多变量最值问题常见题型及解题策略讲义-2027届高三数学一轮复习

多变量最值问题常见题型及解题策略 题型归纳 · 专题学案 【学生版】 多变量最值问题常见题型及解题策略 一、知识要点 （一）认清结构：多变量最值的「三定」 1. 多变量最值问题长什么样：目标（如 ab、a+b、、）里含两个变量，另外给一个等量条件（如 a + 2b = 4、）。条件的作用是把两个变量的自由度压成一维，让「最值」有确定的答案。2026 年上海卷「，求 ab 的最大值」、2025 年泰州中学月考「a + b = 1，求的最小值」都是这个结构。 2. 一正：使用基本不等式的前提是两个量都为正。题面写「正数」「正实数」就是明示；没写正数时，要先由条件推出正性，例如且 a > 0 隐含，即 b > 4。推不出正性的题不能直接套，这是全专题的第一道门槛。 3. 二定：和定积最大、积定和最小，「定值」必须从条件里来。a + 2b = 4 给了「和定」，才能谈 ab 的最大；给了平方和定，才能谈 ab 的最大。目标与条件对不上「定」字时，先通过代数变形（乘 1、化同底、取倒数）把「定」凑出来，再谈最值。 4. 三相等：等号成立条件要解出来，并且要落在允许范围内。a + 2b = 4 时 ab ≤ 2 的等号在 a = 2b，联立解得 a = 2、b = 1，代回条件成立，最大值才真实取到。若解出的取等值不满足条件（例如算出负数、或落在定义域外），说明等号取不到，真正的最值要另找——只写不等式不验证取等，是这类题最常见的失分点。 （二）四条路线各自的适用形态 5. 配凑均值法的形态：条件与目标之间只差一次均值不等式。如与 ab：把 1 写成，用一步到位；又如 a + 2b = 4 与 ab：一步到位。见到「平方和、加权平方和、系数不等的和」与「乘积目标」的组合，先想这条路。 6. 常数代换法（「1」的代换）的形态：条件是 a + b = 1（或 x + 2y = 2、x + 4y = 1 这类和为常数的等式），目标是分式齐次式（如、）。动作是把目标乘以 1，用条件把 1 换成那个和式，展开后每项要么是定值、要么是比值形式，对比值部分用均值不等式收尾。 7. 消元转化法的形态：条件能解出一个变量（如解出），目标代入后成为单变量函数（）。接下来按一元函数最值处理：换元（）、配方、或对二次式用均值不等式。消元是最通用的一招，代价是必须随身携带新变量的取值范围。 8. 整体设元法的形态：目标是一个整体（如 3x + y、ab），条件里它以「和」或「积」的面目出现。把目标整体设为 t，用均值不等式把条件中的其余部分也压到 t 上，得到关于 t 的不等式（常常是二次的），解不等式得 t 的范围。2026 年重庆模拟「3x + y + xy = 9，求 3x + y 的最小值」是标准形态：把两个变量一次性收进一个 t 里。 （三）多选题与解答题的处理要领 9. 多选题逐项独立判断：四个选项各是一个小最值题，可以各用一条路线，彼此的结论不传递。2026 年无锡一中卷「a + 2b = 2ab」的四个选项里，A 用整体设元、C 由 A 的结论直接推出、D 再用一次均值不等式接力；把每项当成独立小题，才不会被某个选项的结论误导。 10. 解答题要写全三句话：变形依据（用了哪条均值不等式）、等号成立条件、以及「当且仅当 … 时取等号，故 …」的结论。2026 年扬州中学的解答题第 (2) 问是标准示范：先写乘 1 展开，再写均值不等式，最后联立解出取等点并代回条件。只有算式没有文字，过程分会被扣掉。 11. 取等条件要落到具体的 (a, b)：说「当且仅当 a = 2b」不算完，要联立条件解出 a = 2、b = 1 这组具体值，并代回原条件检验。本册 10 道题的取等点全部算到了具体数值，这也是检验自己答案的最快办法——两组数代回去，条件成立，答案大概率对。 12. 常用变形库：；；；；条件为「和等于积」型（如 a + 2b = 2ab）时，两边同除以 2ab 化成的倒数形式，很多看起来陌生的条件会立刻变得眼熟。 二、方法提炼 方法1　配凑均值法：直接对条件或目标使用基本不等式。先把条件改写成「平方和」或「加权积」的形态，使不等式的一端恰好是条件里的定值、另一端出现目标。参与不等式的两个量不一定是题目里的字母本身，可以是它们的倍数（如 a 与 2b）。等号条件由「两个量相等」解出，必须代回条件检验能取到。 方法2　常数代换法：条件为「若干变量之和等于常数」且目标为分式时，把目标乘以 1，再把 1 换成那个常数等式；展开后按「定值 + 比值」分组，对比值部分用均值不等式。本册也称「1 的代换」。展开时最容易错的是交叉项的系数：里的来自 2y 与相乘，系数写错，定值就没了。 方法3　消元转化法：从条件等式解出一个变量（优先解「一次」的那个），代入目标把它化成一元函数；若出现分式，用换元（如）化成二次函数，配方或用均值不等式求最值。换元时必须同时写出新变量的取值范围——范围由原变量的正性与条件共同决定，最值必须落在这个范围内才有效。 方法4　整体设元法：把目标整体设为 t，用基本不等式把条件中的另一部分也压到 t 上，得到关于 t 的不等式（多为二次），解出 t 的范围；最后一步必须解出取等的具体变量值并代回条件检验，因为由不等式解出的只是「必要范围」，端点能否取到要单独确认。 三、易错提醒 ◆ 忘了「一正」就套均值不等式。中若没有 a > 0 的前提，a 与未必为正，均值不等式不成立。凡使用，先把两个量的正性说清楚：条件明写「正数」最好；没写就由条件推（如 a > 0 且给出 b > 4）。 ◆ 等号取不到却把放缩出的界当最值。连续两次使用均值不等式时，两处的取等条件常常不一致：第一处要求 x = y，第二处要求 x = 2y，两者不能同时成立，真正的最值就比放缩出的界更差。本册例 4 的取等点 x = 1、y = 3 必须代回 3x + y + xy = 9 检验，检验通过才算数。 ◆ 消元后丢掉新变量的范围。由消去 a 得，这里 b > 4（由 a > 0 决定），换元后，二次函数的最大值必须在这个范围内取。范围一丢，配方得到的极值点可能根本不在定义域内，最值常常算过头。 ◆ 把「和定积最大」「积定和最小」用反。a + b = 1 是「和定」，能管 ab 的最大值，管不了 a + b 自己的最值；不是定值时，不能对直接用「积定和最小」。先问「条件给的是和定还是积定」，再决定放缩方向。 ◆ 多选题把选项结论串着用。由 a + 2b = 2ab 推出 ab ≥ 2，不代表 a + b ≥ 4 也成立：取 a = 2、b = 1 满足条件，而 a + b = 3。每个选项都是独立命题，结论不迁移，一个反例就足以否决一个选项。 ◆ 解答题只写算式不写文字。变形依据、取等条件、结论三句话缺一不可；「当且仅当 … 时等号成立」这句既是得分点，也是自查工具——写不出这句，多半是等号根本取不到，此时要回头检查放缩方向或改用消元法。 四、例题精讲 【例 1】 方法一 · 配凑均值法 题注：平方和配凑是「一正二定三相等」的最小完备案例：条件给平方和，目标要乘积，中间只用一次。取等点必须解出来并代回条件。 （2026·上海卷·高考真题）已知，则 ab 的最大值为______。 【例 2】 方法二 · 常数代换法 题注：条件 a + b = 1 与目标之间隔着一次「乘 1」：把目标乘以 a + b，展开成定值加两组比值，均值不等式收尾。 （2025·江苏泰州中学·高三上学期10月月考）已知实数 a、b > 0，且 a + b = 1， 则的最小值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【例 3】 方法三 · 消元转化法 题注：条件能解出 a，目标代入后是关于的二次式；换元后配方，最值落在新变量的范围内。 （2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数 a，b 满足， 则的最大值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【例 4】 方法四 · 整体设元法 题注：目标 3x + y 是整体，条件里的 xy 又恰好能用 3x + y 控制——设 t = 3x + y，把两个变量一次性收进一个二次不等式。 （2026·重庆·模拟预测）已知 x > 0，y > 0，且 3x + y + xy = 9， 则 3x + y 的最小值为（　　） A．6　　B．8　　C．10　　D．12 五、巩固练习 1. 方法一 · 配凑均值法 （2026·上海卷·高考真题）若 a > 0，b > 0，且 a + 2b = 4，则 ab 的最大值是______。 2. 方法一 · 配凑均值法 （2026·河南开封·模拟预测）已知实数 a，b 满足 a + 2b = 2， 则的最小值为（　　） A．2　　B．4　　C．8　　D．16 3. 方法三 · 消元转化法 （2025·江苏泰州中学·高三上学期期中）已知 a，b 为正数，且， 则的最大值为______。 4. 方法四 · 整体设元法 （2026·江苏无锡一中·高三阶段练习）已知正数 a，b 满足 a + 2b = 2ab， 则下列说法一定正确的是（　　） A．a + 2b ≥ 4　　B．a + b ≥ 4 C．ab ≥ 2　　D． 5. 方法三 · 消元转化法 （2026·河南·模拟预测）已知 a > 0，b > 0，，下列说法正确的是（　　） A．的最大值为 1 B．2a + b 的最小值为 2 C．ab 的最大值为 D．的最小值为 2 6. 方法二 · 常数代换法 （2026·江苏扬州中学·自主学习效果评估）已知正数 x，y 满足 x + 2y = 2。 (1) 求 xy 的最大值； (2) 求的最小值。 六、拓展 柯西不等式的二元形式：对实数 a、b、c、d，有，等号当且仅当 ad = bc 时成立。它能一步处理「平方和与交错乘积」型最值，例如由求 3a + 4b 的范围：，立刻得。教材不要求，见到「平方和配对」的压轴结构时知道有这个工具即可。 权方和不等式：当 x, y > 0 时，。它是「1 的代换」的批量版：对型目标，常规做法是乘条件展开再分组，权方和一步到位。不要求掌握推导，见过形态、能在答案里核对结论即可。 判别式法求最值：把目标 t 看成参数，整理成关于某个变量的二次方程，由「方程有实数解」要求判别式 ≥ 0，解出 t 的范围。它不依赖均值不等式的「正数」前提，适用面更广，但计算量偏大；本册例 4 的整体设元本质上是它的一次特例——把 xy 用 t 表示后，条件本身就成了关于 x、y 有解的方程。 学科网（北京）股份有限公司 $ 多变量最值问题常见题型及解题策略 题型归纳 · 专题学案 【教师版】 多变量最值问题常见题型及解题策略 一、知识要点 （一）认清结构：多变量最值的「三定」 1. 多变量最值问题长什么样：目标（如 ab、a+b、、）里含两个变量，另外给一个等量条件（如 a + 2b = 4、）。条件的作用是把两个变量的自由度压成一维，让「最值」有确定的答案。2026 年上海卷「，求 ab 的最大值」、2025 年泰州中学月考「a + b = 1，求的最小值」都是这个结构。 2. 一正：使用基本不等式的前提是两个量都为正。题面写「正数」「正实数」就是明示；没写正数时，要先由条件推出正性，例如且 a > 0 隐含，即 b > 4。推不出正性的题不能直接套，这是全专题的第一道门槛。 3. 二定：和定积最大、积定和最小，「定值」必须从条件里来。a + 2b = 4 给了「和定」，才能谈 ab 的最大；给了平方和定，才能谈 ab 的最大。目标与条件对不上「定」字时，先通过代数变形（乘 1、化同底、取倒数）把「定」凑出来，再谈最值。 4. 三相等：等号成立条件要解出来，并且要落在允许范围内。a + 2b = 4 时 ab ≤ 2 的等号在 a = 2b，联立解得 a = 2、b = 1，代回条件成立，最大值才真实取到。若解出的取等值不满足条件（例如算出负数、或落在定义域外），说明等号取不到，真正的最值要另找——只写不等式不验证取等，是这类题最常见的失分点。 （二）四条路线各自的适用形态 5. 配凑均值法的形态：条件与目标之间只差一次均值不等式。如与 ab：把 1 写成，用一步到位；又如 a + 2b = 4 与 ab：一步到位。见到「平方和、加权平方和、系数不等的和」与「乘积目标」的组合，先想这条路。 6. 常数代换法（「1」的代换）的形态：条件是 a + b = 1（或 x + 2y = 2、x + 4y = 1 这类和为常数的等式），目标是分式齐次式（如、）。动作是把目标乘以 1，用条件把 1 换成那个和式，展开后每项要么是定值、要么是比值形式，对比值部分用均值不等式收尾。 7. 消元转化法的形态：条件能解出一个变量（如解出），目标代入后成为单变量函数（）。接下来按一元函数最值处理：换元（）、配方、或对二次式用均值不等式。消元是最通用的一招，代价是必须随身携带新变量的取值范围。 8. 整体设元法的形态：目标是一个整体（如 3x + y、ab），条件里它以「和」或「积」的面目出现。把目标整体设为 t，用均值不等式把条件中的其余部分也压到 t 上，得到关于 t 的不等式（常常是二次的），解不等式得 t 的范围。2026 年重庆模拟「3x + y + xy = 9，求 3x + y 的最小值」是标准形态：把两个变量一次性收进一个 t 里。 （三）多选题与解答题的处理要领 9. 多选题逐项独立判断：四个选项各是一个小最值题，可以各用一条路线，彼此的结论不传递。2026 年无锡一中卷「a + 2b = 2ab」的四个选项里，A 用整体设元、C 由 A 的结论直接推出、D 再用一次均值不等式接力；把每项当成独立小题，才不会被某个选项的结论误导。 10. 解答题要写全三句话：变形依据（用了哪条均值不等式）、等号成立条件、以及「当且仅当 … 时取等号，故 …」的结论。2026 年扬州中学的解答题第 (2) 问是标准示范：先写乘 1 展开，再写均值不等式，最后联立解出取等点并代回条件。只有算式没有文字，过程分会被扣掉。 11. 取等条件要落到具体的 (a, b)：说「当且仅当 a = 2b」不算完，要联立条件解出 a = 2、b = 1 这组具体值，并代回原条件检验。本册 10 道题的取等点全部算到了具体数值，这也是检验自己答案的最快办法——两组数代回去，条件成立，答案大概率对。 12. 常用变形库：；；；；条件为「和等于积」型（如 a + 2b = 2ab）时，两边同除以 2ab 化成的倒数形式，很多看起来陌生的条件会立刻变得眼熟。 二、方法提炼 方法1　配凑均值法：直接对条件或目标使用基本不等式。先把条件改写成「平方和」或「加权积」的形态，使不等式的一端恰好是条件里的定值、另一端出现目标。参与不等式的两个量不一定是题目里的字母本身，可以是它们的倍数（如 a 与 2b）。等号条件由「两个量相等」解出，必须代回条件检验能取到。 方法2　常数代换法：条件为「若干变量之和等于常数」且目标为分式时，把目标乘以 1，再把 1 换成那个常数等式；展开后按「定值 + 比值」分组，对比值部分用均值不等式。本册也称「1 的代换」。展开时最容易错的是交叉项的系数：里的来自 2y 与相乘，系数写错，定值就没了。 方法3　消元转化法：从条件等式解出一个变量（优先解「一次」的那个），代入目标把它化成一元函数；若出现分式，用换元（如）化成二次函数，配方或用均值不等式求最值。换元时必须同时写出新变量的取值范围——范围由原变量的正性与条件共同决定，最值必须落在这个范围内才有效。 方法4　整体设元法：把目标整体设为 t，用基本不等式把条件中的另一部分也压到 t 上，得到关于 t 的不等式（多为二次），解出 t 的范围；最后一步必须解出取等的具体变量值并代回条件检验，因为由不等式解出的只是「必要范围」，端点能否取到要单独确认。 三、易错提醒 ◆ 忘了「一正」就套均值不等式。中若没有 a > 0 的前提，a 与未必为正，均值不等式不成立。凡使用，先把两个量的正性说清楚：条件明写「正数」最好；没写就由条件推（如 a > 0 且给出 b > 4）。 ◆ 等号取不到却把放缩出的界当最值。连续两次使用均值不等式时，两处的取等条件常常不一致：第一处要求 x = y，第二处要求 x = 2y，两者不能同时成立，真正的最值就比放缩出的界更差。本册例 4 的取等点 x = 1、y = 3 必须代回 3x + y + xy = 9 检验，检验通过才算数。 ◆ 消元后丢掉新变量的范围。由消去 a 得，这里 b > 4（由 a > 0 决定），换元后，二次函数的最大值必须在这个范围内取。范围一丢，配方得到的极值点可能根本不在定义域内，最值常常算过头。 ◆ 把「和定积最大」「积定和最小」用反。a + b = 1 是「和定」，能管 ab 的最大值，管不了 a + b 自己的最值；不是定值时，不能对直接用「积定和最小」。先问「条件给的是和定还是积定」，再决定放缩方向。 ◆ 多选题把选项结论串着用。由 a + 2b = 2ab 推出 ab ≥ 2，不代表 a + b ≥ 4 也成立：取 a = 2、b = 1 满足条件，而 a + b = 3。每个选项都是独立命题，结论不迁移，一个反例就足以否决一个选项。 ◆ 解答题只写算式不写文字。变形依据、取等条件、结论三句话缺一不可；「当且仅当 … 时等号成立」这句既是得分点，也是自查工具——写不出这句，多半是等号根本取不到，此时要回头检查放缩方向或改用消元法。 四、例题精讲 【例 1】 方法一 · 配凑均值法 题注：平方和配凑是「一正二定三相等」的最小完备案例：条件给平方和，目标要乘积，中间只用一次。取等点必须解出来并代回条件。 （2026·上海卷·高考真题）已知，则 ab 的最大值为______。 【答案】 【解析】由基本不等式，， 当且仅当 a = 2b 时等号成立。 由与，得。 将 a = 2b 代入条件：，即，解得， 即，（负值同样满足，取正即可说明等号能取到）。 此时。 所以 ab 的最大值为。 【点拨】两个变量平方的系数不等（1 与 4），直接对 a、b 用均值不等式得不到 ab；正确动作是把 4b² 看成 (2b)²，让「两个量」变成 a 与 2b——配凑的意义就在这里：均值不等式作用的对象不一定是题目里的字母本身，可以是它们的倍数。等号条件 a = 2b 解出的是具体数值，代回条件能成立，最大值才真实取到；只写出而不解出取等点，等于没做完。 【例 2】 方法二 · 常数代换法 题注：条件 a + b = 1 与目标之间隔着一次「乘 1」：把目标乘以 a + b，展开成定值加两组比值，均值不等式收尾。 （2025·江苏泰州中学·高三上学期10月月考）已知实数 a、b > 0，且 a + b = 1， 则的最小值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】因为 a + b = 1，所以 。 由 a > 0、b > 0 知、，于是 ， 当且仅当，即时等号成立。 联立 a + b = 1 与，解得，，均为正数，等号能取到。 所以的最小值为。故选 A。 【点拨】乘 1 展开是常数代换法的全部秘密：目标里 a、b 都在分母，单独看谁也不「定」，但乘上条件 a+b=1 之后，四项里两项是定值 2 与 1，剩下两项的乘积恰为定值，均值不等式随即生效。注意取等条件的联立：b² = 2a² 与 a + b = 1 一起解出具体的 a、b，这一步不能省——它同时完成「等号能取到」的检验。 【例 3】 方法三 · 消元转化法 题注：条件能解出 a，目标代入后是关于的二次式；换元后配方，最值落在新变量的范围内。 （2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数 a，b 满足， 则的最大值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】由得。由 a > 0 得，即 b > 4。 于是。 记，由 b > 4 得，且 。 当时取得最大值，此时 b = 8，， 满足。 所以的最大值为。故选 B。 【点拨】消元法的两个关键动作：一是消谁——条件里 a 是一次的，解它最省事；二是消完之后范围跟上——a > 0 把 b 限制在 (4, +∞)，换元后 t 的范围是，最大值点恰好落在里面，最大值才成立。此题也可以不换元，直接对与用均值不等式：它们的和为定值 1，故，取等条件即 b = 8，两条路殊途同归。 【例 4】 方法四 · 整体设元法 题注：目标 3x + y 是整体，条件里的 xy 又恰好能用 3x + y 控制——设 t = 3x + y，把两个变量一次性收进一个二次不等式。 （2026·重庆·模拟预测）已知 x > 0，y > 0，且 3x + y + xy = 9， 则 3x + y 的最小值为（　　） A．6　　B．8　　C．10　　D．12 【答案】A 【解析】由 x > 0、y > 0，得，两边平方得， 即。 记 t = 3x + y，则 t > 0，且条件 3x + y + xy = 9 给出 ， 即，分解得。 由 t > 0 知 t + 18 > 0，所以 t − 6 ≥ 0，即 t ≥ 6。 当 t = 6 时，需，且 3x = y（均值不等式的取等条件）， 解得 y = 3，x = 1。代回条件检验：3 × 1 + 3 + 1 × 3 = 9，成立。 所以 3x + y 的最小值为 6。故选 A。 【点拨】目标与条件由 xy 连着：条件里既有一次部分 3x+y 又有乘积部分 xy，而 xy 恰好能用 3x+y 放缩。整体设元把「两个变量」压缩成「一个参数 t」，剩下的就是解一个一元二次不等式。易错点在最后一步：t ≥ 6 只是必要条件，「6 能取到」要靠解出 x = 1、y = 3 并代回检验——这正是多变量最值题与普通二次不等式题的分水岭。 五、巩固练习 1. 方法一 · 配凑均值法 （2026·上海卷·高考真题）若 a > 0，b > 0，且 a + 2b = 4，则 ab 的最大值是______。 【答案】2 【解析】由 a > 0、b > 0，得。 又 a + 2b = 4，所以，即，两边平方得 2ab ≤ 4， 所以 ab ≤ 2。 当且仅当 a = 2b 时等号成立，联立 a + 2b = 4 得 4b = 4，即 b = 1，a = 2。 此时 ab = 2，且 a + 2b = 4 成立，等号能取到。 所以 ab 的最大值为 2。 【点拨】与例 1 同为 2026 年上海卷，条件从「平方和」换成了「一次和」，配凑对象相应从 a² 与 (2b)² 换成 a 与 2b。注意「系数进根号」的动作：里根号内带着系数 2，解 ab 的上界时先平方再除以 2，两步都别漏。 2. 方法一 · 配凑均值法 （2026·河南开封·模拟预测）已知实数 a，b 满足 a + 2b = 2， 则的最小值为（　　） A．2　　B．4　　C．8　　D．16 【答案】B 【解析】，所以。 两式的乘积为定值。 由基本不等式，， 当且仅当，即 a = 2b 时等号成立。 联立 a + 2b = 2 得 4b = 2，即，a = 1。 此时，等号能取到，所以最小值为 4。故选 B。 【点拨】这道题把「积定和最小」藏在了指数里：2^a 与 4^b 表面无关，化成同底 2 的幂之后，乘积的指数恰好是 a + 2b——正是条件给的定值。见到「指数式求和」的最值，第一步永远是化同底，让两个幂的乘积变成 2 的「指数和」次幂；取等条件 2^a = 2^(2b) 落到指数上就是 a = 2b，与条件联立解出具体值。 3. 方法三 · 消元转化法 （2025·江苏泰州中学·高三上学期期中）已知 a，b 为正数，且， 则的最大值为______。 【答案】 【解析】由得，即。 由 a > 0 得，即 b > 1。 于是。 记，则 0 < t < 1，且 。 当时取得最大值，此时 b = 2，， 满足。 所以的最大值为。 【点拨】与例 3 是同一套动作在不同条件上的重演：条件里 2a 是一次的，先解 a；范围由 a > 0 压出 b > 1，换元后 t ∈ (0, 1)，最大值点落在范围内。也可以直接用均值不等式：由，得，即，取等条件联立条件解出、b = 2——消元版更稳妥，均值版更快，考场上看哪条顺手走哪条。 4. 方法四 · 整体设元法 （2026·江苏无锡一中·高三阶段练习）已知正数 a，b 满足 a + 2b = 2ab， 则下列说法一定正确的是（　　） A．a + 2b ≥ 4　　B．a + b ≥ 4 C．ab ≥ 2　　D． 【答案】ACD 【解析】记 t = a + 2b，由 a > 0、b > 0 知 t > 0，且条件 a + 2b = 2ab 即 2ab = t。 由均值不等式，， 即；由 t > 0 两边同除以得，所以 t ≥ 4。 对 A：a + 2b = t ≥ 4，A 正确。 对 C：t ≥ 4 即 2ab ≥ 4，所以 ab ≥ 2，C 正确。 对 D：，D 正确。 对 B：取 a = 2，b = 1，满足 a + 2b = 4 = 2ab，此时 a + b = 3 < 4，B 错误。 故选 ACD。 【点拨】整体设元在这里一次管住三个选项：设 t = a + 2b 后条件变成 2ab = t，均值不等式给出，解出 t ≥ 4，A、C 随之成立，D 再用一次 a² + 4b² ≥ 4ab 接力。B 的否定靠反例：取等点 (a, b) = (2, 1) 是条件允许的，而 a + b = 3，说明「a + b ≥ 4」不成立。多选题里「举反例否决」与「放缩证明」同等重要。 5. 方法三 · 消元转化法 （2026·河南·模拟预测）已知 a > 0，b > 0，，下列说法正确的是（　　） A．的最大值为 1 B．2a + b 的最小值为 2 C．ab 的最大值为 D．的最小值为 2 【答案】BD 【解析】对 A：由均值不等式，， 当且仅当，即、b = 1 时取等。 所以 1 是最小值而不是最大值，A 错误。 对 B：， 当且仅当 2a + 1 = b + 1，即、b = 1 时取等，B 正确。 对 C：展开条件得 2ab + 2a + b + 1 = 4，即 2ab + 2a + b = 3。 由，得。 记，则，即， 由 s > 0 得 0 < s ≤ 1，即 2ab ≤ 1，。 取、b = 1 时，所以 ab 的最大值为而非，C 错误。 对 D：由条件得，于是 。 记 m = 2a + 1 > 1，则，， 代入得。 由 m > 0，得，所以， 当且仅当 m = 2，即、b = 1 时取等，D 正确。 故选 BD。 【点拨】四个选项各走一条路：A 是「最小值被说成最大值」的概念陷阱；B 把 2a + b 拆成 (2a+1) + (b+1) 再减 2，是配凑；C 把 ab 整体设元（），解一个二次不等式得到上界；D 是标准消元——用条件解出 b + 1，换元 m = 2a + 1 后目标变成。注意四个选项的取等点都是，这是条件的对称位置，多选题先算这组特殊值探路，能快速排除明显错误的方向。 6. 方法二 · 常数代换法 （2026·江苏扬州中学·自主学习效果评估）已知正数 x，y 满足 x + 2y = 2。 (1) 求 xy 的最大值； (2) 求的最小值。 【答案】；(2) 4 【解析】(1) 由 x > 0、y > 0，得，即，， 两边平方得 2xy ≤ 1，所以。 当且仅当 x = 2y 时等号成立，联立 x + 2y = 2 得 4y = 2，即，x = 1， 此时。所以 xy 的最大值为。 (2) 因为 x + 2y = 2，所以 。 由 x > 0、y > 0，得， 当且仅当，即，x = 2y 时等号成立。 结合 x + 2y = 2 得 x = 1，。 所以，即最小值为 4。 【点拨】同一个条件 x + 2y = 2，第 (1) 问直接用「和定积最大」，第 (2) 问目标挪到了分母，就要先乘做常数代换。展开时留意系数：，其中恰为定值——系数 4 来自 2y 与的交叉相乘，系数写错，定值就没了。两问的取等点同为，这也是检验答案的顺手办法。 六、拓展 柯西不等式的二元形式：对实数 a、b、c、d，有，等号当且仅当 ad = bc 时成立。它能一步处理「平方和与交错乘积」型最值，例如由求 3a + 4b 的范围：，立刻得。教材不要求，见到「平方和配对」的压轴结构时知道有这个工具即可。 权方和不等式：当 x, y > 0 时，。它是「1 的代换」的批量版：对型目标，常规做法是乘条件展开再分组，权方和一步到位。不要求掌握推导，见过形态、能在答案里核对结论即可。 判别式法求最值：把目标 t 看成参数，整理成关于某个变量的二次方程，由「方程有实数解」要求判别式 ≥ 0，解出 t 的范围。它不依赖均值不等式的「正数」前提，适用面更广，但计算量偏大；本册例 4 的整体设元本质上是它的一次特例——把 xy 用 t 表示后，条件本身就成了关于 x、y 有解的方程。 学科网（北京）股份有限公司 $