基本不等式常见题型及解题策略 讲义-2027届高三数学一轮复习

基本不等式常见题型及解题策略 题型归纳 · 专题学案 【教师版】 基本不等式常见题型及解题策略 一、知识要点 （一）基本不等式的三种形态 1. 基本不等式说：对任意正数 a、b，有，等号当且仅当 a = b 时成立。用文字读一遍就是「两个正数，和的一半不小于积的平方根」。它是本册所有结论的源头，其余式子都是它的变形。 2. 最常用的两个变形方向正好相反：ab 为定值时，，和取最小值；a + b 为定值时，，积取最大值。做题第一步先看清待求的是「和」还是「积」，方向错了后面全都白算。 3. 使用它要过三道门槛，口诀是「一正二定三相等」：各项为正（一正）、和或积为定值（二定）、等号确实能取到（三相等）。三项缺一，写出来的结论就不成立。养成「动笔前先默念这三句、收笔前回代验等号」的习惯，比急着变形更省时间。 4. 几个反复出现的结论可以当公式用：（x > 0）；（x < 0）；（ab > 0）；。它们都是基本不等式的直接变形，用之前必须先看清变量的取值范围，符号不对就要整体取相反数。 （二）把式子化成能用的形状：配凑、乘 1 与换元消元 5. 配凑的第一步是「认清目标」：要最大值的，朝「和定」凑；要最小值的，朝「积定」凑。常用手法是拆项、加项、乘系数。例 1 的展开后与之积恒为 4，这就是配凑的落点。配好之后，无关的常数项要单独留下，不要一起塞进基本不等式。 6. 「1」的代换（乘 1 法）专治条件型问题：条件若能写成一个等于 1 的式子，就把待求式乘上它再展开。例 2 里，于是，一次变形就凑出互为倒数的两项。这一步的依据只有一条：乘以 1 不改变数值。 7. 换元要盯住「重复出现的整块」。例 3 的条件 3x + y + xy = 9 里，3x + y 与 xy 同时出现，令 t = 3x + y，用把条件变成关于 t 的一元二次不等式。换元的目标是把陌生结构变成见过的结构，换完要立刻写出新变量的取值范围。 8. 消元是条件型问题的另一条路：由条件反解一个变量代入待求式，把二元降成一元。反解哪个变量，标准是「代进去之后式子更简单」。练 3 先用奇偶性与单调性把化成 a + b = 1，再对用基本不等式，属于「先化简条件、再一步到位」的类型。 （三）恒成立、参数范围与综合判断 9. 含参恒成立的固定翻译是「分离参数 → 求函数最值 → 建立不等关系」。例 4 把在上恒成立翻成的最大值，问题立刻变成求的最值。把「恒成立」读成「最值比较」，是不等式与函数之间最重要的一次互译。 这类「两个因式之和为定值」的式子，直接用和定求积：，所以，等号在 x = 1 处。它与配方是同一件事的两种说法，两条路都该会，考场上看哪条写起来短用哪条。 11. 多次使用基本不等式时，各次的等号条件必须能同时成立。练 4 的两步放缩恰好相容，都在处取等，所以答案是真正的下界；若两次条件互相矛盾，得到的只是一个够不到的下界，此时要改用导数或单调性处理。「连续放缩」类题目都要做这一步检查。 12. 当条件能写成「a + b 与 ab 同时用一个字母表示」时，把 a、b 看作的两根，用判别式 Δ ≥ 0 反解 s 的范围，往往比不等式放缩更快。但判别式法只保证方程有实根，带 a > 0 这类附加限制时，要把 Δ ≥ 0 与韦达定理的符号条件联立，单用判别式会把范围放大。 二、方法提炼 方法1　直接运用与配凑法：先判断待求的是「和」还是「积」，再把式子化成能用的形状，核心动作是凑出「定和」或「定积」，手法有拆项、加项、乘系数。使用前确认各项为正，使用后回代验等号能否取到；取不到时，结论要改由单调性给出。 方法2　条件型：消元与「1」的代换：条件能写成等于 1 的式子时，把待求式乘上它再展开，凑出互为倒数的两项；条件是两变量的等式时，反解其中一个变量代入待求式，把二元降成一元。两条路的共同目标是让待求式出现定值，反解哪个变量以「代入后式子更简单」为准。 方法3　换元与整体代换：把重复出现的整块设为新变量，或把条件整体替换进待求式。例 3 令 t = 3x + y、练 4 令 t = a + b，都是把陌生结构变成「积定求和」的熟悉结构。换元之后必须重新确定新变量的取值范围，范围写错会让最小值取在集合之外。 方法4　恒成立、参数范围与综合判断：把「恒成立」翻译成参数与最值的比较，把「参数范围」翻译成直线与曲线的交点问题；条件能写成「和与积同为一个量」时，用韦达定理加判别式反解。遇到「已知条件判断多个选项」的题，按「找反例 → 用基本不等式 → 作差比较」的顺序逐项过一遍。 三、易错提醒 ◆ 使用基本不等式前不检查「一正」：a、b 可以取负数时直接失效，必须先在正数范围内讨论。 ◆ 凑出定值却忘了验等号：算出最小值 9，却没有回头解，若该方程无解，这个 9 根本取不到。 ◆ 「1」的代换乘的必须是等于 1 的条件式：把不等于 1 的式子乘进待求式，会改变式子的值，这是这一路最隐蔽的错误。 ◆ 换元之后不更新变量范围：把 2a + 1 设为 m 却仍写 m > 0，漏掉 a > 0 给出的 m > 1，最小值就取在了范围之外。 ◆ 分不清「恒成立」与「有解」：恒成立求的是右边式子的最大值，存在 x 使求的是右边式子的最小值，两者方向相反。 ◆ 多次放缩不看取等是否相容：第一次在 a = b 处取等、第二次却要求 a = 2b，两次条件不能同时成立时，得到的只是下界，需改用导数。 四、例题精讲 【例 1】 方法一 · 直接运用与配凑法 题注：展开后先扫一眼「有没有两项乘起来是常数」。若出现某两项之积为定值，就把它们配成一对用基本不等式；最后回到原式解一遍等号成立的条件。 （2026·天津卷·高考真题）的最小值为（　　） A．10　　B．9　　C．8　　D．6 【答案】B 【解析】先展开，看哪两项的乘积是定值： 。 其中与的乘积恒为 4，是定值，可以用基本不等式： 。 所以原式 ≥ 4 + 5 = 9。 等号成立的条件：，即，，。 取时原式确实等于 9，所以最小值为 9。故选 B。 【点拨】展开之后要立刻扫一眼「有没有两项乘起来是常数」。本题的落点是与，它们的积恒为 4。常数项 5 是展开时自动产生的，不要把它也塞进基本不等式——分不清「该配对的项」和「无关常数」是这一路的常见失误。另外有两组解，两组都要写出来，只写正根会让人误以为只能在正数上取等。 【例 2】 方法二 · 条件型：消元与「1」的代换 题注：条件本身就是一个「1」。把待求式乘上它再展开，一次变形就凑出互为倒数的两项。 （2025·上海卷·高考真题）设 a > 0，b > 0，，则的最小值为______。 【答案】4 【解析】条件说明这个和就是一个「1」，把它乘进待求式不会改变大小： 。 展开： 。 因为 a > 0、b > 0，所以 ab > 0，对 ab 与用基本不等式： 。 所以。 等号成立的条件：，即 ab = 1。 把它与联立：由 ab = 1 得，代入得 a + a = 1，所以，b = 2。 此时 a > 0、b > 0 都满足，所以的最小值为 4。 【点拨】「1」的代换的合法性只有一条依据：乘以 1 不改变数值。所以乘进去的必须是条件中那个确实等于 1 的式子，本题就是。展开后出现 ab 与，它们的积恒为 1，这是配凑成功与否的标志。等号条件要和原条件联立求解，别停在 ab = 1 就下结论。 【例 3】 方法三 · 换元与整体代换 题注：条件里 3x 与 y 既以「和」出现、又以「积」出现。把 3x + y 设为整体 t，用积不超过和的一半的平方，得到 t 的一元二次不等式。 （2026·重庆·模拟预测）已知 x > 0，y > 0，且 3x + y + xy = 9，则 3x + y 的最小值为（　　） A．6　　B．8　　C．10　　D．12 【答案】A 【解析】条件中 3x + y 与 xy 同时出现，而 3x 与 y 的积与它们的和有关：。 令 t = 3x + y，因为 x > 0、y > 0，所以 t > 0。 由上式得，即。 把条件 3x + y + xy = 9 中的 3x + y 换成 t、xy 换成它的上界： 。 整理得，因式分解得。 因为 t > 0，所以 t + 18 > 0，只能 t − 6 ≥ 0，即 t ≥ 6。 等号成立的条件：3x = y。代入 3x + y + xy = 9 得，即， 解得 x = 1（舍去负根），此时 y = 3，t = 3 × 1 + 3 = 6。 所以 3x + y 的最小值为 6。故选 A。 【点拨】这类题的信号是「同一个组合既出现在和里、又出现在积里」。把它设为 t，再用「积不超过和的一半的平方」把积换成 t 的表达式，条件就变成一个关于 t 的不等式。解出 t ≥ 6 之后必须回代验证，因为放缩可能把范围放大；本题 x = 1、y = 3 确实能取到，结论才成立。因式分解后要说明另一根 t = −18 为什么被舍掉，理由是 t > 0。 【例 4】 方法四 · 恒成立、参数范围与综合判断 题注：「在区间上恒成立」要翻译成「参数不小于某个式子的最大值」。分离参数后，问题变成一个分式的最大值，而分母的两个因式之和为定值。 （2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数（a ∈ R），且在上恒成立，则实数 a 的最小值为______。 【答案】−3 【解析】即。因为，所以 x > 0、2 − x > 0，从而。 移项得对一切恒成立， 也就是 a 不小于的最大值。 先求的最大值：因为是定值，由和定求积得 。 所以，两边取相反数得。 等号成立的条件：x = 2 − x，即 x = 1，此时取到最大值，取到最大值 −3。 所以 a ≥ −3，实数 a 的最小值为 −3。 【点拨】「恒成立」的标准翻译只有一句：恒成立、且参数能分离时，参数不小于右边式子的最大值。把问题交给的最值之后两条路都通——和定求积，或配方成。注意是开区间，但 x = 1 落在区间内部，最大值确实取得到，所以 a ≥ −3 中的等号可以保留。 五、巩固练习 1. 方法一 · 直接运用与配凑法 1．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数 a，b 满足 a + 2b = 2，则的最小值为（　　） A．2　　B．4　　C．8　　D．16 【答案】B 【解析】先把写成以 2 为底的幂：。 于是。 因为、，由基本不等式得 。 把条件 a + 2b = 2 代入，得， 所以。 等号成立的条件：，即 a = 2b；与 a + 2b = 2 联立得，a = 1。 此时，所以最小值为 4。故选 B。 【点拨】含指数的最值题，第一步永远是「化成同底数幂」。这里把换成，条件 a + 2b = 2 就正好是两指数之和，属于「积定求和」的结构：是定值。指数函数恒为正，所以「一正」这一条天然满足，不必额外讨论。 2. 方法一 · 直接运用与配凑法 2．（2025·北京卷·高考真题）已知 a > 0，b > 0，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选项 A：当 a = b 时，取不到严格大于，A 错误。 选项 B：，它不小于等价于 a + b ≥ 1。 取、，此时，B 错误。 选项 C：由基本不等式，而，所以， 从而，C 正确。 选项 D：由， 所以，D 中的不等号方向反了，D 错误。 故选 C。 【点拨】四个选项考的是同一条不等式的四个侧面。A 项的陷阱是漏看「等号可以取到」，严格大于并不成立；B 项要先化成 a + b ≥ 1 再看，直接看不出对错；D 项的招式与 C 项同源，方向却正好相反——用基本不等式时一定要把等号方向写下来再比。B、D 两项可以用、同一组反例一起排除。 3. 方法二 · 条件型：消元与「1」的代换 3．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数，若，则的最小值是（　　） A．1　　B．2　　C．　　D． 【答案】D 【解析】先看的性质。因为恒成立，所以的定义域是 R。 又， 所以，即是奇函数。 由得。 又随 x 增大而减小、lg 单调递增，所以单调递减， 由得 a = 1 − b，即 a + b = 1。 于是。 等号成立的条件：，满足 a + b = 1。 所以的最小值为。故选 D。 【点拨】本题的关键在于把条件翻译成变量之间的关系。奇函数的性质给出，再配合单调性才能把 f 脱掉，得到 a + b = 1。脱掉 f 这一步必须同时用到「奇」与「单调」，只写奇偶性并不严谨。得到 a + b = 1 之后，就是一步到位的基本不等式。 4. 方法三 · 换元与整体代换 4．（2026·安徽·模拟预测）已知 a > 0，b > 0，且 ab = 2，则的最小值为______。 【答案】 【解析】先看条件 ab = 2 能带来什么。前两项通分： 。 所以原式。 令 t = a + b。因为 a > 0、b > 0 且 ab = 2，由基本不等式得。 于是原式，其中。 对与用基本不等式： 。 等号成立的条件：，即，。 此时且 ab = 2，解得，满足 a > 0、b > 0。 所以原式的最小值为。 【点拨】本题有两次放缩，要分开看：第一次用 ab = 2 定出，第二次在 t 上求的最小值。两次的等号条件恰好相容，都在处成立，答案才能真正取到。若两次条件互相矛盾，就只能放弃基本不等式、改用导数求单调性。另外换元后写出是必要的，否则无法说明是否可达。 5. 方法四 · 恒成立、参数范围与综合判断 5．（2026·北京·三模）已知非零实数 a，b 满足 a + b > 1，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选项 A：取 a = b = 3，满足 a + b = 6 > 1，但，A 错误。 选项 B、D：取 a = 0.6、b = 0.5，满足 a + b = 1.1 > 1， 此时，，B、D 错误。 选项 C：由 a + b > 1 得，即。 又，所以， 即。 而，C 正确。 故选 C。 【点拨】「已知条件判断多个选项」的题，先抢时间用反例排除，再用不等式证明剩下的那个。A 项要挑两数都很大的反例，B、D 项要挑两数都落在 0 与 1 之间的反例——「和大于 1」并不推出「平方和大于 1」，这是本题最容易被直觉骗过的地方。C 项的证明靠两条一脉相承的事实：，以及把朝的方向缩。 6. 方法四 · 恒成立、参数范围与综合判断 6．（2026·山东·模拟预测）已知 a > b > 0，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】选项 A：由基本不等式，又 a > b > 0 使， 所以，A 正确。 选项 B：由 a > b 得 a − b > 0，指数函数单调递增， 所以，B 正确。 选项 C：取、b = 1，满足 a > b > 0，此时， 而，C 错误。 选项 D：作差比较。 。 因为 a > b > 0，所以 a − b > 0、，故， 即，D 正确。 故选 ABD。 【点拨】四个选项对应四种工具：A 项用基本不等式，B 项用指数函数的单调性，C 项靠一个具体的反例（让 a − b 落在 0 与 1 之间），D 项用作差法。判断分式比大小时，作差是最稳的路：通分后分子往往只剩 a − b 这样的差，符号由条件一项一项确定。凡遇到 ln，先问一句「括号里的数大不大于 1」，这是对数比较大小的第一反应。 六、拓展 三元基本不等式：对 a, b, c > 0，三个数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即不小于 abc 的立方根，等号当且仅当 a = b = c 时成立。它是二元情形的推广，用于「三元和定求积」类问题；本册不用，遇到三变量问题时先把其中一个消去、化为二元问题，是更稳妥的做法。 柯西不等式：对任意实数 a, b, c, d 有，等号当且仅当 ad = bc 时成立。已知 a + b = 1 求的最小值，它可以一步给出；但高考解答题更看重基本不等式的配凑过程，柯西不等式一般只作验算。 权方和不等式：对 x, y > 0 与实数 m, n 有，等号当且仅当时成立。它是柯西不等式的分式形式，专治「分子是平方、分母是一次」的一类最值，把两个分式合成一个分式之后，分母的和往往是定值。 「1」的代换的通用结论：已知 p + q = 1（p, q > 0），求（m, n > 0）的最小值，可由展开后配合基本不等式得到，等号当且仅当时成立。例 2 就是 m = 1、n = 1 的特例：令 p = a、，待求式恰好是，最小值 4。 学科网（北京）股份有限公司 $ 基本不等式常见题型及解题策略 题型归纳 · 专题学案 基本不等式常见题型及解题策略 一、知识要点 （一）基本不等式的三种形态 1. 基本不等式说：对任意正数 a、b，有，等号当且仅当 a = b 时成立。用文字读一遍就是「两个正数，和的一半不小于积的平方根」。它是本册所有结论的源头，其余式子都是它的变形。 2. 最常用的两个变形方向正好相反：ab 为定值时，，和取最小值；a + b 为定值时，，积取最大值。做题第一步先看清待求的是「和」还是「积」，方向错了后面全都白算。 3. 使用它要过三道门槛，口诀是「一正二定三相等」：各项为正（一正）、和或积为定值（二定）、等号确实能取到（三相等）。三项缺一，写出来的结论就不成立。养成「动笔前先默念这三句、收笔前回代验等号」的习惯，比急着变形更省时间。 4. 几个反复出现的结论可以当公式用：（x > 0）；（x < 0）；（ab > 0）；。它们都是基本不等式的直接变形，用之前必须先看清变量的取值范围，符号不对就要整体取相反数。 （二）把式子化成能用的形状：配凑、乘 1 与换元消元 5. 配凑的第一步是「认清目标」：要最大值的，朝「和定」凑；要最小值的，朝「积定」凑。常用手法是拆项、加项、乘系数。例 1 的展开后与之积恒为 4，这就是配凑的落点。配好之后，无关的常数项要单独留下，不要一起塞进基本不等式。 6. 「1」的代换（乘 1 法）专治条件型问题：条件若能写成一个等于 1 的式子，就把待求式乘上它再展开。例 2 里，于是，一次变形就凑出互为倒数的两项。这一步的依据只有一条：乘以 1 不改变数值。 7. 换元要盯住「重复出现的整块」。例 3 的条件 3x + y + xy = 9 里，3x + y 与 xy 同时出现，令 t = 3x + y，用把条件变成关于 t 的一元二次不等式。换元的目标是把陌生结构变成见过的结构，换完要立刻写出新变量的取值范围。 8. 消元是条件型问题的另一条路：由条件反解一个变量代入待求式，把二元降成一元。反解哪个变量，标准是「代进去之后式子更简单」。练 3 先用奇偶性与单调性把化成 a + b = 1，再对用基本不等式，属于「先化简条件、再一步到位」的类型。 （三）恒成立、参数范围与综合判断 9. 含参恒成立的固定翻译是「分离参数 → 求函数最值 → 建立不等关系」。例 4 把在上恒成立翻成的最大值，问题立刻变成求的最值。把「恒成立」读成「最值比较」，是不等式与函数之间最重要的一次互译。 这类「两个因式之和为定值」的式子，直接用和定求积：，所以，等号在 x = 1 处。它与配方是同一件事的两种说法，两条路都该会，考场上看哪条写起来短用哪条。 11. 多次使用基本不等式时，各次的等号条件必须能同时成立。练 4 的两步放缩恰好相容，都在处取等，所以答案是真正的下界；若两次条件互相矛盾，得到的只是一个够不到的下界，此时要改用导数或单调性处理。「连续放缩」类题目都要做这一步检查。 12. 当条件能写成「a + b 与 ab 同时用一个字母表示」时，把 a、b 看作的两根，用判别式 Δ ≥ 0 反解 s 的范围，往往比不等式放缩更快。但判别式法只保证方程有实根，带 a > 0 这类附加限制时，要把 Δ ≥ 0 与韦达定理的符号条件联立，单用判别式会把范围放大。 二、方法提炼 方法1　直接运用与配凑法：先判断待求的是「和」还是「积」，再把式子化成能用的形状，核心动作是凑出「定和」或「定积」，手法有拆项、加项、乘系数。使用前确认各项为正，使用后回代验等号能否取到；取不到时，结论要改由单调性给出。 方法2　条件型：消元与「1」的代换：条件能写成等于 1 的式子时，把待求式乘上它再展开，凑出互为倒数的两项；条件是两变量的等式时，反解其中一个变量代入待求式，把二元降成一元。两条路的共同目标是让待求式出现定值，反解哪个变量以「代入后式子更简单」为准。 方法3　换元与整体代换：把重复出现的整块设为新变量，或把条件整体替换进待求式。例 3 令 t = 3x + y、练 4 令 t = a + b，都是把陌生结构变成「积定求和」的熟悉结构。换元之后必须重新确定新变量的取值范围，范围写错会让最小值取在集合之外。 方法4　恒成立、参数范围与综合判断：把「恒成立」翻译成参数与最值的比较，把「参数范围」翻译成直线与曲线的交点问题；条件能写成「和与积同为一个量」时，用韦达定理加判别式反解。遇到「已知条件判断多个选项」的题，按「找反例 → 用基本不等式 → 作差比较」的顺序逐项过一遍。 三、易错提醒 ◆ 使用基本不等式前不检查「一正」：a、b 可以取负数时直接失效，必须先在正数范围内讨论。 ◆ 凑出定值却忘了验等号：算出最小值 9，却没有回头解，若该方程无解，这个 9 根本取不到。 ◆ 「1」的代换乘的必须是等于 1 的条件式：把不等于 1 的式子乘进待求式，会改变式子的值，这是这一路最隐蔽的错误。 ◆ 换元之后不更新变量范围：把 2a + 1 设为 m 却仍写 m > 0，漏掉 a > 0 给出的 m > 1，最小值就取在了范围之外。 ◆ 分不清「恒成立」与「有解」：恒成立求的是右边式子的最大值，存在 x 使求的是右边式子的最小值，两者方向相反。 ◆ 多次放缩不看取等是否相容：第一次在 a = b 处取等、第二次却要求 a = 2b，两次条件不能同时成立时，得到的只是下界，需改用导数。 四、例题精讲 【例 1】 方法一 · 直接运用与配凑法 题注：展开后先扫一眼「有没有两项乘起来是常数」。若出现某两项之积为定值，就把它们配成一对用基本不等式；最后回到原式解一遍等号成立的条件。 （2026·天津卷·高考真题）的最小值为（　　） A．10　　B．9　　C．8　　D．6 【例 2】 方法二 · 条件型：消元与「1」的代换 题注：条件本身就是一个「1」。把待求式乘上它再展开，一次变形就凑出互为倒数的两项。 （2025·上海卷·高考真题）设 a > 0，b > 0，，则的最小值为______。 【例 3】 方法三 · 换元与整体代换 题注：条件里 3x 与 y 既以「和」出现、又以「积」出现。把 3x + y 设为整体 t，用积不超过和的一半的平方，得到 t 的一元二次不等式。 （2026·重庆·模拟预测）已知 x > 0，y > 0，且 3x + y + xy = 9，则 3x + y 的最小值为（　　） A．6　　B．8　　C．10　　D．12 【例 4】 方法四 · 恒成立、参数范围与综合判断 题注：「在区间上恒成立」要翻译成「参数不小于某个式子的最大值」。分离参数后，问题变成一个分式的最大值，而分母的两个因式之和为定值。 （2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数（a ∈ R），且在上恒成立，则实数 a 的最小值为______。 五、巩固练习 1. 方法一 · 直接运用与配凑法 1．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数 a，b 满足 a + 2b = 2，则的最小值为（　　） A．2　　B．4　　C．8　　D．16 2. 方法一 · 直接运用与配凑法 2．（2025·北京卷·高考真题）已知 a > 0，b > 0，则（　　） A． B． C． D． 3. 方法二 · 条件型：消元与「1」的代换 3．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数，若，则的最小值是（　　） A．1　　B．2　　C．　　D． 4. 方法三 · 换元与整体代换 4．（2026·安徽·模拟预测）已知 a > 0，b > 0，且 ab = 2，则的最小值为______。 5. 方法四 · 恒成立、参数范围与综合判断 5．（2026·北京·三模）已知非零实数 a，b 满足 a + b > 1，则（　　） A． B． C． D． 6. 方法四 · 恒成立、参数范围与综合判断 6．（2026·山东·模拟预测）已知 a > b > 0，则（　　） A． B． C． D． 六、拓展 三元基本不等式：对 a, b, c > 0，三个数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即不小于 abc 的立方根，等号当且仅当 a = b = c 时成立。它是二元情形的推广，用于「三元和定求积」类问题；本册不用，遇到三变量问题时先把其中一个消去、化为二元问题，是更稳妥的做法。 柯西不等式：对任意实数 a, b, c, d 有，等号当且仅当 ad = bc 时成立。已知 a + b = 1 求的最小值，它可以一步给出；但高考解答题更看重基本不等式的配凑过程，柯西不等式一般只作验算。 权方和不等式：对 x, y > 0 与实数 m, n 有，等号当且仅当时成立。它是柯西不等式的分式形式，专治「分子是平方、分母是一次」的一类最值，把两个分式合成一个分式之后，分母的和往往是定值。 「1」的代换的通用结论：已知 p + q = 1（p, q > 0），求（m, n > 0）的最小值，可由展开后配合基本不等式得到，等号当且仅当时成立。例 2 就是 m = 1、n = 1 的特例：令 p = a、，待求式恰好是，最小值 4。 学科网（北京）股份有限公司 $