第19讲 机械能守恒定律及其应用 讲义-2027届高三物理一轮复习

第19讲 机械能守恒定律及其应用 【基础回顾】 一、重力做功与重力势能 1．重力做功的特点 (1)重力做功与路径无关，只与始、末位置的高度差有关。 (2)重力做功不引起物体机械能的变化。 2．重力势能 (1)表达式：。 (2)重力势能的特点：重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化量与参考平面的选取无关。 3．重力做功与重力势能变化的关系 (1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大。 (2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即。 (3)重力势能的变化量是绝对的，与参考平面的选取无关。 4．弹性势能 (1)概念：物体由于发生弹性形变而具有的能。 (2)大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大。 二、机械能守恒定律 1．机械能：动能和势能统称为机械能，其中势能包括重力势能和弹性势能。 2．机械能守恒定律 (1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。 (2)守恒条件：只有重力或弹簧的弹力做功。 知识点一 机械能守恒的判断 1．对机械能守恒条件的理解 (1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。 (2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。 (3)除重力外，只有系统内的弹力做功，那么系统的机械能守恒。注意：并非系统内某个物体的机械能守恒，而是系统的机械能守恒。 2．判断方法 (1)用定义判断：若物体动能、势能均不变，则机械能不变。若一个物体动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化，或动能和重力势能同时增加(减少)，其机械能一定变化。 (2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒。 (3)用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒。 (4)对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失。 知识点二 机械能守恒问题的初步应用 1．机械能守恒的三种表达式 守恒观点 要选零势能参考平面 转化观点 不用选零势能参考平面 转移观点 说明：单个物体应用机械能守恒定律时选用守恒观点或转化观点进行列式。 2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤 知识点三 系统的机械能守恒问题 1．解决多物体系统机械能守恒的注意点 (1)对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒。 (2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (3)列机械能守恒方程时，一般选用或的形式。 2．几种实际情景的分析 (1)速率相等情景 注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。 (2)角速度相等情景 ①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 ②由知，与成正比。 (3)某一方向分速度相等情景(关联速度情景) 两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。 题型一 机械能守恒条件的判断 1．三种判断方法 (1)用做功判断：分析物体(或系统)的受力情况，明确各力是否做功。若只有重力(或弹簧的弹力)做功，其他力不做功或做功的代数和为零，则机械能守恒。此法是判断机械能守恒最基本、最常用的方法。 (2)用能量转化判断：若系统中只有动能和势能的相互转化，而无机械能与其他形式能(如内能、电能)的转化，则机械能守恒；若出现摩擦生热、克服空气阻力做功等情况，机械能不守恒。 (3)用定义判断：分别比较初、末状态的动能与势能之和。若动能不变而势能变化(如匀速上升、匀速下降)，或势能不变而动能变化，或动能与势能同增同减，则机械能一定不守恒。 2．守恒条件的理解要点 (1)「只有重力做功」不等于「只受重力作用」。物体可以受其他力，只要其他力不做功(如沿法向的支持力、拉力)或做功的代数和为零，机械能仍守恒。 (2)对单个物体(不含弹簧)：只有重力做功时机械能守恒。 (3)对物体和弹簧组成的系统：只有重力和弹簧弹力做功时系统机械能守恒，但单个物体的机械能不守恒，弹力做功的过程是动能与弹性势能相互转化的过程。 (4)对多个物体组成的系统：除分析外力做功外，还要分析内力做功；若系统内有滑动摩擦力做功，部分机械能转化为内能，系统机械能不守恒。 3．常见模型的判断结论 (1)不计空气阻力的各种抛体运动(自由落体、竖直上抛、平抛、斜抛)：只有重力做功，机械能守恒。 (2)物体沿光滑斜面、光滑曲面、光滑圆轨道滑行：支持力总与速度方向垂直而不做功，只有重力做功，机械能守恒。 (3)匀速上升、匀速下降的物体：动能不变而重力势能变化，机械能不守恒。 (4)有摩擦力、空气阻力做功或有牵引力(发动机)做功的过程：机械能不守恒。 【例题精讲】 【例1】（2026·湖南长沙·模拟预测）下列说法正确的是（     ） A．如果物体做曲线运动，则一定是变速运动 B．做匀速圆周运动的物体，相等时间内运动的位移一定相同 C．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒 D．牛顿运动定律既适用于宏观、低速运动，也适用于微观、高速运动 【例2】（26-27高三上·北京海淀·开学考试）（多选）如图所示，半径为R的摩天轮以大小为ω的角速度在竖直平面内逆时针匀速转动，运行过程中每个悬挂轿厢都可保持姿态不变。轿厢A中的观览乘客质量为m，乘客在观览过程中始终保持站立姿态并相对轿厢静止，轿厢此时所在位置对应半径与竖直向下方向的夹角为θ。下列说法正确的是（     ） A．轿厢通过最高点时，乘客处于平衡状态，对轿厢的压力等于重力 B．轿厢从最高点到最低点的过程中，乘客所受重力的瞬时功率先增加后减小 C．轿厢转动一圈的过程中，乘客的机械能守恒 D．θ从0变到的过程中，乘客所受摩擦力做负功 【变式训练1】（26-27高三上·重庆渝中·阶段检测）如图所示，两小球A、B通过一根绕过光滑轻质定滑轮O的轻绳连接，其中A套在光滑固定水平直杆上，初始时使A静止在直杆的P点，将A静止释放，小球A从P点运动到Q点的过程中（水平杆不影响B球的运动），下列说法正确的是（     ） A．小球A、B的速度关系满足 B．小球B的机械能一直减小 C．小球B一定处于失重状态 D．小球B减小的重力势能大于A、B增加的动能之和 【变式训练2】（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，曲面体P静止于光滑水平面上，物块Q自P的上端由静止释放。Q与P的接触面光滑，Q在P上运动的过程中，下列说法正确的是（     ） A．Q对P做功为零 B．Q对P做正功 C．物块Q的机械能守恒 D．物块Q的机械能增加 【变式训练3】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）如图所示，A、B两球分别用长度均为L的轻杆通过光滑铰链与C球连接，通过外力作用使两杆并拢，系统竖直放置在光滑水平地面上。某时刻将系统由静止释放，A、B两球开始向左右两边滑动。已知A、B两球的质量均为m，C球的质量为2m，三球均在同一竖直面内运动，忽略一切阻力，重力加速度为g。从静止释放到球C落地前的过程，下列说法正确的是（　　） A．A、B、C三球组成的系统机械能守恒 B．球C的机械能不变 C．球A速度达到最大时，球C的加速度大小为g D．球C落地前瞬间的速度大小为 题型二 机械能守恒在单物体中的应用 1．解题的一般步骤 (1)选取研究对象(单个物体)，明确研究的过程； (2)分析受力与各力做功情况，判断机械能是否守恒； (3)选取零势能参考平面，明确初、末状态的动能和重力势能； (4)依据或列方程求解，必要时对结果进行讨论。 2．两种表达式的选用 (1)守恒观点：需要选取零势能参考平面，列式时须写出各状态的动能与势能。 (2)转化观点：只涉及动能与势能的变化量，不必选取参考平面，列式更简便，应优先选用。 3．常见模型 (1)抛体模型：只受重力，任意时刻动能与势能之和不变，可由高度差求任意位置的速率。 (2)光滑斜面(曲面)模型：支持力不做功，下滑或上滑过程机械能守恒，重力势能与动能相互转化。 (3)竖直圆周运动模型：全过程用机械能守恒求速度，再在最高点、最低点结合向心力方程求力。 4．易错点 (1)机械能是否守恒与参考平面的选取无关，但用列式时必须先选定参考平面；物体位于参考平面下方时重力势能取负值。 (2)斜抛、平抛物体在最高点速度不为零，守恒方程中的动能不可漏掉。 (3)机械能守恒只要求始、末状态的机械能相等，与中间过程无关，可方便地研究往复运动或全程问题。 【例题精讲】 【例1】（2027·浙江·模拟预测）2018 年 12 月 8 日，浙江全省各地普降大雪，小李早晨起床发现屋檐下有了长短不一的“冰沟子”。已知屋檐离地高度约 15 m，不计空气阻力 ，则下列说法正确的是（     ） A．长的“冰沟子”落地时间比短的“冰沟子”要长 B．“冰沟子”在下落过程中机械能不守恒 C．“冰沟子”落地的速度约为 D．“冰沟子”落地时间约 1.7 s 【例2】（2026·陕西·模拟预测）（多选）如图所示，将一根质量为、长为的均匀柔软链条置于光滑水平桌面上，链条右端恰好处于桌子边缘，桌面离地面足够高，图示圆弧可使离开桌面的链条都竖直向下运动且无能量损失。某时刻，稍稍向右拉动链条，链条从静止开始沿桌边下滑。当链条下落的长度为时，桌面剩余链条的动能最大为。已知重力加速度为，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3。足球轨迹最高点2的高度为h，重力加速度为g，则足球（     ） A．从1到3机械能守恒 B．从1到2动能的减少量小于 C．从1到2的时间等于从2到3的时间 D．在最高点2时合力的功率不为0 【变式训练2】（26-27高三上·江苏南通·开学考试）运动员把质量m=0.4 kg的足球踢出后，估测上升的最大高度h=5 m，在最高点P的速度v=20 m/s。不计空气阻力，g取10 m/s2。设足球在P点的重力势能为0，估算它在空中飞行时的机械能（     ） A．60 J B．80 J C．100 J D．120 J 【变式训练3】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）如图所示，劲度系数为k的竖直轻弹簧固定在水平地面上。质量为m的小球从弹簧正上方高h处自由下落，当弹簧的压缩量为x时，小球到达最低点。不计空气阻力，重力加速度为g。此过程中（     ） A．小球的机械能守恒 B．当弹簧的压缩量为时，小球的动能最大 C．小球最大动能为 D．弹簧最大弹性势能为 题型三 机械能守恒在曲线运动中的应用 1．常见曲线模型 (1)抛体运动(平抛、斜抛)：只受重力，机械能守恒，同一高度处速率相等。 (2)竖直平面内的圆周运动：绳(轨道内侧)约束模型与杆(管道)约束模型，全过程机械能守恒。 (3)组合轨道模型：斜面、曲面、圆弧等光滑连接，各段支持力均不做功，全程机械能守恒。 2．与圆周运动结合的解题要点 (1)在最高点或最低点由牛顿第二定律列向心力方程：绳(轨道内侧)模型最高点的临界条件为，即；杆、管道(双侧约束)模型最高点的临界速度为。 (2)任意位置由机械能守恒联系初、末状态的速率，向心力方程联系该位置的受力，两类方程联立求解。 3．重力做功与功率的特点 (1)重力做功只与始、末位置的高度差有关，与路径形状无关。 (2)重力的瞬时功率，只由竖直分速度决定；物体通过圆弧最低点时速度沿水平方向，重力瞬时功率为零。 4．易错点 (1)曲线运动中机械能守恒只约束速度的大小，不约束速度的方向，不能由机械能相等推出速度矢量相同。 (2)比较对称轨道上运动时间、功率时，要结合各段的受力与运动性质逐段分析，不能凭对称想当然。 【例题精讲】 【例1】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图所示，四分之三圆轨道ABD（内壁、外壁均光滑）被固定在竖直面内，O为圆心，C是轨道上一点，其中AB部分是光滑圆管，E是圆管上与O等高的位置，AB是竖直直径，OC、OB的夹角为（为未知量）。一质量为m的小球（可视为质点）沿光滑水平面，以向左的速度经A点进入圆轨道，恰好到达最高点B，接着在B点受到轻微的扰动从B到达C时刚好脱离轨道，最后落到水平面，重力加速度为g，不计空气阻力以及圆管粗细。下列说法正确的是（     ） A．圆弧轨道的半径为 B．的余弦值为 C．从E到B的过程中，小球的水平分速度先增大后减小 D．从E到B的过程中，小球受到的弹力先增大后减小 【例2】（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选）某同学设计的游戏装置示意图如图所示，固定在竖直面内的半圆形光滑轨道、粗糙水平直轨道CD与半圆形光滑圆管轨道的内壁在B、C处平滑连接，D点处固定有一竖直弹性板。、为圆心，在同一竖直线上，轨道最低点与光滑水平面相切于A点，轨道和的半径分别为r、，轨道CD长度为，一质量为m且可视为质点的滑块（大小略小于圆管内径）静止在光滑水平面上。游戏时给滑块一初速度（未知），若滑块最终能停在轨道CD上，游戏成功。已知滑块与轨道CD间的动摩擦因数，滑块与弹性板碰撞后以等大速率弹回，圆管内径可忽略，重力加速度为g。则（　　） A．若，滑块恰能到C点 B．若，游戏成功 C．若，游戏不成功，且滑块将能沿轨道返回到出发点 D．若，滑块第一次过轨道的顶点时对圆管外壁的弹力大小为 【变式训练1】（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）如图所示，竖直放置的光滑圆形轨道（带底座）质量为，半径为，轨道最低点有一个质量为的小球（可视为质点）。现给小球一水平初速度，使小球在竖直轨道内做圆周运动，重力加速度为，则下列说法正确的是（     ） A．当时，小球才能在竖直轨道内做圆周运动 B．小球在轨道最低、最高点时的压力大小差恒等于 C．当时，就能使轨道离开地面 D．小球从最低点运动到最高点的过程中，轨道对地面的压力一直在减小 【变式训练2】（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）如图所示，一光滑圆形轨道（半径为R）固定在竖直平面内，质量为m的小圆环套在轨道上，初始时小圆环静止在轨道最高点，在轻微扰动下开始向右运动。当小圆环经过A点（图中未画出）时，小圆环与轨道间的弹力为零。重力加速度为g，则小圆环经过A点时的动能为（     ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26高三上·贵州铜仁·期末）（多选）如图所示，、、分别为竖直光滑圆弧轨道上的三个点，点和圆心等高，点与点在同一竖直线上，点为圆弧轨道的末端，的连线与竖直方向的夹角为，现从点的正上方点由静止释放一个质量为的小球，、之间高度差为，经圆弧轨道飞出后沿水平方向通过最高点，已知圆弧轨道半径为，重力加速度为，则以下结论正确的是（    ） A．小球在点对轨道的压力大小为 B．到的水平距离为 C．、两点位置等高 D．小球从N点运动到C点的时间为 题型四 机械能守恒在杆连系统中的应用 1．系统机械能守恒的判断 轻杆不可伸长且不计质量，不计一切摩擦时，杆对各物体的弹力属于内力，做功的代数和为零，系统只有重力做功，系统机械能守恒；但杆对单个物体可以做正功或负功，单个物体的机械能一般不守恒。 2．速度关系的确定 (1)绕同一转轴转动的物体角速度相等，由确定线速度之比。 (2)杆两端物体沿杆方向的分速度大小相等，据此结合几何关系建立速度关系。 3．解题的一般步骤 (1)以「物体+轻杆」为系统，判断系统机械能守恒； (2)由几何关系与速度关联确定各物体速度之间的关系； (3)对系统列机械能守恒方程，常用形式为或； (4)需要求杆对某个物体做的功时，对该物体单独应用动能定理。 4．易错点 (1)杆连系统中，某个物体减少的重力势能等于系统内所有物体增加的动能之和，不能只计单个物体的动能。 (2)轻杆对物体做的功一般不为零，只能由动能定理求出，不能直接由系统的守恒式得到。 【例题精讲】 【例1】（2026·甘肃·模拟预测）如图所示，轻质光滑圆环上固定有长度均为1m的轻杆Ⅰ和Ⅱ，两杆成90°夹角，杆Ⅰ、杆Ⅱ的另一端分别固定质量均为0.4kg的小球a、b。现将圆环套在垂直于纸面的水平轴上，使杆Ⅰ由水平位置静止释放。已知a、b球均可视为质点，杆Ⅰ、Ⅱ和圆环始终位于同一竖直面内，忽略圆环的大小、空气阻力，取。下列关于b球的说法正确的是（     ） A．由最低点上升的最大高度可等于2m B．由最低点上升的最大高度小于1m C．最大的动能为 D．最大的动能为 【例2】（26-27高三上·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）如图所示，为固定在水平面的转轴，质量均为的小球、通过铰链与两根轻杆连接后，再与点的转轴连接，杆长度均为，球置于水平地面上，、之间用一轻质弹簧连接。给球施加一外力，当两杆夹角时，系统处于静止状态，弹簧为原长。撤去外力，将球从该位置由静止释放，球此时的加速度大小为，当时，球的速度大小为，、两球始终位于同一竖直平面，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为，对于该过程（即第一次由变到这个过程中），下列说法正确的是（     ） A．撤去外力的瞬间，球的加速度大小为 B．球机械能的减少量等于球机械能的增加量 C．球减少的机械能为 D．弹簧弹性势能增加量为 【变式训练1】（2026·江苏南京·三模）如图所示，两个质量均为的小滑块、通过铰链用长为的刚性轻杆连接，套在固定的竖直光滑杆上，放在光滑水平地面上，轻杆与竖直方向夹角。原长为的轻弹簧水平放置，右端与相连，左端固定在竖直杆点上。由静止释放，下降到最低点时变为。整个运动过程中，、始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为。则下降过程中（　　 ） A．、组成的系统机械能守恒 B．、的速度满足 C．弹簧弹性势能最大值为 D．达到最大动能时，对杆的弹力等于0 【变式训练2】（2026·河南开封·模拟预测）如图所示，小球A、B分别套在竖直和水平固定细杆上，它们的质量分别为，两球由长为的轻杆连接。初始时，轻杆处于竖直状态，由于微小扰动，两球均由静止开始滑动，不计一切摩擦，重力加速度为。当轻杆与竖直方向的夹角为时，小球A的速度大小为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（26-27高三上·河南郑州·阶段检测）（多选）甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为5m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点4m时，甲球的速度为v1，乙球的速度为v2，如图所示，下列说法正确的是（     ） A．v1∶v2＝4∶3 B．v1∶v2＝3∶4 C．甲球即将落地时，乙球的速度达到最大 D．从开始释放到甲球即将落地，乙球经历了先加速后减速的过程 题型五 机械能守恒在绳连系统中的应用 1．系统机械能守恒的判断 绳不可伸长且不计质量、不计一切摩擦时，绳的拉力对系统做功的代数和为零，系统只有重力做功，系统机械能守恒；绳的拉力对单个物体做功一般不为零，单个物体的机械能一般不守恒。 2．速度(位移)关系的确定 (1)沿绳方向的速度分量大小相等：将物体的速度沿绳方向和垂直绳方向分解，沿绳分量即为绳的速率。 (2)跨过定滑轮的绳两端物体沿绳方向的速率相等；动滑轮组合中，注意位移与速度之间的倍数(如倍、倍)关系。 3．解题的一般步骤 (1)以「绳连各物体」为系统，判断机械能守恒； (2)由关联速度(位移)关系确定各物体速度(位移)间的比例； (3)对系统列机械能守恒方程，常写成或的形式； (4)求绳的拉力对某个物体做的功时，对该物体应用动能定理。 4．易错点 (1)系统机械能守恒不代表每个物体机械能都守恒，绳的拉力做功使机械能在物体间转移。 (2)使用动滑轮、组合滑轮时，先由绳长不变的关系确定位移关系，再确定速度关系，防止倍数关系弄错。 【例题精讲】 【例1】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图所示，可视为质点的光滑定滑轮P与竖直墙面上的Q点等高，O为PQ的中点，PQ距离为2d。一根轻质不可伸长的细绳一端系在Q点，穿过质量为m的光滑圆环A再绕过定滑轮P，另一端吊着质量为2m的重物B。将圆环A由O点静止释放，设QA与水平方向夹角为。已知重力加速度为g，整个过程中B未与滑轮P相撞，不计空气阻力和一切摩擦。下列说法中正确的是（     ） A．A和B的速度关系为 B．A可以下降的最大高度为 C．A和B总动能最大时， D．A和B总势能最小时， 【例2】（2026·海南海口·一模）（多选）如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物、轻质定滑轮下方悬挂重物，悬挂滑轮的轻质细绳竖直。开始时，重物、处于静止状态，释放后、开始均沿竖直方向运动。已知、的质量均为，重力加速度为。摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，两滑轮间竖直距离足够长。当的位移为时，下列说法正确的是（　　） A．重物的合外力所做的功等于其动能的增加量 B．重物下降过程，其机械能总量保持不变 C．当的位移为时，重物的重力势能增加 D．当的位移为时，的机械能减少 【变式训练1】（26-27高三上·重庆·开学考试）如题图所示，质量为的物体穿在光滑的水平横杆上，质量为的物体通过轻绳跨过足够小的轻质定滑轮与连接，滑轮到杆的竖直距离为。某时刻，绳与杆的夹角为，的速度为，重力加速度大小为，则（     ） A．此时的速度大小为 B．此时的速度大小为 C．运动过程中的最大动能为 D．运动过程中的最大动能为 【变式训练2】（2026·湖南湘潭·一模）如图，光滑的细杆与水平方向成角固定放置，不可伸长的轻质细线跨过两个轻质定滑轮，将质量为的小球与质量为的物块连接。小球套在细杆上由静止开始上滑，当运动到线与杆之间的夹角为的点时，，方向沿杆斜向上；当运动到点时，线与杆垂直。已知、间的距离为，重力加速度为，细线一直处于伸直状态，整个过程中物块没有落地，，，下列说法正确的是（     ） A．当小球运动到点时，物块速率最大 B．当小球在点时，物块的速度大小为 C．小球从点运动到点，系统总重力势能的减小量为 D．小球从点运动到点，细线对小球做的功为 【变式训练3】（2026·江西·模拟预测）（多选）如图所示，小球A的右侧通过长度为的轻杆与转轴相连，轻杆可绕O点自由转动，小球A的左侧通过足够长的轻绳绕过定滑轮与小球B相连，用手托住小球A使轻杆水平时，AP段的轻绳也水平。已知小球A到定滑轮的距离为，小球A的质量为，小球B的质量为，重力加速度为，不计一切摩擦和定滑轮质量，现将小球A由静止释放，下列说法正确的是（     ） A．轻绳与轻杆夹角为时，小球A的速度最大，此时A、B的加速度均为零 B．轻绳与轻杆夹角为时，轻杆对小球A的弹力大小为 C．轻绳与轻杆夹角为时，小球B的速度大小为 D．轻绳与轻杆夹角为时，A、B组成的系统动能最大 题型六 机械能守恒在弹簧类问题的应用 1．系统的选取与守恒判断 (1)以「物体+弹簧」为系统：只有重力和弹簧弹力做功时，系统机械能守恒，即动能、重力势能与弹性势能的总和保持不变。 (2)只以物体为研究对象：弹簧弹力做功时物体的机械能不守恒，弹性势能的减少(增加)量等于物体机械能的增加(减少)量。 2．弹性势能 弹性势能与形变量和劲度系数有关，定量计算可用；也可由系统机械能守恒，用其他形式能量的变化量间接求出。弹力是变力，其功可用弹性势能的变化量或图像下的面积求得。 3．两个特殊位置 (1)合力为零的位置：弹力等于重力(或重力沿斜面的分力)，加速度为零，速度最大、动能最大，此时重力势能与弹性势能之和最小。 (2)形变量最大的位置(最低点或最高点)：速度为零，弹性势能最大。 4．易错点 (1)弹力不能突变，撤去外力或碰撞后的瞬间，弹簧弹力保持不变，应先求出该瞬时的加速度。 (2)物体与弹簧分离(接触)的临界条件是相互作用的弹力为零。 (3)物体在竖直弹簧上做往复运动时，可用简谐运动的对称性分析最高点、最低点与平衡位置的关系。 【例题精讲】 【例1】（2026·河北保定·三模）如图甲所示，倾角α=30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端固定一轻质弹簧，顶端固定一光滑定滑轮，弹簧上端与物块A拴接，不可伸长的细绳跨过定滑轮连接物块A、B，物块B到地面的距离为h=0.6m。初始时用手托着B，系统静止，细绳伸直但绳上无作用力。将B由静止释放，物块A所受弹簧作用力F与物块A位移x的关系图线如图乙所示，弹簧始终在弹性限度内，A与滑轮间的细绳始终平行斜面，重力加速度取，物块B的质量为。则（　　） A．物块A的质量为1kg B．A位移为20cm时，A、B与弹簧组成系统的势能最小 C．运动过程中，B的最大速度为 D．运动过程中，A上升的最大高度为0.3m 【例2】（26-27高三上·山东日照·开学考试）（多选）如图所示，劲度系数为100N/m的轻弹簧下端连接在倾角为53°的固定光滑斜面的底端，上端连接物块P。斜面顶端O处有一定滑轮（可视为质点），圆环Q套在光滑竖直杆上，物块P通过平行于斜面的轻绳绕过定滑轮与圆环Q相连。竖直杆上有A、B、C三个点，其中A点与O点等高，AO=0.6m，AB=0.45m，AC=0.8m。初始时通过外力使圆环Q静止在C点，此时轻绳的拉力大小为60N。现撤去外力，将圆环Q由静止释放。已知物块P的质量为5kg，圆环Q的质量为1kg，重力加速度大小取10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，弹簧始终在弹性限度内。下列判断正确的是（　　） A．圆环Q经过B点时，弹簧的弹性势能为0.125J B．圆环Q经过B点时的速度大小为2m/s C．圆环Q从C点运动到A点的过程中，轻绳拉力对物块P做的功为16J D．圆环Q从C点运动到A点的过程中，圆环Q的动能增加了8J 【变式训练1】（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）如图所示，粗细均匀的光滑直杆水平固定放置，圆环套在杆上，轻弹簧一端固定在点，另一端连接在圆环上，点在轻杆上点正上方，将圆环拉至杆上点由静止释放，圆环由点运动到点过程中，圆环运动的速度随时间变化的规律可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·贵州毕节·模拟预测）将蹦极运动简化为直线运动。如图所示，轻质弹性绳的一端固定在O点，另一端和质量为m的人（视为质点）相连。人从a点由静止下落，经过b点时绳恰好伸直，到达最低点c后向上运动。已知ab与bc高度均为h，假设整个过程中弹性绳的弹力与伸长量（用x表示）成正比。不计空气阻力，重力加速度为g，弹性绳的弹性势能为（k为弹性绳的劲度系数），下列说法正确的是（     ） A．从a点到c点的过程中，人的机械能守恒 B．从a点到c点的过程中，动能与弹性势能之和不变 C．弹性绳的劲度系数为 D．人向下运动过程中的最大速度为 【变式训练3】（26-27高三上·云南玉溪·开学考试）（多选）如图所示，倾角为的足够长斜面固定在水平地面上，质量均为m的木块A和B置于斜面上，A和B通过轻质弹簧连接，弹簧劲度系数为k，弹簧弹性势能与形变量之间的关系式为，其中x为弹簧的形变量。不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接木块B和C，滑轮与木块B之间的轻绳与斜面平行，木块C的质量也是m。在外力作用下，三木块均处于静止状态，弹簧处于原长，木块A和木块C在同一高度。突然撤去外力，木块A、B、C开始运动，不计一切摩擦，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小为g，在木块A向下运动的过程中，B未碰滑轮，C未落地。关于该过程，下列说法正确的是（     ） A．木块A、B、C的机械能之和保持不变 B．木块A与木块C始终在同一高度 C．木块A的最大速度为 D．木块A的最大位移为 题型七 机械能守恒中的图像问题 1．常见的图像类型 (机械能-位移)、(重力势能-高度)、(动能-位移)、(弹力-位移)、(速度-时间)等图像。 2．图像中物理量的意义 (1)图像：斜率的绝对值等于物体的重力，可求物体的质量。 (2)图像：斜率表示除重力(或弹簧弹力)以外其他力的大小；图线为水平段时，表示该阶段除重力、弹力外无其他力做功。 (3)图像：图线与坐标轴围成的面积表示力做的功，弹力的功等于弹性势能变化量的负值。 (4)图像：斜率表示加速度，面积表示位移，结合动能定理或机械能守恒可求功与能量的变化。 3．分析图像问题的一般思路 (1)先明确纵、横坐标所表示的物理量及其单位； (2)由图线的斜率、截距、拐点和面积提取信息，拐点常对应受力突变或运动状态改变的临界位置(如共速、弹簧恢复原长、物体刚离开地面)； (3)结合机械能守恒定律或功能关系列方程求解。 4．易错点 (1)注意区分「机械能」与「动能」「势能」的图像，弄清图线的下降(上升)对应哪种力做功； (2)图像给出的是过程信息，列守恒方程时仍应选取明确的初、末状态。 【例题精讲】 【例1】（26-27高三上·湖南株洲·开学考试）如图（a）所示，可视为质点的a、b两球通过轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮，b球在外力作用下静止悬空。以地面为重力势能的零势能面，从静止释放b球，在b球落地前的过程中，a、b两球的重力势能随时间t的变化关系如图（b）所示，图中两图像交点对应时刻t=0.3s，a球始终没有与定滑轮相碰，a、b始终在竖直方向上运动，忽略空气阻力，重力加速度g=10m/s2。则（　　） A．b球质量5kg B．b球落地时a球的动能为2J C．b球下落前距地面的高度为0.4m D．t=0.3s时a球离地面的高度为0.225m，b球离地面的高度0.075m 【例2】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）一质量为m的滑雪运动员从一定高度的斜坡自由下滑。已知运动员在下滑过程中受到的阻力恒定，斜坡倾角为30°，运动员滑至坡底的过程中，其机械能和动能随下滑距离s变化的图像如图所示，重力加速度取10 m/s2。下列说法正确的是（     ） A．运动员下滑过程中只有重力做功 B．运动员下滑过程中受到的阻力为60 N C．运动员下滑时滑板与斜坡的动摩擦因数为 D．运动员质量为60 kg 【变式训练1】（2026·四川·模拟预测）水平地面上轻弹簧左端固定，右端与滑块不拴接，通过滑块压缩 锁定。 时解除锁定，释放滑块。计算机通过滑块上的速度传感器描绘出滑块的速度平方与滑块位移图像如图所示，其中段为曲线，段为直线，已知滑块质量，重力加速度，不计空气阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（     ） A．若水平地面光滑，则在滑块向右运动的过程中（未与弹簧分离），滑块机械能守恒 B．滑块与地面间的动摩擦因数 C．弹簧锁定时具有的弹性势能为 D．滑块运动过程中加速度最大为 【变式训练2】（2026·浙江·一模）如图所示，轻弹簧竖直放置在水平地面上，物块静置于弹簧上端，物块从物块正上方高处由静止释放，与物块碰撞后一起向下运动。以的初始位置为原点，竖直向下为正方向建立轴。以地面为重力势能的零势能面，物块、均可视为质点，不计空气阻力。则下列哪幅图能反映物体的机械能随坐标的变化情况（     ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26高三上·新疆克拉玛依·期末）（多选）如图所示，竖直面内有一个半径为的光滑圆弧轨道，质量为的物块（可视为质点）从顶端处静止释放滑至底端处，下滑过程中，物块的动能、与轨道间的弹力大小、机械能、重力的瞬时功率随物块在竖直方向下降高度变化关系图像正确的是（　　） A． B． C． D． 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 机械能守恒定律及其应用 【基础回顾】 一、重力做功与重力势能 1．重力做功的特点 (1)重力做功与路径无关，只与始、末位置的高度差有关。 (2)重力做功不引起物体机械能的变化。 2．重力势能 (1)表达式：。 (2)重力势能的特点：重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化量与参考平面的选取无关。 3．重力做功与重力势能变化的关系 (1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大。 (2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即。 (3)重力势能的变化量是绝对的，与参考平面的选取无关。 4．弹性势能 (1)概念：物体由于发生弹性形变而具有的能。 (2)大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大。 二、机械能守恒定律 1．机械能：动能和势能统称为机械能，其中势能包括重力势能和弹性势能。 2．机械能守恒定律 (1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。 (2)守恒条件：只有重力或弹簧的弹力做功。 知识点一 机械能守恒的判断 1．对机械能守恒条件的理解 (1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。 (2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。 (3)除重力外，只有系统内的弹力做功，那么系统的机械能守恒。注意：并非系统内某个物体的机械能守恒，而是系统的机械能守恒。 2．判断方法 (1)用定义判断：若物体动能、势能均不变，则机械能不变。若一个物体动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化，或动能和重力势能同时增加(减少)，其机械能一定变化。 (2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒。 (3)用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒。 (4)对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失。 知识点二 机械能守恒问题的初步应用 1．机械能守恒的三种表达式 守恒观点 要选零势能参考平面 转化观点 不用选零势能参考平面 转移观点 说明：单个物体应用机械能守恒定律时选用守恒观点或转化观点进行列式。 2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤 知识点三 系统的机械能守恒问题 1．解决多物体系统机械能守恒的注意点 (1)对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒。 (2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (3)列机械能守恒方程时，一般选用或的形式。 2．几种实际情景的分析 (1)速率相等情景 注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。 (2)角速度相等情景 ①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 ②由知，与成正比。 (3)某一方向分速度相等情景(关联速度情景) 两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。 题型一 机械能守恒条件的判断 1．三种判断方法 (1)用做功判断：分析物体(或系统)的受力情况，明确各力是否做功。若只有重力(或弹簧的弹力)做功，其他力不做功或做功的代数和为零，则机械能守恒。此法是判断机械能守恒最基本、最常用的方法。 (2)用能量转化判断：若系统中只有动能和势能的相互转化，而无机械能与其他形式能(如内能、电能)的转化，则机械能守恒；若出现摩擦生热、克服空气阻力做功等情况，机械能不守恒。 (3)用定义判断：分别比较初、末状态的动能与势能之和。若动能不变而势能变化(如匀速上升、匀速下降)，或势能不变而动能变化，或动能与势能同增同减，则机械能一定不守恒。 2．守恒条件的理解要点 (1)「只有重力做功」不等于「只受重力作用」。物体可以受其他力，只要其他力不做功(如沿法向的支持力、拉力)或做功的代数和为零，机械能仍守恒。 (2)对单个物体(不含弹簧)：只有重力做功时机械能守恒。 (3)对物体和弹簧组成的系统：只有重力和弹簧弹力做功时系统机械能守恒，但单个物体的机械能不守恒，弹力做功的过程是动能与弹性势能相互转化的过程。 (4)对多个物体组成的系统：除分析外力做功外，还要分析内力做功；若系统内有滑动摩擦力做功，部分机械能转化为内能，系统机械能不守恒。 3．常见模型的判断结论 (1)不计空气阻力的各种抛体运动(自由落体、竖直上抛、平抛、斜抛)：只有重力做功，机械能守恒。 (2)物体沿光滑斜面、光滑曲面、光滑圆轨道滑行：支持力总与速度方向垂直而不做功，只有重力做功，机械能守恒。 (3)匀速上升、匀速下降的物体：动能不变而重力势能变化，机械能不守恒。 (4)有摩擦力、空气阻力做功或有牵引力(发动机)做功的过程：机械能不守恒。 【例题精讲】 【例1】（2026·湖南长沙·模拟预测）下列说法正确的是（     ） A．如果物体做曲线运动，则一定是变速运动 B．做匀速圆周运动的物体，相等时间内运动的位移一定相同 C．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒 D．牛顿运动定律既适用于宏观、低速运动，也适用于微观、高速运动 【答案】A 【详解】A．曲线运动中，物体速度方向沿轨迹的切线方向，方向不断变化。速度是矢量，方向发生变化就表示速度发生变化，因此曲线运动一定是变速运动，故A正确； B．位移是矢量，既有大小又有方向。匀速圆周运动物体在相等时间内通过的弧长相等，但各段位移的方向通常不同，所以位移不一定相同，故B错误； C．匀速直线运动只能说明速度大小和方向不变，即动能不变，并不能保证重力势能等势能不变。例如物体竖直方向做匀速直线运动时，高度变化，机械能不守恒，故C错误； D．牛顿运动定律属于经典力学规律，适用于宏观、低速运动的物体。微观粒子或高速运动情形需要用量子力学或相对论等理论描述，故D错误。 故选A。 【例2】（26-27高三上·北京海淀·开学考试）（多选）如图所示，半径为R的摩天轮以大小为ω的角速度在竖直平面内逆时针匀速转动，运行过程中每个悬挂轿厢都可保持姿态不变。轿厢A中的观览乘客质量为m，乘客在观览过程中始终保持站立姿态并相对轿厢静止，轿厢此时所在位置对应半径与竖直向下方向的夹角为θ。下列说法正确的是（     ） A．轿厢通过最高点时，乘客处于平衡状态，对轿厢的压力等于重力 B．轿厢从最高点到最低点的过程中，乘客所受重力的瞬时功率先增加后减小 C．轿厢转动一圈的过程中，乘客的机械能守恒 D．θ从0变到的过程中，乘客所受摩擦力做负功 【答案】BD 【详解】A．轿厢通过最高点时，乘客随轿厢做匀速圆周运动，加速度竖直向下，处于失重状态，对轿厢的压力小于重力，A错误； B．轿厢从最高点到最低点的过程中，乘客速度大小不变，但竖直速度先增加后减小，根据可知，所受重力的瞬时功率先增加后减小，B正确； C．轿厢转动一圈的过程中，乘客的动能不变，但重力势能随高度的变化不断变化，可知机械能不守恒，C错误； D．θ从0变到的过程中，乘客所受摩擦力沿水平向左，与速度方向夹角为钝角，可知乘客所受的摩擦力做负功，D正确。 故选BD。 【变式训练1】（26-27高三上·重庆渝中·阶段检测）如图所示，两小球A、B通过一根绕过光滑轻质定滑轮O的轻绳连接，其中A套在光滑固定水平直杆上，初始时使A静止在直杆的P点，将A静止释放，小球A从P点运动到Q点的过程中（水平杆不影响B球的运动），下列说法正确的是（     ） A．小球A、B的速度关系满足 B．小球B的机械能一直减小 C．小球B一定处于失重状态 D．小球B减小的重力势能大于A、B增加的动能之和 【答案】B 【详解】A．小球A的速度沿绳方向的分速度等于小球B的速度，则，故A错误； B．由于绳子对小球B一直做负功，则B的机械能一直减小，故B正确； C．A从P点到Q点，不断增大，绳子对A做正功，则也不断增大，因此无法判断小球B加速或减速，所以无法判断是否超失重，故C错误； D．由A、B机械能守恒得小球B减小的重力势能等于A、B增加的动能之和，故D错误。 故选B。 【变式训练2】（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，曲面体P静止于光滑水平面上，物块Q自P的上端由静止释放。Q与P的接触面光滑，Q在P上运动的过程中，下列说法正确的是（     ） A．Q对P做功为零 B．Q对P做正功 C．物块Q的机械能守恒 D．物块Q的机械能增加 【答案】B 【详解】Q在P上运动的过程中，Q对P的作用力斜向左下，则P相对地面向左运动，Q对P做正功，P的机械能增加，由机械能守恒定律可知Q的机械能减少，故B正确，ACD错误。 故选B。 【变式训练3】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）如图所示，A、B两球分别用长度均为L的轻杆通过光滑铰链与C球连接，通过外力作用使两杆并拢，系统竖直放置在光滑水平地面上。某时刻将系统由静止释放，A、B两球开始向左右两边滑动。已知A、B两球的质量均为m，C球的质量为2m，三球均在同一竖直面内运动，忽略一切阻力，重力加速度为g。从静止释放到球C落地前的过程，下列说法正确的是（　　） A．A、B、C三球组成的系统机械能守恒 B．球C的机械能不变 C．球A速度达到最大时，球C的加速度大小为g D．球C落地前瞬间的速度大小为 【答案】AC 【详解】A．从静止释放到球C落地前的过程，A、B、C三球组成的系统，只有重力做功，机械能守恒，故A正确； B．从静止释放后A、B两球先加速后减速，动能先增加后减少，而A、B、C三球组成的系统机械能守恒，则球C的机械能先减少后增加，故B错误； C．当球A的加速度为0时速度达到最大值，此时杆对球的作用力为0，则此时球C只受重力的作用，所以根据牛顿第二定律可知，此时球C的加速度大小为g，故C正确； D．球C落地前瞬时，A、B两球的速度为零，对A、B、C三球组成的系统，根据机械能守恒定律有 解得球C落地前瞬间的速度大小为，故D错误。 故选AC。 题型二 机械能守恒在单物体中的应用 1．解题的一般步骤 (1)选取研究对象(单个物体)，明确研究的过程； (2)分析受力与各力做功情况，判断机械能是否守恒； (3)选取零势能参考平面，明确初、末状态的动能和重力势能； (4)依据或列方程求解，必要时对结果进行讨论。 2．两种表达式的选用 (1)守恒观点：需要选取零势能参考平面，列式时须写出各状态的动能与势能。 (2)转化观点：只涉及动能与势能的变化量，不必选取参考平面，列式更简便，应优先选用。 3．常见模型 (1)抛体模型：只受重力，任意时刻动能与势能之和不变，可由高度差求任意位置的速率。 (2)光滑斜面(曲面)模型：支持力不做功，下滑或上滑过程机械能守恒，重力势能与动能相互转化。 (3)竖直圆周运动模型：全过程用机械能守恒求速度，再在最高点、最低点结合向心力方程求力。 4．易错点 (1)机械能是否守恒与参考平面的选取无关，但用列式时必须先选定参考平面；物体位于参考平面下方时重力势能取负值。 (2)斜抛、平抛物体在最高点速度不为零，守恒方程中的动能不可漏掉。 (3)机械能守恒只要求始、末状态的机械能相等，与中间过程无关，可方便地研究往复运动或全程问题。 【例题精讲】 【例1】（2027·浙江·模拟预测）2018 年 12 月 8 日，浙江全省各地普降大雪，小李早晨起床发现屋檐下有了长短不一的“冰沟子”。已知屋檐离地高度约 15 m，不计空气阻力 ，则下列说法正确的是（     ） A．长的“冰沟子”落地时间比短的“冰沟子”要长 B．“冰沟子”在下落过程中机械能不守恒 C．“冰沟子”落地的速度约为 D．“冰沟子”落地时间约 1.7 s 【答案】D 【详解】CD．“冰沟子”做自由落体运动，根据， 得 落地速度 故C错误，D正确。 A．长的“冰沟子”距地面高度较小，落地时间比短的“冰沟子”要短，故A错误。 B．“冰沟子”在下落过程中，不计空气阻力，只有重力做功，机械能守恒，故B错误。 故选D。 【例2】（2026·陕西·模拟预测）（多选）如图所示，将一根质量为、长为的均匀柔软链条置于光滑水平桌面上，链条右端恰好处于桌子边缘，桌面离地面足够高，图示圆弧可使离开桌面的链条都竖直向下运动且无能量损失。某时刻，稍稍向右拉动链条，链条从静止开始沿桌边下滑。当链条下落的长度为时，桌面剩余链条的动能最大为。已知重力加速度为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】链条从开始运动到链条下落长度的过程中，由机械能守恒定律可得 桌面剩余链条的动能为 则 由数学知识知，当且仅当 即时，取“=” 故时动能取最大值。选AD。 【变式训练1】（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3。足球轨迹最高点2的高度为h，重力加速度为g，则足球（     ） A．从1到3机械能守恒 B．从1到2动能的减少量小于 C．从1到2的时间等于从2到3的时间 D．在最高点2时合力的功率不为0 【答案】D 【详解】A．根据轨迹可知足球受空气阻力作用，足球从1到3的运动中，空气阻力对足球做负功，足球的机械能会持续损耗，因此机械能不守恒，故A错误； B．从1到2的过程，根据动能定理可知合外力做功等于动能变化，即 其中空气阻力做的负功，即，可得 动能减小量大于，故B错误； C．若没有空气阻力，上升和下落过程时间对称相等，但存在空气阻力时，上升过程竖直方向的合力为，加速度大于，下落过程竖直方向合力为，加速度小于，两个过程竖直位移均为，由运动学规律可知上升时间小于下落时间，故C错误； D．在最高点2，足球的竖直方向速度为0，但仍有水平方向的速度，此时足球受竖直向下的重力和水平方向的空气阻力，合力不为零，且合力与速度方向不垂直，因此合力的功率不为0，故D正确。 故选D。 【变式训练2】（26-27高三上·江苏南通·开学考试）运动员把质量m=0.4 kg的足球踢出后，估测上升的最大高度h=5 m，在最高点P的速度v=20 m/s。不计空气阻力，g取10 m/s2。设足球在P点的重力势能为0，估算它在空中飞行时的机械能（     ） A．60 J B．80 J C．100 J D．120 J 【答案】B 【详解】不计空气阻力时，足球在空中只受重力作用，机械能守恒，因此空中任意位置的机械能都等于最高点处的机械能。题设将点重力势能规定为零，所以点机械能等于足球在该点的动能。由动能定义式，最高点处足球的动能为 故选B。 【变式训练3】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）如图所示，劲度系数为k的竖直轻弹簧固定在水平地面上。质量为m的小球从弹簧正上方高h处自由下落，当弹簧的压缩量为x时，小球到达最低点。不计空气阻力，重力加速度为g。此过程中（     ） A．小球的机械能守恒 B．当弹簧的压缩量为时，小球的动能最大 C．小球最大动能为 D．弹簧最大弹性势能为 【答案】BD 【详解】A．当小球与弹簧接触后，弹簧的弹力对小球做负功，小球的机械能减少，弹簧的弹性势能增加，小球的机械能不守恒，故A错误； BC．当小球的加速度为0时，小球的动能最大，此时有mg＝kΔx 解得弹簧的压缩量为 设此时弹簧的弹性势能为Ep1，根据机械能守恒定律可知，此时小球的动能为，故B正确，C错误； D．当小球运动到最低点时，小球的动能为零，弹簧的形变量最大，此时弹簧的弹性势能最大，设为Ep2，根据机械能守恒定律可得Ep2＝mg(h＋x)，故D正确。 故选BD。 题型三 机械能守恒在曲线运动中的应用 1．常见曲线模型 (1)抛体运动(平抛、斜抛)：只受重力，机械能守恒，同一高度处速率相等。 (2)竖直平面内的圆周运动：绳(轨道内侧)约束模型与杆(管道)约束模型，全过程机械能守恒。 (3)组合轨道模型：斜面、曲面、圆弧等光滑连接，各段支持力均不做功，全程机械能守恒。 2．与圆周运动结合的解题要点 (1)在最高点或最低点由牛顿第二定律列向心力方程：绳(轨道内侧)模型最高点的临界条件为，即；杆、管道(双侧约束)模型最高点的临界速度为。 (2)任意位置由机械能守恒联系初、末状态的速率，向心力方程联系该位置的受力，两类方程联立求解。 3．重力做功与功率的特点 (1)重力做功只与始、末位置的高度差有关，与路径形状无关。 (2)重力的瞬时功率，只由竖直分速度决定；物体通过圆弧最低点时速度沿水平方向，重力瞬时功率为零。 4．易错点 (1)曲线运动中机械能守恒只约束速度的大小，不约束速度的方向，不能由机械能相等推出速度矢量相同。 (2)比较对称轨道上运动时间、功率时，要结合各段的受力与运动性质逐段分析，不能凭对称想当然。 【例题精讲】 【例1】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图所示，四分之三圆轨道ABD（内壁、外壁均光滑）被固定在竖直面内，O为圆心，C是轨道上一点，其中AB部分是光滑圆管，E是圆管上与O等高的位置，AB是竖直直径，OC、OB的夹角为（为未知量）。一质量为m的小球（可视为质点）沿光滑水平面，以向左的速度经A点进入圆轨道，恰好到达最高点B，接着在B点受到轻微的扰动从B到达C时刚好脱离轨道，最后落到水平面，重力加速度为g，不计空气阻力以及圆管粗细。下列说法正确的是（     ） A．圆弧轨道的半径为 B．的余弦值为 C．从E到B的过程中，小球的水平分速度先增大后减小 D．从E到B的过程中，小球受到的弹力先增大后减小 【答案】C 【详解】A．小球恰好到达最高点，由于部分是圆管，小球在点的速度可以为零，即 从到过程，根据机械能守恒定律有 解得圆弧轨道的半径，故A错误； B．小球从到的过程，根据机械能守恒定律有 在点刚好脱离轨道，说明轨道对小球的弹力为零，重力的径向分力提供向心力 联立解得，故B错误； C．小球从到的过程中，在点时速度竖直向上，水平分速度为零；在点时速度为零，水平分速度也为零。而在、之间运动时，速度方向斜向右上方，存在水平向右的分速度。因此，小球的水平分速度先增大后减小，故C正确； D．设小球运动到某位置时，半径与竖直方向（）的夹角为（点，点）。根据机械能守恒（以点为零势能面） 需要的向心力 重力沿半径方向的分力 在点（），，，轨道外壁提供指向圆心的弹力 在点（），，，轨道内壁提供背离圆心的弹力 当时，即 解得，此时弹力 所以从到的过程中，弹力大小先由减小到，再由增大到，即先减小后增大，故D错误。 故选C。 【例2】（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选）某同学设计的游戏装置示意图如图所示，固定在竖直面内的半圆形光滑轨道、粗糙水平直轨道CD与半圆形光滑圆管轨道的内壁在B、C处平滑连接，D点处固定有一竖直弹性板。、为圆心，在同一竖直线上，轨道最低点与光滑水平面相切于A点，轨道和的半径分别为r、，轨道CD长度为，一质量为m且可视为质点的滑块（大小略小于圆管内径）静止在光滑水平面上。游戏时给滑块一初速度（未知），若滑块最终能停在轨道CD上，游戏成功。已知滑块与轨道CD间的动摩擦因数，滑块与弹性板碰撞后以等大速率弹回，圆管内径可忽略，重力加速度为g。则（　　） A．若，滑块恰能到C点 B．若，游戏成功 C．若，游戏不成功，且滑块将能沿轨道返回到出发点 D．若，滑块第一次过轨道的顶点时对圆管外壁的弹力大小为 【答案】BC 【详解】A．滑块恰好能上到B点需满足 解得 滑块恰好能上到C点需满足 解得 。 综合可知，滑块恰能到C点，故A错误； B．当滑块的速度时能上到轨道CD，与挡板碰后最大能到C点，则 解得 游戏成功则，故B正确； C．当滑块的速度与挡板碰后沿轨道到B，恰好能沿圆轨道返回到出发点，则 解得，故C正确； D．当滑块的速度，则， 解得，故D错误。 故选BC。 【变式训练1】（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）如图所示，竖直放置的光滑圆形轨道（带底座）质量为，半径为，轨道最低点有一个质量为的小球（可视为质点）。现给小球一水平初速度，使小球在竖直轨道内做圆周运动，重力加速度为，则下列说法正确的是（     ） A．当时，小球才能在竖直轨道内做圆周运动 B．小球在轨道最低、最高点时的压力大小差恒等于 C．当时，就能使轨道离开地面 D．小球从最低点运动到最高点的过程中，轨道对地面的压力一直在减小 【答案】C 【详解】A．小球在竖直光滑圆形轨道（管模型）内做圆周运动，通过最高点的最小速度为 根据机械能守恒定律，有 解得，故A错误； B．在最低点，由牛顿第二定律得 解得 在最高点，若，轨道对小球表现为支持力，由 得 此时小球对轨道的压力方向向下，大小差 若，轨道对小球表现为压力，由 得 此时小球对轨道的压力方向向上，大小差 由于题目未限定的具体范围，压力大小差不恒等于，故B错误； C．要使轨道离开地面，小球在最高点对轨道必须有竖直向上的弹力，且 根据牛顿第三定律，轨道对小球有竖直向下的弹力 对小球在最高点应用牛顿第二定律 即 由机械能守恒定律 联立解得 即，故C正确； D．当时，小球在最高点速度为0，轨道对小球支持力（向上），小球对轨道压力（向下），此时轨道对地面压力为；在最低点小球对轨道压力为（向下），轨道对地面压力为；在运动过程中存在小球对轨道无作用力的位置（此时轨道对地面压力为）。因此轨道对地面的压力先减小后增大，故D错误。 故选C。 【变式训练2】（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）如图所示，一光滑圆形轨道（半径为R）固定在竖直平面内，质量为m的小圆环套在轨道上，初始时小圆环静止在轨道最高点，在轻微扰动下开始向右运动。当小圆环经过A点（图中未画出）时，小圆环与轨道间的弹力为零。重力加速度为g，则小圆环经过A点时的动能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设小圆环经过点时，半径与竖直向上方向的夹角为。 小圆环从最高点运动到点的过程中，只有重力做功，机械能守恒。取圆心所在水平面为重力势能零势能面，根据机械能守恒定律有 在点，小圆环与轨道间的弹力为零，说明重力在径向的分力完全提供向心力。根据牛顿第二定律有 又因为动能 ，联立解得 故选B。 【变式训练3】（25-26高三上·贵州铜仁·期末）（多选）如图所示，、、分别为竖直光滑圆弧轨道上的三个点，点和圆心等高，点与点在同一竖直线上，点为圆弧轨道的末端，的连线与竖直方向的夹角为，现从点的正上方点由静止释放一个质量为的小球，、之间高度差为，经圆弧轨道飞出后沿水平方向通过最高点，已知圆弧轨道半径为，重力加速度为，则以下结论正确的是（    ） A．小球在点对轨道的压力大小为 B．到的水平距离为 C．、两点位置等高 D．小球从N点运动到C点的时间为 【答案】AC 【详解】A．小球从点下落到点，下降的高度为 由机械能守恒可知小球到达点时速度大小满足 解得 根据牛顿第二定律，小球在M点受到轨道的支持力满足 解得 根据牛顿第三定律，小球在M点对轨道的压力大小为，故A正确； BD．小球从点到点，下降的高度为 由机械能守恒可知小球到达点时速度大小满足 解得 小球从点斜抛通过最高点用时满足 解得 到的水平距离为，故BD错误； C．小球从点斜抛通过最高点，竖直方向做匀减速运动，上升的高度满足 可知、两点位置等高，故C正确。 故选AC。 题型四 机械能守恒在杆连系统中的应用 1．系统机械能守恒的判断 轻杆不可伸长且不计质量，不计一切摩擦时，杆对各物体的弹力属于内力，做功的代数和为零，系统只有重力做功，系统机械能守恒；但杆对单个物体可以做正功或负功，单个物体的机械能一般不守恒。 2．速度关系的确定 (1)绕同一转轴转动的物体角速度相等，由确定线速度之比。 (2)杆两端物体沿杆方向的分速度大小相等，据此结合几何关系建立速度关系。 3．解题的一般步骤 (1)以「物体+轻杆」为系统，判断系统机械能守恒； (2)由几何关系与速度关联确定各物体速度之间的关系； (3)对系统列机械能守恒方程，常用形式为或； (4)需要求杆对某个物体做的功时，对该物体单独应用动能定理。 4．易错点 (1)杆连系统中，某个物体减少的重力势能等于系统内所有物体增加的动能之和，不能只计单个物体的动能。 (2)轻杆对物体做的功一般不为零，只能由动能定理求出，不能直接由系统的守恒式得到。 【例题精讲】 【例1】（2026·甘肃·模拟预测）如图所示，轻质光滑圆环上固定有长度均为1m的轻杆Ⅰ和Ⅱ，两杆成90°夹角，杆Ⅰ、杆Ⅱ的另一端分别固定质量均为0.4kg的小球a、b。现将圆环套在垂直于纸面的水平轴上，使杆Ⅰ由水平位置静止释放。已知a、b球均可视为质点，杆Ⅰ、Ⅱ和圆环始终位于同一竖直面内，忽略圆环的大小、空气阻力，取。下列关于b球的说法正确的是（     ） A．由最低点上升的最大高度可等于2m B．由最低点上升的最大高度小于1m C．最大的动能为 D．最大的动能为 【答案】C 【详解】AB．两球绕圆环轴转动，角速度相同，线速度 故有 小球、、轻杆Ⅰ、Ⅱ和轻质光滑圆环组成的系统机械能守恒，以球初位置为零势能面，根据机械能守恒定律有 解得（舍）或 由题意可知，时，小球运动到最高点，上升的最大高度等于1m，故AB错误。 CD．设当轻杆转过角时，小球、速度达到最大值，其角速度为，根据机械能守恒定律有 小球的动能 联立可得 当时，取最大值，则，故C正确，D错误。 故选C。 【例2】（26-27高三上·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）如图所示，为固定在水平面的转轴，质量均为的小球、通过铰链与两根轻杆连接后，再与点的转轴连接，杆长度均为，球置于水平地面上，、之间用一轻质弹簧连接。给球施加一外力，当两杆夹角时，系统处于静止状态，弹簧为原长。撤去外力，将球从该位置由静止释放，球此时的加速度大小为，当时，球的速度大小为，、两球始终位于同一竖直平面，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为，对于该过程（即第一次由变到这个过程中），下列说法正确的是（     ） A．撤去外力的瞬间，球的加速度大小为 B．球机械能的减少量等于球机械能的增加量 C．球减少的机械能为 D．弹簧弹性势能增加量为 【答案】ACD 【详解】A．球自由释放时加速度方向垂直于，此时弹簧没有发生形变，弹簧弹力为0，对球，由牛顿第二定律得 对球，由牛顿第二定律得 联立解得，故A正确； B．选取小球、、弹簧为研究对象，系统机械能守恒。则在系统变化过程中，球机械能的减少量等于球机械能增加量与弹簧弹性势能增加量之和。故球机械能的减少量大于球机械能的增加量，故B错误； C．当时，球的速度大小为，其沿杆方向的速度为 而此时球速度方向垂直于，与夹角，如图所示 故有 解得 第一次由变到这个过程中，球下降高度 故球减少的机械能为，故C正确； D．小球、、弹簧组成的系统机械能守恒，故弹簧弹性势能增加量满足，故D正确。 故选ACD。 【变式训练1】（2026·江苏南京·三模）如图所示，两个质量均为的小滑块、通过铰链用长为的刚性轻杆连接，套在固定的竖直光滑杆上，放在光滑水平地面上，轻杆与竖直方向夹角。原长为的轻弹簧水平放置，右端与相连，左端固定在竖直杆点上。由静止释放，下降到最低点时变为。整个运动过程中，、始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为。则下降过程中（　　 ） A．、组成的系统机械能守恒 B．、的速度满足 C．弹簧弹性势能最大值为 D．达到最大动能时，对杆的弹力等于0 【答案】B 【详解】A．取滑块、组成的系统，其机械能为 运动过程中弹簧对该系统做功，系统机械能的变化量满足 因此、组成的系统机械能不守恒，故A错误； B．根据刚性轻杆两端沿杆方向分速度相等，可得 解得，故B正确； C．初始时，弹簧长度为，恰好等于原长，因此初始弹性势能为零。下降过程中增大，弹簧伸长量增大，到达最低点时弹性势能最大。初、末位置均为速度等于零的临界位置，对、和弹簧组成的系统，根据机械能守恒定律有 解得 弹簧弹性势能最大值不等于mgL，故C错误； D．由得连接轻杆对P的作用力，根据牛顿第三定律，P对轻杆的弹力不为零，故D错误。 故选B。 【变式训练2】（2026·河南开封·模拟预测）如图所示，小球A、B分别套在竖直和水平固定细杆上，它们的质量分别为，两球由长为的轻杆连接。初始时，轻杆处于竖直状态，由于微小扰动，两球均由静止开始滑动，不计一切摩擦，重力加速度为。当轻杆与竖直方向的夹角为时，小球A的速度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】小球和小球组成的系统在滑动过程中机械能守恒，由机械能守恒定律得 小球和小球沿轻杆方向的速度投影大小相等，由运动的合成与分解得 联立解得。 故选C。 【变式训练3】（26-27高三上·河南郑州·阶段检测）（多选）甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为5m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点4m时，甲球的速度为v1，乙球的速度为v2，如图所示，下列说法正确的是（     ） A．v1∶v2＝4∶3 B．v1∶v2＝3∶4 C．甲球即将落地时，乙球的速度达到最大 D．从开始释放到甲球即将落地，乙球经历了先加速后减速的过程 【答案】AD 【详解】AB．轻杆不可伸长，两端点沿杆方向的速度分量必须一致，甲、乙两球沿轻杆方向的分速度大小相等。 当乙球距离起点4m时，杆长5m，由几何关系得此时甲的竖直高度为 设杆与竖直方向夹角为，则，。 将甲的竖直速度、乙的水平速度分别沿杆方向和垂直杆方向分解，甲乙沿杆方向分速度相等得 整理得，故A正确，B错误； CD．系统所有接触面均光滑，甲、乙和轻杆组成的系统机械能守恒。初始状态两球无初速度，乙的速度为0；甲即将落地时，甲的竖直高度趋近于0，此时杆趋近于水平，根据，可知当时，乙的速度 从初始乙速度为0，到末态乙速度也为0，乙球先从静止开始加速，后又减速到趋近于0，因此乙经历了先加速后减速的过程，速度最大值出现在加速度为0的时刻，并非甲即将落地时。故C错误，D正确。 故选AD。 题型五 机械能守恒在绳连系统中的应用 1．系统机械能守恒的判断 绳不可伸长且不计质量、不计一切摩擦时，绳的拉力对系统做功的代数和为零，系统只有重力做功，系统机械能守恒；绳的拉力对单个物体做功一般不为零，单个物体的机械能一般不守恒。 2．速度(位移)关系的确定 (1)沿绳方向的速度分量大小相等：将物体的速度沿绳方向和垂直绳方向分解，沿绳分量即为绳的速率。 (2)跨过定滑轮的绳两端物体沿绳方向的速率相等；动滑轮组合中，注意位移与速度之间的倍数(如倍、倍)关系。 3．解题的一般步骤 (1)以「绳连各物体」为系统，判断机械能守恒； (2)由关联速度(位移)关系确定各物体速度(位移)间的比例； (3)对系统列机械能守恒方程，常写成或的形式； (4)求绳的拉力对某个物体做的功时，对该物体应用动能定理。 4．易错点 (1)系统机械能守恒不代表每个物体机械能都守恒，绳的拉力做功使机械能在物体间转移。 (2)使用动滑轮、组合滑轮时，先由绳长不变的关系确定位移关系，再确定速度关系，防止倍数关系弄错。 【例题精讲】 【例1】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图所示，可视为质点的光滑定滑轮P与竖直墙面上的Q点等高，O为PQ的中点，PQ距离为2d。一根轻质不可伸长的细绳一端系在Q点，穿过质量为m的光滑圆环A再绕过定滑轮P，另一端吊着质量为2m的重物B。将圆环A由O点静止释放，设QA与水平方向夹角为。已知重力加速度为g，整个过程中B未与滑轮P相撞，不计空气阻力和一切摩擦。下列说法中正确的是（     ） A．A和B的速度关系为 B．A可以下降的最大高度为 C．A和B总动能最大时， D．A和B总势能最小时， 【答案】D 【详解】A．B上升的速度等于左侧绳伸长的速度，A沿QA方向的速度分量为，沿PA方向的速度分量也为，故有，故A错误； B．由能量守恒知 解得，故B错误； CD．和总重力势能最小时，系统总动能最大，此时、加速度为零，受力平衡。对有 对竖直方向有 联立解得，故C错误，D正确。 故选D。 【例2】（2026·海南海口·一模）（多选）如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物、轻质定滑轮下方悬挂重物，悬挂滑轮的轻质细绳竖直。开始时，重物、处于静止状态，释放后、开始均沿竖直方向运动。已知、的质量均为，重力加速度为。摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，两滑轮间竖直距离足够长。当的位移为时，下列说法正确的是（　　） A．重物的合外力所做的功等于其动能的增加量 B．重物下降过程，其机械能总量保持不变 C．当的位移为时，重物的重力势能增加 D．当的位移为时，的机械能减少 【答案】AD 【详解】A．根据动能定理可知，合外力对物体做的总功，等于物体动能的变化量；该结论对单个重物直接成立，因此的合外力所做的功等于其动能的增加量，故A正确； B．重物下降过程中，除重力外还受到细绳拉力的作用，拉力对做负功，因此的机械能不守恒，故B错误； C．由动滑轮的位移关联关系可知，当向下位移为时，动滑轮（及重物）上升的位移为，因此的重力势能增加量为，故C错误； D．设细绳拉力为，的加速度为，由动滑轮的位移关联关系可知，的加速度为 对重物由牛顿第二定律可知 对重物和动滑轮整体，由牛顿第二定律可知 联立解得 的机械能减少量等于除重力外拉力对做的负功的绝对值，即，故D正确。 故选AD。 【变式训练1】（26-27高三上·重庆·开学考试）如题图所示，质量为的物体穿在光滑的水平横杆上，质量为的物体通过轻绳跨过足够小的轻质定滑轮与连接，滑轮到杆的竖直距离为。某时刻，绳与杆的夹角为，的速度为，重力加速度大小为，则（     ） A．此时的速度大小为 B．此时的速度大小为 C．运动过程中的最大动能为 D．运动过程中的最大动能为 【答案】A 【详解】AB．将物体A的实际速度沿绳的方向和垂直绳的方向分解： 沿绳方向的分速度等于B的速度（轻绳不可伸长，沿绳方向各点速度大小相等）。 由几何关系，A的速度沿绳分量为，因此B的速度，A正确，B错误； CD．当A运动到滑轮正下方时，绳与杆夹角，此时A的速度方向与绳垂直，沿绳方向的分速度为0，即B的速度减为0，此后B会反向运动，因此此时A的速度最大、动能最大。 对A、B组成的系统，横杆光滑，只有重力做功，系统机械能守恒 整理后可得 ，CD错误。 故选A 。 【变式训练2】（2026·湖南湘潭·一模）如图，光滑的细杆与水平方向成角固定放置，不可伸长的轻质细线跨过两个轻质定滑轮，将质量为的小球与质量为的物块连接。小球套在细杆上由静止开始上滑，当运动到线与杆之间的夹角为的点时，，方向沿杆斜向上；当运动到点时，线与杆垂直。已知、间的距离为，重力加速度为，细线一直处于伸直状态，整个过程中物块没有落地，，，下列说法正确的是（     ） A．当小球运动到点时，物块速率最大 B．当小球在点时，物块的速度大小为 C．小球从点运动到点，系统总重力势能的减小量为 D．小球从点运动到点，细线对小球做的功为 【答案】D 【详解】A．物块的速度等于小球沿细线方向的分速度。当小球运动到B点时，细线与杆垂直，小球速度沿杆方向，因此沿细线方向的分速度为0，即物块速度为0，是物块运动过程中的最小速度，并非最大速度，故A错误。 B．小球在A点时，速度沿杆方向，将分解为沿细线方向和垂直细线方向的分量，沿细线方向的分量与物块速度大小相等。由几何关系可知，与细线方向的夹角为，因此物块速度，故B错误。 C．系统总重力势能的变化量等于小球重力势能变化量与物块重力势能变化量之和。小球从到沿杆向上运动距离，上升高度 小球重力势能增加 由几何关系，点时滑轮到小球的细线长度为 点时滑轮到小球的细线长度 因此细线缩短的长度 即物块下降高度 物块重力势能减少 系统总重力势能变化量，故C错误。 D．对小球从到的过程应用动能定理。小球从到的过程，细线对小球做的功为与细线对物块做的功，大小相等，一正一负。对物块分析，由动能定理 故细线对小球做的功为，故D正确。 故选D。 【变式训练3】（2026·江西·模拟预测）（多选）如图所示，小球A的右侧通过长度为的轻杆与转轴相连，轻杆可绕O点自由转动，小球A的左侧通过足够长的轻绳绕过定滑轮与小球B相连，用手托住小球A使轻杆水平时，AP段的轻绳也水平。已知小球A到定滑轮的距离为，小球A的质量为，小球B的质量为，重力加速度为，不计一切摩擦和定滑轮质量，现将小球A由静止释放，下列说法正确的是（     ） A．轻绳与轻杆夹角为时，小球A的速度最大，此时A、B的加速度均为零 B．轻绳与轻杆夹角为时，轻杆对小球A的弹力大小为 C．轻绳与轻杆夹角为时，小球B的速度大小为 D．轻绳与轻杆夹角为时，A、B组成的系统动能最大 【答案】CD 【详解】D．轻绳与轻杆夹角为时，设轻杆转过的角度为，如图所示 由图中几何关系可得 解得 此时A球重力沿绳方向的分力为 可知此时A球重力沿绳方向的分力等于B球的重力，则此时小球A沿切线方向加速度即B加速度为0，A、B组成的系统动能达最大值，故D正确； A．小球A沿切线方向加速度为0，但小球A做圆周运动，此时还有向心加速度且不为0，则小球A的加速度不为零，故A错误； C．轻绳与轻杆夹角为时，A球速度刚好沿绳子方向，此时有 A、B组成的系统机械能守恒，则有 联立解得，故C正确； B．设轻杆对小球A的弹力大小为F，以A为对象，由牛顿第二定律可得 解得，故B错误。 故选CD。 题型六 机械能守恒在弹簧类问题的应用 1．系统的选取与守恒判断 (1)以「物体+弹簧」为系统：只有重力和弹簧弹力做功时，系统机械能守恒，即动能、重力势能与弹性势能的总和保持不变。 (2)只以物体为研究对象：弹簧弹力做功时物体的机械能不守恒，弹性势能的减少(增加)量等于物体机械能的增加(减少)量。 2．弹性势能 弹性势能与形变量和劲度系数有关，定量计算可用；也可由系统机械能守恒，用其他形式能量的变化量间接求出。弹力是变力，其功可用弹性势能的变化量或图像下的面积求得。 3．两个特殊位置 (1)合力为零的位置：弹力等于重力(或重力沿斜面的分力)，加速度为零，速度最大、动能最大，此时重力势能与弹性势能之和最小。 (2)形变量最大的位置(最低点或最高点)：速度为零，弹性势能最大。 4．易错点 (1)弹力不能突变，撤去外力或碰撞后的瞬间，弹簧弹力保持不变，应先求出该瞬时的加速度。 (2)物体与弹簧分离(接触)的临界条件是相互作用的弹力为零。 (3)物体在竖直弹簧上做往复运动时，可用简谐运动的对称性分析最高点、最低点与平衡位置的关系。 【例题精讲】 【例1】（2026·河北保定·三模）如图甲所示，倾角α=30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端固定一轻质弹簧，顶端固定一光滑定滑轮，弹簧上端与物块A拴接，不可伸长的细绳跨过定滑轮连接物块A、B，物块B到地面的距离为h=0.6m。初始时用手托着B，系统静止，细绳伸直但绳上无作用力。将B由静止释放，物块A所受弹簧作用力F与物块A位移x的关系图线如图乙所示，弹簧始终在弹性限度内，A与滑轮间的细绳始终平行斜面，重力加速度取，物块B的质量为。则（　　） A．物块A的质量为1kg B．A位移为20cm时，A、B与弹簧组成系统的势能最小 C．运动过程中，B的最大速度为 D．运动过程中，A上升的最大高度为0.3m 【答案】D 【详解】A．初始时绳无作用力，A静止，弹簧弹力等于A重力沿斜面的分力。 由图乙知时，弹簧弹力 根据平衡关系 解得 ，A错误； B．系统只有重力和弹簧弹力做功，总机械能守恒，因此动能最大时系统势能最小，动能最大对应加速度为零（合力为零）。 对A、B整体受力分析，合力为零时 由图乙得劲度系数 ，初始压缩量 解得 ，即 时势能最小，B错误； C．动能最大在，根据机械能守恒 解得 ， ，C错误； D．A速度为零时，，根据机械能守恒 代入数据可得 解得最大位移 A上升的最大高度为，D正确。 故选 D。 【例2】（26-27高三上·山东日照·开学考试）（多选）如图所示，劲度系数为100N/m的轻弹簧下端连接在倾角为53°的固定光滑斜面的底端，上端连接物块P。斜面顶端O处有一定滑轮（可视为质点），圆环Q套在光滑竖直杆上，物块P通过平行于斜面的轻绳绕过定滑轮与圆环Q相连。竖直杆上有A、B、C三个点，其中A点与O点等高，AO=0.6m，AB=0.45m，AC=0.8m。初始时通过外力使圆环Q静止在C点，此时轻绳的拉力大小为60N。现撤去外力，将圆环Q由静止释放。已知物块P的质量为5kg，圆环Q的质量为1kg，重力加速度大小取10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，弹簧始终在弹性限度内。下列判断正确的是（　　） A．圆环Q经过B点时，弹簧的弹性势能为0.125J B．圆环Q经过B点时的速度大小为2m/s C．圆环Q从C点运动到A点的过程中，轻绳拉力对物块P做的功为16J D．圆环Q从C点运动到A点的过程中，圆环Q的动能增加了8J 【答案】AD 【详解】A．设初始状态弹簧伸长量为，对P由平衡条件得 解得 由几何关系可知， 圆环Q经过B点时，物块P下降的距离为 此时弹簧压缩量 弹簧的弹性势能，故A正确； B．初始状态弹簧的弹性势能 设圆环Q经过B点时的速度方向与绳夹角为，由几何关系可知 且有 对于物块P、圆环Q及弹簧组成的系统，圆环Q从C到B的过程，根据机械能守恒定律有 其中 解得，故B错误； C．圆环Q上升至A点时物块P下降的距离为 则此时弹簧压缩量为 圆环Q上升至A点时物块沿绳方向的分速度为，则此时P的速度为； 对于物块P、圆环Q及弹簧组成的系统，圆环Q从C到A的过程中，根据机械能守恒定律有 解得 设轻绳拉力对物块P做的功为，对物块P根据动能定理有 解得，故C错误； D．圆环Q从C到A的过程中，圆环Q的动能增加量，故D正确。 故选AD。 【变式训练1】（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）如图所示，粗细均匀的光滑直杆水平固定放置，圆环套在杆上，轻弹簧一端固定在点，另一端连接在圆环上，点在轻杆上点正上方，将圆环拉至杆上点由静止释放，圆环由点运动到点过程中，圆环运动的速度随时间变化的规律可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，弹簧原长为，圆环到点的水平距离为，则弹簧长度为。弹簧弹力沿水平方向的分力为，根据牛顿第二定律有 解得 A．圆环到达点时，水平方向的弹力分力为零，因此加速度为零，而A图表示加速度始终为恒定的正值，故A错误； B．若圆环的速度始终增大，则弹簧在整个运动过程中均应处于伸长状态，即。圆环接近点时，弹簧弹力和弹力的水平分量均逐渐减小，因此加速度逐渐减小，图像的斜率应逐渐减小，故B错误； C．若圆环到达点时速度恰好为零，根据机械能守恒定律有 由于，解得 此时圆环若能在有限时间内到达点，则到达时速度和加速度均为零。将运动过程反向，在点静止释放圆环，由于水平方向合力为零，圆环将始终静止，不可能反向运动到点，这与机械运动的可逆性矛盾。因此圆环只能无限接近点，不能在有限时间内到达点，故C错误； D．若，圆环开始运动时弹簧处于伸长状态，圆环加速；当弹簧恢复原长时，水平方向合力为零，速度达到最大值；此后弹簧被压缩，圆环减速。根据机械能守恒定律有 解得 当时，圆环能够以非零速度到达点，速度先增大后减小，故D正确。 故选D。 【变式训练2】（2026·贵州毕节·模拟预测）将蹦极运动简化为直线运动。如图所示，轻质弹性绳的一端固定在O点，另一端和质量为m的人（视为质点）相连。人从a点由静止下落，经过b点时绳恰好伸直，到达最低点c后向上运动。已知ab与bc高度均为h，假设整个过程中弹性绳的弹力与伸长量（用x表示）成正比。不计空气阻力，重力加速度为g，弹性绳的弹性势能为（k为弹性绳的劲度系数），下列说法正确的是（     ） A．从a点到c点的过程中，人的机械能守恒 B．从a点到c点的过程中，动能与弹性势能之和不变 C．弹性绳的劲度系数为 D．人向下运动过程中的最大速度为 【答案】D 【详解】A．从点到点的过程中，人受到重力和弹性绳的弹力作用。在点到点阶段，弹性绳发生形变，弹力对人做负功，因此人的机械能减少，不守恒，故A错误； B．对于人和弹性绳组成的系统，只有重力和弹力做功，系统机械能守恒，即有 变形后可得 从点到点，人的高度一直下降，重力势能一直减小，因此动能与弹性势能之和一直增大，故B错误； C．从点到点的过程中，人下落的总高度为，弹性绳的伸长量为 到达最低点时速度为，由系统机械能守恒得 解得弹性绳的劲度系数为，故C错误； D．当人的加速度为零时速度最大，此时重力等于弹力，设弹性绳伸长量为，有 解得 从点运动到速度最大处的过程中，人下落的总高度为 由系统机械能守恒得 代入相关数据，解得，故D正确。 故选D。 【变式训练3】（26-27高三上·云南玉溪·开学考试）（多选）如图所示，倾角为的足够长斜面固定在水平地面上，质量均为m的木块A和B置于斜面上，A和B通过轻质弹簧连接，弹簧劲度系数为k，弹簧弹性势能与形变量之间的关系式为，其中x为弹簧的形变量。不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接木块B和C，滑轮与木块B之间的轻绳与斜面平行，木块C的质量也是m。在外力作用下，三木块均处于静止状态，弹簧处于原长，木块A和木块C在同一高度。突然撤去外力，木块A、B、C开始运动，不计一切摩擦，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小为g，在木块A向下运动的过程中，B未碰滑轮，C未落地。关于该过程，下列说法正确的是（     ） A．木块A、B、C的机械能之和保持不变 B．木块A与木块C始终在同一高度 C．木块A的最大速度为 D．木块A的最大位移为 【答案】BC 【详解】A．三个木块和弹簧组成的系统只有重力和弹簧弹力做功，系统的机械能守恒，但木块A、B、C三者的机械能之和会和弹簧弹性势能相互转化，因此三者机械能之和不守恒，故A错误； B．初始状态A、C同一高度： 设某一过程中，A沿斜面向下运动位移为，此时弹力为，此时， 说明任意时刻即 AC的高度变化同步，始终保持同一高度，故B正确； C．当A的加速度为0时，速度达到最大： 对A受力平衡： 得弹簧伸长量 由A分析可知，，， 对三物块含弹簧的系统，根据机械能守恒有： 化简可得，故C正确； D．当A速度减为0时，由上分析可知此时BC的速度均为零，A的位移达到最大，设最大位移为： 对系统用机械能守恒，初末状态动能均为0，重力势能变化与弹簧弹性势能满足： ，化简得，D错误。 故选BC 。 题型七 机械能守恒中的图像问题 1．常见的图像类型 (机械能-位移)、(重力势能-高度)、(动能-位移)、(弹力-位移)、(速度-时间)等图像。 2．图像中物理量的意义 (1)图像：斜率的绝对值等于物体的重力，可求物体的质量。 (2)图像：斜率表示除重力(或弹簧弹力)以外其他力的大小；图线为水平段时，表示该阶段除重力、弹力外无其他力做功。 (3)图像：图线与坐标轴围成的面积表示力做的功，弹力的功等于弹性势能变化量的负值。 (4)图像：斜率表示加速度，面积表示位移，结合动能定理或机械能守恒可求功与能量的变化。 3．分析图像问题的一般思路 (1)先明确纵、横坐标所表示的物理量及其单位； (2)由图线的斜率、截距、拐点和面积提取信息，拐点常对应受力突变或运动状态改变的临界位置(如共速、弹簧恢复原长、物体刚离开地面)； (3)结合机械能守恒定律或功能关系列方程求解。 4．易错点 (1)注意区分「机械能」与「动能」「势能」的图像，弄清图线的下降(上升)对应哪种力做功； (2)图像给出的是过程信息，列守恒方程时仍应选取明确的初、末状态。 【例题精讲】 【例1】（26-27高三上·湖南株洲·开学考试）如图（a）所示，可视为质点的a、b两球通过轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮，b球在外力作用下静止悬空。以地面为重力势能的零势能面，从静止释放b球，在b球落地前的过程中，a、b两球的重力势能随时间t的变化关系如图（b）所示，图中两图像交点对应时刻t=0.3s，a球始终没有与定滑轮相碰，a、b始终在竖直方向上运动，忽略空气阻力，重力加速度g=10m/s2。则（　　） A．b球质量5kg B．b球落地时a球的动能为2J C．b球下落前距地面的高度为0.4m D．t=0.3s时a球离地面的高度为0.225m，b球离地面的高度0.075m 【答案】D 【详解】AC．设b球下落前距地面的高度为H，由图b可得， 解得 根据牛顿第二定律可得 联立解得 0~0.3s内，a球向上运动的位移大小为 b球向下运动的位移大小为 此时a、b两球的重力势能大小相等，即 联立解得，，，故AC错误； B．b球下落过程，根据系统机械能守恒定律可得 解得a球的动能为，故B错误； D．t=0.3s时，a球向上运动的位移大小为 即a球离地面的高度为0.225m，b球向下运动的位移大小为 此时b球离地面的高度为，故D正确。 故选D。 【例2】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）一质量为m的滑雪运动员从一定高度的斜坡自由下滑。已知运动员在下滑过程中受到的阻力恒定，斜坡倾角为30°，运动员滑至坡底的过程中，其机械能和动能随下滑距离s变化的图像如图所示，重力加速度取10 m/s2。下列说法正确的是（     ） A．运动员下滑过程中只有重力做功 B．运动员下滑过程中受到的阻力为60 N C．运动员下滑时滑板与斜坡的动摩擦因数为 D．运动员质量为60 kg 【答案】BD 【详解】A．由题图可知，运动员下滑过程中机械能减小，运动员的机械能不守恒，除重力外还有其他力做功，故A错误； B．由功能关系可知，运动员下滑过程克服阻力做的功等于机械能的减少量，即|ΔE|＝fs，则运动员受到的阻力大小为，故B正确； CD．运动员下滑过程中受到的阻力大小f＝μmgcos30° 由功能关系可知(mgsin30°－f)s＝ΔEk 由题图可知Ek­s图线的斜率为 联立解得m＝60 kg，，故C错误，D正确。 故选BD。 【变式训练1】（2026·四川·模拟预测）水平地面上轻弹簧左端固定，右端与滑块不拴接，通过滑块压缩 锁定。 时解除锁定，释放滑块。计算机通过滑块上的速度传感器描绘出滑块的速度平方与滑块位移图像如图所示，其中段为曲线，段为直线，已知滑块质量，重力加速度，不计空气阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（     ） A．若水平地面光滑，则在滑块向右运动的过程中（未与弹簧分离），滑块机械能守恒 B．滑块与地面间的动摩擦因数 C．弹簧锁定时具有的弹性势能为 D．滑块运动过程中加速度最大为 【答案】D 【详解】A．若水平地面光滑，在滑块向右运动未与弹簧分离的过程中，滑块受重力、支持力和弹簧弹力作用。重力和支持力不做功，弹簧弹力对滑块做正功，根据功能关系可知滑块的机械能增加，故A错误； B． 段图像为直线，说明滑块离开弹簧后做匀减速直线运动。由图可知 点坐标 ， 点坐标 。根据运动学公式 代入数据得 解得加速度 根据牛顿第二定律 解得，故B错误； C．滑块从点运动到点停止，根据能量守恒定律，弹簧锁定时具有的弹性势能全部转化为克服摩擦力做的功，即，故C错误； D．滑块在点时速度最大，加速度为零，此时弹簧弹力等于滑动摩擦力。点横坐标 弹簧压缩量 由平衡条件 代入数据解得 滑块刚释放时（），弹簧压缩量最大，弹力最大，合力最大，加速度最大。由牛顿第二定律 代入数据解得，故D正确。 故选D。 【变式训练2】（2026·浙江·一模）如图所示，轻弹簧竖直放置在水平地面上，物块静置于弹簧上端，物块从物块正上方高处由静止释放，与物块碰撞后一起向下运动。以的初始位置为原点，竖直向下为正方向建立轴。以地面为重力势能的零势能面，物块、均可视为质点，不计空气阻力。则下列哪幅图能反映物体的机械能随坐标的变化情况（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在物块自由下落、未与碰撞的阶段，只受重力作用，仅重力做功，的机械能守恒，因此机械能不随变化，是一段水平直线。在与碰撞后一起向下运动的阶段，由机械能守恒定律可知，除重力外其他力对物体做的功等于物体机械能的变化量，即 该阶段对有向上的支持力，且该力对做负功，故物块的机械能不断减小，图像斜率的绝对值等于对向上的支持力的大小；碰撞后、共同向下运动时，弹簧弹力随形变量增大而逐渐变大，对、整体由牛顿第二定律可知，的加速度向下不断减小直至向上逐渐增大，受到对它的向上的支持力大小满足 整理得 可知对的支持力逐渐增大，因此图像的斜率绝对值会逐渐变大，也就是曲线向下弯曲。 故选D。 【变式训练3】（25-26高三上·新疆克拉玛依·期末）（多选）如图所示，竖直面内有一个半径为的光滑圆弧轨道，质量为的物块（可视为质点）从顶端处静止释放滑至底端处，下滑过程中，物块的动能、与轨道间的弹力大小、机械能、重力的瞬时功率随物块在竖直方向下降高度变化关系图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】A．根据机械能守恒定律知，与成线性关系，故A错误； B．由牛顿第二定律知 其中 根据机械能守恒知，得 可得 与是线性关系，过原点，故B正确； C．根据机械能守恒知不变，故C正确； D．重力瞬时功率为 与的关系图像不是如D项图示关系，故D错误。 故选BC。 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $