精品解析：新疆乌鲁木齐市第五十四中学2026-2027学年第一学期第一次阶段性测试九年级数学

乌鲁木齐市第54中学2026-2027学年第一学期第一次阶段性测试 九年级数学试卷问卷 （卷面分值：150分 考试时间：100分钟） 注意事项： 1．本试卷为问答分离式试卷，其中问卷4页，答卷2页． 2．答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号、座位号准确填写在指定的位置上． 3．所有答案必须用 0.5毫米的黑色字迹的签字笔按照题号顺序在答卷上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效． 一、单选题（共9小题，共36分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A、化简得，整理为，不是一元二次方程； B、分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程； C、是一元二次方程； D、含两个未知数，不是一元二次方程． 2. 把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【详解】解：整理得， 所以二次项系数为4，一次项系数为，常数项为． 3. 观察下列表格，一元二次方程的其中一个解的取值范围是（ ） x 0 1 2 3 4 13 30 49 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解.的解是二次函数图象与x轴的交点的横坐标，再利用二次函数的增减性可估算解的范围． 【详解】解：观察表格可得： 当时，， 当时，， 从到的这个过程中图象一定会与x轴的相交， 所以的一个解的范围为． 故选：B． 4. 由二次函数，可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其图象与y轴交点的纵坐标为1 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的性质，逐项判断即可得到正确结果． 【详解】解：对于二次函数，其中，，， ， 抛物线开口向上，A选项错误； 顶点式的对称轴为直线， 对称轴为直线，B选项错误； 抛物线与轴交点，令代入解析式：， 与轴交点纵坐标为，不是，C选项错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小，D选项正确 故选：D． 5. 若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，再计算各点到对称轴的距离，结合开口向下的抛物线的性质比较函数值大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， 开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越大，对应的y值越小， 点A到对称轴的距离：， 点B到对称轴的距离：， 点C到对称轴的距离：， ∵， ∴． 6. 一元二次方程 的两个实数根为，，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根与系数的关系，，，转化为，转化为． 【详解】解：对于一元二次方程， ，，， 由根与系数的关系得，，， 所以，A、B选项不符合题意； ， C选项不符合题意； ， D选项符合题意． 7. 相关数据显示，近年来高科技制造业日新月异，呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年9月产值达到万元，预计月产值将增至万元．设该公司，两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设该公司，两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为． 8. 在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数图象确定m的取值范围，再由此判断同一坐标系中的二次函数图象是否符合； 对于选项A，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的开口方向，判断选项A是否符合题意；对于选项Ｂ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，判断选项Ｂ是否符合题意；对于选项Ｃ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的开口方向，判断选项Ｃ是否符合题意；对于选项Ｄ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，判断选项Ｄ是否符合题意．问题即可解答． 【详解】解：A、由函数的图象可知， 则函数的图象应该开口向上，故A选项错误； B、由函数的图象可知， 则函数图象的对称轴为， 则对称轴应在y轴左侧，故B选项错误； C、由函数的图象可知， 则函数的图象应该开口向下，故C选项错误； D、由函数的图象可知， 则函数图象的对称轴为， 则对称轴应在y轴左侧，故D选项正确． 9. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤，共个． 二、填空题（共6小题，共24分） 10. 若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此进行求解即可. 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， . 11. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】该方程为一元二次方程，有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，据此列不等式求解即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴ 根的判别式， ∵, , ， ∴， 计算得， ∴， 解得． 12. 若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到的值，将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个实数根， 将代入方程得， ， 可得：， 把代入， 可得：原式． 13. 某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，设该校八年级有x个班级，依题意可列方程为：__________________________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据每两班之间赛一场，共进行了28场，列出方程即可. 【详解】解：由题意，可列方程为. 14. 若抛物线与x轴交于点和点，且可由抛物线平移得到，则该抛物线的函数表达式为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移及交点式的应用，解题的关键是利用抛物线与轴交点设出交点式，结合平移性质确定二次项系数． 已知抛物线与轴交点，设出交点式，再根据抛物线由平移得到确定二次项系数，进而得出函数表达式． 【详解】抛物线与轴交于点和点， 设抛物线表达式为， 由于抛物线可由平移得到，抛物线平移时二次项系数不变，的二次项系数是， ， 该抛物线的函数表达式为． 15. 设二次函数，当时，函数有最小值，则的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次函数化成顶点式，于是可得其对称轴为直线，由可得抛物线开口向上，然后分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解并验证结果是否符合题意即可． 【详解】解：， 二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 分三种情况讨论： ①当时， 即时，此时时，函数有最小值， 将代入，得： ， 解得：， 与相矛盾，不符合题意，故舍去； ②当时， 即时，顶点处取最小值， ， 解得：或（不符合题意，故舍去）， ； ③当时， 即时，此时时，函数有最小值， 将代入，得： ， 解得：， 与相矛盾，不符合题意，故舍去； 综上，的值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，把化成顶点式，的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，解一元一次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 三、解答题（共8题，共 90分） 16. 用适当方法解下列一元二次方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用直接开方法运算即可； （2）利用公式法运算即可； （3）利用因式分解法运算即可； （4）利用配方法运算即可． 【小问1详解】 解： 解得：，； 【小问2详解】 解：，，， 解得：，； 【小问3详解】 解： ∴或 解得：，； 【小问4详解】 解： ∴ 解得：，； 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）； 【解析】 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）把代入方程，求出的值，再解方程即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：把代入方程，得， 解得， ∴方程化为， ∴， ∴； 故方程的另一个根为. 18. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）写出方程的两个根：__________； （2）写出不等式的解集：__________； （3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围__________； （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围：__________． 【答案】（1）， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象与x轴的两个交点的横坐标进行解答即可； （2）根据函数图象找出在x轴下方的部分所对的x值即可； （3）根据抛物线的开口方向和对称轴进行解答即可； （4）根据函数图象进行解答即可． 【小问1详解】 解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， 一元二次方程的两个根分别是，； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，抛物线的图象在轴的下方， 不等式的解集为； 【小问3详解】 解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴为， 在对称轴的左侧随的增大而减小， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； 【小问4详解】 解：由图象可知，当时， 抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根时，． 19. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料． （1）当长度是多少时，矩形花园的面积为； （2）能否围成矩形花园面积为，为什么？ 【答案】（1）当长度是时，矩形花园的面积为 （2）不能，理由如下： 设，则， 依题意得：， 整理得：． ， 该方程无实数根， 不能围成面积为的矩形花园． 【解析】 【分析】（1）设，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合围墙最长可利用，即可确定结论； （2）设，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为的矩形花园． 【小问1详解】 解：设，则， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：当长度是时，矩形花园的面积为． 【小问2详解】 略 20. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面．求当水位上涨至刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度（，结果保留小数点后一位）． 【答案】 【解析】 【分析】以大孔顶点建立坐标系，设大孔抛物线顶点式并代入已知点求出解析式，再将淹没小孔对应的水位高度代入，求得横坐标之差即为此时大孔的水面宽度． 【详解】解：如图，以大孔顶点为抛物线顶点，大孔中水面的中点为原点，上涨前的水面所在直线为轴，建立直角坐标系， 则点坐标为，点坐标为，点坐标为， 设大孔抛物线的解析式为，即， 将代入，可得， 解得， 则大孔抛物线的解析式为， 小孔顶点距水面，当水位上涨至刚好淹没小孔时，水位对应的纵坐标， 令，则， 解得或， 故当水位上涨至刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线：经过点． （1）求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标； （2）若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移n（）个单位，图象恰好经过点，求n的值． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】主要考查了二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． （1）将点代入函数解析式求出，即可得二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可求解； （2）根据题意求出平移后新二次函数的解析式，再将代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵经过点， ∴． 解得：． ∴二次函数的解析式为． ∴对称轴为直线．顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：二次函数的解析式化为． ∵把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位， ∴平移后新二次函数的解析式为． ∵平移后图图象经过点， ∴． 解得：． 22. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元． （1）用含的代数式表示下列各量． ①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件． （2）当商家每星期想获得利润5280元，如何定价？ （3）如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． 【答案】（1）； （2）当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件． （3）55元件 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）①根据题意和题目中的数据，可以用含的代数式表示出每件商品的利润；②根据每降价1元，每星期可多卖出30件，可以写出每星期卖出商品的件数； （2）根据总利润单件利润销售量列方程求解即可； （3）根据总利润单件利润销售量，可以写出关于的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． 【小问1详解】 ①每件商品的利润为元， 故答案为：； ②每星期卖出商品的件数为：， 故答案为：； 【小问2详解】 设每件商品降价元，依题意得： 关于的函数关系式是：， 解得：（不合题意，舍去），， 当时，售价为（元）． 答：当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件． 【小问3详解】 解：设总利润为，依题意得： ， ∴， 当时，取得最大值6750，此时售价为（元， 答：当定价为55元件时才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元． 23. 综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标； （3）当时，求点P的坐标； （4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先根据题意确定点A、C的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）分三种情况分别画出图形，然后根据等腰三角形的定义以及坐标与图形即可解答； （3）先证明可得，设，则,可得，即，求得可得m的值，进而求得点P的坐标； （4）如图：将线段向右平移单位得到,即四边形是平行四边形，可得,即，作关于对称轴的点,则，由两点间的距离公式可得，再根据三角形的三边关系可得即可解答． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， ∴当时，，即；当时，，即； ∵， ∴设抛物线的解析式为， 把代入可得：，解得：， ∴， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：∵，， ∴, ∴， 如图：当， ∴,即； 如图：当， ∴,即； 如图：当， ∴,即； 综上，点D的坐标为． 【小问3详解】 解：如图：∵轴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴, ∴, ∵设，则, ∴， ∴，解得：， 当时，， ∴． 【小问4详解】 解： ∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为：直线， 如图：将线段向右平移单位得到, ∴四边形是平行四边形， ∴,即, 作关于对称轴的点,则 ∴, ∵， ∴的最小值为． 故答案为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第54中学2026-2027学年第一学期第一次阶段性测试 九年级数学试卷问卷 （卷面分值：150分 考试时间：100分钟） 注意事项： 1．本试卷为问答分离式试卷，其中问卷4页，答卷2页． 2．答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号、座位号准确填写在指定的位置上． 3．所有答案必须用 0.5毫米的黑色字迹的签字笔按照题号顺序在答卷上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效． 一、单选题（共9小题，共36分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 观察下列表格，一元二次方程的其中一个解的取值范围是（ ） x 0 1 2 3 4 13 30 49 A. B. C. D. 4. 由二次函数，可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其图象与y轴交点的纵坐标为1 D. 当时，y随x的增大而减小 5. 若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程 的两个实数根为，，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 相关数据显示，近年来高科技制造业日新月异，呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年9月产值达到万元，预计月产值将增至万元．设该公司，两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共6小题，共24分） 10. 若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 11. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 12. 若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是______． 13. 某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，设该校八年级有x个班级，依题意可列方程为：__________________________________． 14. 若抛物线与x轴交于点和点，且可由抛物线平移得到，则该抛物线的函数表达式为______________． 15. 设二次函数，当时，函数有最小值，则的值为 _______． 三、解答题（共8题，共 90分） 16. 用适当方法解下列一元二次方程： （1） （2） （3） （4） 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 18. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）写出方程的两个根：__________； （2）写出不等式的解集：__________； （3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围__________； （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围：__________． 19. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料． （1）当长度是多少时，矩形花园的面积为； （2）能否围成矩形花园面积为，为什么？ 20. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面．求当水位上涨至刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度（，结果保留小数点后一位）． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线：经过点． （1）求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标； （2）若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移n（）个单位，图象恰好经过点，求n的值． 22. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元． （1）用含的代数式表示下列各量． ①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件． （2）当商家每星期想获得利润5280元，如何定价？ （3）如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． 23. 综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标； （3）当时，求点P的坐标； （4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $