值；方法二：设直线方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理和三角形面积表达式()即可求出面积的最大值. 【小问1详解】 由椭圆的定义可得，则， 因为，∴，则， 因此，椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由题意知直线l斜率显然不为0，故设为，点、， 联立可得， ，得， 由韦达定理可得，， 法一：由弦长公式可得， 又点O到直线的距离为， 因此，， 设（），， 当且仅当，即时，等号成立， 综上所述，面积的最大值为1. 法二： 设（）， ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上所述，的最大面积为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $