浙江杭州2026-2027学年浙教版九年级数学上学期第一次阶段测试（第1-2章）

浙江杭州2026-2027学年浙教版九年级数学上学期第一次月考测试 时间:120分 满分:120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）若是二次函数，则的值是（     ） A． B． C．或 D． 2．（本题3分）二次函数的图象的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）已知事件：①小明去公交车站的路上经过一个十字路口，正好是绿灯；②小明到达公交车站时，公交车正在驶来．下列说法正确的是（     ） A．①是随机事件，②是必然事件 B．①②都是必然事件 C．①是必然事件，②是随机事件 D．①②都是随机事件 4．（本题3分）已知二次函数图象上三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）已知，依据下表，它的一个解的范围是（     ） x 0 1 5 1 A． B． C． D． 6．（本题3分）若二次函数取最大值时，则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 7．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的值可能是（     ） A． B． C． D．1 8．（本题3分）如图，李叔叔想用长为的篱笆围成一个矩形草莓园，且要求矩形的一边的长不得低于，草莓园中有一横两纵且宽均为的小路，其余部分种草莓，则种草莓部分的最大面积为（） A． B． C． D． 9．（本题3分）篮球是陕西省中考体育统一考试（现场测试）中“项目四·球类技能”的选项之一、如图是小强在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率为（     ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，抛物线（）的部分图象，其顶点坐标为，与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）抛物线与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点的坐标是__________________． 12．（本题3分）一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到红球的概率为__________． 13．（本题3分）已知抛物线，当时，y随x的增大而减小，则h的取值范围是_____． 14．（本题3分）把抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的解析式为___________． 15．（本题3分）如图，一次函数（）的图象与抛物线（）相交于A，B两点，则关于x的不等式的解集为______． 16．（本题3分）如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在y轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为_______． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)若，求的取值范围． 18．（本题8分）如图，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点A，C． (1)求点A、点B、点C的坐标； (2)若抛物线顶点为M，求的面积． 19．（本题8分）已知某二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的解析式． (2)判断点是否在抛物线上，并说明理由． 20．（本题8分）潮阳区某特产店销售潮式酥糖礼盒，每盒的成本为24元．调查发现：当每盒售价为40元时，每天可售出32盒；售价每降低1元，每天就多售出4盒．设每盒降价x元，每天销售该礼盒的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当每盒降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 21．（本题9分）某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 500 1000 1500 2000 2500 优等品频数 471 946 a 1898 2370 优等品频率 0.942 0.946 0.951 b 0.948 (1)补全表格中的数据，__________，__________，并估计这批彩色弹力球“优等品”概率的值大约是________；（精确到0.01） (2)从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现从第（2）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 22．（本题9分）如图是抛物线形的拱桥，水面的宽为10米，拱顶离水面4米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面上升1米，则水面的宽度是多少米？ (3)在（2）的条件下，有一艘有物资的船准备从桥下通过，船身及物资如图所示，这艘船宽，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 23．（本题10分）如图所示，已知在中，，，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示）； (2)如果Q、P分别从A、B两点出发．的面积为s． ①用含t的代数式表示的面积s． ②求几秒后，的面积等于？ (3)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 24．（本题12分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求线段的最大值，并求此时n的值； (3)在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第6页（共7页） 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 《浙江杭州2026-2027学年浙教版九年级数学上学期第一次月考测试（第1-2章）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D D C D D B B B 1．B 【分析】本题考查二次函数的定义，解题需同时考虑二次项次数为、二次项系数不为两个条件，不可遗漏系数限制． 【详解】解：由二次函数定义得二次项次数为、二次项系数不为， ∴且， 解得：或， 解得：， ∴． 2．D 【详解】解：， ∴该二次函数图象的顶点坐标为． 3．D 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此逐一判断即可． 【详解】解：①经过十字路口时，信号灯颜色不确定，正好是绿灯可能发生也可能不发生，是随机事件； ②到达公交车站时，公交车是否驶来不确定，正在驶来可能发生也可能不发生，是随机事件； 故①②都是随机事件 ． 4．D 【分析】由抛物线的开口方向和对称轴，求出点关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的对称性和增减性，即可判断求解． 【详解】解：， 二次函数开口向下，对称轴为直线， 在对称轴的左侧随的增大而增大，在对称轴的右侧随的增大而减小，点关于直线的对称点是， ， ． 5．C 【分析】观察表格中代数式的取值符号，找到符号改变的区间即为方程一个解的范围． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴方程的一个解的范围是． 6．D 【分析】利用二次函数开口向下时最大值在对称轴处的性质，结合对称轴公式求解， 【详解】解：∵二次函数中， ∴函数取最大值时的值为对称轴横坐标， 由对称轴公式直线，代入，， 得， ∵函数取最大值时， ∴． 7．D 【分析】找到两个临界位置是解题关键．先将点，代入求出的值，再结合函数图象求解即可得． 【详解】解：将点代入抛物线得：，解得， 将点代入抛物线得：，解得， 可知若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是， 则a的值可能是1． 8．B 【分析】设草莓部分的面积为S，，则，再表示出种植草莓区域的长和宽，然后根据矩形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：把小路平移到上方和左方，面积不变，如图： 设草莓部分的面积为S，，则， ∵小路的宽均为， ∴，， ∴， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，． 9．B 【分析】由图知小强投篮命中的频率是，得到现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为． 【详解】解：由图知小强投篮命中的频率是， ∴现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为． 10．B 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置及与y轴交点判断a，b，c的符号；利用抛物线的对称性确定时y的符号，结合判断①；利用对称轴公式判断③；利用顶点坐标公式判断④，即可解答． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴为直线， ，即． ，故②错误． ， ，故③错误． 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在和之间． 当时，，即． ， ，即，故①正确． 抛物线的顶点坐标为， ． ． ，故④正确． 综上所述，正确的结论是①④，共2个． 11． 【分析】抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，根据已知交点坐标即可求出另一个交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，设抛物线与轴另一个交点的横坐标为，已知一个交点坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标是． 12． 【分析】先计算袋子中球的总数量，确定红球的数量，再根据概率的定义计算结果． 【详解】解：袋子中球的总个数为，其中红球的个数为，因此摸到红球的概率为． 13． 【分析】抛物线开口向下，对称轴右侧随增大而减小，根据给定的递减区间确定对称轴的范围，即可求解的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴右侧，随的增大而减小，即当时，随增大而减小， ∵当时，随的增大而减小， ∴， 解得． 14． 【分析】根据抛物线平移的“左加右减，上加下减”规律得到平移后的解析式． 【详解】解：把抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的解析式为． 15．或 【分析】关于x的不等式的解集就是二次函数的图象在一次函数的图象上方的部分，根据图象得出对应的自变量的取值范围即为不等式解集． 【详解】解：由图可知，二次函数的图象在一次函数的图象上方的部分位于交点左边和交点右边，交点、横坐标分别是、， ∴关于x的不等式的解集为或． 16． 【分析】先由对称轴和点N坐标求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使的周长最小，结合的长度一定，所以只需取最小值即可．过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P，进而即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为，点是抛物线上的一点， ， 解得， 该抛物线的解析式为， ， 的周长，且是定值， 当的值最小时，的周长最小， 如图1，过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P， 则， 设直线的解析式为， 则有， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，， ∴． 17．(1) (2) 【分析】（1）先描点，然后再连线即可解答； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：列表： x 0 1 2 3 4 2 0 2 描点、连线略． （2）解：∵二次函数， ∴该函数的抛物线开口向上，对称轴为， ∵， ∴当时，二次函数有最小值， ∵当时，二次函数的函数值，当时，二次函数的函数值， ∴二次函数有最大值8， ∴当时，的取值范围为． 18．(1)，， (2)的面积为 【分析】（1）当时，；当时，，解方程即可； （2）确定抛物线的顶点坐标，根据题意解答即可． 【详解】（1）解：当时，， ． 当时，， 解得或， ，． （2）解：， ， 的面积为． 19．(1) (2) 解：点不在抛物线上，理由如下： 将代入 得 ∵ ∴点不在抛物线上． 【分析】（1）根据顶点坐标设二次函数顶点式，代入已知点坐标求解参数； （2）代入点的横坐标计算函数值，与点的纵坐标对比判断． 【详解】（1） 解： ∵ 二次函数的顶点坐标为 ∴ 设二次函数解析式为（） ∵函数图象经过点 ∴将代入解析式，得 解得 ∴ 这个二次函数的解析式为； （2）略 20．(1)； (2)当每盒降价4元（即售价为36元）时，每天的销售利润最大，最大利润为576元 【分析】（1）根据总利润等于单盒利润乘以销量列出函数关系式进行求解即可； （2）利用二次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）解：降价后每盒的利润为元，每天的销售量为盒． 由题意，． 又且， ∴． （2）解： ． ∵， ∴抛物线开口向下，当时y有最大值576． 答：当每盒降价4元时，每天的销售利润最大，最大利润为576元． 21．(1)1427，0.949，0.95 (2) (3)5个 【分析】（1）根据表格数据，用频率估计概率和频率公式即可解答； （2）根据概率公式计算即可； （3）设取出x个黑球，则放入x个黄球，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：由得， ， ∵随着抽取的彩色弹力球数量的增加，抽到优等品的频率在0.95附近， ∴估计这批彩色弹力球“优等品”概率的值大约是0.95； （2）解：从袋子中摸出一个球，所有可能的结果有（种），且每种结果出现的可能性相等，其中摸到黄球的结果有5种， ∴从袋子中摸出一个球是黄球的概率为； （3）解：设取出x个黑球，则放入x个黄球， 由题意得：， 解得． 答：取出了5个黑球． 22．(1) (2)米 (3)这艘船能从这座拱桥下通过 【分析】（1）以所在直线为x轴，以的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点，可设抛物线的解析式为，把点代入，即可求解； （2）求出当时，x的取值，即可求解； （3）求出当船在拱桥正中心行驶时，拱桥高出水面的高度，即可求解． 【详解】（1）解：如图，以所在直线为x轴，以的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于， 当时，， 解得：， 此时水面的宽度是米； （3）解：∵船宽， ∴当船在拱桥正中心行驶时，船边缘的横坐标为， 当时，， 此时拱桥高出水面的高度为米， ∵物资顶部距水面，且， ∴这艘船能从这座拱桥下通过． 23．(1)；； (2)①的面积；②1秒后，的面积等于； (3)当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为． 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； （2）①根据三角形的面积公式列代数式即可； ②根据题意列出方程进行求解即可； （3）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：①∵，，， ∴的面积， ②当的面积时， 解得或， 当时，（不符合题意，舍去）； ∴， 答：1秒后，的面积等于； （3）解：当点运动到点时，秒； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，S随着的增大而增大， ∵， ∴当时，S的值最大为； 故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为． 24．(1)； (2)当时，线段有最大值，最大值为； (3)存在．点M的坐标为、、． 【分析】（1）将代入求出，进而求出直线的函数解析式，得到点B的坐标为，将，代入中求解即可； （2）由题意可知，得到，过点P作轴于点E，交于点F，根据勾股定理求出，根据点P的横坐标为可知，，则，求出解析式，进而根据二次函数的性质作答即可； （3）由（2）得取最大值时，P点坐标为，分两种情况根据平行四边形的性质作答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为． 将代入中，得， ∴直线的函数解析式为． 当时，，∴点B的坐标为． 将，代入中， 得解得 ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：，， ， ． 如图，过点P作轴于点E，交于点F， ， ． ， ． ∵点P的横坐标为， ，， ， ． ，， ∴当时，线段有最大值，最大值为． （3）解：由（2）得取最大值时，P点坐标为，已知， 设（，M在x轴正半轴），以B、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：为平行四边形的边或为平行四边形的对角线. ①当为平行四边形的边时，如图， 可知， 此时N的纵坐标为4， 代入抛物线， 解得或（对应点P，舍去）， 即． ∴， 由平行四边形对边平行且相等，得 或 即或； ②当为平行四边形的对角线时，如图， 根据平行四边形的性质可知，， 即，， 解得：，， 即 将代入得， 解得​， 当时，， 当时，（舍去）， ∴M点为； 综上所述，∴点M的坐标为、、． 答案第14页（共14页） 答案第1页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $