指数函数与对数函数常见题型及解题策略讲义-2027届高三数学一轮复习

指数函数与对数函数常见题型及解题策略 题型归纳 · 专题学案 【学生版】 指数函数与对数函数常见题型及解题策略 一、知识要点 （一）指数式与对数式的运算与互化 1. 指数运算的四条法则要能默写：，，，。分数指数幂是根式的另一种写法：表示的 n 次方根，即先算再开 n 次方（a > 0，n 为正整数），负指数幂是取倒数：。运算时先把负指数与小数指数化成规范形式，再套法则，顺序是「先化简、后运算」。 2. 对数是指数的逆运算：（a > 0 且 a ≠ 1，N > 0）等价于。由定义直接得到四条恒等式：，，，。注意对数对底数与真数的限制：底数必须大于零且不等于 1，真数必须大于零，这两条是所有对数式子有意义的前提，动笔前先检查。 3. 对数运算的三条法则：，，（其中 M > 0，N > 0）。法则只能用于「乘除与幂」，不能套在加减上：没有展开公式，拆错是高频失分点。反过来，几个同底对数的和差要想着「合成一个对数」再求值。 4. 换底公式把不同底的对数统一到一起：。两条推论最常用：（底真互换取倒数），（底与真数的指数提出去）。常用对数 lg x 就是，自然对数 ln x 就是，遇到 2、3 以外的底数优先考虑换底。 （二）指数函数与对数函数的图象与性质 5. 指数函数（a > 0 且 a ≠ 1）：定义域是 R，值域是，图象过点。a > 1 时在 R 上单调递增，0 < a < 1 时在 R 上单调递减。底数互为倒数的两个指数函数（如与）的图象关于 y 轴对称。指数函数的图象恒在 x 轴上方，且以 x 轴为渐近线。 6. 对数函数（a > 0 且 a ≠ 1）：定义域是，值域是 R，图象过点。a > 1 时在上单调递增，0 < a < 1 时单调递减。对数函数的图象恒在 y 轴右侧，且以 y 轴为渐近线。底数变化对图象位置的影响与指数函数相反：在上，底数越大图象越靠近 x 轴。 7. 含指对结构的复合函数，第一步永远是求定义域：要求，这个限制往往同时就是后面单调性讨论的区间。单调性按「同增异减」判断：外层与内层的单调性相同时复合函数递增，相反时递减；若内层不是单调函数，要先画出内层的图象或分段讨论，不能直接下结论。 8. 形如的函数自带奇偶性结构：由知定义域是 R，先用定出参数，再代与验证。另有两类基本事实要熟：是偶函数，是奇函数；判断定义在 R 上的奇函数时，是必要条件，可用来快速定参。 （三）单调性的三大应用：比较大小、解不等式与实际应用 9. 比较指数式、对数式的大小有三板斧。第一板斧是同底化：把各个数化成同一个底数，再用单调性比较；第二板斧是找中间量：以 0 和 1 为界，先定每个数落在哪个区间，落不进同一区间的直接分出大小；第三板斧是构造函数或引入连等式的公共值，把分散的量统一到一个参数上再讨论。前两板斧解决大多数选择题，第三板斧对付「关系不确定、问哪种关系不可能出现」的创新题。 10. 解指数不等式与对数不等式，本质是利用单调性去掉指数或对数符号。a > 1 时与都是增函数，去掉符号后不等号方向不变；0 < a < 1 时两者都是减函数，去掉符号后不等号要反向。解对数不等式必须先写定义域：真数大于零，最后把解与定义域取交集，这一步漏掉几乎必错。 11. 指数、对数函数的实际应用题按「读题 → 设变量 → 建模型 → 解模型 → 答」五步走。常见模型有两类：指数型增长或衰减（N > 1 增长，0 < N < 1 衰减），对数型。解模时常用对数运算法则把乘除化成加减、把指数提出来，配合题目给的参考数据估算；最后要用实际意义检验（时间、深度等变量不能取负）。 12. 函数的零点与方程的解是同一件事：解就是找图象与 x 轴交点的横坐标。判断零点个数与位置的常用手段是零点存在定理（区间两端函数值异号则区间内有零点）配合单调性（单调区间内至多一个零点）。像这类两边结构不同的方程，把左右两边分别看作两个函数，用图象交点或代入特殊值夹逼出解所在的小区间。 二、方法提炼 方法1　指数式与对数式的运算与互化：见到求对数值或化简指对式，第一动作是「指对互化」：把条件写成的形式，或把指数式取对数。同底就合并（和差化一个对数），不同底就换底（优先换到以已知量为底的式子），再配与两条推论。每一步都要检查底数与真数的取值限制，别让式子在变形中失去意义。 方法2　指数函数与对数函数的图象与性质：判断指对函数的性质，按「定义域 → 奇偶性 → 单调性 → 特殊点」的顺序过一遍：对数结构先解真数大于零，指数结构看定义域是否关于原点对称；含可求的奇函数直接用定参；复合函数单调性用「同增异减」，内层不单调时分段处理。值域问题把两段（或几段）的取值范围分别写出来再取并集，衔接处要单独检验。 方法3　利用指数、对数函数的单调性比较大小与解不等式：比较大小先「同底化」，化不动就以 0 和 1 为中间量分层，同层的两个数再借换底或构造函数细分。解指对不等式时，底数与 1 的大小决定去符号后不等号的方向：a > 1 不反向，0 < a < 1 要反向；对数不等式必须先写真数大于零的定义域，解集与定义域取交集。底数含参数时按 0 < a < 1、a = 1（舍）、a > 1 三类讨论。 方法4　指数、对数函数的模型应用与零点问题：应用题按五步走：读题设变量、依题意列模型、用指对运算解模型、代参考数据估算、按实际意义作答并检验。指对运算的核心是与同底对数的加减合并。零点问题把方程整理成，用零点存在定理找变号区间、用单调性保证唯一性；两边结构不同的方程，把两边分别设成函数比图象，或代入特殊值把解夹进一个小区间。 三、易错提醒 ◆ 对数运算法则只管乘除与幂：，，把加减拆成对数相加减是最常见、也最难自我察觉的错误。反过来，与不是一回事，前者是「对数的平方」。 ◆ 对数的底数必须满足 a > 0 且 a ≠ 1，真数必须大于零。解对数不等式时，0 < a < 1 与 a > 1 的单调性相反，去符号后不等号方向不同，必须分两类讨论；只按 a > 1 一种是本册最高频的失分点。底数含参数时，还要把 a = 1 排除在答案之外。 ◆ 负指数幂是取倒数，不是变负数：。分数指数幂先化成根式再算：，。底数为负数时，只有分母为奇数的分数指数才有意义，这一限制在判断定义域与化简时都要用到。 ◆ 对数函数的定义域先行：求复合函数的任何性质之前，先解。分段函数的值域问题要分别写出每一段的取值范围再取并集，「值域为 R」意味着并集恰好盖住整个实数轴，两段的衔接处必须单独检验，端点能不能取到决定答案是开区间还是闭区间。 ◆ 判断奇偶性先看定义域：定义域不关于原点对称的函数谈不上奇偶性，例如 y = lg x 的定义域是，它是非奇非偶函数。定义在 R 上的奇函数必有，这一条可以快速定参数；但定出参数后要回代验证对一切 x 成立，只代一个点不够。 ◆ 实际应用题的答案要过两道关：一是模型的定义域由实际意义确定，时间、深度、数量等变量不能取负数或超出题设范围；二是参考数据只给到一定精度，结论要写「约为」，并且选项问「正确的是」时逐项代入验算，不能只凭直觉挑一项。 四、例题精讲 【例 1】 方法一 · 指数式与对数式的运算与互化 题注：两个对数的底不同、真数相同，先「底真互换取倒数」把已知条件换成以 x 为底的对数，再合并、再取倒数，三步走完。 （2026·天津南开·二模）已知 mn ≠ 1，，，则（　　） 　　　　　　　　　 【例 2】 方法二 · 指数函数与对数函数的图象与性质 题注：定义域是 R 的奇函数先令 f(0) = 0 定参数；求值前先化简对数——底数与真数同时取倒数，对数值不变。 （2026·天津河东·二模）已知函数，当函数为奇函数时，为（　　） 　　　B. −1　　　C. 0　　　 【例 3】 方法三 · 利用指数、对数函数的单调性比较大小与解不等式 题注：连等式条件不给具体数值，问「哪种大小关系不可能出现」——设公共值为 m，把三个量都写成 m 的函数，再取几个特殊值排除。 （2025·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）若实数 x、y、z 满足，则 x、y、z 的大小关系不可能是（　　） A. x > y > z　　　B. x > z > y　　　C. y > x > z　　　D. y > z > x 【例 4】 方法四 · 指数、对数函数的模型应用与零点问题 题注：对数模型里先「作差合并对数」求出常数 k，再算第二段增量——增量只与真数的比值有关，与绝对量无关。 （2025·北京卷·高考真题）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练 N 个单位的数据量所需要的时间（单位：小时），其中 k 为常数。在此条件下，已知训练数据量 N 从个单位增加到个单位时，训练时间增加 20 小时；当训练数据量 N 从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（　　） A. 2　　　B. 4　　　C. 20　　　D. 40 五、巩固练习 1. 方法一 · 指数式与对数式的运算与互化 （2026·广东广州·三模）若，则（　　） 　　　　　　C. 1　　　D. 2 2. 方法二 · 指数函数与对数函数的图象与性质 （2026·河南周口·模拟预测）已知函数满足：当 x < 1 时；当 x ≥ 1 时，其中 a > 0 且 a ≠ 1。若的值域为 R，则实数 a 的取值范围是（　　） 　　　 　　　 3. 方法二 · 指数函数与对数函数的图象与性质 （2026·山西忻州·模拟预测）设函数，x ∈ R，则下列说法正确的是（　　） 是偶函数　　　　　　　　在 x = 0 处取得最小值 C. 方程有且仅有一个实根　　D. 对任意 x ∈ R，都有 4. 方法三 · 利用指数、对数函数的单调性比较大小与解不等式 （2026·天津河北·二模）已知，，，则 a、b、c 的大小关系为（　　） A. b > a > c　　　B. c > a > b　　　C. c > b > a　　　D. a > b > c 5. 方法三 · 利用指数、对数函数的单调性比较大小与解不等式 （2025·上海卷·高考真题）设 a > 0，s ∈ R。下列各项中，能推出的一项是（　　） A. a > 1，且 s > 0　　　　　　　B. a > 1，且 s < 0 C. 0 < a < 1，且 s > 0　　　　　D. 0 < a < 1，且 s < 0 6. 方法四 · 指数、对数函数的模型应用与零点问题 （2026·河南开封·模拟预测）在土壤学中，常用指数模型描述土壤表层盐分含量随灌溉水淋溶深度的变化。已知某块盐碱地土壤表层初始盐分含量为（单位：克每千克），经淋溶深度为 h（单位：dm）的灌溉水淋溶后（h 指的是灌溉水渗入土壤的垂直深度），土壤表层残留盐分含量 S 满足关系式，其中 k 为与土壤性质有关的常数，实验测得该盐碱地土壤的 k = 0.3。根据上述模型，下列说法正确的是（　　） （参考数据：，，） A. 当淋溶深度 h = 2 dm 时，该盐碱地土壤表层残留盐分含量约为初始盐分含量的 25% B. 要使该盐碱地土壤表层残留盐分含量降至初始盐分含量的 1%，则淋溶深度 h 约为 5 dm C. 在淋溶深度的基础上再增加 1 dm，该盐碱地土壤表层残留盐分含量会再减少约一半 D. 若该盐碱地土壤的 k 值变为 0.4，则淋溶深度 h = 2 dm 时，土壤表层残留盐分含量低于初始盐分含量的 20% 六、拓展 指数函数与对数函数互为反函数：在上，（a > 0 且 a ≠ 1）与的图象关于直线 y = x 对称，这一对函数互为反函数。借助这条对称性，一个函数的定义域就是另一个函数的值域，两者的单调性方向也完全一致。例如由的值域是立即得到的定义域是。必修一并未展开反函数的概念，这里只作了解。 换底公式的推论链：除了换底公式本身，还有三条推论在综合题里反复出现：（底真互换取倒数）；（底与真数的指数提出去）；（链式相乘）。本册例 1 的就是第一条的直接应用。处理连乘连除的对数链时，先统一换到同一个底再化简，比逐个硬算快得多。 连等式问题的设元法与图象法：若干个含对数或指数的式子连等、又不给具体数值时，标准动作是设公共值为 m，把每个量写成 m 的函数。之后既可以代入特殊值排除（本册例 3 的做法），也可以在同一坐标系里画出几条曲线，看它们与竖直线 s = m 交点的相对高度如何随 m 变化。图象法能直接看出「哪种大小关系永远不会出现」，是处理这类「问不可能」的创新题的通法。 常用对数与数量级估算：lg 2 ≈ 0.301 与 lg 3 ≈ 0.477 这两个参考值配合换底公式，可以估出绝大多数常用对数：lg 5 = 1 − lg 2 ≈ 0.699，lg 6 = lg 2 + lg 3 ≈ 0.778。本册例 4 里、4.096 = 4×1.024 这类「凑成 2 的幂」的设计，正是命题人给对数估算留的台阶；见到 1.024、4.096 这类数字，先想 2 的整数次幂。 学科网（北京）股份有限公司 $ 指数函数与对数函数常见题型及解题策略 题型归纳 · 专题学案 【教师版】 指数函数与对数函数常见题型及解题策略 一、知识要点 （一）指数式与对数式的运算与互化 1. 指数运算的四条法则要能默写：，，，。分数指数幂是根式的另一种写法：表示的 n 次方根，即先算再开 n 次方（a > 0，n 为正整数），负指数幂是取倒数：。运算时先把负指数与小数指数化成规范形式，再套法则，顺序是「先化简、后运算」。 2. 对数是指数的逆运算：（a > 0 且 a ≠ 1，N > 0）等价于。由定义直接得到四条恒等式：，，，。注意对数对底数与真数的限制：底数必须大于零且不等于 1，真数必须大于零，这两条是所有对数式子有意义的前提，动笔前先检查。 3. 对数运算的三条法则：，，（其中 M > 0，N > 0）。法则只能用于「乘除与幂」，不能套在加减上：没有展开公式，拆错是高频失分点。反过来，几个同底对数的和差要想着「合成一个对数」再求值。 4. 换底公式把不同底的对数统一到一起：。两条推论最常用：（底真互换取倒数），（底与真数的指数提出去）。常用对数 lg x 就是，自然对数 ln x 就是，遇到 2、3 以外的底数优先考虑换底。 （二）指数函数与对数函数的图象与性质 5. 指数函数（a > 0 且 a ≠ 1）：定义域是 R，值域是，图象过点。a > 1 时在 R 上单调递增，0 < a < 1 时在 R 上单调递减。底数互为倒数的两个指数函数（如与）的图象关于 y 轴对称。指数函数的图象恒在 x 轴上方，且以 x 轴为渐近线。 6. 对数函数（a > 0 且 a ≠ 1）：定义域是，值域是 R，图象过点。a > 1 时在上单调递增，0 < a < 1 时单调递减。对数函数的图象恒在 y 轴右侧，且以 y 轴为渐近线。底数变化对图象位置的影响与指数函数相反：在上，底数越大图象越靠近 x 轴。 7. 含指对结构的复合函数，第一步永远是求定义域：要求，这个限制往往同时就是后面单调性讨论的区间。单调性按「同增异减」判断：外层与内层的单调性相同时复合函数递增，相反时递减；若内层不是单调函数，要先画出内层的图象或分段讨论，不能直接下结论。 8. 形如的函数自带奇偶性结构：由知定义域是 R，先用定出参数，再代与验证。另有两类基本事实要熟：是偶函数，是奇函数；判断定义在 R 上的奇函数时，是必要条件，可用来快速定参。 （三）单调性的三大应用：比较大小、解不等式与实际应用 9. 比较指数式、对数式的大小有三板斧。第一板斧是同底化：把各个数化成同一个底数，再用单调性比较；第二板斧是找中间量：以 0 和 1 为界，先定每个数落在哪个区间，落不进同一区间的直接分出大小；第三板斧是构造函数或引入连等式的公共值，把分散的量统一到一个参数上再讨论。前两板斧解决大多数选择题，第三板斧对付「关系不确定、问哪种关系不可能出现」的创新题。 10. 解指数不等式与对数不等式，本质是利用单调性去掉指数或对数符号。a > 1 时与都是增函数，去掉符号后不等号方向不变；0 < a < 1 时两者都是减函数，去掉符号后不等号要反向。解对数不等式必须先写定义域：真数大于零，最后把解与定义域取交集，这一步漏掉几乎必错。 11. 指数、对数函数的实际应用题按「读题 → 设变量 → 建模型 → 解模型 → 答」五步走。常见模型有两类：指数型增长或衰减（N > 1 增长，0 < N < 1 衰减），对数型。解模时常用对数运算法则把乘除化成加减、把指数提出来，配合题目给的参考数据估算；最后要用实际意义检验（时间、深度等变量不能取负）。 12. 函数的零点与方程的解是同一件事：解就是找图象与 x 轴交点的横坐标。判断零点个数与位置的常用手段是零点存在定理（区间两端函数值异号则区间内有零点）配合单调性（单调区间内至多一个零点）。像这类两边结构不同的方程，把左右两边分别看作两个函数，用图象交点或代入特殊值夹逼出解所在的小区间。 二、方法提炼 方法1　指数式与对数式的运算与互化：见到求对数值或化简指对式，第一动作是「指对互化」：把条件写成的形式，或把指数式取对数。同底就合并（和差化一个对数），不同底就换底（优先换到以已知量为底的式子），再配与两条推论。每一步都要检查底数与真数的取值限制，别让式子在变形中失去意义。 方法2　指数函数与对数函数的图象与性质：判断指对函数的性质，按「定义域 → 奇偶性 → 单调性 → 特殊点」的顺序过一遍：对数结构先解真数大于零，指数结构看定义域是否关于原点对称；含可求的奇函数直接用定参；复合函数单调性用「同增异减」，内层不单调时分段处理。值域问题把两段（或几段）的取值范围分别写出来再取并集，衔接处要单独检验。 方法3　利用指数、对数函数的单调性比较大小与解不等式：比较大小先「同底化」，化不动就以 0 和 1 为中间量分层，同层的两个数再借换底或构造函数细分。解指对不等式时，底数与 1 的大小决定去符号后不等号的方向：a > 1 不反向，0 < a < 1 要反向；对数不等式必须先写真数大于零的定义域，解集与定义域取交集。底数含参数时按 0 < a < 1、a = 1（舍）、a > 1 三类讨论。 方法4　指数、对数函数的模型应用与零点问题：应用题按五步走：读题设变量、依题意列模型、用指对运算解模型、代参考数据估算、按实际意义作答并检验。指对运算的核心是与同底对数的加减合并。零点问题把方程整理成，用零点存在定理找变号区间、用单调性保证唯一性；两边结构不同的方程，把两边分别设成函数比图象，或代入特殊值把解夹进一个小区间。 三、易错提醒 ◆ 对数运算法则只管乘除与幂：，，把加减拆成对数相加减是最常见、也最难自我察觉的错误。反过来，与不是一回事，前者是「对数的平方」。 ◆ 对数的底数必须满足 a > 0 且 a ≠ 1，真数必须大于零。解对数不等式时，0 < a < 1 与 a > 1 的单调性相反，去符号后不等号方向不同，必须分两类讨论；只按 a > 1 一种是本册最高频的失分点。底数含参数时，还要把 a = 1 排除在答案之外。 ◆ 负指数幂是取倒数，不是变负数：。分数指数幂先化成根式再算：，。底数为负数时，只有分母为奇数的分数指数才有意义，这一限制在判断定义域与化简时都要用到。 ◆ 对数函数的定义域先行：求复合函数的任何性质之前，先解。分段函数的值域问题要分别写出每一段的取值范围再取并集，「值域为 R」意味着并集恰好盖住整个实数轴，两段的衔接处必须单独检验，端点能不能取到决定答案是开区间还是闭区间。 ◆ 判断奇偶性先看定义域：定义域不关于原点对称的函数谈不上奇偶性，例如 y = lg x 的定义域是，它是非奇非偶函数。定义在 R 上的奇函数必有，这一条可以快速定参数；但定出参数后要回代验证对一切 x 成立，只代一个点不够。 ◆ 实际应用题的答案要过两道关：一是模型的定义域由实际意义确定，时间、深度、数量等变量不能取负数或超出题设范围；二是参考数据只给到一定精度，结论要写「约为」，并且选项问「正确的是」时逐项代入验算，不能只凭直觉挑一项。 四、例题精讲 【例 1】 方法一 · 指数式与对数式的运算与互化 题注：两个对数的底不同、真数相同，先「底真互换取倒数」把已知条件换成以 x 为底的对数，再合并、再取倒数，三步走完。 （2026·天津南开·二模）已知 mn ≠ 1，，，则（　　） 　　　　　　　　　 【答案】A 【解析】由，用「底真互换取倒数」得；同理，由得。 于是。 再用一次「底真互换取倒数」：。故选 A。 【点拨】这道题只用了换底公式的一条推论——，但要用两次：第一次把「以 m、n 为底」的条件换成「以 x 为底」，第二次把「以 mn 为底」的目标换成「以 x 为底」。中间用同底对数的加法把两个对数合成。见到「底不同、真数相同」或「底相同、真数不同」的对数组合，先想换底与倒数这条链，不要急着代入具体数值。 【例 2】 方法二 · 指数函数与对数函数的图象与性质 题注：定义域是 R 的奇函数先令 f(0) = 0 定参数；求值前先化简对数——底数与真数同时取倒数，对数值不变。 （2026·天津河东·二模）已知函数，当函数为奇函数时，为（　　） 　　　B. −1　　　C. 0　　　 【答案】A 【解析】对一切实数 x 成立，所以的定义域是 R。由是奇函数且 0 在定义域内，得，即，解得 m = 2。所以。 先化简对数值。由换底公式，底数与真数同时取倒数时对数值不变：。 于是，代入得。故选 A。 【点拨】定参数走的是「定义域回代验证」三步：恒正保证定义域是 R，奇函数在原点有定义时必为零，解出 m 后应代验证一遍（本题，分子分母在 x 换成 −x 时同时变号，奇函数成立）。求值这一步的关键是的化简：底数换成倒数、真数不动，相当于把算成倒数，先化简再代入，运算量小得多。 【例 3】 方法三 · 利用指数、对数函数的单调性比较大小与解不等式 题注：连等式条件不给具体数值，问「哪种大小关系不可能出现」——设公共值为 m，把三个量都写成 m 的函数，再取几个特殊值排除。 （2025·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）若实数 x、y、z 满足，则 x、y、z 的大小关系不可能是（　　） A. x > y > z　　　B. x > z > y　　　C. y > x > z　　　D. y > z > x 【答案】B 【解析】设公共值为 m，则，，，即，，。取几个具体的 m 值检验： 取 m = 2：，，，此时 x > y > z，A 可能出现，排除 A。 取 m = 5：，，，此时 y > x > z，C 可能出现，排除 C。 取 m = 8：，，，此时 y > z > x，D 可能出现，排除 D。 三种顺序都能出现，剩下的 B（x > z > y）不可能出现，故选 B。 【点拨】连等式的标准动作是设公共值为一个参数 m，把分散的量统一成 m 的函数：、、，它们分别是三条指数曲线在竖直线 s = m 处的高度。选几个方便计算的 m（让指数落在 0 与小正整数上）代入，每代一个就排除一个选项；三个选项被排除后，剩下的就是答案。这道题也可以直接给 x 赋值（如令 x = 1、z = 1、x = 64），本质与设 m 相同——都是先制造具体数字再比较。 【例 4】 方法四 · 指数、对数函数的模型应用与零点问题 题注：对数模型里先「作差合并对数」求出常数 k，再算第二段增量——增量只与真数的比值有关，与绝对量无关。 （2025·北京卷·高考真题）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练 N 个单位的数据量所需要的时间（单位：小时），其中 k 为常数。在此条件下，已知训练数据量 N 从个单位增加到个单位时，训练时间增加 20 小时；当训练数据量 N 从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（　　） A. 2　　　B. 4　　　C. 20　　　D. 40 【答案】B 【解析】第一步，求 k。由题意，时间增加量为。合并同底对数得，即。 而，所以 10k = 20，解得 k = 2。 第二步，算第二段增量。时间增加。故选 B。 【点拨】对数模型的增量只看真数的比值：，所以第一段增量由「与的比值」决定，第二段增量由「与的比值」决定。命题人特意把数据设计成 1.024 与 4.096——它们与 10 的幂相乘后恰好是与，比值是。见到 1.024、4.096 这类数字，先想 2 的整数次幂，这一步认出来，整道题只剩两次对数运算。 五、巩固练习 1. 方法一 · 指数式与对数式的运算与互化 （2026·广东广州·三模）若，则（　　） 　　　　　　C. 1　　　D. 2 【答案】A 【解析】由，得。 于是。故选 A。 【点拨】指数式与对数式的互化是同一条信息的两种写法：两边同取次幂即得，再由直接读出对数值。先统一底数再互化，是这类题最短的路。 2. 方法二 · 指数函数与对数函数的图象与性质 （2026·河南周口·模拟预测）已知函数满足：当 x < 1 时；当 x ≥ 1 时，其中 a > 0 且 a ≠ 1。若的值域为 R，则实数 a 的取值范围是（　　） 　　　 　　　 【答案】B 【解析】分段写出两段的取值范围，再取并集。 先看第二段：当 x ≥ 1 时，。若 0 < a < 1，它在 [1, +∞) 上单调递减，值域是；若 a > 1，它在 [1, +∞) 上单调递增，值域是 [0, +∞)。 再看第一段：当 x < 1 时，是一次函数，取值范围由斜率 2a − 1 的符号决定。按 a 分三类讨论。 情形一，：斜率 2a − 1 < 0，在上递减，x 趋于 −∞ 时函数值趋于 +∞，x 趋于 1 时函数值趋于 3a − 1，这一段的值域是。两段并起来要盖住 R，必须 3a − 1 ≤ 0，即，结合，得。 情形二，：斜率 2a − 1 ≥ 0，第一段的值域至多是（时更退化为一个常数），第二段的值域是，两段并起来盖不住 R，不合题意。 情形三，a > 1：第二段值域是 [0, +∞)，第一段斜率 2a − 1 > 0，值域是。由 a > 1 得 3a − 1 > 2 > 0，两段并起来恰好盖住 R，符合题意。 综上，实数 a 的取值范围是。故选 B。 【点拨】「值域为 R」意味着两段取值范围的并集恰好盖住整个实数轴，做法是把每一段的范围分别写清楚再取并集。分界点有两个：一个是斜率的零点，一个是对数底数与 1 的关系 a = 1，两个都要作为分类的标准。最容易错的是端点：时第一段的值域是、第二段是，并起来恰好是 R，所以能取到，答案是闭的；a = 1 被题设排除，所以 (1, +∞) 是开的。 3. 方法二 · 指数函数与对数函数的图象与性质 （2026·山西忻州·模拟预测）设函数，x ∈ R，则下列说法正确的是（　　） 是偶函数　　　　　　　　在 x = 0 处取得最小值 C. 方程有且仅有一个实根　　D. 对任意 x ∈ R，都有 【答案】ABC 【解析】A：。由，取对数得，于是，是偶函数，A 正确。 B：。x < 0 时，；x > 0 时，。所以在上递减、在上递增，在 x = 0 处取得最小值，B 正确。 C：令（t > 0），方程化为，即，也就是。解得，其中负根舍去，正根唯一。每个正的 t 对应唯一的 x = ln t，所以原方程有且仅有一个实根，C 正确。 D：取 x = 4 检验。，，而。，D 不成立，D 错误。 故选 ABC。 【点拨】判断奇偶性用的恒等式是，它把「真数里的」拆成「负指数因子乘以原来的真数」，取对数后负指数因子变成 −x，这是处理结构的通用手段。判断单调性直接求导；判断方程根的个数则换元后看二次方程的正根个数。选项 D 这类「对任意 x 都成立」的不等式，找一个具体值推翻比证明它对更快——取 x = 4 一算便知。 4. 方法三 · 利用指数、对数函数的单调性比较大小与解不等式 （2026·天津河北·二模）已知，，，则 a、b、c 的大小关系为（　　） A. b > a > c　　　B. c > a > b　　　C. c > b > a　　　D. a > b > c 【答案】C 【解析】先定 a：底数 0.3 落在内，指数函数递减，而 0.1 > 0，所以。 再定 b：底数 2.5 > 1，对数函数递增，而 3 > 2.5，所以。 再定 c：底数 2 > 1，对数函数递增，而 3.5 > 2，所以。 a < 1 < b、c，还需比较 b 与 c。用换底公式化作商：。 由 2 < 2.5 得，由 3 < 3.5 得，两个正数相乘小于 1，所以，即 b < c。 综上，c > b > a。故选 C。 【点拨】比较大小先「分层」：用 0 和 1 把三个数隔开，a 落在、b 与 c 都落在，第一层就分出 a 最小。同层的 b 与 c 再作商：把两个对数都用换底公式写成 ln 的商，重新组合成与的乘积，两个因子都小于 1 且为正，商就小于 1。「作商比大小」要求两个数同正，这里 b、c 都大于 1，条件满足。 5. 方法三 · 利用指数、对数函数的单调性比较大小与解不等式 （2025·上海卷·高考真题）设 a > 0，s ∈ R。下列各项中，能推出的一项是（　　） A. a > 1，且 s > 0　　　　　　　B. a > 1，且 s < 0 C. 0 < a < 1，且 s > 0　　　　　D. 0 < a < 1，且 s < 0 【答案】D 【解析】与 a 的比较，实质是比较 s 与 1 的大小，方向由底数决定。 当 a > 1 时，关于 s 单调递增，等价于 s > 1。A 中只有 s > 0，取 s = 0.1 就有，推不出；B 中 s < 0，此时，反而得到。 当 0 < a < 1 时，关于 s 单调递减，等价于 s < 1。C 中 s > 0 但可以取 s = 2，此时，推不出；D 中 s < 0 < 1，必有，成立。 故选 D。 【点拨】「能推出」要求结论对满足条件的每一个 a、s 都成立，所以否定一项只要举一个反例，肯定一项要给出完整的推理。把改写成，问题就变成「s 与 1 比大小」，方向由底数与 1 的大小决定——底数大于 1 时增函数保序，底数小于 1 时减函数反序。这条「化成同底幂再比指数」的动作是指数比大小的通用入口。 6. 方法四 · 指数、对数函数的模型应用与零点问题 （2026·河南开封·模拟预测）在土壤学中，常用指数模型描述土壤表层盐分含量随灌溉水淋溶深度的变化。已知某块盐碱地土壤表层初始盐分含量为（单位：克每千克），经淋溶深度为 h（单位：dm）的灌溉水淋溶后（h 指的是灌溉水渗入土壤的垂直深度），土壤表层残留盐分含量 S 满足关系式，其中 k 为与土壤性质有关的常数，实验测得该盐碱地土壤的 k = 0.3。根据上述模型，下列说法正确的是（　　） （参考数据：，，） A. 当淋溶深度 h = 2 dm 时，该盐碱地土壤表层残留盐分含量约为初始盐分含量的 25% B. 要使该盐碱地土壤表层残留盐分含量降至初始盐分含量的 1%，则淋溶深度 h 约为 5 dm C. 在淋溶深度的基础上再增加 1 dm，该盐碱地土壤表层残留盐分含量会再减少约一半 D. 若该盐碱地土壤的 k 值变为 0.4，则淋溶深度 h = 2 dm 时，土壤表层残留盐分含量低于初始盐分含量的 20% 【答案】ACD 【解析】模型为，起作用的是残留比例，逐项代入检验。 A：h = 2 时，，即约为初始含量的 25%，A 正确。 B：降至 1% 即，由同底幂相等则指数相等，得 0.3h = 2，，不是 5 dm，B 错误。 C：设原淋溶深度为，原残留比例为；增加 1 dm 后为，即约为原来的一半，C 正确。 D：k = 0.4、h = 2 时，，即低于初始含量的 20%，D 正确。故选 ACD。 【点拨】指数衰减模型的全部信息都集中在「比例」上，初始量只是乘在外面的常数，逐项比较时可以约掉。选项 B 的方程用「同底幂相等则指数相等」直接解出；选项 C 的关键动作是把拆成与的乘积——指数相加对应同底幂相乘。多选题逐项验算，每项都要落到具体数字上。 六、拓展 指数函数与对数函数互为反函数：在上，（a > 0 且 a ≠ 1）与的图象关于直线 y = x 对称，这一对函数互为反函数。借助这条对称性，一个函数的定义域就是另一个函数的值域，两者的单调性方向也完全一致。例如由的值域是立即得到的定义域是。必修一并未展开反函数的概念，这里只作了解。 换底公式的推论链：除了换底公式本身，还有三条推论在综合题里反复出现：（底真互换取倒数）；（底与真数的指数提出去）；（链式相乘）。本册例 1 的就是第一条的直接应用。处理连乘连除的对数链时，先统一换到同一个底再化简，比逐个硬算快得多。 连等式问题的设元法与图象法：若干个含对数或指数的式子连等、又不给具体数值时，标准动作是设公共值为 m，把每个量写成 m 的函数。之后既可以代入特殊值排除（本册例 3 的做法），也可以在同一坐标系里画出几条曲线，看它们与竖直线 s = m 交点的相对高度如何随 m 变化。图象法能直接看出「哪种大小关系永远不会出现」，是处理这类「问不可能」的创新题的通法。 常用对数与数量级估算：lg 2 ≈ 0.301 与 lg 3 ≈ 0.477 这两个参考值配合换底公式，可以估出绝大多数常用对数：lg 5 = 1 − lg 2 ≈ 0.699，lg 6 = lg 2 + lg 3 ≈ 0.778。本册例 4 里、4.096 = 4×1.024 这类「凑成 2 的幂」的设计，正是命题人给对数估算留的台阶；见到 1.024、4.096 这类数字，先想 2 的整数次幂。 学科网（北京）股份有限公司 $