精品解析：浙江省杭州市文海中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷

九年级（上）12月月考数学试卷 一．选择题（每题3分，满分30分） 1. 已知的半径为3，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不能确定 2. 如果三点在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 若两个相似三角形的对应角平分线的比为，则它们的面积比为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为的直径，C是上的一点，若，，则的长为(　　) A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分2，0，；转盘B被四等分3，2，，．如果同时转动转盘A，B，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘）落在直角坐标系y轴正半轴上的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，过正六边形内切圆圆心的两条直线夹角为，圆的半径为，则图中阴影部分面积之和为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，点是边上一点，连接，过作于点，若，，，则矩形的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（ ） A. 当且时，则 B. 当时，则 C. 当且时，则 D. 当时，则 10. 如图，正方形中，，相交于点O，平分交于点E，把沿翻折，得到，F是的中点，连接，，，，．下列结论：①垂直平分；②；③；④；⑤．其中结论正确的序号是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③⑤ D. ③④⑤ 二．填空题（每题3分，满分18分） 11. 从到的连续自然数中任取一个，是偶数的概率是_____． 12. 将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位得到_____． 13. 如图，正六边形的两个顶点与正方形的两个顶点重合，且正方形与正六边形的中心（点O）重合，则______度． 14. 已知点为线段的黄金分割点，且，则_________． 15. 二次函数中的与的部分对应值如下表：下列结论：①函数的图像开口向上；②函数的最小值是0；③函数的图像经过点；④当时，随的增大而增大．其中所有正确结论的序号是______． … 0 2 3 … … 8 0 0 3 … 16. 如图，是圆内接三角形，点是圆上一点，连接，，与交于点，且满足，．若，，则弦________，线段________． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 三张质地相同的卡片如图所示，将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，甲，乙两人进行如下抽牌游戏：甲先抽一张卡片放回，乙再抽一张． （1）甲抽到的卡片上数字为奇数的概率为______； （2）用画树状图或列表的方法表示甲，乙两人游戏所有等可能的结果，并求他们抽到相同数字卡片的概率． 19. 如图，在中，，点D在上，连接，点E在上，连接，，且． （1）求证：； （2）若点D是的中点，求证：． 20. 如图是镇远楼俗称鼓楼，又名靖远楼，位于张掖市中心，是河西走廊现存最大的鼓楼．于明正德二年（年）建在一座砖包的高台上，楼为三层木构塔型，飞檐翘角，雕梁画栋，结构精巧，造型雄伟壮观．楼上四面悬有匾额：东为“金城春雨”，西为“玉关晓月”，南为“祁连晴雪”，北为“居延古牧”，完全是中华民族的传统建筑．某数学兴趣小组将测量镇远楼的高度作为一次实践活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量镇远楼的高度 测量示意图 如图，镇远楼及底座在同一条直线上且垂直于地面，在地面上选取点，测得和的度数及，两点之间的距离，点，，，均在同一竖直平面内，且 测量数据 的度数 的度数 的长度 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出镇远楼的高度（结果保留整数）．参考数据：，，，，， 21. 已知关于x的抛物线解析式为． （1）当时，求抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）在（1）的条件下，直线（其中）与该抛物线相交于A、B两点，求线段的长度的最小值． 22. 如图，内接于，弦平分，平分交于点，交于点，若，，． （1）求证：； （2）求的半径． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：（1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人： （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1． 素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为6m，绳子最高点为2m，摇绳同学的出手高度均为1m，如图2； （2）9名跳绳同学身高如右表． 身高（m） 1.70 1.73 1.75 1.80 人数 2 2 4 1 素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现：（1）跳绳时，人的跳起高度在0.25m及以下较为舒适： （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． 问题解决 （1）任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式． （2）任务2：确定排列方案．该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持0.45m的间距．请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学． （3）任务3：方案优化改进，据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整，班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至0.85m．此时中段长绳将贴地形成一条线段（线段），而剩余的长绳则保持形状不变，如图4．请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题． 24. 如图，在中，，，分别是，上的点，过，，三点作圆，与射线交于点，，，． （1）若点E在的延长线上，求证：； （2）当P点在射线上运动，且与三边中的一边垂直，求； （3）记、的面积分别为，，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）12月月考数学试卷 一．选择题（每题3分，满分30分） 1. 已知的半径为3，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键； 当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外；据此即可得出答案． 【详解】解：∵的半径为3，, ∴点M到圆心的距离大于圆的半径， ∴点M在圆外． 故选：C． 2. 如果三点在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴图象的开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴． 故选：B． 3. 若两个相似三角形的对应角平分线的比为，则它们的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得这两个相似三角形的相似比为，然后根据“如果两个三角形相似，那么它们的面积比是相似比的平方”进行求解即可． 【详解】解：由两个相似三角形的对应角平分线的比为，可知它们的相似比为，所以面积比是； 故选B． 4. 如图，为的直径，C是上的一点，若，，则的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质计算出，然后利用弧长公式求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 又∵， ∴的长为． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质和弧长的计算公式，掌握弧长的计算公式是解题的关键．弧长的计算公式：，其中弧长为l，圆心角度数为，圆的半径为R． 5. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理证得，根据圆内接四边形的性质，证得，进而求出的度数即可． 【详解】解： 四边形内接于 故选：B． 6. 如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分2，0，；转盘B被四等分3，2，，．如果同时转动转盘A，B，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘）落在直角坐标系y轴正半轴上的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 2 0 3 （2，3） （0，3） （，3） 2 （2，2） （0，2） （，2） （2，） （0，） （，） （2，） （0，） （，） 由表可知，共有12种等可能结果，落在直角坐标系y轴正半轴上的情况有2种， 所以点落在直角坐标系y轴正半轴上的概率是． 故选：C． 【点睛】本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提． 7. 如图，过正六边形内切圆圆心的两条直线夹角为，圆的半径为，则图中阴影部分面积之和为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设与交于点，与交于点，作于，于，连接，，设与交点为，根据正六边的性质可知和是等边三角形，根据正六边形内切圆的半径为，可知，设，则，利用勾股定理可得，从而求出正六边形的边长为，过正六边形内切圆圆心的两条直线夹角为，可得，利用可证，根据全等三角形的性质可知，从而可得，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：如下图所示， 设与交于点，与交于点， 作于，于， 连接，，设与交点为， 六边形是正六边形， ，，，，，， 和是等边三角形， 正六边形内切圆的半径为， ， 设，则， ， ， 由勾股定理得， ， 解得：， 正六边形的边长为， 过正六边形内切圆圆心的两条直线夹角为， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：C ． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、扇形的面积公式、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质．解决本题的关键是根据圆的基本性质和正六边形的性质找到两个阴影的关系． 8. 如图，在矩形中，点是边上一点，连接，过作于点，若，，，则矩形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质及正弦的定义得，继而得到，如图，过作于点，则，推出，得，根据等腰三角形三线合一得，求得，可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 如图，过作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴， ∴矩形的面积是． 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形的相关计算，矩形的性质，等腰三角形三线合一性质等知识点，掌握锐角三角函数的定义、通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 9. 在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（ ） A. 当且时，则 B. 当时，则 C. 当且时，则 D. 当时，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，顶点为，与x轴交于和，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把代入，得， ∴顶点为， ∵两点，在抛物线， ∴当且时，（因时抛物线在x轴上方）， 故， 此时 故A选项的结论正确； 当时，抛物线在时递减， 故越大，越小， 即， 故B选项的结论错误； 当且时，， 此时应满足或， 故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增， 故越大，越大， 即， 故D选项的结论错误； 故选：A 10. 如图，正方形中，，相交于点O，平分交于点E，把沿翻折，得到，F是的中点，连接，，，，．下列结论：①垂直平分；②；③；④；⑤．其中结论正确的序号是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③⑤ D. ③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，作于，设交于，根据对称性，，即可判断①，进而根据等腰直角三角形的性质，根据角平分线的性质的平分，，，，，即可判断②③，进而计算三角形的周长差即可判断④；根据，，即可判断⑤ 【详解】解：如图，连接、，作于，设交于． 四边形是正方形， ，，， ， 根据对称性，， ，， 垂直平分，故①正确， ， ，， ， 平分，，， ，， ，故②错误 ，故③正确， ， ，故④正确， ， ， ，故⑤错误； 综上分析可知，正确的是①③④，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，求正切，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二．填空题（每题3分，满分18分） 11. 从到的连续自然数中任取一个，是偶数的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率；到的自然数中，偶数有个，总数为，根据概率公式，概率为偶数个数与总数之比 【详解】解：从到的自然数中，偶数包括，，，，共个，总数为个， 因此任取一个数是偶数的概率为． 故答案为：． 12. 将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位得到_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：抛物线向右平移个单位，向上平移个单位， 根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是， 故答案为：或． 13. 如图，正六边形的两个顶点与正方形的两个顶点重合，且正方形与正六边形的中心（点O）重合，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正多边形的性质，连接，先求出，，由正六边形是轴对称图形可得，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵正六边形的两个顶点与正方形的两个顶点重合， ∴，， 由正六边形是轴对称图形可得，， ∴， 故答案为：． 14. 已知点为线段的黄金分割点，且，则_________． 【答案】3－3 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义，知AC为较长线段，则AC＝AB，然后把AB＝6代入计算即可． 【详解】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AC为较长线段， ∴AC＝AB， ∵AB＝6， ∴AC＝×6＝3－3． 故答案为：3－3． 【点睛】本题考查了黄金分割，掌握黄金分割的相关概念及牢记黄金比是解题的关键． 15. 二次函数中的与的部分对应值如下表：下列结论：①函数的图像开口向上；②函数的最小值是0；③函数的图像经过点；④当时，随的增大而增大．其中所有正确结论的序号是______． … 0 2 3 … … 8 0 0 3 … 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，可根据表格数据求出该二次函数的解析式，进而利用二次函数的图像与性质逐个判断即可． 【详解】解：由表格数据知，该二次函数的图像经过点，，， ∴，解得， ∴该函数的解析式为， ∵， ∴该函数图像的开口向上，故①正确； ∵该函数图像的顶点坐标为， ∴该函数的最小值为，故②错误； ∵当时，， ∴函数的图像经过点，故③正确； ∵该函数图像开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故④错误， 综上，所有正确结论的序号是①③， 故答案为：①③． 16. 如图，是圆内接三角形，点是圆上一点，连接，，与交于点，且满足，．若，，则弦________，线段________． 【答案】 ①. 4 ②. 2 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 由圆周角定理得，利用证明得到，再证明，利用相似三角形对应边成比例计算即可求出，通过相似三角形得到，进而可得到． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 或（舍去）． 连接， ， ， ∴． 故答案为：4；2． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可； （2）先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 三张质地相同的卡片如图所示，将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，甲，乙两人进行如下抽牌游戏：甲先抽一张卡片放回，乙再抽一张． （1）甲抽到的卡片上数字为奇数的概率为______； （2）用画树状图或列表的方法表示甲，乙两人游戏所有等可能的结果，并求他们抽到相同数字卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键，（1）由甲先抽一张卡片，可能出现的数字有3种，而且数字出现有可能性相等，抽到的卡片上数字为偶数的只有1种，直接利用概率公式求解即可得到答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他们抽到相同数字卡片的怀脱 再利用概率公式即可得求得答案． 【小问1详解】 解：∵甲先抽一张卡片，可能出现的数字有3种，而且数字出现有可能性相等，抽到的卡片上数字为奇数的只有2种， ∴抽到的卡片上数字为偶数的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，他们抽到相同数字卡片的有3种情况， ∴他们抽到相同数字卡片的概率为：． 19. 如图，在中，，点D在上，连接，点E在上，连接，，且． （1）求证：； （2）若点D是的中点，求证：． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴． （2） 证明：∵点D是的中点， ∴． 又∵， ∴， 又， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键， （1）由两角相等得到，根据相似三角形的性质即可得到，从而得到答案； （2）点D是的中点，得到，再由（1）中，推出，进而得到，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图是镇远楼俗称鼓楼，又名靖远楼，位于张掖市中心，是河西走廊现存最大的鼓楼．于明正德二年（年）建在一座砖包的高台上，楼为三层木构塔型，飞檐翘角，雕梁画栋，结构精巧，造型雄伟壮观．楼上四面悬有匾额：东为“金城春雨”，西为“玉关晓月”，南为“祁连晴雪”，北为“居延古牧”，完全是中华民族的传统建筑．某数学兴趣小组将测量镇远楼的高度作为一次实践活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量镇远楼的高度 测量示意图 如图，镇远楼及底座在同一条直线上且垂直于地面，在地面上选取点，测得和的度数及，两点之间的距离，点，，，均在同一竖直平面内，且 测量数据 的度数 的度数 的长度 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出镇远楼的高度（结果保留整数）．参考数据：，，，，， 【答案】镇远楼的高度为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的数据和锐角三角函数可以计算出、的长，从而可以计算出的长． 【详解】解：，，，， ，， ， 答：镇远楼的高度为． 21. 已知关于x的抛物线解析式为． （1）当时，求抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）在（1）的条件下，直线（其中）与该抛物线相交于A、B两点，求线段的长度的最小值． 【答案】（1）抛物线顶点坐标为，对称轴为直线 （2）线段长度的最小值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练运用相关性质是解题的关键． （1）将代入，即可解答； （2）表示出两点坐标，再利用二次函数的性质，即可解答． 【小问1详解】 解： ， ， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线． 【小问2详解】 解：联立方程组，化简得， 整理得，所以或， 解得，或， 所以方程组的解是，或， 直线与抛物线交点坐标为，， 抛物线在这条直线上所截线段的长度为 ， ，， 当，． 线段长度的最小值为． 22. 如图，内接于，弦平分，平分交于点，交于点，若，，． （1）求证：； （2）求的半径． 【答案】（1） 证明：弦平分， ， ， ． 平分， ， ． ，， ， ． ，， ， ， ． ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义，圆周角定理，三角形的内角和定理的推论，等腰三角形的判定定理得到，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论； （2）连接，，交于点，利用平行线的性质，角平分线的定义，圆周角定理和垂径定理得到，利用（1）的结论求得，再利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，，交于点，如图， ， ， ， ， ，， ， ． 由（1）知：， ，， ． ，． ， ． ． 设，则， 在中， ， ， ． 的半径． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，连接圆的半径，熟练运用垂径定理是解题的关键． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：（1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人： （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1． 素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为6m，绳子最高点为2m，摇绳同学的出手高度均为1m，如图2； （2）9名跳绳同学身高如右表． 身高（m） 1.70 1.73 1.75 1.80 人数 2 2 4 1 素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现：（1）跳绳时，人的跳起高度在0.25m及以下较为舒适： （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． 问题解决 （1）任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式． （2）任务2：确定排列方案．该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持0.45m的间距．请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学． （3）任务3：方案优化改进，据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整，班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至0.85m．此时中段长绳将贴地形成一条线段（线段），而剩余的长绳则保持形状不变，如图4．请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题． 【答案】（1）； （2）绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学， （3）方案能解决同学反映的问题， 当绳子摇至最低处时，抛物线解析式可表示为， ∵出手高度降低至， ∴抛物线下降， ∴下移后的抛物线解析式为：， 当时，， ∴方案能解决同学反映的问题． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数平移等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）按照题意建立平面直角坐标系，易得抛物线的对称轴为轴，于轴交于点，并且经过点，设出相应的函数解析式，进而把点代入可得二次项系数的值，即可求得长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式； （2）个同学，最高的同学在正中间，那么右边将有个同学，易得最右侧同学所在的横坐标，代入（1）中得到的解析式，可得最右侧同学所在的地方抛物线的高度，计算出最右侧同学屈膝后的身高，与抛物线的高度比较可判断绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学； （3）根据抛物线的形状相同可得绳子摇至最低处时，抛物线解析式，进而可得平移后新的抛物线解析式，取最右侧同学的横坐标代入可得最右侧同学跳绳的高度，与舒适高度比较即可判断方案能否解决问题． 【详解】解：（1）如图建立平面直角坐标系： 设长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：， ∵经过点， ， 解得：， ∴长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：； （2）最右侧同学所在的横坐标为： ， 当时，， ∵长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的， ∴最右侧同学屈膝后的身高为：， ， ∴绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学； （3）略 24. 如图，在中，，，分别是，上的点，过，，三点作圆，与射线交于点，，，． （1）若点E在的延长线上，求证：； （2）当P点在射线上运动，且与三边中的一边垂直，求； （3）记、的面积分别为，，若，求的值． 【答案】（1） 证明：四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ； （2）或或 （3）5 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，直角所对弦是直径，圆内接四边形的对角互补，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． （1）利用圆内接四边形的性质及同角的补角相等即可得出，进而证得结论； （2）分三种情况，①时，②时，③时，分类讨论，根据相似三角形的性质即可求解； （3）根据，利用（1）中的结论，得出的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，当时， ，，三点共圆，与射线交于点， 点在圆上， 是直径， ， 在中，，，，， ，， ，， ， ， ， 当时，则在的延长线上，如图， 在中，，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 当时，如图，则，重合，过点作，设过点，，的圆心为，连接，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，或或； 【小问3详解】 解：记、的面积分别为，， ， ， 由（1）可得， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $