第3章 第17讲 导数的概念及其意义、导数的运算(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

该高中数学高考复习讲义围绕导数的概念、运算、几何意义及综合应用，按“概念—运算—应用”逻辑构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练（如自主练透、师生共研）等环节，助力学生突破导数应用难点，体现复习的系统性和针对性。 资料突出通性通法训练与数学思想渗透，如导数几何意义多维探究（求切线、切点、参数），结合分层练习（自测诊断、对点练）和真题溯源教材，培养学生数学思维与运算能力，能高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供有力指导。

金版开篇——27备考导航　备课授课＋素材资源 【知识构建】 【命题趋势】 　　高考对导数的考查主要涉及导数的运算、导数的几何意义以及导数的应用，其中导数运算渗透在导数应用中考查[2025全国一卷T16(2)]，导数的几何意义多以客观题形式出现，难度中等及以下，主要与切线问题有关[2025全国一卷T12]；导数应用分为一般应用和综合应用，一般应用主要涉及利用导数研究函数的单调性、极值、最值，以客观题或解答题的形式出现，难度中等[2025全国二卷T13]，综合应用则以解答题呈现，设问方式多元，主要考查利用导数解决不等式证明、不等式恒成立、函数零点、双变量等问题，难度较大，多在压轴题位置考查，强调知识的融会贯通与方法的灵活多变，体现综合性、创新性和选拔性的考查要求[2025全国一卷T19，2025全国二卷T18]. 1.题型设置：常以两个小题和一个大题的形式呈现. 2.内容考查：本章是高考必考内容，常考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质及与不等式等交汇问题. 3.能力考查：高考题凸显对数学抽象能力、直观想象能力、逻辑推理能力、模型构建能力、数学运算能力的考查. 【备考策略】 1.明晰重要概念，注重回归数学本质的复习：导数的几何意义、极值、最值等概念是解题的基础，应明确这些概念，把握概念内涵，理解概念的多元特征，建立概念之间的联系，才能更好地分析问题和解决问题. 2.重视知识的交汇与联系：导数与函数、不等式、方程等都有交汇与联系，应注意它们之间的联系，注意对相关知识的理解与运用. 3.强化通性通法的训练：通性通法是从数学的概念和原理出发，使用比较常规的通识性的基本数学方法，不追求特殊技巧.在本章复习中要理解和掌握用导数研究函数的单调性、凹凸性、极值、最值、恒成立、零点等，强调对导数概念本质的理解，抓住导数与单调性的关系这一核心，在一般方法的引领下，面对新颖或陌生的问题情境，让学生主动思考，积极探索，大胆尝试. 注重数学问题本质，注重方法的普适性，强调对学科基本方法的深刻理解，引导中学把备考重点从总结解题技巧转变到培养学生数学思维，转向到培养学生学科核心素养. 4.深化数学思想方法的渗透：(1)函数与方程思想：导数与函数、方程、不等式之间有着密切的联系，所以在处理不等式恒(能)成立问题、利用导数证明不等式、利用导数研究函数零点或方程解的问题时，常用到函数与方程思想. (2)转化与化归思想：通过构造函数，将方程问题、不等式问题转化为函数的单调性、极值、最值等问题. (3)数形结合思想：研究函数性质、函数零点(或方程根、图象交点)的个数、不等式的解集等问题. (4)分类讨论思想：研究函数的单调性、极值、最值、恒成立问题、零点问题时经常用到分类讨论，要准确把握讨论的标准，以及有条不紊的进行讨论. 复习过程中要注意引导学生对数学思想方法的提炼，从而能够养成自觉运用数学思想分析问题和解决问题的习惯. 第17讲　导数的概念及其意义、导数的运算 【课程标准】　1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达， 体会导数的内涵与思想，体会极限思想.　2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.　3.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.　4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数.　5.会使用导数公式表. 1.导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f'(x0)或y'. f'(x0)＝ ＝. (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)f'(x)＝ . [微提醒]　f'(x)是一个函数，f'(x0)是函数f'(x)在x0处的函数值(常数)，不一定为0，(f(x0))'是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))'＝0. 2.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0). 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f'(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f'(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f'(x)＝cos x f(x)＝cos x f'(x)＝－sin x f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f'(x)＝axln a f(x)＝ex f'(x)＝ex f(x)＝logax (a＞0，且a≠1) f'(x)＝ f(x)＝ln x f'(x)＝ 4.导数的四则运算法则 若f'(x)，g'(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]'＝f'(x)±g'(x). (2)[f(x)g(x)]'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x). (3)'＝(g(x)≠0). (4)'＝cf'(x). 5.复合函数的定义及其导数 (1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). (2)复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝y'u·u'x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. [微提醒]　在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆. 学生用书⬇第68页 【常用结论】 1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. 2.'＝af'(x)＋bg'(x). 3.函数y＝f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小｜f'(x)｜反映了变化的快慢，｜f'(x)｜越大，曲线在这点处的切线越“陡”. 【自测诊断】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A.f'(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率 B.与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 C.f'＝' D.'＝－2sin 2x 答案：ABC 2.(链接人教A选择性必修二P59探究)跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为(　　) A.9.1米/秒 B.6.75米/秒 C.3.1米/秒 D.2.75米/秒 答案：C 解析：h'(t)＝－9.8t＋8，所以h'＝－9.8×0.5＋8＝3.1米/秒.故选C. 3.(链接人教A选择性必修二P81练习T2)设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则f'(0)＝　　　　. 答案：－ 解析：因为f'(x)＝－2sin 2x，所以f'(0)＝－. 4.(链接人教A选择性必修二P81T7)函数f(x)＝ex＋在x＝1处的切线方程为　　　　　　　. 答案：y＝(e－1)x＋2 解析：由题意得，f'(x)＝ex－，所以f'(1)＝e－1，又因为f(1)＝e＋1，所以切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f'(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2. 考点一　导数的概念 自主练透 1.设f(x)在x＝x0处可导，下列式子与f'(x0)相等的是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：对于A，＝－＝－f'(x0)，故A错误；对于B，＝f'(x0)，故B正确；对于C，＝2＝2f'(x0)，故C错误；对于D，＝－＝－f'(x0)，故D错误.故选B. 2.若函数f(x)在x＝1处的导数为2，则＝(　　) A.6 B.2 C.1 D. 答案：C 解析：由函数f(x)在x＝1处的导数为2，得f'(1)＝2，所以＝＝f'(1)＝1.故选C. 3.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　) A.a＜f'(2)＜f'(4) B.f'(2)＜f'(4)＜a C.f'(4)＜f'(2)＜a D.f'(2)＜a＜f'(4) 答案：D 解析：从函数的图象可知，函数值在[2，4]上的增长越来越快，故函数在[2，4]上各点处的斜率也越来越大.因为＝a，所以f'(2)＜a＜f'(4).故选D. 求函数f(x)在x＝x0处的导数的步骤 第一步：求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； 第二步：求平均变化率＝； 第三步：求瞬时变化率，即取极限，得到f'(x0). 简记作：一差、二比、三极限. 考点二　导数的运算 师生共研 (1)(多选)下列求导正确的是(　　) A.'＝9 B.'＝3x2ln x＋x2 C.'＝ D.'＝2xln 2－sin x (2)(2025·海南海口二模)函数f＝f'x2＋在x＝1时的瞬时变化率为(　　) A.－2 B. －1 C. 0 D. 1 答案：(1)ABD　(2)A 解析：(1)对于A，'＝'＝9(3x＋5)2，故A正确；对于B，'＝'ln x＋x3'＝3x2ln x＋x2，故B正确；对于C，'＝＝，故C错误；对于D，'＝(2x)'＋'＝2xln 2－sin x，故D正确.故选ABD. (2)f'＝2f'x＋＝2f'x＋，令x＝1，可得f'＝2f'＋2，解得f'＝－2，故选A. 学生用书⬇第69页 导数运算的6种形式及技巧 连乘积形式 先展开化为多项式的形式，再求导 分式形式 观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 对数形式 先化为和、差的形式，再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导 三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 复合形式 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 注意：求导之前，应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错. 对点练1.(多选)下列求导运算正确的是(　　) A.(ln 2 026)'＝ B.[(x2＋2)sin x]'＝2xsin x＋(x2＋2)cos x C.'＝ D.[ln(3x＋2)]'＝ 答案：BC 解析：对于A，(ln 2 026)'＝0，故A错误；对于B，[(x2＋2)sin x]'＝2xsin x＋(x2＋2)cos x，故B正确；对于C，'＝＝，故C正确；对于D，[ln(3x＋2)]'＝，故D错误.故选BC. 对点练2.设函数f(x)＝，若f'(1)＝，则a＝　　　　. 答案：1 解析：因为函数f(x)＝，所以f'(x)＝，所以f'(1)＝.又因为f'(1)＝，所以＝，解得a＝1. 考点三　导数的几何意义 (高考超重点)多维探究 角度1　求切线方程 (1)(2024·全国甲卷理)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 【溯源教材7】 溯源 (人教A选择性必修二P81T5)求曲线y＝在点M(π，0)处的切线方程. 透视 本题与教材习题非常类似，给出的函数都是与正弦函数相关的分式函数，都属于简单的求切线方程问题 预测 (多选)下列函数的图象与直线y＝x＋1相切的有(　　) A.y＝ex B.y＝ln x C.y＝sin x＋1 D.y＝x3＋1 答案：AC 解析：对于A，若y＝ex与y＝x＋1相切，设切点为，易知y'＝ex，则＝1，解得x1＝0，即切点为，切线为y＝x＋1，故A正确；对于B，若y＝ln x与y＝x＋1相切，设切点为，易知y'＝'＝，则＝1，解得x2＝1，切点为，切线方程为y＝x－1，故B错误；对于C，若y＝sin x＋1与y＝x＋1相切，设切点为，易知y'＝cos x，则cos x3＝1，解得x3＝2kπ，k∈Z，当k＝0时，切点为，切线方程为y＝x＋1，故C正确；对于D，易知y＝x3＋1与y＝x＋1有三个交点，，，，又y'＝3x2，显然在三个交点处的切线斜率均不是1，所以y＝x＋1不是切线，故D错误.故选AC. (2)过点(0，3)且与曲线y＝x3－2x＋1相切的直线方程为(　　) A.x－y－3＝0 B.x－y＋3＝0 C.x＋y＋3＝0 D.x＋y－3＝0 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)f'＝， 所以f'(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝.故选A. (2)由y＝x3－2x＋1，得y'＝3x2－2.设切点坐标为(x0，－2x0＋1)，则切线的斜率k＝3－2，切线方程为y－(－2x0＋1)＝(3－2)(x－x0)，由切线过点(0，3)，代入切线方程解得x0＝－1，则切线方程为y－2＝x＋1，即x－y＋3＝0.故选B. 角度2　求切点坐标 在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标为　　　　. 答案：(e，1) 解析：设A(m，n)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝(x－m).又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝(m＋e).再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为(e，1). 角度3　求参数的值或取值范围 (1)(2025·全国一卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝　　　　　. (2)(一题多变)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 答案：(1)4　(2)(－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析：(1)设直线y＝2x＋5与曲线y＝ex＋x＋a的切点坐标为(x0，＋x0＋a)，由y＝ex＋x＋a得y'＝ex＋1，所以y'＝＋1＝2，解得x0＝0，所以切点坐标为(0，1＋a).又切点(0，1＋a)在切线y＝2x＋5上，所以1＋a＝5，解得a＝4. (2)因为y＝(x＋a)ex，所以y'＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a))，依题意得，切线斜率k＝y'＝(x0＋a＋1)，切线方程为y－(x0＋a)＝(x0＋a＋1)(x－x0).又切线过坐标原点，所以0－(x0＋a)＝(x0＋a＋1)(0－x0)，化简得＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞). [变式探究](数智赋能辅助) 1.若曲线y＝(x＋1)有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是　　　　　　. 答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析：因为y＝(x＋1)eax，所以y'＝[(x＋1)a＋1]eax.设切点为A(x0，(x0＋1))，根据题意得，切线斜率k＝y'＝[(x0＋1)a＋1]，切线方程为y－(x0＋1)＝[(x0＋1)a＋1](x－x0).又切线过坐标原点，所以0－(x0＋1)＝[(x0＋1)a＋1](0－x0)，化简得＋ax0－1＝0.因为曲线y＝(x＋1)eax有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程＋ax0－1＝0有两个不同的根，所以a≠0且Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0. 2.已知过点A作曲线y＝ex的切线有且仅有1条，则a＝　　　　　. 答案：－3或1 解析：设切点为，由已知得y'＝－xex，则切线斜率k＝－x0，切线方程为y－＝－x0，又直线过点A(a，0)，则－＝－x0，化简得－x0＋1＝0，切线有且仅有1条，即Δ＝－4＝0，化简得a2＋2a－3＝0，即＝0，解得a＝－3或1. 1.处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 2.注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”. 对点练3.(2025·陕西榆林模拟)已知函数f(x)＝aln x＋x2的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，则a＋b＝(　　) A.－2 B.－1 C.0 D.1 答案：B 解析：因为f(x)＝aln x＋x2，所以f'(x)＝＋2x.又f(x)的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，所以f'(1)＝a＋2＝3，解得a＝1，则f(x)＝ln x＋x2，所以f(1)＝1，将点(1，1)代入切线方程得3－1＋b＝0，解得b＝－2，故a＋b＝－1.故选B. 对点练4.设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln x上，则｜PQ｜的最小值为　　　　　　. 答案： 解析：因为曲线y＝ex与曲线y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，故可先求点P到直线y＝x的最近距离d.设曲线y＝ex上斜率为1的切线为y＝x＋b.又因为y'＝ex，所以ex＝1，解得x＝0，所以切点坐标为(0，1)，所以d＝＝，所以｜PQ｜的最小值为2d＝. 【教师备选】　设点P在曲线y＝ex上，点Q在直线y＝x上，则｜PQ｜的最小值为　　　　　　. 答案： 解析：令y'＝ex＝，得x＝－1，代入曲线y＝ex中，得P，所以｜PQ｜的最小值即为点到直线y＝x的距离d＝. 对点练5.(双空题)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln ｜x｜过坐标原点的两条切线的方程为　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　. 答案：y＝x　y＝－x(不分先后) 解析：由题意可知，函数的定义域是{x｜x≠0}.易证函数y＝ln ｜x｜为偶函数，当x＞0时，y＝ln x，设切点坐标为(x0，ln x0).因为y'＝，所以切线斜率k＝y'＝，故切线方程为y－ln x0＝(x－x0).又知切线过原点(0，0)，所以－ln x0＝－1，所以x0＝e，故切线方程为y－1＝，即y＝x.由偶函数图象的对称性可知，另一条切线方程为y＝－x，故过坐标原点的两条切线方程为y＝x和y＝－x. 学科网（北京）股份有限公司 $