第19讲 机械能守恒定律及其应用 专项训练 -2027届高三物理一轮复习

第19讲 机械能守恒定律及其应用 【题型演练】 题型一 机械能守恒条件的判断 【例题精讲练】 【例1】（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）如图所示，某职业特技自行车表演家从A点冲出轨道，在空中连续后翻四次后落在轨道B点，图中虚线为他在空中的运动轨迹。若不计空气阻力，关于他在空中的运动，说法正确的是（     ） A．上升的时间等于下降的时间 B．运动至最高点处速度为零 C．经过A点时的速度小于经过B点时的速度 D．从A到B运动过程先超重后失重 【例2】（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）（多选）如图所示，在倾角为的斜面上，质量为的物块受到沿斜面向上的恒力F的作用，沿斜面以速度v匀速上升了高度h。已知物块与斜面间的动摩擦因数为、重力加速度为g。关于上述过程，下列说法正确的是（　　） A．在此过程中机械能守恒 B．合力对物块做功为 C．摩擦力对物块做功为 D．恒力F与摩擦力对物块做功之和为mgh 【变式训练1】（2026·江苏南通·模拟预测）如图所示，固定的光滑曲面和光滑斜面高度相同，质量相同的小物块A、B同时从斜面和曲面的顶端由静止释放，同时到达底端。下滑过程中（     ） A．重力对A物块做的功大于对B物块做的功 B．支持力对A物块做的功大于对B物块做的功 C．重力对A、B物块做功的平均功率相等 D．到达底端时A、B物块重力的功率相等 【变式训练2】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，在水平圆盘上从圆心沿半径方向开有一光滑细槽，在槽内一根细线一端固定于点，另一端连接小球，轻弹簧一端连接小球，另一端固定在圆盘边缘。圆盘始终绕过圆心的竖直轴匀速转动，小球位于点，弹簧处于原长。现烧断细线，小球在槽内、间来回运动，弹簧始终在弹性限度内，则小球第一次从到的过程中（     ） A．小球垂直槽的速度分量一直变小 B．小球平行于槽的速度分量一直增大 C．槽对小球做正功 D．小球和弹簧组成的系统机械能守恒 【变式训练3】（25-26高三上·贵州铜仁·期中）（多选）质量分别为和（其中）的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，在杆的中点处有一个固定转轴，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低位置的过程中，下列有关能量的说法正确的是（　　） A．Q球的重力势能减少、动能增加，Q球和地球组成的系统机械能守恒 B．P球的重力势能、动能都增加，P球和地球组成的系统机械能不守恒 C．P球、Q球和地球组成的系统机械能守恒 D．P球、Q球和地球组成的系统机械能不守恒 题型二 机械能守恒在单物体中的应用 【例题精讲练】 【例1】（2026·黑龙江、辽宁·二模）一半径为R的光滑半球面固定在水平桌面上，球面上放置一光滑匀质绳，A为球面的顶点，B端与C端恰与桌面不接触。匀质绳单位长度的质量为，重力加速度大小为g，求铁链A处的张力T的大小（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·贵州黔南·一模）（多选）一轻杆两端分别固定小球A和小球B，两小球均可视为质点且B球质量是A球质量的2倍。现将该轻杆放入固定在竖直平面内的圆形轨道上，并使小球B位于轨道的最低点，此时小球A恰好位于轨道上与圆心等高处，如图所示。不计一切阻力，则由静止释放轻杆后（　　） A．A、B两小球组成的系统机械能守恒 B．A、B两小球组成的系统动量守恒 C．A、B两小球速度大小始终相等 D．某时刻轻杆可能水平 【变式训练1】（2025高三·全国·专题练习）一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图甲所示。若将一个质量也为m的小球分别拴在链条左端或右端，如图乙、图丙所示，约束链条的挡板光滑，三种情况下链条均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，设它们的速度分别为、、，则关于、、的关系，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025·湖南常德·三模）如图甲所示，光滑平台上放着一根均匀链条，其中三分之一的长度悬垂在平台台面以下，由静止释放链条。已知整根链条的质量为m，链条悬垂的长度为l，台面高度为2l。如果在链条的悬垂端接一质量也为m的小球（直径相对链条长度可忽略不计），如图乙所示，还由静止释放链条。平台右边有光滑曲面D来约束链条，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．甲图中在链条下端触地瞬间，链条的速度大小为 B．乙图中在链条下端触地瞬间，链条的速度大小为 C．甲图中链条下端在触地之前，链条的加速度大小不变 D．乙图中小球在下落过程中，链条对小球的拉力在不断增大 【变式训练3】（2026·海南海口·二模）（多选）如图所示，细绳绕过定滑轮连接小球和小球，小球固定在轻质细杆的一端，细杆可绕轴自由转动，整个装置静止时，杆和绳与竖直方向的夹角均为。现施加外力抬高小球位置，使轻杆水平，（如图中虚线位置），然后由静止释放，不计一切摩擦，细绳足够长。则杆向下转动的过程中，下列说法正确的是（     ） A．小球和小球的质量之比为 B．小球和小球的动能之和先增大后减小 C．图示位置时，小球和小球的速度之比为 D．图示位置时，小球和小球的重力功率之比为 【题型强化练】 1．（2026·贵州六盘水·二模）如图甲所示，一根质量分布均匀的软绳，绳长不可变，将其伸直后，放置于距地面高的水平桌面上，开始时右端伸出桌面边缘的长度为，由静止释放后从桌面边缘滑下，桌面边缘为长度可忽略的四分之一圆弧。重力加速度为。 (1)若不计桌面摩擦力，求绳子下端着地时绳子的速度大小； (2)绳子的加速度与桌面下方绳长的关系如图乙所示，图像段斜率为。求绳子与桌面间动摩擦因数。 题型三 机械能守恒在曲线运动中的应用 【例题精讲练】 【例1】（26-27高三上·江苏南通·开学考试）如图所示，光滑圆环轨道固定在竖直平面内。时，小球甲从圆环内最高点水平向右运动，同时小球乙从圆环内最低点水平向左运动，经过时间，甲第一次运动到圆环最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点。甲、乙两球质量相等，则时（     ） A．甲球的动能小于乙球 B．甲球的动能大于乙球 C．甲球动能变化量的大小等于乙球 D．甲球动能变化量的大小小于乙球 【例2】（25-26高三上·湖北黄冈·阶段检测）（多选）如图所示，粗糙水平轨道AB与竖直光滑半圆形轨道BC相切于B点。一物块（可视为质点）将轻弹簧压缩至A点后由静止释放，物块脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达半圆形轨道BC的最高点C，最后刚好落在A点，D点为半圆形轨道BC的中点。已知物块的质量为0.1kg，半圆形轨道BC的半径为0.4m，物块与水平轨道间的动摩擦因数为0.2，取重力加速度大小，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．物块在C点时的速度大小为4m/s B．物块在B点的向心加速度大小为 C．物块在D点时对轨道的压力大小为2N D．物块在A点时弹簧的弹性势能为1.16J 【变式训练1】（26-27高三上·广东中山·阶段检测）在摩托车特技表演中，当骑手驾驶摩托车以一定速度从竖直光滑圆形轨道最低点A进入轨道时，迅速关闭引擎，此后做完整的圆周运动。摩托车与骑手可视为质点。摩托车与骑手在做完整圆周运动过程中，动能为，对轨道压力大小为N，在轨道中摩托车与轨道圆心O连线相对OA转过的角度为θ，以下物理量之间的关系图像可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27高三上·陕西咸阳·阶段检测）如图所示，竖直平面内固定一光滑的半径的半圆形轨道AB，一个质量为0.25kg的小球以一定的初速度从最低点A沿轨道内侧运动且恰能通过最高点B，不计空气阻力，，则小球在A点所受支持力大小为（     ） A．5N B．7.5N C．12.5N D．15N 【变式训练3】（2026·湖南长沙·三模）（多选）固定在竖直面内的光滑圆管，段长度为，与水平方向的夹角为，在处有插销，段水平且足够长。管内段装满了质量均为的小球，小球的半径远小于，其编号如图所示。不计小球经过转角时的机械能损失，重力加速度为，拔掉插销，号球在下滑过程中（     ） A．机械能不守恒 B．做匀加速运动 C．对2号球做的功为 D．经过点时速度 【题型强化练】 1．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）质量为m的小球被长为L的轻绳拴在O点。给小球一个初速度使其在竖直平面内做圆周运动，当小球运动到最低点时，刚好与高为L、倾角为30°的光滑斜面ABCD的A点接触但没有相互作用，小球通过最高点时对轻绳的拉力大小为3mg。当小球某次通过最低点时瞬间剪断轻绳，此时小球从A点沿AB方向运动，此后小球刚好通过D点。已知重力加速度为g。下列说法中正确的是（     ） A．小球做圆周运动通过最高点时速度大小为 B．小球做圆周运动通过最低点时轻绳的拉力大小为8mg C．小球经过D点时速度大小为 D．斜面AB边长为8L 2．（25-26高一下·四川攀枝花·期末）如图所示，长为L的不可伸长轻绳，一端固定在O点，另一端系有一质量为m、可视为质点的小球，O点正下方有一大小忽略不计的钉子P，向左拉动小球，使轻绳与竖直方向成大小为θ的夹角，再由静止释放小球，当小球刚好过最低点时，轻绳正好崩断。已知重力加速度为g，轻绳能承受的最大拉力为3mg，sinθ=0.6、cosθ=0.8，不计空气阻力，则O、P之间的距离为（     ） A．0.2L B．0.4L C．0.6L D．0.8L 题型四 机械能守恒在杆连系统中的应用 【例题精讲练】 【例1】（2026·陕西铜川·一模）如图所示，竖直平面内有一轻质圆盘可绕过圆心O点的水平轴无摩擦转动，质量相等的两个小球A、B分别固定在圆盘上与圆心O等高处和最低点。该系统从图示位置由静止释放后开始自转，则（　　） A．释放瞬间圆盘对小球A没有作用力 B．释放瞬间小球B的加速度方向水平向左 C．A球重力势能减小的快慢等于B球重力势能增大的快慢 D．在运动过程中，圆盘对A、B两球不可能同时做正功 【例2】（25-26高三上·广西柳州·阶段检测）（多选）内壁光滑的环形凹槽半径为，固定在竖直平面内，一根长度为的轻杆，一端固定有质量为的小球，另一端固定有质量为的小球，将两小球放入凹槽内，小球位于水平直径处，如图所示，已知重力加速度为，该系统由静止释放到球滑到与圆心等高位置，下列说法错误的是（     ） A．在某一位置球的线速度大于球的线速度 B．球重力势能的减少量等于球重力势能的增加量 C．球滑到与圆心等高位置时的线速度大小为 D．轻杆对球做的功为 【变式训练1】（2026·山东聊城·一模）如图所示，质量均为的滑块和滑块静止在光滑水平地面上，滑块、之间有轻绳相连，小球的质量为，与、之间用长为的轻杆通过铰链连接，轻杆与滑块、小球间可自由转动，初始时两轻杆夹角为。对小球施加一竖直向下的恒力，。重力加速度为，，剪断轻绳，由开始运动到刚与地面接触时的过程中，下列说法正确的是（　　） A．A、B、C组成的系统机械能守恒 B．杆对做正功 C．小球重力的最大功率为 D．小球下落过程中加速度总是小于 【变式训练2】（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，在斜面体左侧的适当位置固定一光滑竖直硬杆，质量均为m的两小球（均视为质点）用长为的轻质硬杆连接，重力加速度为g。甲套在竖直硬杆上，乙放置在斜面上，甲、乙由静止释放时，轻质硬杆与竖直硬杆的夹角为，当轻质硬杆与斜面刚好平行时，乙的动能为（     ） A． B． C． D． 【变式训练3】（2026高三·全国·专题练习）（多选）长为L的轻杆可绕O在竖直平面内无摩擦转动，质量为M的小球A固定于杆端点，质量为m的小球B固定于杆中点，且M＝2m，重力加速度为g，不计空气阻力，开始杆处于水平，由静止释放，当杆转到竖直位置时（　　） A．球A瞬时速度是球B瞬时速度的2倍 B．球A在最低点速度为 C．O和B之间杆的拉力大于B和A之间杆的拉力 D．轻杆对球B做功mgL 【题型强化练】 1．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，一长为2L的轻杆中央有一光滑的小孔O，两端分别固定小球A和B，小球A和B质量分别为m和2m，光滑的铁钉穿过轻杆小孔垂直钉在竖直的墙壁上，将轻杆从水平位置由静止释放，转到竖直位置，在转动的过程中，忽略空气的阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．在转动到竖直位置的过程中，A球机械能的增加小于B球机械能的减少 B．在转动到竖直位置的过程中，A、B两球组成系统的重力势能的减少等于系统动能的增加 C．在竖直位置两球的速度大小均为2 D．由于忽略一切摩擦阻力，根据机械能守恒，杆一定能绕铁钉做完整的圆周运动 2．（25-26高三上·云南·阶段检测）如图所示，长为的轻杆上端连着一个质量为的小球（可视为质点），下端用铰链固接于地面上的点。立方体的棱长也为，初始时与恰好接触。杆受微小扰动向右倾倒，当与刚脱离接触时，杆与地面的夹角为。已知重力加速度为，所有接触面均光滑，下列说法正确的是（　　） A．、分离时，的加速度为0 B．、分离时，的速度大小为 C．的质量 D．落地前速度的最大值为 题型五 机械能守恒在绳连系统中的应用 【例题精讲练】 【例1】（2026·广西南宁·模拟预测）如图所示，水平固定的细杆上P点正下方0.3m处有一定滑轮，质量1 kg的滑块A套在细杆上，滑块A通过不可伸长的轻质细绳连接着质量2kg的小球B。将滑块A由静止释放，此时细绳与竖直方向夹角。取，，，不计一切阻力，下列说法正确的是（     ） A．滑块A滑至P点时速度大小为 B．滑块A滑至P点时速度大小为 C．滑块A滑至P点过程中，小球B和滑块A的速度比变大 D．滑块A滑至P点过程中，小球B和滑块A的速度比变小 【例2】（26-27高三上·北京海淀·开学考试）（多选）一根不可伸长的轻绳跨过轻质定滑轮，绳的两端分别系有小球 A 和 B。用手托住 B 球，当绳刚好被拉紧时，B 球离地面的高度为 h，A 球静止于地面，如图所示。已知 B 球的质量是A球的 k 倍（k＞1），重力加速度为g，忽略一切摩擦和空气阻力。B 球从释放至刚好落地的过程中，下列判断正确的是（     ） A．A球和B球组成系统的机械能守恒 B．A球上升过程的速度大小小于B球下落过程的速度大小 C．A球加速度的大小小于B球加速度的大小 D．k 值越大，B 球运动的加速度越接近 g 【变式训练1】（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A，轻质定滑轮下方悬挂重物B。开始时重物A、B处于静止状态，释放后均开始运动。A、B的质量均为，忽略摩擦和空气阻力，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．释放后重物A向下运动 B．释放后重物B的机械能守恒 C．当A的位移为时，A的速度为 D．当A的位移为时，A的机械能增加量为 【变式训练2】（2026·湖北十堰·三模）足够长的轻质且不可伸缩细线绕过轻质定滑轮（直径很小），一端固定于墙上的点，另一端悬挂一个质量为的物块，其中段水平，如图所示。用手托住质量也为的钩码钩在的中点并缓缓竖直下降，直到钩码和手之间没有作用力后将手拿开。不计摩擦和空气阻力，重力加速度为，，在此过程中，下列说法正确的是（     ） A．细线受到的张力逐渐变大 B．细线对做正功，对不做功 C．、组成的系统机械能守恒 D．物块机械能增加了 【变式训练3】（2026·湖南长沙·三模）（多选）如图所示，在距水平地面高为处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上点固定一定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在点的右侧，杆上套有一质量的小球A。半径的光滑半圆形细轨道竖直并固定在地面上，其圆心在点的正下方，在轨道上套有一质量也为的小球B。用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将两个小球连接起来，杆和半圆形轨道在同一竖直面内，两小球均可看作质点，且不计滑轮的影响。现给小球A一个水平向右的恒力，则（     ） A．把小球从地面拉到的正下方时，做的功为 B．小球运动到处时的速度为 C．小球被拉到与小球速度大小相等时， D．小球从地面被拉到的正下方时，机械能增加了 【题型强化练】 1．（2026·河北雄安·模拟预测）如图所示，大圆环固定在竖直平面内，一根轻绳两端各系一个小球、（均可视为质点），轻绳跨过固定在大圆环顶端的小滑轮，为有孔小球套在光滑的大圆环上。开始时与大圆环圆心连线和竖直方向夹角为，已知的质量为，的质量为，大圆环半径为，重力加速度为，不计一切摩擦。由静止释放，当与大圆环圆心等高时，球的速度大小为（　　） A． B． C． D． 2．（2026·云南文山·模拟预测）如图所示，其中一个轻质动滑轮下方悬挂重物A，另一个轻质定滑轮下方悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时，重物A、B处于静止状态，释放后A、B开始运动。已知A、B的质量相等，假设摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度为g。下列选项正确的是（　　） A．开始运动后，A的加速度是B的2倍 B．开始运动后，B的加速度大小为 C．当A的位移为h时，A的速度大小为 D．当A的位移为h时，B的速度大小为 3．（25-26高三下·湖南·阶段检测）某古镇为传承民俗文化，设计了一款“祈福升鼎”装置，简化模型如图所示，水平横梁上固定两个等高的定滑轮，两根不可伸长的轻绳跨过滑轮，一端悬挂质量的铜制祈福铃，一端连接一个质量的青铜鼎。初始时在外力作用下使系统静止，青铜鼎两侧的绳子与竖直虚线的夹角均为，两个滑轮到青铜鼎初始位置的水平距离均为。现撤去外力，将系统由静止释放，忽略空气阻力和滑轮摩擦，重力加速度取，则青铜鼎的最大速度大小为（     ） A． B． C． D． 4．（多选）（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）如题图所示，可视为质点的物块A、B、C质量分别为3m、m、2m，A用不可伸长轻绳绕过两个光滑定滑轮与B相连，B用劲度系数为k的轻弹簧与正下方C相连。开始时用外力锁定A、C，使三个物块静止且弹簧为原长。现解除锁定，A、C由静止释放，运动中B始终不会碰到滑轮，忽略空气阻力，弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能（x是形变量），重力加速度大小为g，下列说法正确的是（     ） A．释放后三个物块组成的系统机械能守恒 B．释放后瞬间轻绳的拉力大小为 C．弹簧的最大弹性势能为 D．B的最大速度为 题型六 机械能守恒在弹簧类问题的应用 【例题精讲练】 【例1】（26-27高三上·山东日照·阶段检测）如图，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C放在水平地面上。现用手控制住A，使细线刚刚拉直且无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为5m，B、C的质量均为1.5m，重力加速度大小为g，不计一切摩擦。开始时整个系统处于静止状态，释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。则下列说法正确的是（     ） A．斜面的倾角 B．A球获得的最大速度 C．B球获得的最大速度 D．释放A的瞬间，B球的加速度大小为2g 【例2】（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）（多选）如图所示，一根轻质弹簧一端固定于光滑竖直杆上，另一端与质量为m的滑块连接，穿在杆上，一根轻绳跨过定滑轮将滑块和重物连接起来，的质量为4m。将从图中A点由静止释放后沿竖直杆上下运动，当它经过A、B两点时弹簧对滑块的弹力大小相等。已知OA与水平面的夹角（，），OB长为3L，与AB垂直，不计滑轮的摩擦，重力加速度为g。则从A点到B点的过程中（     ） A．重物的速度一直增大 B．弹簧的弹性势能先增大后减小 C．运动至B点时的速度大小为 D．轻绳对做的功为 【变式训练1】（26-27高三上·安徽芜湖·阶段检测）如图所示，斜面体倾角为30°，斜面光滑且足够长，足够长的轻绳绕过光滑定滑轮，一端连接斜面上质量为m的小球，另一端连接轻弹簧，弹簧的右端连接在竖直墙面上，弹簧水平，滑轮与小球间的轻绳与斜面平行，用外力控制小球使其静止在斜面上，此时轻弹簧刚好伸直，由静止释放小球，小球沿斜面向下运动的最大距离为 L，在此过程中，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，弹簧弹性势能表达式为，其中为弹簧的形变量，则下列说法正确的是（　　） A．小球速度与加速度同向时小球受到的合力在增大 B．小球运动的最大加速度大小为 C．弹簧的劲度系数为 D．小球运动的最大速度大小为 【变式训练2】（2026·江苏南京·模拟预测）斜面上，轻质弹簧的一端固定在斜面底端的挡板上，另一端连接Q，初始时，施加外力将P静置于N点，轻绳恰好伸直但无拉力，现将P由静止释放，不计一切阻力，则P从N点下滑到最低点M的过程中（     ） A．P的机械能先减小后增大 B．P的机械能一直减小 C．P、Q组成的系统机械能守恒 D．经过M点前P与Q的速度大小关系vP＜vQ 【变式训练3】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）如图，倾角为30°且足够长的光滑斜劈固定在水平面上，P、Q两个物体通过轻绳跨过光滑定滑轮连接，Q的另一端与固定在水平面的竖直轻弹簧连接，P和Q的质量分别为4m和m。初始时，控制P使轻绳伸直且无拉力，滑轮左侧轻绳与斜劈上表面平行，右侧轻绳竖直，弹簧始终在弹性限度范围内，弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g。现无初速释放P，则在物体P沿斜劈下滑过程中（     ） A．轻绳拉力大小一直增大 B．物体P的加速度大小一直增大 C．物体P沿斜劈下滑的最大距离为 D．物体P的最大动能为 【题型强化练】 1．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）如图，光滑圆形支架固定于竖直平面内，圆心为，半径为，为圆的竖直直径，圆上穿一质量为的小球，小球可沿圆自由滑动。原长为、劲度系数为的轻弹簧一端固定在小球上，另一端固定在圆上点，初始时小球锁定在圆上点。已知，重力加速度，弹簧的弹性势能为（为弹簧的劲度系数，为弹簧的形变量）。某一时刻解除锁定，小球沿圆轨道运动过程中弹簧始终在弹性限度内。以点所在的水平面为重力势能的参考平面，下列说法正确的是（     ） A．运动过程中小球机械能守恒 B．小球的动能和弹簧的弹性势能之和一直增大 C．小球的最大动能为 D．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和的最小值为 2．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）如图所示，粗细均匀的光滑长杆水平固定放置，质量为m的小球A和轻弹簧均套在杆上，弹簧两端分别与小球A和固定挡板连接。长杆正下方的固定水平板上有光滑小孔，穿过小孔且与长杆在同一竖直面的细线分别与A、B球连接，B球的质量也为m，依靠外力使A球静止，此时轻弹簧处于原长，板上小孔到小球A间的细线与水平方向的夹角为30°、长为L。现撤去外力，使小球A由静止开始运动，当小球B到最低点时小球A的速度为，A、B两球均可看成质点，重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内，则下列说法正确的是（     ） A．撤去外力的一瞬间，小球A的加速度大小等于 B．小球B第一次向下运动的过程中，小球A、B的动能均先增大后减小 C．小球B到最低点时，速度和加速度均为零 D．小球B到最低点时，弹簧的弹性势能为 3．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）竖直轻弹簧固定在水平地面上，弹簧的劲度系数为k，原长为l，质量为m的铁球由弹簧的正上方h高处自由下落，与弹簧接触后压缩弹簧，当铁球下落到最低点时弹簧压缩量为x，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．铁球下落到最低点时所受合外力为零 B．铁球下落过程中铁球的机械能守恒 C．铁球的最大动能为 D．弹簧的最大弹性势能为 4．（25-26高三上·福建厦门·期中）将一支圆珠笔的按压式小帽朝下按在桌面上，放手后笔会向上弹起一定高度。某次实验中测得圆珠笔弹起的最大高度为h，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．上升过程中，圆珠笔（含弹簧）的机械能守恒 B．弹簧恢复原长的过程，圆珠笔所受合力的冲量为零 C．圆珠笔弹到最大高度h时，圆珠笔受到合外力做功最大 D．圆珠笔离开桌面瞬间的初速度大小为 5．（2026·江苏泰州·三模）如图所示，倾角的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板，质量均为的A、B两物体用轻弹簧拴接。对物体B施加一沿斜面向下的压力F，使B静止于P点。撤掉力F，B沿斜面向上运动，当B运动至最高点时，A刚要离开挡板。已知弹簧的劲度系数，重力加速度，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．物体B运动过程中，A、B和弹簧组成的系统机械能及动量均守恒 B．物体B沿斜面向上运动的过程中，弹簧恢复原长时物体B的速度最大 C．物体B静止于P点时，对物体B施加的压力F的大小为20N D．适当减小F，物体B从释放运动到最高点的时间将减小 6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图所示，一个劲度系数为100N/m的轻弹簧下端连接在倾角为53°的光滑斜面底端，弹簧上端连接物体P，物体P通过平行于斜面的轻绳绕过定滑轮O与套在光滑竖直杆上的小圆环Q相连，竖直杆上的点A与滑轮等高，点A与小滑轮间的距离为0.6m。一开始通过外力使小圆环Q静止在B点，A、B间距离为0.8m，此时轻绳的拉力大小为60N。现将小圆环Q由静止释放，弹簧始终在弹性限度内。已知物体P的质量为5kg，小圆环Q的质量为1kg，重力加速度大小取，，。小圆环Q从B点上升至A点的过程中，下列说法正确的是（     ） A．弹簧的弹性势能变小 B．小圆环Q上升至A点时的速度大小为 C．细线拉力对Q做的功为16J D．物体P的机械能减少了8J 7．（多选）（26-27高三·全国·一轮复习）如图，一顶角为直角的“∧”形光滑细杆竖直放置。质量均为m的两金属环套在细杆上，高度相同，用一劲度系数为k的轻质弹簧相连，弹簧处于原长，重力加速度为g。两金属环同时由静止释放，运动过程中弹簧的伸长在弹性限度内。已知弹簧的长度为l时，弹性势能为。对其中一个金属环，下列说法正确的是（     ） A．金属环的最大加速度为 B．金属环的最大速度为 C．金属环与细杆之间的最大压力为 D．金属环达到最大速度时重力的功率为 题型七 机械能守恒中的图像问题 【例题精讲练】 【例1】（26-27高三上·福建莆田·开学考试）如图所示，固定在竖直平面内的光滑四分之一圆弧轨道，其轨道半径为。一小球从圆弧轨道的最高点处由静止释放后沿轨道运动，不计空气阻力，下列关于该小球运动的加速度平方与其竖直位移的关系图像，可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）（多选）如图甲，在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道ABC，半径为0.4m，小球以一定的初速度从最低点A冲上轨道，图乙是小球在半圆形轨道上从A运动到C的过程中，其速度二次方与其对应高度的关系图像。已知小球在最高点C受到轨道的作用力为2.5N，空气阻力不计，B点为AC轨道中点，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（     ） A．最高点时小球所受的合力竖直向下 B．图乙中 C．小球在B点受到轨道作用力为10N D．小球质量为0.2kg 【变式训练1】（2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，光滑斜面固定在水平面上，自然伸长的轻质弹簧一端固定在斜面底端的挡板上。一小滑块从离弹簧上端处的位置由静止释放，以释放点为原点，沿斜面向下为正方向建立轴，弹簧始终处于弹性限度内。在滑块沿斜面下滑至最低点过程中，其动能和机械能随位置变化的图像可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26高三上·湖北·期中）如图甲所示，一个质量为2kg的物体悬挂在细绳下端，由静止开始沿竖直方向做直线运动，运动过程中物体的机械能E与物体通过路程s的关系图像如图乙所示，其中0~0.8m过程的图像为曲线，0.8m~1.0m过程机械能E不变，1.0m~2.0m过程机械能E随路程s均匀减少（忽略空气阻力），重力加速度g取10m/s2。则下列说法正确的是（　　） A．0~0.8m过程中物体所受拉力是变力，物体先上升后下降 B．0.8m处物体的速度大小应为2m/s C．0.8m~1.0m过程中物体可能先上升后下降 D．1.0m~2.0m过程中物体可能做匀加速直线运动，也可能做匀减速直线运动 【变式训练3】（2026·湖南长沙·模拟预测）（多选）如图甲，某轻弹簧两端系着质量均为的小球A、B，小球A用细线悬挂于天花板上，系统处于静止状态。将细线烧断，并以此为计时起点，A、B两小球运动的图像如图乙所示，表示0到时间内A的图线与横轴所围面积大小，当地重力加速度为。下列说法正确的是（     ） A．时刻，A、B两小球的速度差一直增大 B．0时刻和时刻弹簧的弹性势能相等，时刻弹簧弹性势能最小 C．时刻B物体的速度大小为 D．从0到时刻，弹簧对B球的冲量不为0 【题型强化练】 1．（25-26高三上·宁夏石嘴山·阶段检测）从地面竖直向上抛出一物体，其机械能等于动能与重力势能之和。取地面为重力势能零点，在上升过程中，该物体的和随它离地面的高度的变化关系如图所示。重力加速度取。由图中数据可得（　　） A．物体的质量为 B．时，物体的速率为 C．时，物体的动能 D．从地面至离地面高处的过程中，物体的动能减少 【真题回顾】 1．（2026·北京·高考真题）将蹦极运动简化为直线运动。如图所示，轻质弹性绳的一端固定在点，另一端和人（视为质点）相连。人从点静止下落，经点时绳恰好伸直，到达最低点后向上运动。假设整个过程弹性绳的弹力与伸长量成正比，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．人运动到中点处速度最大 B．人在点的加速度大于在点的加速度 C．从点到点的过程中，人一直处于失重状态 D．从点到点的过程中，重力势能与弹性势能之和先减小后增大 2．（2026·全国卷·高考真题）一皮球由静止自由下落高度后被地面反弹，反弹后竖直向上运动。由于与地面碰撞，皮球动能损失了64%。忽略空气阻力，皮球反弹后可上升的最大高度为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江·高考真题）如图所示，钢架雪车运动员在具有阻力的倾斜赛道上滑行，则（   ） A．运动员在转弯时加速度为0 B．运动员和钢架雪车整体机械能守恒 C．钢架雪车所受重力和赛道对钢架雪车的支持力是一对平衡力 D．钢架雪车对赛道的压力与赛道对钢架雪车的支持力是一对作用力和反作用力 4．（2025·全国卷·高考真题）如图，撑杆跳高运动中，运动员经过助跑、撑杆起跳，最终越过横杆。若运动员起跳前助跑速度为10m/s，则理论上运动员助跑获得的动能可使其重心提升的最大高度为（重力加速度取10m/s2）（　　） A．4m B．5m C．6m D．7m 5．（多选）（2026·湖北·高考真题）某山沟竖直截面图如图所示，山沟的一侧竖直，另一侧是以 点为圆心、 为半径的圆弧，圆弧最高点与 点等高。救援队从 点以大小为的初速度向该山沟投掷救援物资，其中 是重力加速度大小。物资可视为质点，不计空气阻力。为避免损坏救援物资，要求物资落到圆弧上的速率最小，则物资（     ） A．在空中运动的时间为 B．与水平方向成 角斜上抛 C．抛出点与落点的高度差为 D．落到圆弧上的最小速率为 6．（多选）（2026·湖北·高考真题）如图所示，半径为、内壁光滑的圆环轨道固定在竖直平面内。初始时刻，质量为 的小球甲从圆环内表面最高处以大小为（为重力加速度大小）的水平初速度向右运动，同时质量为的小球乙从圆环内表面最低处以某一水平初速度向左运动。当甲第一次运动到圆环最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点。不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．乙的初速度大小为 B．甲、乙两小球运动的周期相等 C．任意时刻两小球的连线均过圆环圆心 D．任意时刻两小球对圆环作用力的合力均不为零 7．（多选）（2025·陕晋青宁卷·高考真题）如图，与水平面成夹角且固定于O、M两点的硬直杆上套着一质量为的滑块，弹性轻绳一端固定于O点，另一端跨过固定在Q处的光滑定滑轮与位于直杆上P点的滑块拴接，弹性轻绳原长为OQ，PQ为且垂直于OM。现将滑块无初速度释放，假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。滑块与杆之间的动摩擦因数为0.16，弹性轻绳上弹力F的大小与其伸长量x满足。，g取，。则滑块（　　） A．与杆之间的滑动摩擦力大小始终为 B．下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的冲量相同 C．从释放到静止的位移大小为 D．从释放到静止克服滑动摩擦力做功为 8．（2025·安徽·高考真题）如图，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距。一根长为的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量的小球，小球与水平地面接触但无压力。时，小球以水平向右的初速度开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取。 (1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小； (2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离； (3)若在时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 机械能守恒定律及其应用 【题型演练】 题型一 机械能守恒条件的判断 【例题精讲练】 【例1】（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）如图所示，某职业特技自行车表演家从A点冲出轨道，在空中连续后翻四次后落在轨道B点，图中虚线为他在空中的运动轨迹。若不计空气阻力，关于他在空中的运动，说法正确的是（     ） A．上升的时间等于下降的时间 B．运动至最高点处速度为零 C．经过A点时的速度小于经过B点时的速度 D．从A到B运动过程先超重后失重 【答案】C 【详解】A．特技表演家做斜抛运动，竖直方向上做竖直上抛运动。由图可知，点的高度高于点，即从最高点下落到点的高度大于从点上升到最高点的高度。根据可知，下降时间 上升时间，因为，所以下降时间大于上升时间，故A错误； B．表演家在最高点时，竖直分速度为零，但水平方向不受外力，水平分速度不为零，所以最高点的合速度不为零，故B错误； C．从到的过程中，不计空气阻力，只有重力做功，机械能守恒。根据机械能守恒定律有 由图可知，则，即经过点时的速度小于经过点时的速度，故C正确； D．表演家在空中运动过程中，只受重力作用，加速度恒为重力加速度，方向竖直向下，所以整个运动过程一直处于失重状态，故D错误。 故选C。 【例2】（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）（多选）如图所示，在倾角为的斜面上，质量为的物块受到沿斜面向上的恒力F的作用，沿斜面以速度v匀速上升了高度h。已知物块与斜面间的动摩擦因数为、重力加速度为g。关于上述过程，下列说法正确的是（　　） A．在此过程中机械能守恒 B．合力对物块做功为 C．摩擦力对物块做功为 D．恒力F与摩擦力对物块做功之和为mgh 【答案】CD 【详解】A．恒力和摩擦力都对物块做功，因此机械能不守恒，故A错误； B．物块匀速运动，动能变化 根据动能定理，可知合外力做功等于动能变化，因此合力对物块做功为0，不是，故B错误； C．物块上升高度，沿斜面的位移大小 摩擦力大小 摩擦力方向沿斜面向下，与位移方向相反，因此摩擦力做功，故C正确； D．对物块应用动能定理，支持力不做功，因此 其中重力做功 可得 即恒力与摩擦力对物块做功之和为，故D正确。 故选CD。 【变式训练1】（2026·江苏南通·模拟预测）如图所示，固定的光滑曲面和光滑斜面高度相同，质量相同的小物块A、B同时从斜面和曲面的顶端由静止释放，同时到达底端。下滑过程中（     ） A．重力对A物块做的功大于对B物块做的功 B．支持力对A物块做的功大于对B物块做的功 C．重力对A、B物块做功的平均功率相等 D．到达底端时A、B物块重力的功率相等 【答案】C 【详解】A．重力做功与路径无关，与首末位置的高度差有关，物块A、B下落高度差相同，质量相同，则重力做功相同，故A错误； B．物块A、B的支持力与运动方向垂直，支持力不做功，故B错误； C．物块A、B同时到达底端，重力做功相等，运动时间相等，可知重力做功的平均功率相等，故C正确； D．根据机械能守恒定律得，物块A、B到达底端的速度大小相等，是速度方向与水平方向的夹角，重力的功率，曲面底端切线与水平方向夹角未知，二者重力功率大小无法比较，故D错误； 故选C。 【变式训练2】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，在水平圆盘上从圆心沿半径方向开有一光滑细槽，在槽内一根细线一端固定于点，另一端连接小球，轻弹簧一端连接小球，另一端固定在圆盘边缘。圆盘始终绕过圆心的竖直轴匀速转动，小球位于点，弹簧处于原长。现烧断细线，小球在槽内、间来回运动，弹簧始终在弹性限度内，则小球第一次从到的过程中（     ） A．小球垂直槽的速度分量一直变小 B．小球平行于槽的速度分量一直增大 C．槽对小球做正功 D．小球和弹簧组成的系统机械能守恒 【答案】C 【详解】A．小球参与了两个分运动：随圆盘绕O点转动的切向运动和沿细槽的径向运动。小球的切向速度即垂直细槽的速度分量 由于不变，增大，因此切向分速度一直增大，故A错误； B．由题可知，小球在P、Q间运动时，P、Q两点的径向速度均为零，弹簧逐渐伸长，因此其径向分速度先增大后减小，故B错误； CD．根据上述分析可知，由于整个过程中，小球的切向速度增大，小球的动能增大，小球与弹簧组成的系统除了弹簧的弹力做功，槽壁弹力方向与小球切向运动方向相同，槽壁对小球的弹力做正功，使小球的动能增大，因此，系统的机械能不守恒，故C正确，D错误。 故选C。 【变式训练3】（25-26高三上·贵州铜仁·期中）（多选）质量分别为和（其中）的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，在杆的中点处有一个固定转轴，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低位置的过程中，下列有关能量的说法正确的是（　　） A．Q球的重力势能减少、动能增加，Q球和地球组成的系统机械能守恒 B．P球的重力势能、动能都增加，P球和地球组成的系统机械能不守恒 C．P球、Q球和地球组成的系统机械能守恒 D．P球、Q球和地球组成的系统机械能不守恒 【答案】BC 【详解】B．P球的高度上升，重力势能增大，动能增加，故P球和地球组成的系统机械能增加，故B正确； CD．对于P球、Q球和地球组成的系统，只有重力做功，系统机械能守恒，故C正确，D错误。 A．Q球的高度下降，重力势能减少，动能增加； 由于轻质杆对它做功，故Q球和地球组成的系统机械能不守恒。故A错误； 对于P球、Q球和地球组成的系统，只有重力做功，系统机械能守恒，而P球和地球组成的系统机械能增加，所以Q球和地球组成的系统机械能减小，故A错误。 故选BC。 题型二 机械能守恒在单物体中的应用 【例题精讲练】 【例1】（2026·黑龙江、辽宁·二模）一半径为R的光滑半球面固定在水平桌面上，球面上放置一光滑匀质绳，A为球面的顶点，B端与C端恰与桌面不接触。匀质绳单位长度的质量为，重力加速度大小为g，求铁链A处的张力T的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图所示，考虑一半光滑匀质绳，设想存在作用力F作用在链条A端，将会使链条做出一个非常小，趋近于零的虚位移，而这个过程的作用效果可以等效于处于链条B端的一段长为的链条移到A端，因此，重力势能的增加即为F所做的功，因此 解得，而此作用力为铁链A处的张力T，则 故选A。 【例2】（2026·贵州黔南·一模）（多选）一轻杆两端分别固定小球A和小球B，两小球均可视为质点且B球质量是A球质量的2倍。现将该轻杆放入固定在竖直平面内的圆形轨道上，并使小球B位于轨道的最低点，此时小球A恰好位于轨道上与圆心等高处，如图所示。不计一切阻力，则由静止释放轻杆后（　　） A．A、B两小球组成的系统机械能守恒 B．A、B两小球组成的系统动量守恒 C．A、B两小球速度大小始终相等 D．某时刻轻杆可能水平 【答案】ACD 【详解】A．A、B两小球组成的系统，只有重力做功，系统机械能守恒，故A正确； B．A、B两小球组成的系统合外力不为零，则系统动量不守恒，故B错误； C．A、B两球均绕轨道圆心做圆周运动，运动过程中两球相对轨道圆心的角速度始终相同，且转动半径均等于轨道半径R，由可知两球速度大小始终相等，故C正确； D．当轻杆水平时，根据系统机械能守恒定律可得 解得 由此可知，某时刻轻杆可以达到水平，故D正确。 故选ACD。 【变式训练1】（2025高三·全国·专题练习）一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图甲所示。若将一个质量也为m的小球分别拴在链条左端或右端，如图乙、图丙所示，约束链条的挡板光滑，三种情况下链条均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，设它们的速度分别为、、，则关于、、的关系，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】甲图中，初始时悬挂的半条链质量为，其重心在桌面下方处 末态整条链刚离开桌面，链条重心在桌面下方处 链条重心下降高度为 由机械能守恒有 解得 乙图中，小球拴在链条左端，初始和末态刚离开桌面时小球均在桌面高度附近，重力势能不变 链条重力势能减少量仍为 末态链条和小球速度相同，总动能为 由机械能守恒有 解得 丙图中，小球拴在链条右端，初始小球在桌面下方处 末态整条链刚离开桌面时小球在链条最下端，即桌面下方处，小球下降高度为 链条重力势能减少量仍为 系统重力势能减少量为 由机械能守恒有 解得 比较可得 故选C。 【变式训练2】（2025·湖南常德·三模）如图甲所示，光滑平台上放着一根均匀链条，其中三分之一的长度悬垂在平台台面以下，由静止释放链条。已知整根链条的质量为m，链条悬垂的长度为l，台面高度为2l。如果在链条的悬垂端接一质量也为m的小球（直径相对链条长度可忽略不计），如图乙所示，还由静止释放链条。平台右边有光滑曲面D来约束链条，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．甲图中在链条下端触地瞬间，链条的速度大小为 B．乙图中在链条下端触地瞬间，链条的速度大小为 C．甲图中链条下端在触地之前，链条的加速度大小不变 D．乙图中小球在下落过程中，链条对小球的拉力在不断增大 【答案】A 【详解】A．甲图中链条触地时，平台右侧悬垂部分长度为2l，根据机械能守恒定律有 解得，故A正确； B．乙图中链条触地时，根据机械能守恒定律有 解得，故B错误； C．甲图中平台右侧悬垂部分的重力等于链条整体所受外力的合力，随悬垂部分的增多，链条整体所受外力的合力增大，链条在触地之前做加速度逐渐增大的加速运动，故C错误； D．乙图中，平台右侧悬垂部分与小球总的重力等于链条与小球整体所受外力的合力，随悬垂部分的增多，链条整体所受外力的合力增大，乙链条在触地之前加速度逐渐增大，对小球进行分析，根据牛顿第二定律可知，链条对小球的拉力在不断减小，故D错误。 故选A。 【变式训练3】（2026·海南海口·二模）（多选）如图所示，细绳绕过定滑轮连接小球和小球，小球固定在轻质细杆的一端，细杆可绕轴自由转动，整个装置静止时，杆和绳与竖直方向的夹角均为。现施加外力抬高小球位置，使轻杆水平，（如图中虚线位置），然后由静止释放，不计一切摩擦，细绳足够长。则杆向下转动的过程中，下列说法正确的是（     ） A．小球和小球的质量之比为 B．小球和小球的动能之和先增大后减小 C．图示位置时，小球和小球的速度之比为 D．图示位置时，小球和小球的重力功率之比为 【答案】AD 【详解】A．整个装置平衡时，对a球受力分析，如图所示 则有， 解得，故A正确； B．连接a球的杆为活杆，对a球作用力方向始终沿杆，与a球速度垂直，对a球不做功，所以对于a、b组成的系统机械能守恒。 b球上升重力势能增加量为 a球下降，重力势能减小量为 b球上升的高度即连接a端绳子的伸长量，如图则有 杆向下转动60°的过程中，减小， 由，系统重力势能一直在减小，则a、b动能之和一直在增大，故B错误； C．图示位置时，a球的速度与细杆垂直，b球的速度大小等于细绳斜向下拉的速度，由速度的分解可得 解得，故C错误； D．图示位置时，a球重力的功率 b球重力的功率 可得，故D正确。 故选AD。 【题型强化练】 1．（2026·贵州六盘水·二模）如图甲所示，一根质量分布均匀的软绳，绳长不可变，将其伸直后，放置于距地面高的水平桌面上，开始时右端伸出桌面边缘的长度为，由静止释放后从桌面边缘滑下，桌面边缘为长度可忽略的四分之一圆弧。重力加速度为。 (1)若不计桌面摩擦力，求绳子下端着地时绳子的速度大小； (2)绳子的加速度与桌面下方绳长的关系如图乙所示，图像段斜率为。求绳子与桌面间动摩擦因数。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，由于绳子与桌面无摩擦，故绳子下落过程机械能守恒，则有 解得若不计桌面摩擦力，绳子下端着地时绳子的速度为 （2）把绳子分为桌面上、下两个部分，桌面上绳子质量为，桌下质量为，则有， 且 分别对两段绳子进行受力分析，受力分析图如图所示： 则根据牛顿第二定律有， 联立解得 则是关于的一次函数，所以图像的斜率为 解得绳子与桌面间动摩擦因数 题型三 机械能守恒在曲线运动中的应用 【例题精讲练】 【例1】（26-27高三上·江苏南通·开学考试）如图所示，光滑圆环轨道固定在竖直平面内。时，小球甲从圆环内最高点水平向右运动，同时小球乙从圆环内最低点水平向左运动，经过时间，甲第一次运动到圆环最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点。甲、乙两球质量相等，则时（     ） A．甲球的动能小于乙球 B．甲球的动能大于乙球 C．甲球动能变化量的大小等于乙球 D．甲球动能变化量的大小小于乙球 【答案】D 【详解】AB．在时间内，甲从圆环内最高点第一次运动到圆环最低点时，乙恰好从圆环内最低点第一次运动到圆环最高点。由运动的对称性可知，乙从圆环最高点第一次运动到圆环最低点所用时间也为，可知乙球从最高点下滑过程与甲球的下滑过程完全相同，故乙球到达最高点的速度与甲球从最高点出发的初速度完全相同，且甲、乙两球的质量相等，故两球的机械能相等。设圆环轨道半径为，在时间内，甲球做加速运动，前时间内的平均速率小于后时间内的平均速率，故前时间内通过的弧长，因此甲球位于圆环上半部分（高于圆心）。同理，在时间内，乙球做减速运动，前时间内的平均速率大于后时间内的平均速率，故前时间内通过的弧长，乙球也位于圆环上半部分，又根据运动的对称性可知 故在时，甲、乙两球处于同一高度（以地面为参考平面），因为两球机械能相等且所处高度相同，所以此时两球的动能相等，即，故 A、B错误； CD．动能的变化量等于合外力做的功，此处只有重力做功。甲球从最高点运动到处，重力做正功，满足   乙球从最低点运动到处，重力做负功，动能变化量为负值，其大小为 由于，可知，所以 即乙球动能变化量的大小大于甲球动能变化量的大小，故C错误，D正确。 故选D。 【例2】（25-26高三上·湖北黄冈·阶段检测）（多选）如图所示，粗糙水平轨道AB与竖直光滑半圆形轨道BC相切于B点。一物块（可视为质点）将轻弹簧压缩至A点后由静止释放，物块脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达半圆形轨道BC的最高点C，最后刚好落在A点，D点为半圆形轨道BC的中点。已知物块的质量为0.1kg，半圆形轨道BC的半径为0.4m，物块与水平轨道间的动摩擦因数为0.2，取重力加速度大小，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．物块在C点时的速度大小为4m/s B．物块在B点的向心加速度大小为 C．物块在D点时对轨道的压力大小为2N D．物块在A点时弹簧的弹性势能为1.16J 【答案】BD 【详解】A．物块恰好能到达最高点C，则物块在最高点只受重力，且重力全部用来提供向心力，设半圆轨道的半径为r，在C点是速度大小为vC，由牛顿第二定律得 解得物体在C点的速度vC=2m/s，故A错误； B．物块从B点运动到C点的过程，由机械能守恒定律可得 解得 由牛顿第二定律可得 联立解得物块在B点的向心加速度大小为，故B正确； C．物块从D点运动到C点的过程，由机械能守恒定律可得 由牛顿第二定律可得 联立解得物块在D点时轨道的支持力，根据牛顿第三定律可知，物块对轨道的压力大小为3N，C错误； D．物块从C点做平抛运动，则， 解得x=0.8m 由能量守恒定律可得物块在A点时弹簧的弹性势能，故D正确。 故选BD。 【变式训练1】（26-27高三上·广东中山·阶段检测）在摩托车特技表演中，当骑手驾驶摩托车以一定速度从竖直光滑圆形轨道最低点A进入轨道时，迅速关闭引擎，此后做完整的圆周运动。摩托车与骑手可视为质点。摩托车与骑手在做完整圆周运动过程中，动能为，对轨道压力大小为N，在轨道中摩托车与轨道圆心O连线相对OA转过的角度为θ，以下物理量之间的关系图像可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．根据机械能守恒定律，设最低点动能为，则有 解得 当时，动能最小。 摩托车做完整的圆周运动，在最高点需满足重力不大于向心力，即 故最小动能 图A中时，不符合实际，故A错误； B．由可知，与成线性关系，且斜率，即随的增大而增大。图B中斜率为负，故B错误； C．在任意位置，由牛顿第二定律得 结合及能量守恒公式，可得 与呈余弦函数关系。当摩托车恰好通过最高点时，，。图C符合随变化的规律及临界条件，故C正确； D．由可知，与成线性关系，且斜率，即随的增大而增大。图D中斜率为负，故D错误。 故选C。 【变式训练2】（26-27高三上·陕西咸阳·阶段检测）如图所示，竖直平面内固定一光滑的半径的半圆形轨道AB，一个质量为0.25kg的小球以一定的初速度从最低点A沿轨道内侧运动且恰能通过最高点B，不计空气阻力，，则小球在A点所受支持力大小为（     ） A．5N B．7.5N C．12.5N D．15N 【答案】D 【详解】小球恰能通过最高点B，则有 小球从最低点A沿轨道内侧运动且恰能通过最高点B，由动能定理得 小球在A点，由牛顿第二定律得 联立解得 故选D。 【变式训练3】（2026·湖南长沙·三模）（多选）固定在竖直面内的光滑圆管，段长度为，与水平方向的夹角为，在处有插销，段水平且足够长。管内段装满了质量均为的小球，小球的半径远小于，其编号如图所示。不计小球经过转角时的机械能损失，重力加速度为，拔掉插销，号球在下滑过程中（     ） A．机械能不守恒 B．做匀加速运动 C．对2号球做的功为 D．经过点时速度 【答案】AC 【详解】AB．设一共有个小球，运动过程中，有（）个小球在光滑圆管内，对个小球整体分析，结合牛顿第二定律有 解得 对小球1分析，假设小球2对小球1向上的支持力为，根据牛顿第二定律有 解得 则随着的减小，小球2对小球1向上的支持力增大，对小球1做负功，小球1的机械能不守恒，加速度在减小，做加速度减小的加速运动，故A正确，B错误； D．开始时，整体小球的重心在管的中心，整体运动到水平段时，系统减小的重力势能为 设所有小球全部滑下后，在段的速度为，系统增加的动能为 根据系统机械能守恒可得 解得，故D错误； C．对1号球分析，从开始到1号球达到水平管道的过程中，2号球对1号球做的功为，根据动能定理可得 解得 由于小球的半径远小于，则1号球对2号球做功大小等于2号球对1号球做功大小，为，故C正确。 故选AC。 【题型强化练】 1．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）质量为m的小球被长为L的轻绳拴在O点。给小球一个初速度使其在竖直平面内做圆周运动，当小球运动到最低点时，刚好与高为L、倾角为30°的光滑斜面ABCD的A点接触但没有相互作用，小球通过最高点时对轻绳的拉力大小为3mg。当小球某次通过最低点时瞬间剪断轻绳，此时小球从A点沿AB方向运动，此后小球刚好通过D点。已知重力加速度为g。下列说法中正确的是（     ） A．小球做圆周运动通过最高点时速度大小为 B．小球做圆周运动通过最低点时轻绳的拉力大小为8mg C．小球经过D点时速度大小为 D．斜面AB边长为8L 【答案】D 【详解】A．小球做圆周运动通过最高点时 解得小球做圆周运动通过最高点时速度大小为，故A错误； B．小球从最高点到最低点由机械能守恒定律得 解得小球做圆周运动通过最低点时速度大小为 小球做圆周运动通过最低点时 解得，故B错误； C．小球从A点到D点做类平抛运动，由题意可得 设小球运动到D点时沿BD方向的速度大小为，则 小球经过D点时速度大小为，故C错误； D．小球从A点到D点做类平抛运动的时间为 斜面AB边长为，故D正确。 故选D。 2．（25-26高一下·四川攀枝花·期末）如图所示，长为L的不可伸长轻绳，一端固定在O点，另一端系有一质量为m、可视为质点的小球，O点正下方有一大小忽略不计的钉子P，向左拉动小球，使轻绳与竖直方向成大小为θ的夹角，再由静止释放小球，当小球刚好过最低点时，轻绳正好崩断。已知重力加速度为g，轻绳能承受的最大拉力为3mg，sinθ=0.6、cosθ=0.8，不计空气阻力，则O、P之间的距离为（     ） A．0.2L B．0.4L C．0.6L D．0.8L 【答案】D 【详解】设、之间的距离为 ，小球运动到最低点时的速度大小为。小球从静止释放运动到最低点的过程中，由机械能守恒定律得 解得 小球过最低点时，轻绳碰到钉子，小球做圆周运动的半径突变为 此时轻绳拉力最大，由牛顿第二定律得 已知轻绳能承受的最大拉力，当拉力达到该值时轻绳崩断，代入数据得 解得 故选D。 题型四 机械能守恒在杆连系统中的应用 【例题精讲练】 【例1】（2026·陕西铜川·一模）如图所示，竖直平面内有一轻质圆盘可绕过圆心O点的水平轴无摩擦转动，质量相等的两个小球A、B分别固定在圆盘上与圆心O等高处和最低点。该系统从图示位置由静止释放后开始自转，则（　　） A．释放瞬间圆盘对小球A没有作用力 B．释放瞬间小球B的加速度方向水平向左 C．A球重力势能减小的快慢等于B球重力势能增大的快慢 D．在运动过程中，圆盘对A、B两球不可能同时做正功 【答案】D 【详解】A．释放瞬间，小球A的加速度小于g，可知圆盘对小球A有向上的作用力，A错误； B．释放瞬间小球B向左做变加速运动，则B的加速度方向指向左上方向，B错误； C．因A球下降的高度不一定等于B球上升的高度，则A球重力势能的减小量不一定等于B球重力势能的增加量，可知A球重力势能减小的快慢不一定等于B球重力势能增大的快慢，C错误； D．在运动过程中，若圆盘对A、B两球同时做正功，则两球的机械能之和增加，而该问题中两球组成的系统的机械能应该是守恒的，则D正确。 故选D。 【例2】（25-26高三上·广西柳州·阶段检测）（多选）内壁光滑的环形凹槽半径为，固定在竖直平面内，一根长度为的轻杆，一端固定有质量为的小球，另一端固定有质量为的小球，将两小球放入凹槽内，小球位于水平直径处，如图所示，已知重力加速度为，该系统由静止释放到球滑到与圆心等高位置，下列说法错误的是（     ） A．在某一位置球的线速度大于球的线速度 B．球重力势能的减少量等于球重力势能的增加量 C．球滑到与圆心等高位置时的线速度大小为 D．轻杆对球做的功为 【答案】ABC 【详解】A．A和B两球都在凹槽上运动，如图所示。 假设某一时刻A和B的线速度分别为和，根据几何关系，可知两线速度方向与杆的夹角相等，可设为θ，则有，因此，故A错误； B．公式 由于对称性，B球滑到与O等高位置，B上升的高度等于A下降的高度，即 又A球质量为，球质量为，所以A球重力势能的减少量大于B球重力势能的增加量，故B错误； C．根据B选项解析可知，从初始位置到B球滑到与O等高位置，轻杆及A球和B球组成的系统的重力势能减少。 设B球滑到与O等高位置时，两球的线速度大小为，对轻杆、A球和B球组成的系统，根据系统机械能守恒有 解得，故C错误； D．由静止释放到B球滑到与O等高位置的过程中，设轻杆对B球做的功为，根据动能定理有 解得，故D正确。 题目要求选择错误选项，故选ABC。 【变式训练1】（2026·山东聊城·一模）如图所示，质量均为的滑块和滑块静止在光滑水平地面上，滑块、之间有轻绳相连，小球的质量为，与、之间用长为的轻杆通过铰链连接，轻杆与滑块、小球间可自由转动，初始时两轻杆夹角为。对小球施加一竖直向下的恒力，。重力加速度为，，剪断轻绳，由开始运动到刚与地面接触时的过程中，下列说法正确的是（　　） A．A、B、C组成的系统机械能守恒 B．杆对做正功 C．小球重力的最大功率为 D．小球下落过程中加速度总是小于 【答案】C 【详解】A．整个过程中，外力F对C做正功，A、B、C组成的系统机械能增大，故A错误； B．对A受力分析可知，根据动能定理，A的速度变化量为零，可知此杆对A不做功，故B错误； C．当小球C落地时速度最大，且A、B速度刚好为零，根据动能定理可得 则小球重力的最大功率为 联立解得，故C正确； D．设AC、BC间的夹角为，其中从到，对小球C受力分析，根据牛顿第二定律可得 因此小球C的加速度，故D错误。 故选C。 【变式训练2】（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，在斜面体左侧的适当位置固定一光滑竖直硬杆，质量均为m的两小球（均视为质点）用长为的轻质硬杆连接，重力加速度为g。甲套在竖直硬杆上，乙放置在斜面上，甲、乙由静止释放时，轻质硬杆与竖直硬杆的夹角为，当轻质硬杆与斜面刚好平行时，乙的动能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】甲下降的高度为 乙下降的高度为 当轻质硬杆与斜面刚好平行时，把甲的速度分别沿着轻质硬杆和垂直轻质硬杆分解，沿着轻质硬杆方向的分速度为，有 小球乙的速度沿着斜面，轻质硬杆与斜面平行，则沿着轻质硬杆，有 甲、乙两球组成的系统由机械能守恒定律可得 乙的动能为 联立解得 故选B。 【变式训练3】（2026高三·全国·专题练习）（多选）长为L的轻杆可绕O在竖直平面内无摩擦转动，质量为M的小球A固定于杆端点，质量为m的小球B固定于杆中点，且M＝2m，重力加速度为g，不计空气阻力，开始杆处于水平，由静止释放，当杆转到竖直位置时（　　） A．球A瞬时速度是球B瞬时速度的2倍 B．球A在最低点速度为 C．O和B之间杆的拉力大于B和A之间杆的拉力 D．轻杆对球B做功mgL 【答案】ABC 【详解】ABD．在转动过程中，A、B两球的角速度相同，设球的速度为，B球的速度为，则有 以A、B和杆组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律得 联立可以求出， 设杆对A、B两球做功分别为，。根据动能定理，对A有 对B有 解得， 则轻杆对球A做正功，轻杆对球B做负功，AB正确，D错误； C．当杆转到竖直位置时B的向心力向上，而 可知OB杆的拉力大于BA杆的拉力，C正确。 故选ABC。 【题型强化练】 1．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，一长为2L的轻杆中央有一光滑的小孔O，两端分别固定小球A和B，小球A和B质量分别为m和2m，光滑的铁钉穿过轻杆小孔垂直钉在竖直的墙壁上，将轻杆从水平位置由静止释放，转到竖直位置，在转动的过程中，忽略空气的阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．在转动到竖直位置的过程中，A球机械能的增加小于B球机械能的减少 B．在转动到竖直位置的过程中，A、B两球组成系统的重力势能的减少等于系统动能的增加 C．在竖直位置两球的速度大小均为2 D．由于忽略一切摩擦阻力，根据机械能守恒，杆一定能绕铁钉做完整的圆周运动 【答案】B 【详解】A．对于两球组成的系统，在转动过程中，只有重力做功，其机械能守恒。而转动过程中，A的动能和重力势能都增加，即A的机械能增加，B的机械能减少，则根据机械能守恒定律可知，A球机械能的增加等于B球机械能的减少，故A错误； B．对于两球组成的系统，在转动过程中，总重力势能减少，总动能增加，根据机械能守恒定律可知，两球的总重力势能的减少等于总动能的增加，故B正确； C．根据可知，转动到竖直位置时，两球的速度大小相等，设为，取图中所示位置为参考平面，根据机械能守恒定律可得 解得，故C错误； D．根据机械能守恒定律可知，当系统顺时针转到水平位置时速度为零，然后再逆时针转动，不可能做完整的圆周运动，故D错误。 故选B。 2．（25-26高三上·云南·阶段检测）如图所示，长为的轻杆上端连着一个质量为的小球（可视为质点），下端用铰链固接于地面上的点。立方体的棱长也为，初始时与恰好接触。杆受微小扰动向右倾倒，当与刚脱离接触时，杆与地面的夹角为。已知重力加速度为，所有接触面均光滑，下列说法正确的是（　　） A．、分离时，的加速度为0 B．、分离时，的速度大小为 C．的质量 D．落地前速度的最大值为 【答案】D 【详解】A．与刚脱离接触的瞬间，、水平方向加速度为零、速度相同，故和杆对的作用力都等于零，只受重力，分离时的加速度大小，故A错误； B．、分离时，对根据牛顿第二定律有 结合关联速度可知 解得的速度大小，故B错误； C．在杆从竖直位置开始倾倒到与恰好分离的过程中，和组成的系统机械能守恒，则有 解得、的质量之比为，故C错误； D．与分离后，继续下落的过程中机械能守恒，有 解得落地前速度的最大值，故D正确。 故选D。 题型五 机械能守恒在绳连系统中的应用 【例题精讲练】 【例1】（2026·广西南宁·模拟预测）如图所示，水平固定的细杆上P点正下方0.3m处有一定滑轮，质量1 kg的滑块A套在细杆上，滑块A通过不可伸长的轻质细绳连接着质量2kg的小球B。将滑块A由静止释放，此时细绳与竖直方向夹角。取，，，不计一切阻力，下列说法正确的是（     ） A．滑块A滑至P点时速度大小为 B．滑块A滑至P点时速度大小为 C．滑块A滑至P点过程中，小球B和滑块A的速度比变大 D．滑块A滑至P点过程中，小球B和滑块A的速度比变小 【答案】D 【详解】AB．初始状态下，P点到定滑轮的竖直距离为 此时绳与竖直方向夹角 因此当滑块A滑到P点时，小球B下落的高度为 将滑块A的速度沿绳方向和垂直绳方向分解，沿绳的分速度等于小球B的速度，即 其中为细绳与水平细杆的夹角，当滑块A到达P点时，夹角 因此此时 不计一切阻力，A、B组成的系统机械能守恒，则 解得，故AB错误； CD．由速度分解关系 可得 滑块A向P点滑动的过程中，细绳与水平方向的夹角从逐渐增大到，随增大而逐渐减小，因此逐渐变小，故C错误，D正确。 故选D。 【例2】（26-27高三上·北京海淀·开学考试）（多选）一根不可伸长的轻绳跨过轻质定滑轮，绳的两端分别系有小球 A 和 B。用手托住 B 球，当绳刚好被拉紧时，B 球离地面的高度为 h，A 球静止于地面，如图所示。已知 B 球的质量是A球的 k 倍（k＞1），重力加速度为g，忽略一切摩擦和空气阻力。B 球从释放至刚好落地的过程中，下列判断正确的是（     ） A．A球和B球组成系统的机械能守恒 B．A球上升过程的速度大小小于B球下落过程的速度大小 C．A球加速度的大小小于B球加速度的大小 D．k 值越大，B 球运动的加速度越接近 g 【答案】AD 【详解】A．对A、B组成的系统，运动过程中只有重力做功系统的机械能守恒，故A正确； B．轻绳不可伸长，A上升的位移大小始终等于B下落的位移大小，任意时刻两者的速度大小必然相等，故B错误； C．两者位移变化规律完全同步，速度大小始终相等，因此加速度大小也一定相等，故C错误； D．设A的质量为m，则B的质量为km，对整体由牛顿第二定律： 推导得加速度 当k越大时，越趋近于1，加速度就越接近g，故D正确。 故选 AD。 【变式训练1】（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A，轻质定滑轮下方悬挂重物B。开始时重物A、B处于静止状态，释放后均开始运动。A、B的质量均为，忽略摩擦和空气阻力，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．释放后重物A向下运动 B．释放后重物B的机械能守恒 C．当A的位移为时，A的速度为 D．当A的位移为时，A的机械能增加量为 【答案】D 【详解】A．设细线的拉力为T，由图示可知，A受到两细线的拉力为2T，方向向上，B受到细线的拉力为T，方向向上，A、B所受重力大小相等，则A、B释放后，A向上运动，B向下运动，故A错误； B．释放后重物A、B组成的系统满足机械能守恒，但绳子拉力对B做功，所以重物B的机械能不守恒，故B错误； CD．当A的位移为h时，B下降的高度为2h，设此时A的速度大小为，则B的速度大小为；根据系统机械能守恒 解得 A的机械能增加量为，故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练2】（2026·湖北十堰·三模）足够长的轻质且不可伸缩细线绕过轻质定滑轮（直径很小），一端固定于墙上的点，另一端悬挂一个质量为的物块，其中段水平，如图所示。用手托住质量也为的钩码钩在的中点并缓缓竖直下降，直到钩码和手之间没有作用力后将手拿开。不计摩擦和空气阻力，重力加速度为，，在此过程中，下列说法正确的是（     ） A．细线受到的张力逐渐变大 B．细线对做正功，对不做功 C．、组成的系统机械能守恒 D．物块机械能增加了 【答案】D 【详解】A．缓缓下降即可将物体始终看做处于平衡状态，对P分析可知，细线的张力与P重力平衡，即细线张力大小不变，故A错误； B．根据题意可知，细线对做正功，细线对Q做负功，故B错误； C．手拿开前，Q下降过程中手的弹力对Q做负功，故P、Q组成的系统机械能减少，故C错误； D．分析可知，当段细线夹角为时手拿开后Q将不再下降，此过程中P上升的高度为 即P重力势能增加了，动能可视为始终为0，则物块机械能增加了，故D正确。 故选D。 【变式训练3】（2026·湖南长沙·三模）（多选）如图所示，在距水平地面高为处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上点固定一定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在点的右侧，杆上套有一质量的小球A。半径的光滑半圆形细轨道竖直并固定在地面上，其圆心在点的正下方，在轨道上套有一质量也为的小球B。用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将两个小球连接起来，杆和半圆形轨道在同一竖直面内，两小球均可看作质点，且不计滑轮的影响。现给小球A一个水平向右的恒力，则（     ） A．把小球从地面拉到的正下方时，做的功为 B．小球运动到处时的速度为 C．小球被拉到与小球速度大小相等时， D．小球从地面被拉到的正下方时，机械能增加了 【答案】AC 【详解】A．小球B从地面被拉到的正下方过程中，做功为，故A正确； B．B球运动到处时无沿绳方向的分速度，所以此时A的速度为0。对系统，由功能关系有 代入数据可得B的速度为，故B错误； C．当绳与轨道相切时，两球的速度大小相等，由几何关系有。故C正确； D．小球B从地面被拉到的正下方时，增加的机械能为，故D错误。 故选AC。 【题型强化练】 1．（2026·河北雄安·模拟预测）如图所示，大圆环固定在竖直平面内，一根轻绳两端各系一个小球、（均可视为质点），轻绳跨过固定在大圆环顶端的小滑轮，为有孔小球套在光滑的大圆环上。开始时与大圆环圆心连线和竖直方向夹角为，已知的质量为，的质量为，大圆环半径为，重力加速度为，不计一切摩擦。由静止释放，当与大圆环圆心等高时，球的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】与大圆环圆心等高时，根据关联速度有 由几何关系得球上升的高度为 对两球组成的系统，由系统机械能守恒有 解得 故选C。 2．（2026·云南文山·模拟预测）如图所示，其中一个轻质动滑轮下方悬挂重物A，另一个轻质定滑轮下方悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时，重物A、B处于静止状态，释放后A、B开始运动。已知A、B的质量相等，假设摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度为g。下列选项正确的是（　　） A．开始运动后，A的加速度是B的2倍 B．开始运动后，B的加速度大小为 C．当A的位移为h时，A的速度大小为 D．当A的位移为h时，B的速度大小为 【答案】C 【详解】A．A挂在动滑轮下，B是绳子自由端的重物，绳子总长度不变：若A位移大小为h，则动滑轮两侧绳子各伸长/缩短h，因此B的位移大小为 由此可得速度、加速度的大小关系，A错误； B．设A、B质量均为，绳子拉力为，释放后B向下加速、A向上加速 对重物A，根据牛顿第二定律​ 对重物B，根据牛顿第二定律​ 联立解得，​，B错误； CD．当A的位移大小为h时，B位移大小为，系统机械能守恒 解得​，，C正确，D错误。 故选C。 3．（25-26高三下·湖南·阶段检测）某古镇为传承民俗文化，设计了一款“祈福升鼎”装置，简化模型如图所示，水平横梁上固定两个等高的定滑轮，两根不可伸长的轻绳跨过滑轮，一端悬挂质量的铜制祈福铃，一端连接一个质量的青铜鼎。初始时在外力作用下使系统静止，青铜鼎两侧的绳子与竖直虚线的夹角均为，两个滑轮到青铜鼎初始位置的水平距离均为。现撤去外力，将系统由静止释放，忽略空气阻力和滑轮摩擦，重力加速度取，则青铜鼎的最大速度大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当青铜鼎达到最大速度时，加速度为零，此时受力平衡，设两边绳子与竖直方向的夹角为，可知 解得 设此时青铜鼎的速度为v，则祈福铃的速度为 由机械能守恒定律 解得 故选A。 4．（多选）（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）如题图所示，可视为质点的物块A、B、C质量分别为3m、m、2m，A用不可伸长轻绳绕过两个光滑定滑轮与B相连，B用劲度系数为k的轻弹簧与正下方C相连。开始时用外力锁定A、C，使三个物块静止且弹簧为原长。现解除锁定，A、C由静止释放，运动中B始终不会碰到滑轮，忽略空气阻力，弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能（x是形变量），重力加速度大小为g，下列说法正确的是（     ） A．释放后三个物块组成的系统机械能守恒 B．释放后瞬间轻绳的拉力大小为 C．弹簧的最大弹性势能为 D．B的最大速度为 【答案】BD 【详解】A．三个物块组成的系统中，弹簧的弹力属于系统内力且弹簧具有弹性势能，因此是A、B、C和弹簧组成的系统机械能守恒，仅三个物块的系统因弹簧弹力做功，机械能不守恒，故A错误； B．解除锁定瞬间弹簧仍为原长，弹簧弹力为0。设此时轻绳拉力为，A的加速度大小为（向下加速），由于绳不可伸长，B的加速度大小也为（向上加速），C此时瞬时加速度为（向下，弹簧弹力为0，仅受重力）。 对A列牛顿第二定律 对B列牛顿第二定律 联立两式解得，，故B正确； C．设释放后某一时刻弹簧伸长，弹力为，轻绳拉力为，A的加速度大小为（向下加速），由于绳不可伸长，B的加速度大小也为（向上加速），A的运动方向竖直向下，B的运动方向竖直向上，二者速度始终大小相等，记为，对A由牛顿第二定律得 对B由牛顿第二定律得 联立得 此时，C的加速度大小为，C的运动方向竖直向下，速度记为，对C由牛顿第二定律得 可得 对等式两边微元求和可得 当A、B速度为，C速度为，此时弹簧形变量最大，弹性势能最大。设B向上位移为，则A向下位移为，C向下位移为，弹簧伸长量为，可得， A、B、C和弹簧组成的系统，从释放到三者速度为0的过程，根据系统机械能守恒得 代入，整理得 可简化为 解得形变量的一个有效解（舍去的初始状态） 弹簧最大弹性势能，故C错误； D．当B加速度为0时速度最大，此时A加速度也为0。设此时弹簧伸长量为，对A受力平衡得绳拉力 对B受力平衡得 解得 因为任意时刻，可得则从释放到B速度最大的过程，C位移大小是AB位移大小2倍。弹簧伸长了，则A向下位移的大小和B向上位移的大小为、C向下位移的大小为，此时AB速度大小为，C速度大小为，由系统机械能守恒得 其中 代入解得，故D正确。 故选BD。 题型六 机械能守恒在弹簧类问题的应用 【例题精讲练】 【例1】（26-27高三上·山东日照·阶段检测）如图，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C放在水平地面上。现用手控制住A，使细线刚刚拉直且无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为5m，B、C的质量均为1.5m，重力加速度大小为g，不计一切摩擦。开始时整个系统处于静止状态，释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。则下列说法正确的是（     ） A．斜面的倾角 B．A球获得的最大速度 C．B球获得的最大速度 D．释放A的瞬间，B球的加速度大小为2g 【答案】B 【详解】A．C刚离开地面时，弹簧的伸长量为，对C有 此时B有最大速度，即 则对B有 对A有 以上方程联立可解得，α=37°，故A错误； BC．初始系统静止，且线上无拉力，弹簧的压缩量为，对B有 则综合可得 则从释放至C刚离开地面过程中，弹性势能变化量为零。此过程中ABC组成的系统机械能守恒，即 以上方程联立可解得 所以A和B获得最大速度均为，故B正确，C错误； D．释放A的瞬间，对A有 对B有 解得B球的加速度大小为，故D错误。 故选B。 【例2】（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）（多选）如图所示，一根轻质弹簧一端固定于光滑竖直杆上，另一端与质量为m的滑块连接，穿在杆上，一根轻绳跨过定滑轮将滑块和重物连接起来，的质量为4m。将从图中A点由静止释放后沿竖直杆上下运动，当它经过A、B两点时弹簧对滑块的弹力大小相等。已知OA与水平面的夹角（，），OB长为3L，与AB垂直，不计滑轮的摩擦，重力加速度为g。则从A点到B点的过程中（     ） A．重物的速度一直增大 B．弹簧的弹性势能先增大后减小 C．运动至B点时的速度大小为 D．轻绳对做的功为 【答案】CD 【详解】A．滑块和重物由轻绳相连，初始时，。滑块到达点时，绳段水平，而滑块的速度沿竖直方向，其沿绳方向的速度分量为零，由绳长约束得。重物的初、末速度均为零，速度不可能在全过程中一直增大，故A错误； B．设弹簧形变量为，伸长时为正。由胡克定律，弹簧弹力大小为；题给，两点的弹力大小相等，因此 滑块从点上升到点，弹簧长度增大，因此 联立可得 弹簧自然长度对应的位置在，之间。弹性势能为，故弹性势能先减小后增大，故B错误； CD．在直角三角形中，由几何关系得 再由几何关系得 滑块上升，绳段由缩短为，所以重物下降。由前述绳长约束判断，在点。取滑块、重物、弹簧、轻绳和地球为系统，固定支点及竖直杆支持力均不做功，系统机械能守恒；题给两端弹力大小相等，故两端弹性势能相等。设滑块在点的速度大小为，由机械能守恒得 解得 对重物应用动能定理，设轻绳对它做功为，其初、末动能均为零，重力做功为，则 解得 轻绳不可伸长且质量不计，张力对滑块和重物做功的代数和为零，因此，故CD正确。 故选CD。 【变式训练1】（26-27高三上·安徽芜湖·阶段检测）如图所示，斜面体倾角为30°，斜面光滑且足够长，足够长的轻绳绕过光滑定滑轮，一端连接斜面上质量为m的小球，另一端连接轻弹簧，弹簧的右端连接在竖直墙面上，弹簧水平，滑轮与小球间的轻绳与斜面平行，用外力控制小球使其静止在斜面上，此时轻弹簧刚好伸直，由静止释放小球，小球沿斜面向下运动的最大距离为 L，在此过程中，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，弹簧弹性势能表达式为，其中为弹簧的形变量，则下列说法正确的是（　　） A．小球速度与加速度同向时小球受到的合力在增大 B．小球运动的最大加速度大小为 C．弹簧的劲度系数为 D．小球运动的最大速度大小为 【答案】B 【详解】A．小球释放后沿斜面向下运动，受到重力、斜面支持力和绳子拉力作用。绳子拉力大小等于弹簧弹力。设小球沿斜面向下运动的距离为，则弹簧弹力大小为。根据牛顿第二定律，小球沿斜面方向的合力为 小球速度与加速度同向时，小球做加速运动，此时，随着增大，合力减小，故A错误； B．小球在初始位置时，，此时合力最大，加速度最大，最大加速度大小为，故B正确； C．小球沿斜面向下运动的最大距离为，此时小球速度为0。根据系统机械能守恒定律，小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量，即 解得弹簧的劲度系数，故C错误； D．当小球合力为0时，速度最大，此时 解得 从释放到速度最大的过程中，根据系统机械能守恒定律有 代入数据解得小球运动的最大速度大小为，故D错误。 故选B。 【变式训练2】（2026·江苏南京·模拟预测）斜面上，轻质弹簧的一端固定在斜面底端的挡板上，另一端连接Q，初始时，施加外力将P静置于N点，轻绳恰好伸直但无拉力，现将P由静止释放，不计一切阻力，则P从N点下滑到最低点M的过程中（     ） A．P的机械能先减小后增大 B．P的机械能一直减小 C．P、Q组成的系统机械能守恒 D．经过M点前P与Q的速度大小关系vP＜vQ 【答案】B 【详解】AB．P从N点下滑到最低点M的过程中，绳的拉力对P一直做负功（拉力方向与P的速度方向夹角始终为钝角），因此P的机械能持续减小，故A错误，B正确； C． 该过程中弹簧的弹力也对Q做功，弹簧的弹性势能会发生变化，因此是P、Q和弹簧组成的系统机械能守恒，仅P、Q的系统机械能不守恒，故C错误； D．P的竖直向下的速度可分解为沿绳方向的分速度和垂直绳方向的分速度，其中沿绳方向的分速度与Q沿斜面的速度大小相等，即 ，其中是绳与竖直方向的夹角，因此，故D错误。 故选 B。 【变式训练3】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）如图，倾角为30°且足够长的光滑斜劈固定在水平面上，P、Q两个物体通过轻绳跨过光滑定滑轮连接，Q的另一端与固定在水平面的竖直轻弹簧连接，P和Q的质量分别为4m和m。初始时，控制P使轻绳伸直且无拉力，滑轮左侧轻绳与斜劈上表面平行，右侧轻绳竖直，弹簧始终在弹性限度范围内，弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g。现无初速释放P，则在物体P沿斜劈下滑过程中（     ） A．轻绳拉力大小一直增大 B．物体P的加速度大小一直增大 C．物体P沿斜劈下滑的最大距离为 D．物体P的最大动能为 【答案】AD 【详解】C．释放物体P前，对Q根据平衡条件有mg＝kx1 可得弹簧的压缩量 设物体P沿斜劈下滑的最大距离为xmax，根据系统机械能守恒可得 解得，故C错误； AB．设物体P向下运动过程中，弹簧的压缩量为Δx（当弹簧伸长时Δx<0），根据牛顿第二定律，对P有4mgsin30°－T＝4ma 对Q有T－mg＋kΔx＝ma 可得物体P的加速度a＝ 轻绳拉力 结合C项分析知，Δx的最大值 最小值Δxmin＝－(xmax－x1)＝－ 即随着Δx减小，物体P的加速度a从大于0逐渐减小到小于0，即其加速度大小先减小后增大，轻绳拉力T大小一直增大，故A正确，B错误； D．当P的加速度为零时，速度最大，动能最大，此时根据平衡条件，对P有4mgsin30°＝2mg＝T′ 对Q有T′＝kx′＋mg 解得弹簧伸长量x′＝ 由于x′＝x1 则此时弹簧的弹性势能与初始状态相等，设此时P的动能为Ek，则Q的动能为，对P、Q组成的系统，根据动能定理有4mg(x′＋x1)·sin30°－mg(x′＋x1)＝Ek＋－0 解得Ek＝，故D正确。 故选AD。 【题型强化练】 1．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）如图，光滑圆形支架固定于竖直平面内，圆心为，半径为，为圆的竖直直径，圆上穿一质量为的小球，小球可沿圆自由滑动。原长为、劲度系数为的轻弹簧一端固定在小球上，另一端固定在圆上点，初始时小球锁定在圆上点。已知，重力加速度，弹簧的弹性势能为（为弹簧的劲度系数，为弹簧的形变量）。某一时刻解除锁定，小球沿圆轨道运动过程中弹簧始终在弹性限度内。以点所在的水平面为重力势能的参考平面，下列说法正确的是（     ） A．运动过程中小球机械能守恒 B．小球的动能和弹簧的弹性势能之和一直增大 C．小球的最大动能为 D．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和的最小值为 【答案】D 【详解】A．小球运动过程中，弹簧的弹力对小球做功，而对于小球这个系统（也包含地球）来说，机械能守恒的条件为只有重力做功，因此小球的机械能不守恒，故A错误。 B．对小球、弹簧组成的系统，只有重力和弹簧弹力做功，系统的总机械能（小球重力势能+小球动能+弹簧弹性势能）守恒。因此小球动能和弹簧弹性势能之和与小球重力势能的变化趋势相反：小球向下运动时重力势能减小，二者之和增大；小球向上运动时重力势能增大，二者之和减小，因此小球的动能和弹簧的弹性势能之和并非一直增大，故B错误。 CD．因AB=2R=1m，∠CAB=60°，可得 弹簧初始形变量 初始弹簧的弹性势能 小球的重力势能 初始小球动能为零，因此小球和弹簧组成的系统机械能 以A点所在的水平面为重力势能的参考平面，则弹簧与AB夹角为时小球和弹簧组成的系统机械能   动能最大时，“”最小，根据二次函数知识可知，当时“”最小，最小值为，即小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和的最小值为，小球的最大动能为，故C错误，D正确。 故选D。 2．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）如图所示，粗细均匀的光滑长杆水平固定放置，质量为m的小球A和轻弹簧均套在杆上，弹簧两端分别与小球A和固定挡板连接。长杆正下方的固定水平板上有光滑小孔，穿过小孔且与长杆在同一竖直面的细线分别与A、B球连接，B球的质量也为m，依靠外力使A球静止，此时轻弹簧处于原长，板上小孔到小球A间的细线与水平方向的夹角为30°、长为L。现撤去外力，使小球A由静止开始运动，当小球B到最低点时小球A的速度为，A、B两球均可看成质点，重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内，则下列说法正确的是（     ） A．撤去外力的一瞬间，小球A的加速度大小等于 B．小球B第一次向下运动的过程中，小球A、B的动能均先增大后减小 C．小球B到最低点时，速度和加速度均为零 D．小球B到最低点时，弹簧的弹性势能为 【答案】B 【详解】A．撤去外力的一瞬间，设细线上的拉力为T，对A研究， 对B研究，， 解得，故A错误； B．小球B向下运动过程中先加速后减速，动能先增大后减小，当B运动到最低点时，细线竖直，此时A的合力向右，有向右的加速度，说明正在减速，故小球A也是先加速后减速，动能先增大后减小，故B正确； C．小球B到最低点时，速度为零，但A的速度不为零，则B相对A有向心加速度，加速度不为零，故C错误； D．当物块B到最低点时，根据机械能守恒，弹簧的弹性势能为，故D错误。 故选B。 3．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）竖直轻弹簧固定在水平地面上，弹簧的劲度系数为k，原长为l，质量为m的铁球由弹簧的正上方h高处自由下落，与弹簧接触后压缩弹簧，当铁球下落到最低点时弹簧压缩量为x，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．铁球下落到最低点时所受合外力为零 B．铁球下落过程中铁球的机械能守恒 C．铁球的最大动能为 D．弹簧的最大弹性势能为 【答案】C 【详解】A．铁球刚接触弹簧时重力大于弹力，向下做加速运动，当重力等于弹力时速度达到最大，此时铁球所受合外力为零，设此时弹簧的压缩量为，根据平衡条件有 解得 铁球越过该位置继续向下运动直到最低点，此过程弹簧压缩量逐渐增大，弹力逐渐增大并大于重力，合力方向向上，铁球做减速运动，可知到达最低点时弹力大于重力，合外力不为零，故A错误； B．铁球下落过程中未接触弹簧前只受重力作用，机械能守恒，铁球接触弹簧后继续下落的过程中，弹簧的弹力对铁球做负功，根据功能关系可知铁球的机械能不守恒，故B错误； C．由对A选项的分析可知当弹簧的压缩量为时铁球的速度最大，动能最大，铁球由静止下落到速度最大位置的过程，对于铁球和弹簧组成的系统，根据机械能守恒定律有 将代入解得 可知铁球的最大动能为，故C正确； D．铁球从静止开始下落到最低点的过程，对于铁球和弹簧组成的系统，根据机械能守恒定律可知，铁球减小的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能，设弹簧的最大弹性势能为，则有 可知弹簧的最大弹性势能为，故D错误。 故选C。 4．（25-26高三上·福建厦门·期中）将一支圆珠笔的按压式小帽朝下按在桌面上，放手后笔会向上弹起一定高度。某次实验中测得圆珠笔弹起的最大高度为h，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．上升过程中，圆珠笔（含弹簧）的机械能守恒 B．弹簧恢复原长的过程，圆珠笔所受合力的冲量为零 C．圆珠笔弹到最大高度h时，圆珠笔受到合外力做功最大 D．圆珠笔离开桌面瞬间的初速度大小为 【答案】A 【详解】A．上升过程中，对于圆珠笔（含弹簧）系统，桌面的支持力作用点无位移不做功，只有重力和系统内的弹簧弹力做功，所以圆珠笔（含弹簧）的机械能守恒，故A正确； B．弹簧恢复原长的过程，圆珠笔所受合力不为0，故圆珠笔所受合力的冲量不为零，故B错误； C．圆珠笔从静止开始弹起，到达最大高度时速度又变为0，整个过程动能变化为0，因此从开始到最高点合外力总做功为0，故C错误； D．圆珠笔弹起的最大高度为，根据公式得 解得 所以圆珠笔离开桌面瞬间的初速度大小为，故D错误。 故选A。 5．（2026·江苏泰州·三模）如图所示，倾角的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板，质量均为的A、B两物体用轻弹簧拴接。对物体B施加一沿斜面向下的压力F，使B静止于P点。撤掉力F，B沿斜面向上运动，当B运动至最高点时，A刚要离开挡板。已知弹簧的劲度系数，重力加速度，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．物体B运动过程中，A、B和弹簧组成的系统机械能及动量均守恒 B．物体B沿斜面向上运动的过程中，弹簧恢复原长时物体B的速度最大 C．物体B静止于P点时，对物体B施加的压力F的大小为20N D．适当减小F，物体B从释放运动到最高点的时间将减小 【答案】C 【详解】A．物体B运动过程中，对A、B、弹簧组成的系统只有重力和弹力做功，系统的机械能守恒，可系统在沿斜面方向受合外力不等于零，因此系统的动量不守恒，故A错误； B．从撤掉F开始，B受向上弹力大于B的重力沿斜面向下的分力，B做加速运动，速度逐渐增大，随弹力逐渐减小，加速度逐渐减小，速度仍逐渐增大，当弹力大小等于B的重力沿斜面向下的分力时，B的速度最大，故B错误； C．当B运动至最高点时，A刚要离开挡板，对A则有 B在最高点时受弹力方向沿斜面向下，此时加速度最大，由牛顿第二定律则有 解得 由简谐运动的对称性，当物体B运动到最低点时，加速度最大，大小仍为a，方向沿斜面向上，在撤去外力F瞬间，合外力等于撤去的外力的大小，由牛顿第二定律，可得施加的压力F的大小为，故C正确； D．物体B沿斜面做简谐运动，从释放运动到最高点的时间为，周期与振幅无关，可知适当减小F，物体B从释放运动到最高点的时间将不变，故D错误。 故选C。 6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图所示，一个劲度系数为100N/m的轻弹簧下端连接在倾角为53°的光滑斜面底端，弹簧上端连接物体P，物体P通过平行于斜面的轻绳绕过定滑轮O与套在光滑竖直杆上的小圆环Q相连，竖直杆上的点A与滑轮等高，点A与小滑轮间的距离为0.6m。一开始通过外力使小圆环Q静止在B点，A、B间距离为0.8m，此时轻绳的拉力大小为60N。现将小圆环Q由静止释放，弹簧始终在弹性限度内。已知物体P的质量为5kg，小圆环Q的质量为1kg，重力加速度大小取，，。小圆环Q从B点上升至A点的过程中，下列说法正确的是（     ） A．弹簧的弹性势能变小 B．小圆环Q上升至A点时的速度大小为 C．细线拉力对Q做的功为16J D．物体P的机械能减少了8J 【答案】C 【详解】A．设初始状态弹簧伸长量为，对P由平衡条件得 解得 由几何关系可知 Q上升至A点时P下降的距离为 则此时弹簧的压缩量为 故物块Q上升至A点过程中弹簧的弹性势能先减小后增大，故A错误； B．Q上升至A点时Q沿绳方向的分速度为0，则此时P的速度为0。对物块P、Q及弹簧，Q从B到A的过程，根据系统的能量守恒有 解得，故B错误； C．对Q根据动能定理有 解得细线拉力对Q做的功为，故C正确； D．物体P的机械能减少了，故D错误。 故选C。 7．（多选）（26-27高三·全国·一轮复习）如图，一顶角为直角的“∧”形光滑细杆竖直放置。质量均为m的两金属环套在细杆上，高度相同，用一劲度系数为k的轻质弹簧相连，弹簧处于原长，重力加速度为g。两金属环同时由静止释放，运动过程中弹簧的伸长在弹性限度内。已知弹簧的长度为l时，弹性势能为。对其中一个金属环，下列说法正确的是（     ） A．金属环的最大加速度为 B．金属环的最大速度为 C．金属环与细杆之间的最大压力为 D．金属环达到最大速度时重力的功率为 【答案】BC 【详解】A．设弹簧伸长量为 由图中几何关系，弹簧伸长时，每个金属环下降的高度为，两环组成的系统由初始状态运动到任意状态时，机械能守恒，故有 所以 沿细杆向下取正方向，对任一金属环由牛顿第二定律得 因此加速度的取值范围为 最大加速度大小为，故A错误； B．金属环在平衡位置的加速度为零，且由加速转为减速，速度最大。设此时弹簧伸长量为，沿细杆方向有 解得 将其代入前述机械能关系，得 所以，故B正确； C．金属环到达最低点时速度为零。设此时弹簧伸长量为，由机械能守恒得 取非零解得 最低点处加速度沿细杆方向，垂直于细杆方向的加速度为零，故杆对环的压力满足 代入上式得，故C正确； D．对一个金属环，重力的瞬时功率由功率公式得 代入前述最大速度得，故D错误。 故选BC。 题型七 机械能守恒中的图像问题 【例题精讲练】 【例1】（26-27高三上·福建莆田·开学考试）如图所示，固定在竖直平面内的光滑四分之一圆弧轨道，其轨道半径为。一小球从圆弧轨道的最高点处由静止释放后沿轨道运动，不计空气阻力，下列关于该小球运动的加速度平方与其竖直位移的关系图像，可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】为从点开始的竖直位移，小球位置对应的半径与水平方向夹角为，可得水平位移关系 由动能定理有 法向加速度 联立解得 重力的切向分量，由牛顿第二定律有 可得切向加速度 总加速度的平方满足 由几何关系有 联立可得 因此曲线是开口向上的二次函数，对称轴 结合选项内容分析，故选A。 【例2】（2025高三·全国·专题练习）（多选）如图甲，在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道ABC，半径为0.4m，小球以一定的初速度从最低点A冲上轨道，图乙是小球在半圆形轨道上从A运动到C的过程中，其速度二次方与其对应高度的关系图像。已知小球在最高点C受到轨道的作用力为2.5N，空气阻力不计，B点为AC轨道中点，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（     ） A．最高点时小球所受的合力竖直向下 B．图乙中 C．小球在B点受到轨道作用力为10N D．小球质量为0.2kg 【答案】ABD 【详解】A．在最高点，小球所受重力和弹力的合力提供向心力，方向竖直向下，故A正确； B．小球从A运动到C的过程中，由机械能守恒定律得 解得，故B正确； CD．由图乙可得在最高点，小球的速度，由牛顿第二定律得 解得小球的质量。 小球从A运动到B的过程中，由机械能守恒定律得 解得，小球在B点受到轨道作用力为，故C错误，D正确。 故选ABD。 【变式训练1】（2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，光滑斜面固定在水平面上，自然伸长的轻质弹簧一端固定在斜面底端的挡板上。一小滑块从离弹簧上端处的位置由静止释放，以释放点为原点，沿斜面向下为正方向建立轴，弹簧始终处于弹性限度内。在滑块沿斜面下滑至最低点过程中，其动能和机械能随位置变化的图像可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】BC．在滑块与弹簧接触前，只有重力对滑块做正功，滑块的机械能保持不变，所受合力沿斜面向下，大小为 滑块的动能逐渐增大，接触弹簧后，弹簧弹力对滑块做负功，滑块的机械能减小，所受合力 则合力先沿斜面向下，大小逐渐变小，滑块的动能继续增大，当合力为零时，滑块的动能最大，之后合力沿斜面向上，大小逐渐变大，滑块的动能减小直至为零，由此可知，故BC错误； A．根据动能定理得 可知图像的斜率 合力先不变（为正），再减小（为正）后增大（为负），则该图像的切线斜率先不变（为正），再减小（为正）后增大（为负），故A正确； D．根据功能关系有 可知图像的斜率 滑块与弹簧接触后，弹力不断增加，则该图像的切线斜率绝对值不断增大，故D错误。 故选A。 【变式训练2】（25-26高三上·湖北·期中）如图甲所示，一个质量为2kg的物体悬挂在细绳下端，由静止开始沿竖直方向做直线运动，运动过程中物体的机械能E与物体通过路程s的关系图像如图乙所示，其中0~0.8m过程的图像为曲线，0.8m~1.0m过程机械能E不变，1.0m~2.0m过程机械能E随路程s均匀减少（忽略空气阻力），重力加速度g取10m/s2。则下列说法正确的是（　　） A．0~0.8m过程中物体所受拉力是变力，物体先上升后下降 B．0.8m处物体的速度大小应为2m/s C．0.8m~1.0m过程中物体可能先上升后下降 D．1.0m~2.0m过程中物体可能做匀加速直线运动，也可能做匀减速直线运动 【答案】B 【详解】A．运动中只受重力和拉力，由于除重力之外的其他力做功，等于物体的机械能的变化，0~0.8m内物体的机械能一直在增加，说明拉力一直做正功，物体一直在上升。故A错误; B．物体到达0.8m处，由图可知物体的机械能增加，重力势能增加了，所以动能 又 可得 ，B正确； C．0.8m~1.0m过程中，机械能不变，拉力不做功。物体做竖直上抛运动，上升的高度，正好到达1.0m处时，所以0.8m~1.0m过程中，物体只有上升，没有下降，C错误； D．1.0m~2.0m过程中，物体机械能均匀减小，拉力的大小，此过程中，物体向下匀加速直线运动。D错误。 故选B。 【变式训练3】（2026·湖南长沙·模拟预测）（多选）如图甲，某轻弹簧两端系着质量均为的小球A、B，小球A用细线悬挂于天花板上，系统处于静止状态。将细线烧断，并以此为计时起点，A、B两小球运动的图像如图乙所示，表示0到时间内A的图线与横轴所围面积大小，当地重力加速度为。下列说法正确的是（     ） A．时刻，A、B两小球的速度差一直增大 B．0时刻和时刻弹簧的弹性势能相等，时刻弹簧弹性势能最小 C．时刻B物体的速度大小为 D．从0到时刻，弹簧对B球的冲量不为0 【答案】BC 【详解】A．由图线与坐标轴围成的面积表示速度的变化量及图乙可知，从0到时刻两者速度差先增大后减小，故A错误； B．0时刻弹簧弹力等于B的重力，处于伸长状态，时刻A的加速度为0，说明弹簧弹力等于A的重力、处于压缩状态，两个时刻弹簧形变量相同，弹性势能相等；时刻，两小球加速度大小相等，以小球 A、B整体为对象，由牛顿第二定律 得此时小球 A、B的加速度大小为 此时小球A、B均处于完全失重状态，可知此时弹簧弹力，即弹簧处于原长，弹性势能最小，故B正确； C．从0到时刻，以A、B两球整体为对象，由动量定理得 其中时刻小球A的速度大小为 联立可得时刻，小球B的速度大小为，故C正确。 D．从图像可知从0到时刻两图线与时间轴所夹面积相等，而小球A、B的初速度为0，即时刻两小球速度大小相等，整体由动量定理得 可得两球速度大小 设弹簧对球的冲量为，对球由动量定理有 则，故D错误。 故选BC。 【题型强化练】 1．（25-26高三上·宁夏石嘴山·阶段检测）从地面竖直向上抛出一物体，其机械能等于动能与重力势能之和。取地面为重力势能零点，在上升过程中，该物体的和随它离地面的高度的变化关系如图所示。重力加速度取。由图中数据可得（　　） A．物体的质量为 B．时，物体的速率为 C．时，物体的动能 D．从地面至离地面高处的过程中，物体的动能减少 【答案】B 【详解】A．由题图可知，物体刚被抛出时的机械能为，即物体竖直上抛的初动能为 当机械能与重力势能相等，说明动能为零，物体上升到最高点时离地面高度为，这时重力势能 可得质量为，故A错误； B．根据，解得时，物体的速率为，故B正确； C．从题图中可以得出在物体上抛过程中，机械能有损失，物体上升到最高点的整个过程中，共损失了的机械能，时，可知此时的总机械能为，此时重力势能为，可知物体的动能，故C错误； D．物体竖直上抛的初动能为，从地面至离地面高处的过程中，物体的动能减小了，故D错误。 故选B。 【真题回顾】 1．（2026·北京·高考真题）将蹦极运动简化为直线运动。如图所示，轻质弹性绳的一端固定在点，另一端和人（视为质点）相连。人从点静止下落，经点时绳恰好伸直，到达最低点后向上运动。假设整个过程弹性绳的弹力与伸长量成正比，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．人运动到中点处速度最大 B．人在点的加速度大于在点的加速度 C．从点到点的过程中，人一直处于失重状态 D．从点到点的过程中，重力势能与弹性势能之和先减小后增大 【答案】D 【详解】A．人速度最大的位置在合力为零处，即重力与弹力平衡的位置（设为点），此时（为到的距离）。 若人从点静止释放，根据简谐运动对称性，最低点应在点下方处； 现人从点下落，到达点已有速度，故最低点在点下方大于处，即。 中点处的伸长量，此时弹力，合力向上，人处于减速阶段，故速度最大位置在中点上方，故A错误； B．在点，绳刚伸直，弹力为零，人只受重力，加速度 在点，由A项分析可知伸长量，弹力 根据牛顿第二定律 可得 即，所以点加速度大于点加速度，故B错误； C．从点到点，人先做加速度减小的加速运动，加速度向下，人处于失重状态，过平衡位置后做加速度增大的减速运动，加速度向上，人处于超重状态，故人先处于失重状态后处于超重状态，故C错误； D．对于人、地球和弹性绳组成的系统，只有重力和弹力做功，机械能守恒，从点到点的过程中，人的动能先增大后减小，所以重力势能与弹性势能之和先减小后增大，故D正确。 故选D。 2．（2026·全国卷·高考真题）一皮球由静止自由下落高度后被地面反弹，反弹后竖直向上运动。由于与地面碰撞，皮球动能损失了64%。忽略空气阻力，皮球反弹后可上升的最大高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设落地前瞬间皮球的动能为，下落过程根据机械能守恒可得 由于与地面碰撞，皮球动能损失了64%，则皮球反弹瞬间的动能为 上升过程根据机械能守恒可得 解得皮球反弹后可上升的最大高度为 故选D。 3．（2026·浙江·高考真题）如图所示，钢架雪车运动员在具有阻力的倾斜赛道上滑行，则（   ） A．运动员在转弯时加速度为0 B．运动员和钢架雪车整体机械能守恒 C．钢架雪车所受重力和赛道对钢架雪车的支持力是一对平衡力 D．钢架雪车对赛道的压力与赛道对钢架雪车的支持力是一对作用力和反作用力 【答案】D 【详解】A．运动员在转弯时一定有向心加速度，加速度不可能为零，故A错误； B．倾斜赛道有阻力，阻力对运动员和钢架雪车做负功，运动员和钢架雪车整体机械能不守恒，故B错误； C．钢架雪车所受重力竖直向下，赛道对钢架雪车的支持力垂直赛道向上，不在同一条直线上，不是一对平衡力，故C错误； D．钢架雪车对赛道的压力与赛道对钢架雪车的支持力是一对作用力和反作用力，故D正确。 故选D。 4．（2025·全国卷·高考真题）如图，撑杆跳高运动中，运动员经过助跑、撑杆起跳，最终越过横杆。若运动员起跳前助跑速度为10m/s，则理论上运动员助跑获得的动能可使其重心提升的最大高度为（重力加速度取10m/s2）（　　） A．4m B．5m C．6m D．7m 【答案】B 【详解】在理论上：当运动员在最高点速度为零时，重心提升高度最大，以地面为零势能面，根据机械能守恒定律有 可得其理论的最大高度 故选B。 5．（多选）（2026·湖北·高考真题）某山沟竖直截面图如图所示，山沟的一侧竖直，另一侧是以 点为圆心、 为半径的圆弧，圆弧最高点与 点等高。救援队从 点以大小为的初速度向该山沟投掷救援物资，其中 是重力加速度大小。物资可视为质点，不计空气阻力。为避免损坏救援物资，要求物资落到圆弧上的速率最小，则物资（     ） A．在空中运动的时间为 B．与水平方向成 角斜上抛 C．抛出点与落点的高度差为 D．落到圆弧上的最小速率为 【答案】AD 【详解】ACD．设落点与O点的竖直高度为h，水平位移为，初速度与水平方向的夹角为，将初速度沿水平和竖直方向分解，可得， 同时有 联立可得 设落到圆弧上的速度为，根据机械能守恒 解得 故可知越小，v越小，故当时，h取最小值，落到圆弧上的速度最小； 解得，，，故AD正确，C错误； B．根据前面分析，当，时， 代入解得，，故B错误。 故选AD。 6．（多选）（2026·湖北·高考真题）如图所示，半径为、内壁光滑的圆环轨道固定在竖直平面内。初始时刻，质量为 的小球甲从圆环内表面最高处以大小为（为重力加速度大小）的水平初速度向右运动，同时质量为的小球乙从圆环内表面最低处以某一水平初速度向左运动。当甲第一次运动到圆环最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点。不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．乙的初速度大小为 B．甲、乙两小球运动的周期相等 C．任意时刻两小球的连线均过圆环圆心 D．任意时刻两小球对圆环作用力的合力均不为零 【答案】BD 【详解】A．根据题意当甲第一次运动到最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点，根据对称性可知，乙的初速度大小等于甲到达最低点时的速度大小，故乙在最高点时的速度大小等于，设乙球在最低处时速度为，由机械能守恒得 解得，故A错误； B．根据题意当甲第一次运动到最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点，根据对称性可知，球从最高点到最低点和从最低点到最高点的时间相等，故甲乙两球运动的周期相等，故B正确； CD．分析可知，甲从最高点运动到最低点，速度大小从增大到，乙从最低点到最高点，速度大小从减小到，从初始时刻取一很短时间，甲经过的弧长短，乙经过的弧长长，转过的角度不同，故不可能任意时刻两小球的连线均过圆心；故C错误； D．根据前面分析可知除两球分别在最高点和最低点时两球连线经过圆心，其它位置均不满足两小球的连线过圆心，乙球在最高点和最低点时，分别有， 解得， 甲球在最低点和最高点时，分别有， 解得， 根据牛顿第三定律可知乙球在最高点时对圆环的作用力大小为，此时甲球在最低点对圆环的作用力大小为；当乙球在最低点时对圆环的作用力大小为，此时甲球在最高点对圆环的作用力大小为，故这两个位置两球对圆环的作用力的合力不为零，结合前面分析其它位置均不满足两小球的连线过圆心，即其它位置两球对圆环的作用力不共线，故合力不可能为零，故对任意时刻两小球对圆环作用力的合力均不为零，故D正确。 故选BD。 7．（多选）（2025·陕晋青宁卷·高考真题）如图，与水平面成夹角且固定于O、M两点的硬直杆上套着一质量为的滑块，弹性轻绳一端固定于O点，另一端跨过固定在Q处的光滑定滑轮与位于直杆上P点的滑块拴接，弹性轻绳原长为OQ，PQ为且垂直于OM。现将滑块无初速度释放，假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。滑块与杆之间的动摩擦因数为0.16，弹性轻绳上弹力F的大小与其伸长量x满足。，g取，。则滑块（　　） A．与杆之间的滑动摩擦力大小始终为 B．下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的冲量相同 C．从释放到静止的位移大小为 D．从释放到静止克服滑动摩擦力做功为 【答案】AC 【详解】A．根据题意，设滑块下滑后弹性轻绳与PQ间夹角为时，对滑块进行受力分析，如图所示 在垂直杆方向有 由胡克定律结合几何关系有 联立解得 可知，滑块与杆之间的弹力不变，则滑块与杆之间的滑动摩擦力大小始终为 故A正确； B．下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的方向不同，冲量是矢量，则下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的冲量不相同，故B错误； C．设滑块从释放到静止运动的位移为，滑块开始向下做加速度减小的加速运动，当沿着杆方向合力为0时，滑块速度最大，之后滑块继续向下做加速度增大的减速运动，当速度为0时，有 由几何关系可得 此时 则滑块会继续向上滑动，做加速度减小的加速运动。当滑块速度再次为0时，有 解得 此时 此时 则滑块静止，故从释放到静止，滑块的位移为，故C正确； D．从释放到静止，设克服滑动摩擦力做功为，由能量守恒定律有     解得 故D错误。 故选AC。 8．（2025·安徽·高考真题）如图，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距。一根长为的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量的小球，小球与水平地面接触但无压力。时，小球以水平向右的初速度开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取。 (1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小； (2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离； (3)若在时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。 【答案】(1)， (2)4m (3) 【详解】（1）小球从最下端以速度v0抛出到运动到M正下方距离为L的位置时，根据机械能守恒定律 在该位置时根据牛顿第二定律 解得， （2）小球做平抛运动时， 解得x=4m （3）若小球经过N点正上方绳子恰不松弛，则满足 从最低点到该位置由动能定理 解得 1 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $