精品解析：天津市实验中学津南学校2026-2027学年高二上学期9月检测数学试卷

2026-2027学年高二第一学期9月检测 数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线经过两点，且倾斜角为45°，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，再借助斜率坐标公式计算作答. 【详解】因直线的倾斜角为，则此直线的斜率， 而直线过点，因此，，解得， 所以m的值为2. 故选：A 2. 已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量数量积公式计算出答案. 【详解】是相互垂直的单位向量，故， 故. 故选：A 3. 已知向量，且，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设，即，，，2，，分析可得、的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案． 【详解】根据题意，向量，2，，，，，且， 则设，即，，，2，， 则有，则，， 则，，，故； 故选：A． 4. 下列命题正确的是（ ） A. 任意两个空间向量一定共面 B. 零向量是任意直线的方向向量 C. 共线且模相等的两个向量是相等向量 D. 空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底 【答案】A 【解析】 【分析】根据共面向量、直线的方向向量、相等向量、空间向量基底，逐个判断即可. 【详解】任意两个空间向量一定共面，A正确； 在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，B错误； 方向相同且模相等的两个向量是相等向量，C错误； 空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，D错误； 故选：A. 5. 设直线的方向向量为，平面的法向量为，，则使成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】 等价于与垂直,分析选项即可得解. 【详解】A中，所以，故． 其他答案 故选：A 【点睛】本题考查的是空间向量的应用，较简单. 6. 已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基底的定义进行判断即可. 【详解】A：因为， 所以是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底； B：假设是共面向量， 所以存在实数，使得成立， 因为为空间的一个基底， 所以有，显然方程组无实数解，因此假设不成立， 所以本选项向量能构成空间的一个基底； C：因为， 所以是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底； D：因为， 所以是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底， 故选：B 7. 已知，，，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据坐标写出对应向量坐标，再应用投影向量的定义求在方向上的投影向量即可. 【详解】由题设，，， 在方向上的投影向量为. 故选：D 8. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 9. 在正四棱锥中，，为的中点，.若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的运算律，结合垂直关系即可求解. 【详解】由于，且是正四棱锥， 故，且侧面均为等边三角形， ， 故，则， 故选：C 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 已知，，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出、的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， ， 所以. 故答案为： 11. 若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为___________ 【答案】 【解析】 【分析】设与的夹角为，由题意可得，根据空间向量数量积的坐标运算可得，解不等式即可求解. 【详解】设与的夹角为，则为钝角， 所以，即， 又因为，， 所以，解得：， 若与共线，则，此方程组无解，所以与不共线， 所以实数的取值范围为. 12. 若异面直线 的方向向量分别是，则异面直线与的夹角的余弦值等于_________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】先分别求出两个方向向量的模长，再利用向量夹角公式求出向量夹角的余弦值，最后取绝对值得出异面直线夹角的余弦值． 【详解】异面直线 的方向向量分别是， ，， ， 异面直线与的夹角， ． 故答案为：． 13. 已知点在平面内，并且对不在平面内的任意一点，都有，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量对应线段的几何关系得，根据四点共面有求值. 【详解】由题设，， ∴，又共面， ∴，可得. 故答案为： 14. 已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为___________. 【答案】1 【解析】 【分析】求出与直线的方向向量的夹角的余弦，转化为正弦后可得点到直线的距离． 【详解】， ， 所以， 点到的距离为． 故答案为：1． 15. 给出下列命题： ①直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直； ②直线的方向向量为，平面的法向量为，则； ③平面的法向量分别为，，则； ④平面经过三点，向量是平面的法向量，则. 其中真命题是________．（把你认为是正确命题的序号都填上） 【答案】①④ 【解析】 【分析】由空间向量数量积的坐标表示，逐个判断即可， 【详解】解析　对于①，因为，，所以，所以与垂直，①正确； 对于②，，，所以，所以， 所以或，②错误； 对于③，因为，，显然两向量不共线，所以不成立，③错误； 对于④，因为点， 所以，，向量是平面α的法向量， 所以即则，④正确． 综上，真命题的序号是①④. 故答案为：①④ 三、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知坐标平面内三点A(-1，1)，B(1，1)，． （1）求直线BC，AC的斜率和倾斜角； （2）若D为的边AB上一动点，求直线CD的斜率和倾斜角α的取值范围． 【答案】（1）直线BC的斜率，倾斜角为；直线AC的斜率，倾斜角为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可； （2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可． 【小问1详解】 由斜率公式得：， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是， ∴直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为； 【小问2详解】 如图，当直线CD由CA逆时针旋转到CB时， 直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由增大到， ∴k的取值范围为，倾斜角α的取值范围为． 17. 已知向量，，. （Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值. 【答案】（Ⅰ）实数和的值分别为和.（Ⅱ） 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据可求得,再根据垂直的数量积为0求解即可. (Ⅱ)根据共面有,再求解对应的系数相等关系求解即可. 【详解】解：(Ⅰ)因为,所以. 且. 因为向量与垂直, 所以. 即. 所以实数和的值分别为和. (Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）. 因为, 所以 所以实数的值为. 【点睛】本题主要考查了空间向量的基本求解方法,包括模长的运算以及垂直的数量积表达与共面向量的关系等.属于基础题. 18. 如图，已知棱长为1的正四面体，分别是，的中点． （1）用，，表示向量，并求的模长； （2）求证：，； （3）求与所成角的余弦值． 【答案】（1）， （2） 证明：，所以，同理可证,所以：． （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的三角形法即可表示出向量，两边同时平方即可求得结果. （2）利用数量积等于0，则两个向量垂直即可证明. （3）利用空间向量夹角的计算公式即可求得结果. 【小问1详解】 ，， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设为异面直线与所成的角， 19. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 在正方体中，， 则四边形为平行四边形，因此， 而平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，再利用线面平行的判定推理作答. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦作答. （3）利用（2）中坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离作答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在棱长为的正方体中，射线两两垂直， 以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， ，棱的中点， 可得， 设平面的法向量， 则， 令，得， 为平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，， 所以点到平面的距离. 20. 如图所示，已知三角形为正三角形，且三角形与菱形所在的平面互相垂直，，是的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：因为为正三角形，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2） （3）存在点，使得直线与平面所成的角为，且. 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得，结合面面垂直的性质定理，得到平面，进而证得； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，求得，利用向量的夹角公式，列出方程求得，进而得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：平面， 在菱形中，，，则为正三角形， 因为是的中点，所以， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则, 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面所成的角的余弦值为. 【小问3详解】 解：假设存在点在线段上，设， 由，则，可得， 又由平面的法向量为， 因为直线与平面所成的角为，所以， 可得， 化简得，平方得，解得， 因为，所以存在满足条件的点，使得直线与平面所成的角为且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二第一学期9月检测 数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线经过两点，且倾斜角为45°，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知向量，且，那么（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题正确的是（ ） A. 任意两个空间向量一定共面 B. 零向量是任意直线的方向向量 C. 共线且模相等的两个向量是相等向量 D. 空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底 5. 设直线的方向向量为，平面的法向量为，，则使成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 9. 在正四棱锥中，，为的中点，.若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 已知，，则_____________. 11. 若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为___________ 12. 若异面直线 的方向向量分别是，则异面直线与的夹角的余弦值等于_________． 13. 已知点在平面内，并且对不在平面内的任意一点，都有，则的值为_______． 14. 已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为___________. 15. 给出下列命题： ①直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直； ②直线的方向向量为，平面的法向量为，则； ③平面的法向量分别为，，则； ④平面经过三点，向量是平面的法向量，则. 其中真命题是________．（把你认为是正确命题的序号都填上） 三、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知坐标平面内三点A(-1，1)，B(1，1)，． （1）求直线BC，AC的斜率和倾斜角； （2）若D为的边AB上一动点，求直线CD的斜率和倾斜角α的取值范围． 17. 已知向量，，. （Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值. 18. 如图，已知棱长为1的正四面体，分别是，的中点． （1）用，，表示向量，并求的模长； （2）求证：，； （3）求与所成角的余弦值． 19. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 20. 如图所示，已知三角形为正三角形，且三角形与菱形所在的平面互相垂直，，是的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $