第3章 第1讲 导数的概念及其意义、导数的运算-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦导数的概念及其意义、导数的运算等高考核心考点，按“概念—公式—运算—应用”逻辑架构知识体系，涵盖导数定义、几何意义、基本初等函数导数公式、四则运算法则及复合函数求导，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建从基础到应用的完整知识链。 资料以数学眼光观察函数图象揭示导数几何意义，用数学思维分析切线问题逻辑关系，设计“在某点处”与“过某点处”切线对比教学，结合2021-2024年全国卷真题及变式训练突破公切线难点，分层练习适配不同学生需求，助力教师精准把控复习节奏，提升学生解题能力与应试技巧。

第1讲　导数的概念及其意义、导数的运算 [课标要求]1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数公式. 2.通过函数图象,理解导数的几何意义. 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数. 1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数:如果当Δx→0时,平均变化率无限趋近于一个　　　　,即有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个　　　　叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率),记作f'(x0)或y',即f'(x0)==　　　　.  ⦾提醒　f'(x0) 代表函数f(x) 在x=x0 处的导数值;(f(x0))'是函数值f(x0) 的导数,而函数值f(x0) 是一个常数,其导数一定为0,即(f(x0))'=0. (2)导函数:当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即f'(x)=y'=. (3)导数的几何意义:函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处　　　　,即k==f'(x0).  2.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=　　　  f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f'(x)=　　　  f(x)=sin x f'(x)=　　　  f(x)=cos x f'(x)=　　　  f(x)=ex f'(x)=　　　  f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=　　　  f(x)=ln x f'(x)=　　　  f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=　　　  3.导数的运算 (1)[f(x)±g(x)]'=　　　　.  (2)[f(x)g(x)]'=　　　　.  (3)'=　　　　(g(x)≠0).  (4)复合函数的导数:一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=　　　　.  　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2024·全国甲卷)设函数f=,则曲线y=f在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (　　) A. B. C. D. 2.(2023·全国甲卷)曲线y=在点处的切线方程为 (　　) A.y=x B.y=x C.y=x+ D.y=x+ 3.(2021·新高考全国Ⅰ卷)若过点可以作曲线y=ex的两条切线,则 (　　) A.eb<a B.ea<b C.0<a<eb D.0<b<ea 4.(2020·全国Ⅲ卷)若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切,则l的方程为 (　　) A.y=2x+1 B.y=2x+ C.y=x+1 D.y=x+ 5.(2024· 新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=　　　　.  1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. 2.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在该点处的切线越“陡峭”. 3.曲线“在”某点处的切线,该点一定是切点,切线有且仅有一条;曲线“过”某点的切线,该点不一定是切点,切线至少有一条. 导数的运算 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.下列求导数的运算中正确的是 (　　) A.(x2ex)'=2xex B.()'=- C.[ln(2x-1)]'= D.(2x+a)'=2x·ln 2+1 2.(2025·重庆模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+1,则f'(-2)= (　　) A.4 B.-4 C.5 D.-5 3.已知f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+2 025,则f'(0)=　　　　.  4.设函数f(x)=,若f'=0,则实数a=　　　　.  导数的计算方法 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元. 导数的几何意义 　　　　　　　　　　　　　　　　 角度1　求切线方程 【例1】(1)(2024·全国甲卷)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (　　) A. B. C. D. (2)(2025·广东深圳模拟)已知函数f(x)=过原点O(0,0)作曲线y=f(x)的切线,则其切线方程为　　　　.  利用导数的几何意义求切线方程的方法 易错点研究曲线的切线方程问题,分清“在某点处”与“过某点处”是关键. 角度2　求切点坐标 【例2】(1)过点(3,0)作两条直线与曲线f(x)=xex(e是自然对数的底数)相切,切点的横坐标分别为x1,x2,则x1x2的值为 (　　) A.-e B.e C.-3 D.3 (2)过点(0,18)作曲线y=x3-x+2的切线,则切点的横坐标为　　　　,这条切线在x轴上的截距为　　　　.  求切点坐标的一般步骤 角度3　求参数 【例3】(1)已知过点A(a,0),a∈R可以作曲线y=(x-1)ex的两条切线,则实数a的取值范围是 (　　) A.(1,+∞) B.(-∞,-e)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞) (2)(2025·河北模拟)已知函数f(x)=aln(3x+1)-x2+b,a,b∈R,若曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=3x+2,则a+b=　　　　.  　　处理与切线有关的参数问题,通常利用曲线、切线、切点三者之间的关系列出有关参数的方程(组)并解出参数:(1)切点处的导数是切线的斜率;(2)切点在切线上,故满足切线方程;(3)切点在曲线上,故满足曲线方程. 　　　　　　　　　　　　　　　　 【对点训练1】(1)已知幂函数f(x)=(m+2)xm,直线y=kx+m是曲线y=f(x)的切线,则实数k= (　　) A. B.- C.- D.- (2)在平面直角坐标系Oxy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是　　　　,切线方程为　　　　.  两条曲线的公切线问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例4】(2024· 新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=　　　　.  细研真题　本题源自教材人教A版选择性必修第二册P104T13. 本题设计成两曲线的公切线问题,展现其创新性,以往考查更多的是求曲线在某点处的切线和过某点的切线,此类问题可作如下变式. 真题变式 1.若直线l与曲线f(x)=ex和g(x)=ln x分别相切于x1处和x2处,则(1+x1)(1-x2)= (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.已知曲线y=ex+x与曲线y=aln(x+1)+1在交点(0,1)处有相同的切线,则实数a=　　　　.  解决两曲线的公切线问题的两种方法 (1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切,列出关系式求解. (2)设公切线l在曲线y=f(x)上的切点为P1(x1,f(x1)),在曲线y=g(x)上的切点为P2(x2,g(x2)),则f'(x1)=g'(x2). 【对点训练2】(1)若直线l是曲线y=ln x-1与y=ln(x-1)的公切线,则直线l的方程为 (　　) A.y=x-2 B.y=x C.y=x+1 D.y=ex (2)若曲线y=ln(x-2)+4在x=3处的切线也是曲线y=x2-x+a的切线,则实数a=　　　　.  　　　　　　　　　　　　　　　　 1.曲线y=在x=1处的切线方程为 (　　) A.x+2y-3=0 B.x-2y+1=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+1=0 2.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=x3+2xf'(1)-ln x,则f'(1)= (　　) A.-3 B.-2 C.-1 D.0 3.(多选)下列选项中求导正确的是 (　　) A.[(3x+5)3]'=9(3x+5)2 B.(x3ln x)'=3x2ln x+x2 C.'= D.(ln 2x)'= 4.如图,直线l是曲线y=f(x)在点(5,6)处的切线,则f'(5)=　　　　.  5.(选择性必修第二册P82T11改编)设曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x-y+1=0垂直,则实数a的值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章　一元函数的导数及其应用 第1讲　导数的概念及其意义、导数的运算 【强基础·知识梳理】 必备知识 1.(1)确定的值;确定的值;;(3)切线的斜率 2.0;αxα-1;cos x;-sin x;ex;axlna;; 3.(1)f'(x)±g'(x);(2)f'(x)g(x)+f(x)g'(x);(3);(4)yu'·ux' 高考溯源 1.A　2.C　3.D　4.D　5.ln 2 【精准练·题型剖析】 1.C　解析:对于A,(x2ex)'=(x2)'ex+(ex)'x2=2xex+x2ex,故A错误; 对于B,()'='=,故B错误; 对于C,[ln(2x-1)]'=,故C正确; 对于D,(2x+a)'=2x·ln 2,故D错误. 2.A　解析:因为函数f(x) 为奇函数,所以f(x)=-f(-x),当x<0 时,-x>0,又当x>0 时,f(x)=x2+1,所以当x<0 时,f(x)=-f(-x)=-x2-1,所以当x<0 时,f'(x)=-2x,所以f'(-2)=4. 3.24　解析:令g(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4),则f(x)=xg(x)+2 025,所以f'(x)=g(x)+xg'(x),所以f'(0)=g(0)=1×2×3×4=24. 4.1　解析:由f(x)=,得f'(x)==, 所以f'==0,解得a=1. [例1](1)A　(2)x-ey=0 解析:(1)f'(x)=,则f'(0)==3,即该切线方程为y-1=3x,即y=3x+1,令y=0,得x=-,故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S=×1×=. (2)当x≤0 时,函数f(x)=ex,可得f'(x)=ex.设切点坐标为Q(x0,),则f'(x0)=,所以切线方程为y-=(x-x0),因为切线过原点O(0,0),所以-=-x0,解得x0=1>0,不符合题意,舍去;当x>0 时,函数f(x)=ln x,可得f'(x)=,设切点坐标为P(x1,ln x1),则f'(x1)=,所以切线方程为y-ln x1=(x-x1),因为切线过原点O(0,0),可得ln x1=1,解得x1=e>0,符合题意,故切点P(e,1),此时切线方程为y-1=(x-e),即x-ey=0. [例2](1)C　(2)-2;- 解析:(1)由f(x)=xex,得f'(x)=ex+xex=(x+1)ex,设切点坐标为(m,mem),则切线斜率k=(m+1)em,所以切线方程为y-mem=(m+1)em(x-m).因为点(3,0) 在切线上,所以0-mem=(m+1)em(3-m),即m2-3m-3=0,结合题意,知x1,x2是上述方程的根,所以根据根与系数的关系得x1x2=-3. (2)设切点坐标为(x0,-x0+2),因为y'=3x2-1,所以k=3-1,故3-1=,即3-x0=-x0-16,解得x0=-2,所以切线方程为y=11x+18,可知该切线在x 轴上的截距为-. [例3](1)D　(2)3 解析:(1)设切点坐标为(x0,(x0-1)·),因为y'=xex,所以切线的斜率k=x0,所以切线方程是y-(x0-1)=x0(x-x0),因为切线过点A(a,0),所以-(x0-1)·=x0(a-x0),即-(a+1)x0+1=0,因为过点A(a,0) 可以作曲线的两条切线,所以方程-(a+1)x0+1=0 有两个不同的根,所以Δ=(a+1)2-4>0,解得a>1 或a<-3. (2)由f(x)=aln(3x+1)-x2+b,得f(0)=b,由f'(x)=-2x,可得f'(0)=3a,因为曲线y=f(x)在x=0 处的切线方程为y=3x+2,所以解得 则a+b=3. [对点训练1](1)D　(2)(e,1);y= 解析:(1)因为f(x)=(m+2)xm 为幂函数,故m+2=1,解得m=-1,则f(x)=,f'(x)=-.不妨设y=kx+m 即y=kx-1 与曲线y=f(x) 的切点坐标为,则k=-,且=kx0-1,解得x0=-2,故k=-. (2)设点A(x0,y0),则y0=ln x0.又y'=,k=y'=,曲线y=ln x 在点A处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-ln x0=-1,代入点(-e,-1),得-1-ln x0=-1,即x0ln x0=e,记H(x)=xln x,当x∈(0,1) 时,H(x)<0,当x∈(1,+∞) 时,H(x)>0,且H'(x)=ln x+1,当x>1 时,H'(x)>0,H(x)单调递增,又H(e)=e,故x0ln x0=e 存在唯一的实数根x0=e,此时y0=1,故点A的坐标为(e,1),切线方程为y=. [例4]ln 2 解析:令y=f(x)=ex+x,则f'(x)=ex+1,所以f'(0)=2,所以曲线y=ex+x 在点(0,1) 处的切线方程为y=2x+1.令y=g(x)=ln(x+1)+a,则g'(x)=,设直线y=2x+1 与曲线y=g(x) 相切于点(x0,y0),则=2,解得x0=-,则y0=2x0+1=0,所以0=ln+a,所以a=ln 2. [真题变式] 1.D　解析:当直线l与曲线f(x)=ex 相切于x1 处时,直线l的方程为y-=(x-x1),即y=x+(1-x1). 当直线l与曲线g(x)=ln x 相切于x2 处时,直线l的方程为y-ln x2=(x-x2),即y=x+ln x2-1.所以化简得x1-x2-x1x2=1,所以(1+x1)(1-x2)=x1-x2-x1x2+1=2. 2.2 解析:由y=ex+x 得y'=ex+1,y'|x=0=e0+1=2,故曲线y=ex+x 在(0,1) 处的切线方程为y=2x+1,由y=aln(x+1)+1 得y'=,所以k=2=a. [对点训练2](1)A　(2)2 解析:(1)由y=ln x-1,得y'=,由y=ln(x-1),得y'=.设直线l与曲线y=ln x-1 相切于点(x1,ln x1-1),与曲线y=ln(x-1) 相切于点(x2,ln(x2-1)),则=,故x1=x2-1.又=,解得x1=1,x2=2,所以直线l过点(1,-1),斜率为1,即直线l的方程为y=x-2. (2)设y=f(x)=ln(x-2)+4,则f'(x)=,所以f'(3)=1,又f(3)=4,所以曲线y=ln(x-2)+4 在点(3,4) 处的切线方程为y-4=1×(x-3),即y=x+1.设y=g(x)=x2-x+a,切点坐标为(x1,-x1+a),则g'(x)=2x-1,由题得2x1-1=1,解得x1=1,则切点坐标为(1,a).因为切点在切线y=x+1 上,所以a=1+1=2. 【提能力·模拟精练】 1.B　2.B　3.AB　4.　5.-　 学科网（北京）股份有限公司 $