1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量表示，分层设计从基础概念到综合应用，适配新授课知识巩固与空间观念、推理能力等核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一概念（法向量/方向向量计算）|单选题直接应用公式，如已知三点求平面法向量| |中档|综合辨析（法向量性质/向量关系）|多选题判断法向量垂直与共线，填空题结合平行关系求参数| |提升|复杂应用（几何体中法向量求解）|解答题需建立坐标系，如长方体、四棱锥中平面法向量的逻辑推理|

1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示 同步练 2026-2027学年上学期高中数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．已知，，，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 2．已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 3．已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 4．已知在直三棱柱中，，，则平面的一个单位法向量（    ） A． B． C． D． 5．已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知直线l过点且平行于向量，平面α过直线l与点则平面α的法向量不可能是（    ） A． B． C． D． 7．若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 8．在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知平面内两向量，且，若为平面的一个法向量，则（ ） A． B． C． D． 10．在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 11．已知空间中的三点，，，则下列说法不正确的是（  ） A．不是直线AB的一个方向向量 B．直线AB 的一个单位方向向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是 三、填空题 12．在空间直角坐标系中，向量，是平面的一个法向量，若平面，则______． 13．已知，若平面的一个法向量为，则__________． 14．已知是平面的一个法向量，点都在平面内，则__________. 四、解答题 15．如图在长方体中，，，，M是的中点．以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面的法向量； (2)求平面的法向量． 16．如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量．    17．四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量. 18．在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面的一个法向量； (2)平面的一个法向量. 19．如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝DC，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，点F在PB上，问点F在何位置时，为平面DEF的一个法向量?    学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D D A D A A AC AC 题号 11 答案 BC 1．A 代入法向量的计算公式，即可求解. ，，令法向量为，则， ，可取. 故选：A. 2．A 根据法向量的性质可得，即可根据向量垂直的坐标运算求解. 解析：因为，，所以. 平面的法向量，则， 所以，即. 故选：A. 3．D 首先求出，依题意，则，根据空间向量共线的坐标表示计算可得. 因为直线过点和两点，所以， 又直线的一个方向向量，所以， 所以，所以， 所以，解得，所以. 故选：D 4．D 设平面的法向量为，根据法向量定义列方程可得一个法向量，结合单位向量定义求结论. 设平面的法向量为， 由已知，又，， 故，令，则，， 所以为平面的一个法向量， 又为平面的一个单位法向量， 所以或. 故选：D. 5．A 根据求解即可. 由题知：， 因为，所以，解得， 所以. 故选：A 6．D 由题可知所研究平面的法向量垂直于向量和向量，所以利用向量垂直判定即可. 由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量， 而， 选项A，，满足垂直，故正确； 选项B，，， 满足垂直，故正确； 选项C，，满足垂直，故正确； 选项D，，但，故错误． 故选：D. 7．A 由方向向量的概念求解， 由，l的方向向量与平行，只有选项A满足题意， 故选：A 8．A 根据法向量的求法求解即可. 由已知，设平面的一个法向量为， ，取，得， 选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线. 故选：A. 9．AC 利用空间向量的线性运算、数量积运算的坐标形式以及法向量的性质计算求解. ， 由为平面的一个法向量，得 得 解得，故AC正确，BD错误. 故选：AC. 10．AC 根据已知可得出点的坐标，进而求出相关向量的坐标，求出平面的法向量，即可得出答案. 由题意，，，，，. 对于A、B项，可知， ∴向量为直线的一个方向向量，故A正确，B不正确； 对于C项，设平面的法向量为，则. 又，， 所以有. 令，可得，则C正确； 对于D项，设平面的法向量为，则. 又，， 所以有. 令，得，故D不正确. 故选：AC. 11．BC 根据向量共线的坐标表示，可判断AB；根据向量夹角公式，可判断C；根据平面法向量的求法，即可得出结果判断D. 对于A ，，，所以不存在实数， 使得，则不是直线AB的一个方向向量，所以A正确； 对于B，因为，， 所以直线AB 的一个单位方向向量是， 或，所以B错误； 对于C，向量，， 所以，所以C错误； 对于D项，设平面的一个法向量是，，， 所以，则，令，可得，所以D正确. 故选：BC. 12．8 由题意得，再根据空间向量平行公式求解即可. 由题意得，则，得． 故答案为：8 13．. 根据题意，求得向量，得到方程组，即可求解. 因为，可得， 因为平面的一个法向量为，则， 解得，所以. 故答案为：. 14．9 求出向量的坐标，再利用平面法向量的意义，结合数量积的坐标表示求出. 由点，得， 由是平面的一个法向量，且点，得， 因此，所以. 故答案为：9 15．(1) (2) （1）可以观察出y轴垂直于平面，故就是平面的一个法向量；（2）利用求解平面的法向量的方法进行求解. （1）因为y轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量． （2）因为，，，M是的中点，所以M，C，的坐标分别为，，．因此，． 设是平面的法向量，则 ，． 所以 所以 取，则，．于是是平面的一个法向量． 16．∵⊥底面，底面是直角梯形 且， ∴两两垂直． 以A点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，      则， 则，易知向量是平面的一个法向量． 设为平面的法向量， 则即， 取，则， 所以平面的一个法向量为. 建立空间直角坐标系，写出点的坐标，平面的法向量可直接写出，设出平面的法向量，根据垂直关系列出方程组，求出答案. 略 17．即为平面的法向量，是平面的法向量 先证出是三条两两垂直的线段，建立空间直角坐标系，得到点的坐标，求出平面的法向量. 因为，，所以， 因为平面，平面，平面， 所以， 所以是三条两两垂直的线段， 以A为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 于是，，.    易得是平面的法向量. 设平面的一个法向量为， 则，解得. 又，解得. 所以即为平面的法向量， 所以即为平面的法向量，是平面的法向量. 18．(1)    (答案不唯一) (2) (答案不唯一) （1）利用线面垂直的判定定理求解法向量； （2）利用空间向量的坐标运算求平面的法向量. （1） 由题意，可得, 连接AC，因为底面为正方形，所以, 又因为平面，平面，所以， 且，则AC⊥平面， ∴为平面的一个法向量. (答案不唯一). （2） 设平面的一个法向量为， 则 令，得 ∴即为平面的一个法向量.(答案不唯一). 19．F为线段PB的一个三等分点（靠近P点）． 以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA＝2，求出点的坐标，由，可得，设，，得，由＝0即可求得F的位置． 以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，    设DA＝2，则， ∴，, ∵，∴， 设，，∴，∴ ∴，∴ ∵＝0，∴，∴， ∴F为线段PB的一个三等分点(靠近P点)． 学科网（北京）股份有限公司 $