第17讲 导数的概念及其意义、导数的运算讲义（1考点+7题型）-2027届高三数学一轮复习

第17讲 导数的概念及其意义、导数的运算 目录 Part 1 考点突破 【考点1：导数的概念和几何意义】 Part2 题型探究 【题型1：导数概念及其意义】 【题型2：平均变化率与瞬时变化率】 【题型3：导数的定义与含Δx的极限】 【题型4：导数的几何意义——求切线斜率】 【题型5：求曲线在某点/过点的切线方程】 【题型6：函数图象与其导函数图象的关系】 【题型7：导数的运算】 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【考点1：导数的概念和几何意义】 1、概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负数，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 2、几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 3、物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 导数不是凭空冒出来的符号，它是"平均变化率的极限"——把区间压到无穷小时，前后两点间的距离比的归宿。记住三层意义：代数上，它是函数增量与自变量增量比值的极限；几何上，它是曲线在某点处切线的斜率；物理上，位移对时间的导数是瞬时速度，速度对时间的导数是瞬时加速度。做题时先判断题目问的是哪一层，再决定用定义（含 Δx 的极限）还是几何意义（找切线斜率）去处理。 Part 2 题型探究 【题型1：导数概念及其意义】 【例1】（2026•长沙校级三模）曲线y＝ex在点（0，1）处的切线方程为（　　） A．x﹣2y+1＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．x﹣y+1＝0 D．2x﹣y+1＝0 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义，直线的点斜式方程即可求解． 【解答】解：∵y＝f（x）＝ex，∴f′（x）＝ex， ∴f′（0）＝1， ∴曲线y＝ex在点（0，1）处的切线方程为： y＝x+1，即x﹣y+1＝0， 故选：C． 【变式1】（2026春•巴彦淖尔校级期中）曲线在点（3，3）处的切线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数定义求f（x）的导函数，进而求f'（3），根据导数的几何意义即知点（3，3）处的切线的倾斜角． 【解答】解：∵， ∴k＝f'（3）＝﹣1．又切线的倾斜角的范围为[0，π）， ∴所求倾斜角为． 故选：C． 【题型2：平均变化率与瞬时变化率】 【例2】（2025秋•武威期末）已知函数f（x）＝2x2﹣x+1，则f（x）从1到1+Δx的平均变化率为（　　） A．2 B．2Δx+3 C．2（Δx）2+3Δx D．2（Δx）2﹣Δx+1 【答案】B 【分析】根据平均变化率的定义直接求解即可． 【解答】解：函数f（x）＝2x2﹣x+1从1到1+Δx的平均变化率为 ． 故选：B． 【变式2】（2026•合肥校级模拟）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益．已知一段时间内，甲、乙两个水库的蓄水量W与时间t的关系如图所示．下列叙述中正确的是（　　） A．在[0，t3]这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在[t1，t2]这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在t1时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【分析】根据题意，由平均变化率的定义分析A、B，由导数的几何意义以及瞬时变化率的定义分析C、D，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，在[0，t3]这段时间内，甲水库的蓄水量减少，其平均变化率均小于0，A错误； 对于B，在[t1，t2]这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0，乙水库蓄水量的平均变化率大于0， 则在[t1，t2]这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，B错误； 对于C，甲水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率小于0，而乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率大于0， 则甲水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率，C错误； 对于D，乙水库在t1时刻切线的斜率大于乙水库在t2时刻切线的斜率，即乙水库在t1时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率，D正确． 故选：D． 【题型3：导数的定义与含Δx的极限】 【例3】（2026秋•拱墅区校级月考）已知函数f（x）＝x3+lnx，则（　　） A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4 【答案】A 【分析】利用导数的定义求解． 【解答】解：因为f（x）＝x3+lnx， 所以， 所以f′（1）＝4， 所以f′（1）＝4． 故选：A． 【变式3】（2026春•梅河口市校级期中）定义在R上的函数f（x），若，则（　　） A．﹣1 B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用导数的定义求解即可． 【解答】解：因为， 所以20262026f′（1）＝﹣1． 故选：A． 【题型4：导数的几何意义——求切线斜率】 【例4】（2025秋•平江县期末）已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由导数的几何意义和割线的斜率分析可得答案． 【解答】解：根据题意，如图： 由导数的几何意义，f′（1）为曲线在x＝1处切线的斜率， f′（3）为曲线在x＝3处切线的斜率， kAB，为割线AB的斜率， 则有． 故选：B． 【变式4】（2025秋•陕西校级期末）已知曲线f（x）＝x+alnx在点（1，1）处的切线与直线3x﹣y+1＝0垂直，则a的值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，可得曲线f（x）＝x+alnx在点（1，1）处的切线的斜率为1+a，再利用切线与已知直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，建立方程，可求a的值． 【解答】解：f（x）＝x+alnx的导数为f′（x）＝1，可得曲线f（x）＝x+alnx在点（1，1）处的切线的斜率为1+a， 由切线与直线3x﹣y+1＝0垂直， 可得3•（1+a）＝﹣1， 解得a． 故选：D． 【题型5：求曲线在某点/过点的切线方程】 【例5】（2026春•青山湖区校级期末）已知函数f（x）＝x2+2ax﹣1与g（x）＝ex+b的图象在x＝0处的切线重合，则a﹣b＝（　　） A．e﹣1 B．e+1 C． D． 【答案】C 【分析】依题意，两函数在x＝0处的切线斜率相等，即导数相等，结合均过公共点求解 【解答】解：由题意知，f′（0）＝g′（0），且f（0）＝g（0）， 因为f′（x）＝2x+2a，g′（x）＝ex， 所以g′（0）＝e0＝1，f′（0）＝0+2a＝1，解得， 当x＝0时，代入f（x），得f（0）＝0+0﹣1＝﹣1， 又f（0）＝g（0），所以g（0）＝e0+b＝﹣1，b＝﹣2 所以． 故选：C． 【变式5】（2026春•西城区校级期中）在曲线上一点P0处的切线平行于直线，则点P0坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设P0（x0，y0），（x0＞0），进而结合题意得，解方程即可求得答案． 【解答】解：设P0（x0，y0），（x0＞0）， 曲线， 则，则， 因为曲线y上一点P0处的切线平行于直线， 直线的斜率为， 所以，解得x0＝2， 所以，即． 故选：B． 【题型6：函数图象与其导函数图象的关系】 【例6】（2026春•沙坪坝区校级期末）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导函数的符号与原函数单调性的关系进行判断函数图像趋势即可求解． 【解答】解：由题意可知，当x＜﹣2和﹣1＜x＜1时，f′（x）＞0， 所以f（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣1，1）上单调递增， 当﹣2＜x＜﹣1和x＞1时，f′（x）＜0， 所以f（x）在（﹣2，﹣1），（1，+∞）上单调递减， 观察四个选项，只有D符合题意． 故选：D． 【变式6】（2025秋•红桥区校级期末）已知函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解． 【解答】解：由导函数y＝f′（x）的图象可知：当x＜﹣2和﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0， 当﹣2＜x＜﹣1和x＞1时，f′（x）＞0， 故f（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣1，1）单调递减，在（﹣2，﹣1），（1，+∞）单调递增， 结合选项可知B正确． 故选：B． 【题型7：导数的运算】 【例7】（2026秋•梅州月考）下列求导运算中，正确的是（　　） A．（2x﹣3）′＝﹣1 B． C．（ex）′＝xex﹣1 D．（cosx）′＝sinx 【答案】B 【分析】结合导数的运算法则，即可求解． 【解答】解：（2x﹣3）'＝2，故A错误； ，故B正确； （ex）'＝ex，故C错误； （cosx）'＝﹣sinx，故D错误． 故选：B． 【变式7】（2026春•翁源县校级期中）下列求导正确的是（　　） A． B． C． D．（e2x+1）′＝e2x+1 【答案】A 【分析】利用求导公式，结合导数的四则运算求解． 【解答】解：对于选项A，，故A正确； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C错误； 对于选项D，（e2x+1）′＝2e2x+1，故D错误． 故选：A． 【例8】（2024秋•朝阳区期末）函数y＝exsinx的导数等于（　　） A．excosx B．exsinx C．﹣excosx D．ex（sinx+cosx） 【答案】D 【分析】利用导数乘法法则进行计算，其中（ex）′＝ex，sin′x＝cosx． 【解答】解：∵y＝exsinx， ∴y′＝（ex）′sinx+（ex）•（sinx）′ ＝exsinx+excosx ＝ex（sinx+cosx）． 故选：D． 【变式8】（2026春•和平区校级期中）函数y＝x﹣sin（2x﹣1）的导数为（　　） A．y′＝1﹣cos（2x﹣1） B．y′＝1+cos（2x﹣1） C．y′＝1﹣2cos（2x﹣1） D．y′＝1+2cos（2x﹣1） 【答案】C 【分析】直接利用导数的运算法则求解． 【解答】解：由y＝x﹣sin（2x﹣1）， 得y′＝（x）′﹣[sin（2x﹣1）]′＝1﹣2cos（2x﹣1）． 故选：C． 【例9】（2026春•东营期末）若存在x0使得f（x0）＝f′（x0），则称x0是函数y＝f（x）的一个“好点”，则下列函数中，不存在“好点”的是（　　） A．f（x）＝cosx+1 B．f（x）＝x2+x C．f（x）＝2x+1 D．f（x）＝lnx 【答案】C 【分析】根据题意，结合导数的计算公式依次分析选项中函数是否存在“好点”，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，f（x）＝cosx+1，其导数f′（x）＝﹣sinx， 则有f（x0）＝f′（x0）⇒cosx0+1＝﹣sinx0⇒sinx0+cosx0＝﹣1， 因为，，所以方程sinx0+cosx0＝﹣1有解， 即函数f（x）＝cosx+1存在“好点”； 对于B，f（x）＝x2+x，其导数f′（x）＝2x+1， 则f（x0）＝f′（x0）⇒⇒， 因为Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＞0，所以方程有两个不相等的实根， 即函数f（x）＝x2+x有两个“好点”； 对于C，f（x）＝2x+1，其导数f′（x）＝2xln2， 则f（x0）＝f′（x0）⇒⇒， 因为，，所以方程无解， 即函数f（x）＝2x+1无“好点”； 对于D，f（x）＝lnx，其导数f′（x）， f（x）＝f′（x），即lnx， 设，x＞0，因为g（x）在（0，+∞）上连续，且， 所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝﹣1，， 所以g（x）＝0只在（1，e）内有一个零点． 即函数f（x）＝lnx只有1个“好点”，位于区间（1，e）内． 故选：C． 【变式9】（2026春•泸州期中）已知函数f（x）＝lnx﹣x2﹣xf′（1），则f′（1）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得导数，令x＝1即可求解． 【解答】解：因为函数f（x）＝lnx﹣x2﹣xf′（1）， 所以， 令x＝1得，f′（1）＝1﹣2﹣f′（1）， 解得． 故选：C． 【说明：邦达题型九~十二（待补题源）】 本讲已补齐"导数的运算"板块（求导基本公式、四则运算法则、复合函数求导、抽象函数求导），覆盖邦达题型二。邦达题型九~十二（牛顿迭代法、切线平行/垂直/重合、奇偶函数图象的切线斜率、切线斜率的取值范围）属导数几何意义的拓展，目前无对应题源，归入后续导数应用讲次，不在此展开。 Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．（2026春•康县期末）一个直线运动的质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在t＝2s时的瞬时速度为（　　） A．3m/s B．6m/s C．8m/s D．9m/s 【答案】A 【分析】求导，得到y′（2）＝3，由导数的物理意义得到瞬时速度． 【解答】解：， 则y′（t）＝t+1，所以y′（2）＝3， 即该质点在t＝2s时的瞬时速度为3m/s． 故选：A． 2．（2026春•广东校级期中）已知函数y＝f（x）＝2x2﹣1的图象上的一点（1，1）及邻近一点（1+Δx，f（1+Δx）），则等于（　　） A．4 B．4+2Δx C．4+2（Δx）2 D．4x 【答案】B 【分析】计算Δy＝f（1+Δx）﹣f（1），再求出即可． 【解答】解：∵Δy＝f（1+Δx）﹣f（1）＝[2（1+Δx）2﹣1]﹣（2×12﹣1）＝2（Δx）2+4（Δx）， ∴4+2Δx． 故选：B． 3．（2025秋•石家庄期末）已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣3，则f（x）从1到1+Δx的平均变化率为（　　） A．Δx+3 B．2Δx﹣1 C．Δx D．（Δx）2﹣Δx 【答案】C 【分析】根据平均变化率的定义计算可得． 【解答】解：函数f（x）＝x2﹣2x﹣3， 则f（x）从1到1+Δx的平均变化率． 故选：C． 4．（2026春•四平期末）函数f（x）＝x+sinx在区间[0，π]上的平均变化率为（　　） A．1 B．2 C．π D．0 【答案】A 【分析】根据平均变化率的计算即可求解． 【解答】解：f（x）＝x+sinx在区间[0，π]上的平均变化率为． 故选：A． 5．（2025秋•娄底期末）已知某质点的位移函数为s（t）＝t3﹣3t2+3，则当t＝1s时，该质点的瞬时速度大小为（　　） A．﹣4m/s B．﹣3m/s C．3m/s D．6m/s 【答案】B 【分析】利用导数求出s′（1）的值，即可得出答案． 【解答】解：由题可得：s′（t）＝3t2﹣6t， 故s′（1）＝3﹣6＝﹣3． 当t＝1s时，该质点的瞬时速度大小为﹣3m/s． 故选：B． 6．（2026秋•罗湖区月考）已知函数，则f（x）在点x＝2处的瞬时变化率为　　 ． 【答案】． 【分析】先对函数求导，结合瞬时变化率的定义即可求解． 【解答】解：因为函数， 所以f′（x）， 则f（x）在点x＝2处的瞬时变化率为． 故答案为：． 7．（2026春•宁河区校级期中）若，则f′（2）＝（　　） A． B．6 C．3 D．﹣3 【答案】C 【分析】结合导数定义即可求解． 【解答】解：若， 则f′（2）3． 故选：C． 8．（2026春•青铜峡市校级期中）已知函数y＝f（x）在x＝x0处的导数为2，则（　　） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据极限与导数的关系直接求解． 【解答】解：根据极限与导数的关系可知， 故选：D． 9．（2026春•锡山区校级期中）已知函数f′（1）＝3，则（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据的导数的定义求解即可． 【解答】解：函数f′（1）＝3， 则f′（1）3＝1． 故选：C． 10．（2026春•济南期中）已知，则（　　） A．f′（4）＝﹣8 B．f′（﹣4）＝8 C．f′（4）＝2 D．f′（4）＝﹣2 【答案】A 【分析】根据含Δx表达式的极限计算与导数的关系即可求解． 【解答】解：由f′（4）＝4， 可得f′（4）＝﹣8，其他选项无法确定． 故选：A． 11．（2026•镇江开学）二次函数f（x）在区间[1，1+Δx]的平均变化率为2Δx+1，请写出满足条件的一个f（x）＝　2x2﹣3x（答案不唯一）　 ． 【答案】2x2﹣3x（答案不唯一）． 【分析】设f（x）＝ax2+bx+c，利用平均变化率的定义计算即可． 【解答】解：设f（x）＝ax2+bx+c， 则aΔx+2a+b， 由题意知，解之得， 显然c的取值不改变结果，不妨取c＝0，则f（x）＝2x2﹣3x． 故答案为：2x2﹣3x（答案不唯一）． 12．（2026春•无锡校级期中）曲线y＝cosx在点处的切线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义可得切线斜率，即可得倾斜角． 【解答】解：因为y＝cosx，则y′＝﹣sinx， 当，则，即切线斜率k＝﹣1， 设切线的倾斜角为θ∈[0，π），则tanθ＝﹣1，可得． 故选：D． 13．（2025秋•昆明期末）已知f（x）＝x2•ex，则f′（﹣1）＝　　 ． 【答案】． 【分析】先对函数求导，然后把x＝﹣1代入即可求解． 【解答】解：因为f（x）＝x2•ex， 所以f′（x）＝2xex+x2•ex， 则f′（﹣1）． 故答案为：． 14．（2026春•滨州期末）已知函数f（x）＝cosx+ln（x+1），则f′（0）＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】结合导数的运算法则，即可求解． 【解答】解：f（x）＝cosx+ln（x+1）， 则，所以f′（0）＝1． 故选：C． 【提升通关练】 15．（2026春•云南月考）曲线y＝x+ln（﹣x）在点x＝﹣1处的切线斜率为（　　） A．1 B．0 C．2 D．﹣1 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义求切线斜率． 【解答】解：由题意y＝x+ln（﹣x）， 对其求导可得， 则曲线在点x＝﹣1处的切线斜率为y′|x＝﹣1＝1﹣1＝0． 故选：B． 16．（2026春•海港区校级期末）曲线在x＝0处的切线的斜率为（　　） A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】利用导数来求斜率即可． 【解答】解：由， 可得， 故曲线在x＝0处的切线的斜率为：e03． 故选：B． 17．（2026春•宁夏校级月考）函数f（x）＝aex﹣sinx在点（0，f（0））处的切线斜率为2，则a＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，求出f′（0）＝2，即可得解． 【解答】解：由函数f（x）＝aex﹣sinx， 可得f′（x）＝aex﹣cosx， 所以f′（0）＝2⇒a﹣1＝2⇒a＝3． 故选：B． 18．（2026春•安顺期末）已知函数f（x）＝kcosx+2x的图象经过点P（0，3），则曲线y＝f（x）在点P处的切线斜率为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先对函数求导，结合导数几何意义即可求解． 【解答】解：因为函数f（x）＝kcosx+2x，则f（0）＝k＝3， 所以f（x）＝3cosx+2x，f′（x）＝﹣3sinx+2， 所以所求切线的斜率为f′（0）＝2． 故选：A． 19．（2026春•南宁期中）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点P处的切线方程是y＝﹣x+8，则f（5）+f′（5）＝（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据题意，由导数的几何意义可得f′（5）的值，将x＝5代入切线方程，可得f（5）的值，将其相加即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝﹣x+8， 则f′（5）＝﹣1， 将x＝5代入切线方程y＝﹣x+8，得f（5）＝﹣5+8＝3， 则f （5）+f′（5）＝3﹣1＝2． 故选：D． 20．（2026•驿城区校级模拟）已知函数f（x）＝3f′（1）x﹣x2，则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出f′（x），令x＝1求得f′（1），即可得出曲线在x＝1处的切线斜率和倾斜角． 【解答】解：因为f（x）＝3f′（1）x﹣x2，所以f′（x）＝3f′（1）﹣2x， 令x＝1，得f′（1）＝3f′（1）﹣2，解得f′（1）＝1， 所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线斜率为1，倾斜角为． 故选：D． 21．（2026春•青浦区期末）已知函数f（x）满足f′（x1）＞0，f′（x2）＜0，则在x1和x2附近符合条件的f（x）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导函数的几何意义分析求解即可． 【解答】解：由f′（x1）＞0，f′（x2）＜0，可知f（x）的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负， 即函数f（x）在x1附近单调递增，在x2附近单调递减， 由所给的图象知，只有D正确． 故选：D． 22．（2026春•广东校级期中）已知函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）图象如图所示，则函数y＝f（x）的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由导函数图象可知f′（x）的符号，f（x）单调性，即可得出答案． 【解答】解：由导函数图象可知在（﹣∞，0）上f′（x）＜0，f（x）单调递减， 在（0，2）上f′（x）＞0，f（x）单调递增， 在（2，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调递减． 故选：D． 23．（2026春•重庆校级期中）已知函数f（x）＝sin4x﹣f′（0）x，则f′（0）＝（　　） A． B．1 C．0 D．2 【答案】D 【分析】先求导，再令x＝0，求解即可． 【解答】解：函数f（x）＝sin4x﹣f′（0）x的定义域为R， f′（x）＝4cos4x﹣f′（0）， 令x＝0，得f′（0）＝4cos0﹣f′（0），所以f′（0）＝2． 故选：D． 【培优通关练】 24．（2026春•武汉校级月考）已知函数f（x）＝aex﹣1+lnx的图像在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y﹣3＝0垂直，则实数a的值为（　　） A． B．﹣2 C．﹣3 D．1 【答案】C 【分析】先根据求导公式求出函数f（x）的导数，进而得到函数在点（1，f（1））处切线的斜率，再根据两直线垂直斜率之积为﹣1求出实数a的值． 【解答】解：， 可得切线的斜率． 将直线x﹣2y﹣3＝0转化为斜截式，可知直线斜率． 因为函数f（x）的图像在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y﹣3＝0垂直， 根据两直线垂直斜率之积为﹣1，可得k×k1＝﹣1，即． 可得：a+1＝﹣2， 故a＝﹣3． 故选：C． 25．（2026春•邛崃市期中）过点O（0，0）与曲线y＝ex相切的直线的斜率为（　　） A． B．e C． D．e2 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义求解． 【解答】解：设切点坐标为（x0，）， 因为曲线f（x）＝ex， 所以f′（x）＝ex， 所以曲线f（x）＝ex在切点（x0，y0）处的切线斜率为k＝f′（x0）， 又因为切线过点O（0，0）， 所以， 所以，即（x0﹣1）＝0， 因为0，所以x0﹣1＝0， 所以x0＝1， 所以过点O（0，0）与曲线y＝ex相切的直线的斜率为ke． 故选：B． 26．（2026•林芝市模拟）设函数f（x）在定义域内可导，f（x）的图象如图所示，则其导函数f′（x）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数的单调性和导数的关系求解即可． 【解答】解：由题意函数f（x）在定义域内可导，f（x）的图象如图所示， 可得当x＜0时，由图知函数f（x）减函数，则导函数f′（x）＜0，排除A，B； 又因当x＞0时，f（x）的图象趋势依次为增、减、增，则f′（x）的值应依次为正、负、正，故D项不符合，C项符合． 故选：C． 27．（2026春•海淀区校级期中）已知在R上可导的函数f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）•f′（x）＜0的解集为　（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）　 ． 【答案】（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）． 【分析】函数y＝f（x）（x∈R）的图象得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，得不等式f（x）f′（x）＜0的解集． 【解答】解：由f（x）图象单调性可得f′（x）在（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）大于0， 在（﹣1，0）上小于0， f（x）在（﹣2，0）∪（0，+∞）大于0， 在（﹣∞，﹣2）上小于0， ∴f（x）f′（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）． 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 导数的概念及其意义、导数的运算 目录 Part 1 考点突破 【考点1：导数的概念和几何意义】 Part2 题型探究 【题型1：导数概念及其意义】 【题型2：平均变化率与瞬时变化率】 【题型3：导数的定义与含Δx的极限】 【题型4：导数的几何意义——求切线斜率】 【题型5：求曲线在某点/过点的切线方程】 【题型6：函数图象与其导函数图象的关系】 【题型7：导数的运算】 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【考点1：导数的概念和几何意义】 1、概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负数，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 2、几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 3、物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 导数不是凭空冒出来的符号，它是"平均变化率的极限"——把区间压到无穷小时，前后两点间的距离比的归宿。记住三层意义：代数上，它是函数增量与自变量增量比值的极限；几何上，它是曲线在某点处切线的斜率；物理上，位移对时间的导数是瞬时速度，速度对时间的导数是瞬时加速度。做题时先判断题目问的是哪一层，再决定用定义（含 Δx 的极限）还是几何意义（找切线斜率）去处理。 Part 2 题型探究 【题型1：导数概念及其意义】 【例1】（2026•长沙校级三模）曲线y＝ex在点（0，1）处的切线方程为（　　） A．x﹣2y+1＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．x﹣y+1＝0 D．2x﹣y+1＝0 【变式1】（2026春•巴彦淖尔校级期中）曲线在点（3，3）处的切线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【题型2：平均变化率与瞬时变化率】 【例2】（2025秋•武威期末）已知函数f（x）＝2x2﹣x+1，则f（x）从1到1+Δx的平均变化率为（　　） A．2 B．2Δx+3 C．2（Δx）2+3Δx D．2（Δx）2﹣Δx+1 【变式2】（2026•合肥校级模拟）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益．已知一段时间内，甲、乙两个水库的蓄水量W与时间t的关系如图所示．下列叙述中正确的是（　　） A．在[0，t3]这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在[t1，t2]这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在t1时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率 【题型3：导数的定义与含Δx的极限】 【例3】（2026秋•拱墅区校级月考）已知函数f（x）＝x3+lnx，则（　　） A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4 【变式3】（2026春•梅河口市校级期中）定义在R上的函数f（x），若，则（　　） A．﹣1 B． C．2 D．4 【题型4：导数的几何意义——求切线斜率】 【例4】（2025秋•平江县期末）已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4】（2025秋•陕西校级期末）已知曲线f（x）＝x+alnx在点（1，1）处的切线与直线3x﹣y+1＝0垂直，则a的值为（　　） A．3 B． C． D． 【题型5：求曲线在某点/过点的切线方程】 【例5】（2026春•青山湖区校级期末）已知函数f（x）＝x2+2ax﹣1与g（x）＝ex+b的图象在x＝0处的切线重合，则a﹣b＝（　　） A．e﹣1 B．e+1 C． D． 【变式5】（2026春•西城区校级期中）在曲线上一点P0处的切线平行于直线，则点P0坐标是（　　） A． B． C． D． 【题型6：函数图象与其导函数图象的关系】 【例6】（2026春•沙坪坝区校级期末）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式6】（2025秋•红桥区校级期末）已知函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【题型7：导数的运算】 【例7】（2026秋•梅州月考）下列求导运算中，正确的是（　　） A．（2x﹣3）′＝﹣1 B． C．（ex）′＝xex﹣1 D．（cosx）′＝sinx 【变式7】（2026春•翁源县校级期中）下列求导正确的是（　　） A． B． C． D．（e2x+1）′＝e2x+1 【例8】（2024秋•朝阳区期末）函数y＝exsinx的导数等于（　　） A．excosx B．exsinx C．﹣excosx D．ex（sinx+cosx） 【变式8】（2026春•和平区校级期中）函数y＝x﹣sin（2x﹣1）的导数为（　　） A．y′＝1﹣cos（2x﹣1） B．y′＝1+cos（2x﹣1） C．y′＝1﹣2cos（2x﹣1） D．y′＝1+2cos（2x﹣1） 【例9】（2026春•东营期末）若存在x0使得f（x0）＝f′（x0），则称x0是函数y＝f（x）的一个“好点”，则下列函数中，不存在“好点”的是（　　） A．f（x）＝cosx+1 B．f（x）＝x2+x C．f（x）＝2x+1 D．f（x）＝lnx 【变式9】（2026春•泸州期中）已知函数f（x）＝lnx﹣x2﹣xf′（1），则f′（1）＝（　　） A． B． C． D． Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．（2026春•康县期末）一个直线运动的质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在t＝2s时的瞬时速度为（　　） A．3m/s B．6m/s C．8m/s D．9m/s 2．（2026春•广东校级期中）已知函数y＝f（x）＝2x2﹣1的图象上的一点（1，1）及邻近一点（1+Δx，f（1+Δx）），则等于（　　） A．4 B．4+2Δx C．4+2（Δx）2 D．4x 3．（2025秋•石家庄期末）已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣3，则f（x）从1到1+Δx的平均变化率为（　　） A．Δx+3 B．2Δx﹣1 C．Δx D．（Δx）2﹣Δx 4．（2026春•四平期末）函数f（x）＝x+sinx在区间[0，π]上的平均变化率为（　　） A．1 B．2 C．π D．0 5．（2025秋•娄底期末）已知某质点的位移函数为s（t）＝t3﹣3t2+3，则当t＝1s时，该质点的瞬时速度大小为（　　） A．﹣4m/s B．﹣3m/s C．3m/s D．6m/s 6．（2026秋•罗湖区月考）已知函数，则f（x）在点x＝2处的瞬时变化率为　　　　 ． 7．（2026春•宁河区校级期中）若，则f′（2）＝（　　） A． B．6 C．3 D．﹣3 8．（2026春•青铜峡市校级期中）已知函数y＝f（x）在x＝x0处的导数为2，则（　　） A．0 B． C．1 D．2 9．（2026春•锡山区校级期中）已知函数f′（1）＝3，则（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 10．（2026春•济南期中）已知，则（　　） A．f′（4）＝﹣8 B．f′（﹣4）＝8 C．f′（4）＝2 D．f′（4）＝﹣2 11．（2026•镇江开学）二次函数f（x）在区间[1，1+Δx]的平均变化率为2Δx+1，请写出满足条件的一个f（x）＝　　　　 ． 12．（2026春•无锡校级期中）曲线y＝cosx在点处的切线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 13．（2025秋•昆明期末）已知f（x）＝x2•ex，则f′（﹣1）＝　　　　 ． 14．（2026春•滨州期末）已知函数f（x）＝cosx+ln（x+1），则f′（0）＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【提升通关练】 15．（2026春•云南月考）曲线y＝x+ln（﹣x）在点x＝﹣1处的切线斜率为（　　） A．1 B．0 C．2 D．﹣1 16．（2026春•海港区校级期末）曲线在x＝0处的切线的斜率为（　　） A．4 B．3 C． D． 17．（2026春•宁夏校级月考）函数f（x）＝aex﹣sinx在点（0，f（0））处的切线斜率为2，则a＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 18．（2026春•安顺期末）已知函数f（x）＝kcosx+2x的图象经过点P（0，3），则曲线y＝f（x）在点P处的切线斜率为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 19．（2026春•南宁期中）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点P处的切线方程是y＝﹣x+8，则f（5）+f′（5）＝（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 20．（2026•驿城区校级模拟）已知函数f（x）＝3f′（1）x﹣x2，则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 21．（2026春•青浦区期末）已知函数f（x）满足f′（x1）＞0，f′（x2）＜0，则在x1和x2附近符合条件的f（x）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 22．（2026春•广东校级期中）已知函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）图象如图所示，则函数y＝f（x）的大致图象是（　　） A． B． C． D． 23．（2026春•重庆校级期中）已知函数f（x）＝sin4x﹣f′（0）x，则f′（0）＝（　　） A． B．1 C．0 D．2 【培优通关练】 24．（2026春•武汉校级月考）已知函数f（x）＝aex﹣1+lnx的图像在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y﹣3＝0垂直，则实数a的值为（　　） A． B．﹣2 C．﹣3 D．1 25．（2026春•邛崃市期中）过点O（0，0）与曲线y＝ex相切的直线的斜率为（　　） A． B．e C． D．e2 26．（2026•林芝市模拟）设函数f（x）在定义域内可导，f（x）的图象如图所示，则其导函数f′（x）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 27．（2026春•海淀区校级期中）已知在R上可导的函数f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）•f′（x）＜0的解集为　　　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $