精品解析：陕西西安高新区第十初级中学2026-2027学年度第一学期九年级数学第一次过程性监测一

2026—2027学年第一学期过程性监测一 九年级 数学 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中，则线段a的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 （即），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的定义得到，然后利用比例的性质求a的值． 【详解】解：∵四条线段a、b、c、d是成比例线段， ∴， 即， ∴． 故选：B． 2. 如图，在四边形中，，，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，并灵活进行运用． 3. 在一个不透明的袋子里有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，不断重复这一过程．小明通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里红球的个数大约是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法；根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，可得摸到红球的概率约为 ，再用球的总数乘以摸到红球的概率即可求出红球的个数． 【详解】解：∵小明通过多次试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右， ∴从这10个球中摸出一个球，摸到红球的概率约为 ， ∴袋子里红球的个数估计是（个）． 故选：C． 4. 将以下多边形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的图形，变化前后的两个图形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了相似多边形的判定，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键． 利用相似多边形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的两个图形相似，进而判断即可． 【详解】解：∵矩形对应边向外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等， ∴变化前后的两个矩形不相似， ∵三角形、菱形、正方形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等， ∴变化前后的两个三角形、菱形、正方形相似， 故选：C． 5. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， A．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； B．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； C．若添加，不能证明，故本选项符合题意； D．若添加，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 6. 如图，在边长为6的正方形中，E为上的点，F为的中点，交于点H，点M，N分别是和的中点．若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位线定理，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是关键．先根据三角形中位线定理求出，再证明，求得，即得答案． 【详解】解：点M，N分别是和的中点，， ， 四边形是正方形，且边长为6， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， 解得， ． 故选：B． 7. 如图，已知正方形，点E为的中点，连接交于F，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 8. 如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点、，连接，与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】由是等边三角形和相似三角形的性质，得出，进而得到，再根据直角三角形的性质，得到，而，故①正确；根据等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，得出，可判定②正确；由，得，由与同高，可知，则判定③正确，由，得，则，可判定④正确． 【详解】解：为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在中， ， ， 又， ， 故①正确； ，， ， ， 故②正确； ， ， ， 又与同高， ， 又，， ， ， 故③正确； ，， ， ， ， 又，， ， 故④正确， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将所求代数式变形为，代入已知条件计算即可 【详解】解：因为， 所以． 10. 如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N． 【答案】6 【解析】 【分析】先证，可得，则．由，可得． 【详解】解：动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直， ． ． ． ． ． ，即． ，， ． 11. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米． 【答案】## 【解析】 【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】∵点E是AB的黄金分割点， ∴． ∵AB=2米， ∴米． 故答案为：（）． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键． 12. 已知是方程的一个根，则c的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】已知方程的根，将根代入原方程，整理计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程， 得， 展开左边得：， 合并同类项得：， 解得． 13. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为64，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先由，求出，然后根据菱形的面积求出，得到，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴，即， ∵菱形的面积为64， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，在菱形中，．若M、N分别是边上的动点，且，作，垂足分别为E、F，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC交BD于点O，过点M作MG//BD交AC于点G，则可得四边形MEOG是矩形，以及，从而得NF=AG，ME=OG，即NR+ME=AO，运用勾股定理求出AO的长即可． 【详解】解：连接AC交BD于点O，如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BO=，AD//BC， ∴ 在Rt中，AB=4，BO=， ∵， ∴ 过点M作MG//BD交AC于点G， ∴, ∴ 又 ∴， ∴四边形MEOG是矩形， ∴ME=OG， 又 ∴ ∴ 在和中， , ∴≌ ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 三、解答题（共11题，78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别计算乘方、负整数指数幂、二次根式的乘法，再进行加减运算得到结果． 【详解】解： ． 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： ∴或 解得，． 17. 如图，在中，过点作一条直线交于点，使得．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明) 【答案】 如图所示，点D为所求： 【解析】 【分析】根据题意可得只需做∠BAC的角平分线即可． 【详解】解：∵， ∴∠BAD=∠C， ∵∠BAC=2∠C， ∴需作∠BAC的角平分线； 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及角平分线的尺规作图，熟练掌握相似三角形的性质与判定及角平分线的尺规作图是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）以点为位似中心，在第四象限画出的位似图形，与的相似比为； （2）若是内部任意一点，点在内部的对应点的坐标为______． 【答案】（1） 如下图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是在坐标系中画位似图形、求位似图形的对应坐标，解题关键是熟练掌握位似的相关性质． （1）根据位似比确定点的坐标，描点后顺次连接即可； （2）根据位似的性质即可得到对应点的坐标． 【小问1详解】 解：以点为位似中心，在第四象限作出与相似比为的位似图形， 【小问2详解】 解：是内部任意一点，与的相似比为，且点为位似中心， 点在内部的对应点的坐标为． 故答案为：． 19. 如图，在中，为边上一点，且，过点D作，交于点E． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质及垂直定义求出，根据等腰三角形的性质求出，进而求出，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证． （2）由勾股定理求出，由已知可得根据得到，代入数值即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 20. 哥德巴赫猜想提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7． （1）小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为． （2）小组成员从中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法求出这2张卡片上的数字之和是偶数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概率，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，利用列表法或树状图法列出所有等可能的结果是解题的关键． （1）利用概率公式计算概率即可； （2）根据题意画出树状图，列出所有等可能的结果及所求的结果，然后利用概率公式计算概率即可． 【小问1详解】 解：解：根据题意：小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中和是偶数的结果共有6种， ∴这2张卡片上的数字之和是偶数的概率为． 21. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、．求证：四边形为矩形． 【答案】 证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定、菱形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据菱形的性质可得，，进而可得，结合可证明四边形为平行四边形，然后根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”即可证明结论． 【详解】略 22. 某种规格的溱湖簖蟹养殖成本为30元/只，根据市场调查发现，批发价定为50元/只时，每天可销售400只，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，养殖户采取降价措施，一只蟹的批发价每降低1元，每天销量可增加40只． （1）当降价2元时，养殖户每天的利润为多少元？ （2）若养殖户每天的利润要达到8960元，并尽可能让利顾客，则定价应为多少元？ 【答案】（1）8640元 （2）44元 【解析】 【分析】（1）根据降价金额计算单只利润与日销量，结合总利润公式求解； （2）设降价金额为未知数，根据总利润列一元二次方程，结合让利要求选取最优解． 【小问1详解】 解：降价2元时，每只蟹的利润为（元）， 日销量为（只）， ∴每天的利润为（元）． 答：当降价2元时，养殖户每天的利润为8640元； 【小问2详解】 设每只蟹降价元， ∵采取降价措施且保证盈利， ∴， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵要尽可能让利顾客，需降价幅度最大， ∴， ∴此时定价为（元）． 答：定价应为44元． 23. 小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，测倾器的高度CD=0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计） 【答案】这棵古树的高AB为18m． 【解析】 【分析】如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.5，继而可得AB＝BD＋0.5，再证明△EFG∽△ABC，根据相似三角形的性质得，即，由此求得BD长，即可求得AB长. 【详解】如图，过点C作CH⊥AB于点H， 则CH＝BD，BH＝CD＝0.5， 在Rt△ACH中，∠ACH＝45°， ∴AH＝CH＝BD， ∴AB＝AH＋BH＝BD＋0.5， ∵EF⊥FB，AB⊥FB， ∴∠EFG＝∠ABG＝90°， 由题意，易知∠EGF＝∠AGB， ∴△EFG∽△ABG， ∴，即， 解得：BD＝17.5， ∴AB=17.5＋0.5＝18(m)， ∴这棵古树的高AB为18m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键. 24. 如图，在矩形中，，，动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从点C出发．沿向点B移动，设P、Q两点移动后，的面积为． （1）当运动时间为多少秒时，与相似； （2）在P、Q两点移动的过程中，的面积能否等于？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）或秒 （2）解：的面积能等于． 根据题意得：， ∴， 如图，过点P作于点H，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵的面积等于， ∴， 解得：， 即此时t的值为2或3． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得的长，从而得到，然后分两种情况：当时，当时，结合相似三角形的性质，即可求解； （2）过点P作于点H，则，根据，可得，再根据的面积等于，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：在矩形中，， ∵，， ∴， 根据题意得：， ∴， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 综上所述，当运动时间为或秒时，与相似； 【小问2详解】 略 25. 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： （1）如图1，若，则的值为______； （2）如图2，当，时，求的值； 问题解决： （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，从而可得，即可得结果； （2）利用“一线三等角”得出，则，，代入计算得，再利用勾股定理求出的长，从而得出答案； （3）过作于点，则易得，，，由对应边成比例可得，设，，则在中，由勾股定理可得，的关系，从而可求得结果． 【详解】解：（1）根据折叠的性质，得，， ， 四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处． ，， 在矩形中，，， ，， ， ， ， ， ，，， ， 解得：或（不合题意，舍去）， ， ， ， ， ， ； （3）过作于点，如图， 平分，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设，，则，，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 即， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期过程性监测一 九年级 数学 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中，则线段a的长度为（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在四边形中，，，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的袋子里有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，不断重复这一过程．小明通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里红球的个数大约是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 4. 将以下多边形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的图形，变化前后的两个图形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在边长为6的正方形中，E为上的点，F为的中点，交于点H，点M，N分别是和的中点．若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 7. 如图，已知正方形，点E为的中点，连接交于F，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点、，连接，与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若，则______． 10. 如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N． 11. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米． 12. 已知是方程的一个根，则c的值为______． 13. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为64，则的长为______． 14. 如图，在菱形中，．若M、N分别是边上的动点，且，作，垂足分别为E、F，则的值为______． 三、解答题（共11题，78分） 15. 计算：． 16. 解方程 （1） （2） 17. 如图，在中，过点作一条直线交于点，使得．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明) 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）以点为位似中心，在第四象限画出的位似图形，与的相似比为； （2）若是内部任意一点，点在内部的对应点的坐标为______． 19. 如图，在中，为边上一点，且，过点D作，交于点E． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 哥德巴赫猜想提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7． （1）小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为． （2）小组成员从中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法求出这2张卡片上的数字之和是偶数的概率． 21. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、．求证：四边形为矩形． 22. 某种规格的溱湖簖蟹养殖成本为30元/只，根据市场调查发现，批发价定为50元/只时，每天可销售400只，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，养殖户采取降价措施，一只蟹的批发价每降低1元，每天销量可增加40只． （1）当降价2元时，养殖户每天的利润为多少元？ （2）若养殖户每天的利润要达到8960元，并尽可能让利顾客，则定价应为多少元？ 23. 小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，测倾器的高度CD=0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计） 24. 如图，在矩形中，，，动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从点C出发．沿向点B移动，设P、Q两点移动后，的面积为． （1）当运动时间为多少秒时，与相似； （2）在P、Q两点移动的过程中，的面积能否等于？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 25. 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： （1）如图1，若，则的值为______； （2）如图2，当，时，求的值； 问题解决： （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $