专题11二次函数的应用知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题11二次函数的应用知题通关讲义 知识点01：核心通用解题步骤（所有应用题通用模板，答题必写） 1.设变量：根据题意设合适自变量x，明确x代表的实际意义； 2.找等量关系：根据面积、利润、高度、几何相似等关系列出y与x的关系式； 3.整理成二次函数标准形式：y=ax2+bx+c(a≠0)； 4.确定自变量取值范围：结合长度、数量、价格等实际意义，x>0、整数、不超过上限等限制； 5.求顶点横坐标：对称轴x=- 6.判断最值 a>0，开口向上，顶点处为最小值； a<0，开口向下，顶点处为最大值； 7.范围校验：若对称轴x在取值范围内，顶点为实际最值；若不在区间，最值出现在区间端点； 8.作答：结合题意写出完整答案。 知识点02：模型一：几何图形面积最值问题（高频基础题型） 1. 常见图形分类与公式表格 2. 关键易错点 （1）自变量必须大于 0，边长不能为负数； （2）靠墙题型容易算错平行墙边长（隔断数量决定系数，隔 1 道墙减2x，隔 2 道减3x）； （3）求完顶点后必须校验：对称轴数值不能超过篱笆总长度限制。 3. 典型模板例题 用 40m 篱笆围矩形花圃，一边靠墙，垂直墙边长为x，求最大面积。 解：平行墙边长=40-2x，S=x(40-2x)=-2x2+40x a=-2<0，对称轴x=10，在0<x<20范围内 Smax=200m2 知识点03：模型二：销售利润最值应用题（中考必考核心大题） 1. 基础利润公式（必须背诵） 单件利润 = 实际售价 − 单件进价 总利润W = 单件利润 × 销售数量 2. 两类价格调整题型对比表 3. 附加限制条件（高频坑点） 售价不能低于进价； 商品库存有限，销量不能超过库存上限； 价格只能为整数，求出顶点小数时取临近整数对比利润。 4. 标准解题流程示例 西瓜进价 2 元 / 千克，售价 3 元，日销 200kg；每降价 0.1 元，多卖 40kg，求最大利润定价。 设降价0.1x元，单件利润=1-0.1x，销量=200+40x W=(1-0.1x)(200+40x)=-4x2+20x+200 a=-4<0，对称轴x=2.5，对应定价3-0.25=2.75元时利润最大。 知识点04：模型三：抛物线型实际建模（拱桥、隧道、喷泉、建筑） 1. 坐标系建立两种常用方法 方法 1：顶点在原点（最简推荐） 抛物线顶点(0,0)，开口向下，解析式y=ax2 (a<0)，代入地面端点坐标求a。 方法 2：顶点在(h,k) 顶点式y=a(x-h)2+k，适合对称轴不在 y 轴的场景。 2. 三类典型实景考点表格 3. 通用解题步骤 （1）建平面直角坐标系（优先顶点放原点简化计算）； （2）标出图像已知点坐标； （3）代入顶点式 / 一般式求a； （4）将高度 / 距离代入解析式，解方程求对应横坐标； （5）结合左右对称计算宽度。 4. 易错提醒 （1）开口向下a一定为负数，容易符号写错； （2）求宽度要取左右两个x值做差，不可只算单侧； （3）货车通行问题：先算车辆对应宽度处拱高，对比车高判断能否通过。 知识点05：模型四：动态几何中的二次函数（压轴难点） 1. 常见载体：直角三角形、矩形、菱形动点 动点沿边匀速运动，设运动时间 / 路程为x，用相似、勾股表示线段长，推导出面积 / 线段长二次函数。 2. 两类函数图像特征 单段动点：完整抛物线（开口向上 / 向下）； 分段动点：分两段，前一段开口向上，后一段开口向下，图像为两段抛物线拼接。 3. 核心考点 求面积S关于路程x的函数； 求面积最大值； 给定面积反求动点位置。 知识点06：补充拓展：自由落体物理模型 下落高度公式：h=-gt2+v0t+h0（g重力加速度） h0：初始高度；v0：初速度； 对称轴对应到达最高点时间，顶点纵坐标为最大高度； 令h=0可求出落地总时间。 知识点07：最值两大求解方法（答题二选一） 方法 1：配方法（推荐书写步骤） 方法 2：顶点公式法（计算更快） 对称轴x=-，将x代入原式计算最值。 知识点08：自变量取值范围核心判定规则（必考扣分点） 1.长度、价格、销量：x>0； 2.几何动点：运动路程不超过图形边长，0<x<L； 3.销售涨价：售价≥进价，销量≥0； 4.实际物品数量：x为正整数； 5.若对称轴不在取值区间： a<0：区间左端点为最大值； a>0：区间右端点为最小值。 1、求实际问题最值忽略自变量取值范围 提醒：二次函数顶点取得最值，前提是顶点横坐标落在自变量允许的取值区间之内；如果顶点横坐标不在该区间，最值只能在区间端点处取得，不可直接将顶点纵坐标当作实际问题的最值。 2、建立函数解析式遗漏自变量取值范围 提醒：构建二次函数关系式时，先要明确自变量对应的实际含义；依据题目限制条件写出自变量的取值范围，解题不可省略该步骤。 3、利润题型中价格变动与销量关系列式错误 提醒：价格上涨则销量下降，价格下降则销量上升，不能颠倒二者变化方向；利润计算公式：利润＝单件利润×销售数量，单件利润必须扣除产品成本，避免单件利润计算出错。 4、抛物线建模时主观默认顶点为坐标原点 提醒：实际抛物线问题中，坐标系的原点由题目条件确定；原点选取不同，所得二次函数解析式不同，不能未经审题就直接设定顶点坐标为(0,0)。 5、解方程得到结果后未按实际意义舍去无效解 提醒：利用一元二次方程求出两个未知数的解后，需要对照自变量取值范围筛选结果；不符合实际背景的解应当舍去，不能直接保留全部计算解。 6、二次函数应用题误读坐标轴代表的实际量 提醒：审题确认横轴、纵轴各自对应的实际含义；不能依靠固有经验主观判定坐标轴意义，防止代入数值时出现变量匹配错误。 7、面积类二次函数问题忽略边长大于0的隐含限制 提醒：求解几何面积最值时，图形每一条边长都必须大于0；以此推导出自变量的取值边界，不能只使用题干给出的显性约束条件。 8、跨对称轴错误判断二次函数增减性 提醒：判断二次函数增减性需要结合抛物线开口方向与对称轴；增减变化只适用于对称轴的同一侧，不可以跨越对称轴判定函数的增减趋势。 题型 考察方向 难度 题型一 图形问题 ★★★ 题型二 图形运动问题 ★★★★ 题型三 拱桥问题 ★★★ 题型四 销售问题 ★★★ 题型五 投球问题 ★★★ 题型六 喷水问题 ★★★ 题型七 增长率问题 ★★★ 题型八 其他问题 ★★★ 题型九 线段周长问题 ★★★★ 题型十 面积问题 ★★★★ 题型十一 角度问题 ★★★★ 题型十二 特殊三角形问题 ★★★★ 题型十三 特殊四边形 ★★★★★ 题型十四 相似三角形问题 ★★★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 图形问题 1．如图，一矩形场地，两边长分别为、，现欲在矩形内修两条宽为的小路，剩余部分的面积是，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 2．如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为米，足球场的面积为平方米，则关于的函数关系式（结果保留）为______． 3．如图，用篱笆（虚线部分）在墙角围一个矩形，已知篱笆的长度是，如何围篱笆才能使其所围矩形的面积最大？最大面积是多少？ 4．学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用26米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为43米，设实验田的长为x米． (1)的长为_________米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为150平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 题型二 图形运动问题 5．如图，矩形的两边长，，点M、N分别从A、B同时出发．M在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，N在边上沿方向以每秒的速度的匀速运动，当N到达C点时，M、N停止运动．当运动时间______秒时，的面积最大，最大值为______．    6．如图，在中，，，点D在线段上由点A向点B运动，且交的边于点E，，设，在中扫过的面积为y，则x与y的函数关系可以用图像（   ）表示． A． B． C．D． 7．如图所示，已知在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当运动到时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：___________，___________． （用含的代数式表示）； (2)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (3)点、运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 8．如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿A→B→C的方向运动到点C停止，运动速度为，若射线，分别是正北方向和正东方向，在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F，连接，设的面积为，点P运动的时间为（线段可视为面积为0的三角形）． (1)当点F与矩形顶点重合时，； (2)求当E在线段上时，y关于x的函数解析式； (3)当点P在线段上，且将矩形分成两部分图形的面积比为时，直接写出x的取值范围． 题型三 拱桥问题 9．如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，离地面150米处的水平宽度（即的长）为40米，则“门”的内侧的高度的大小是______米． 10．如图是抛物线形的拱桥，当水面宽时，顶点离水面，当水面宽度增加到时，水面下降（   ） A． B． C． D． 11．如图所示，桥梁上两条钢缆的形状可以近似看成两条相同的抛物线，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，y轴左侧的一条抛物线可以用表示． (1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ (2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？ 12．开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 题型四 销售问题 13．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，设每件涨价元，则每星期售出商品的利润随之变化，所得利润．下列结论中正确的是（    ） A．涨价时不存在利润最大 B．自变量的取值范围是 C．当时，最大利润为6000元 D．当定价65元时，利润最大为6250元 14．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整商品售价，每涨价1元，每星期要少卖出10件．设每件商品涨价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的函数解析式为________________ 15．综合与实践 某镇黄金梨种植基地迎来丰收季，黄澄澄的梨果挂满枝头，果农们忙碌采摘，洋溢着喜悦．该镇以“兴产业、促就业、带民富”为思路，立足资源禀赋，优化农业结构，发展特色林果经济，创新“合作社+基地+种植户”模式，带动农户抱团发展．某合作社以12元/千克的价格购进一批黄金梨，如果以20元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克；如果以25元/千克的价格销售，那么每天可售出200千克．根据销售经验可以知道，每天的销售量（单位：千克）与销售价格（，且为整数，单位：元/千克）存在一次函数关系． (1)与之间的函数表达式为_____（不用写出自变量的取值范围） (2)设该合作社销售黄金梨每天获得的利润为w，则当销售价格为多少元/千克时，每天获得的利润w最大?最大利润是多少? (3)若物价局规定商品的利润率不能高于100%，而该合作社每天销售黄金梨的利润为2520元，请直接写出的值． 题型五 投球问题 16．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：m）与小球的运动时间（单位：s）之间的关系式是（）．有下列结论错误的是（） A．小球从抛出到落地需要 B．小球运动时和时的高度一样 C．小球运动时的高度小于运动时的高度 D．小球运动中的高度可以是 17．苍南队在浙训练中发现，每一次篮球投篮轨迹满足抛物线，篮球出手至入筐过程中的水平距离长为_________米． 18．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)假设小强在练习实心球时，他的正前方距离原点米的点处放置有一个米高的警示牌（与轴垂直），问实心球是否会砸到警示牌，请说明理由． 19．踢足球是同学们喜爱的一项运动．如图，甲同学站在球门正前方的点处练习射门，他离球门的距离；身高的乙同学站在球门前的点处充当守门员，且他只做上下起跳防守，最大起跳高度为；点，，在一条直线上，，足球球门高度为，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，足球飞行路线可看成抛物线的一部分． (1)甲射门时，球离点的水平距离与离地高度的部分数据如下表所示，求关于的函数解析式； 0 5 10 15 16 … 0 3 4 3 2．56 … (2)在（1）的条件下，若乙防守，通过计算判断甲的这次射门能否成功； (3)甲改变射门的角度再次射门，使球的最大高度发生改变，但保持球达到最大高度时与点的水平距离不变，若在乙防守的前提下甲这次射门能成功，求的取值范围． 题型六 喷水问题 20．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，建立如图所示的平面直角坐标系，得水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式是，则水流喷出的最大高度为（） A． B． C． D． 21．某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 22．射水鱼以陆生昆虫为食．它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中以内的昆虫．如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分（如图）．在一次捕食时，射水鱼射出的水珠运动的高度y（单位：）与向前运动的水平距离x（单位：）之间的关系可以近似地表示为．根据这一关系回答下列问题： (1)如果这次射出的水流没有遇到障碍物，那么当水珠向前运动的水平距离在什么范围时，它运动的高度逐步上升？当水珠向前运动的水平距离在什么范围时，它运动的高度逐步下降？水珠运动的最大高度是多少？ (2)假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离、高度处，那么这次射出的水流能否击中这只昆虫？ 23．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 题型七 增长率问题 24．某市今年第一季度的专项教育投入为亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为______．（不要求写自变量的取值范围） 25．为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（   ） A． B． C． D． 26．完成以下问题： (1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式． (2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x．写出两年后产品的年销售量y（单位：万件）关于x的函数解析式． 27．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 题型八 其他问题 28．某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试．飞机着陆后滑行的距离s（单位：）关于滑行的时间t（单位：）的函数解析式是，则飞机的滑行时长是（    ） A． B． C． D． 29．在泡菜腌制的过程中，亚硝酸盐的含量会随着时间的推移而发生变化．一般来说，腌制初期亚硝酸盐含量较低，到达一个峰值后又逐渐下降．这个变化曲线近似于抛物线．假设腌制时间（单位：天）与亚硝酸盐含量（单位：毫克/千克）之间的关系可以用函数来表示，其中是腌制时间，是对应的亚硝酸盐含量．根据实验数据，我们得到以下结论： ①腌制开始（第天）时，亚硝酸盐含量为毫克/千克； ②腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克； ③腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克． 因此，泡菜腌制过程中第_____天亚硝酸盐含量最高． 30．如图，砗磲是地球上最大的双壳类动物，被称为“贝王”，其幼年生长较快，随年龄增加生长速率持续放缓．某海洋研究院对南海地区的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本平均日生长速率（单位：微米/天）与年龄（单位：岁）近似满足关系：，其中． (1)若该砗磲样本的年龄为18岁，求它的平均日生长速率； (2)现测得该砗磲样本的平均日生长速率为20微米/天，求它的年龄． 31．综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 题型九 线段周长问题 32．已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围为______． 33．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，已知点，，若线段与抛物线只有一个公共点，则的值可能是（    ）    A． B． C． D． 34．如图，二次函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)如图1，求A，B两点的坐标； (2)如图2，在抛物线的对称轴l上，是否存在一点D，使得的值最小，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，若点E是直线下方抛物线上的动点，当的面积是的面积的一半时，求点E坐标． 题型十 面积问题 35．直线与抛物线交于、两点，点在抛物线上，若三角形的面积为，求点的坐标____________． 36．如图，二次函数过点，长方形的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和（     ） A．16 B．8 C．14 D．9 37．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为，点，另抛物线经过点. (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限的抛物线上是否存在一点M使的面积最大，若存在，请求出点M的坐标，并求出最大面积；若不存在，请说明理由． 题型十一 角度问题 38．如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为第一象限抛物线上一点，且，则点M的坐标为________．    39．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴正半轴于点C．若P为第二象限抛物线上的一点，且，求点P的坐标． 40．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1．点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十二 特殊三角形问题 41． 的三个顶点 均在抛物线 上， 并且斜边 平行于 轴， 若斜边上的高为 ， 则 的值为___________________ ． 42．如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 43．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 题型十三 特殊四边形 44．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点B作y轴的垂线，交抛物线于另一点A，点C，D在线段上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E，F两点、若四边形为正方形，则线段的长为______． 45．如图，已知矩形的顶点、均在抛物线上，点、在轴上方，顶点、均在轴上，且，则的长为（     ） A．5 B．6 C．6.3 D．7 46．如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为S．求S关于的函数关系式；当取何值时，S有最大值，求出S的最大值； (3)若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以，M，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十四 相似三角形问题 47．如图，已知抛物线：与轴交于点，，（在的左侧），与轴交于点，对称轴是直线，是第一象限内抛物线上的任一点． (1)求抛物线的解析式； (2)有可能是等边三角形吗？若是，请求点P的坐标，若不是，请说明理由； (3)过点作轴的垂线与线段交于点，垂足为点，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 48．如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点M，交x轴于点N． (1)直接写出抛物线和直线的解析式； (2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求m的值； (3)是否存在点这样的点P，使得以O，M，N为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 49．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，和轴相交于点，连接、． (1)求抛物线的解析式（关系式）． (2)在第一象限外，是否存在点，使得以为直角边的和相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点，然后直接写出点的坐标，并判断是否有满足条件的点在抛物线上；若不存在，请说明理由． (3)在直线上方的抛物线上，找一点，使，并求出此时点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11二次函数的应用知题通关讲义 知识点01：核心通用解题步骤（所有应用题通用模板，答题必写） 1.设变量：根据题意设合适自变量x，明确x代表的实际意义； 2.找等量关系：根据面积、利润、高度、几何相似等关系列出y与x的关系式； 3.整理成二次函数标准形式：y=ax2+bx+c(a≠0)； 4.确定自变量取值范围：结合长度、数量、价格等实际意义，x>0、整数、不超过上限等限制； 5.求顶点横坐标：对称轴x=- 6.判断最值 a>0，开口向上，顶点处为最小值； a<0，开口向下，顶点处为最大值； 7.范围校验：若对称轴x在取值范围内，顶点为实际最值；若不在区间，最值出现在区间端点； 8.作答：结合题意写出完整答案。 知识点02：模型一：几何图形面积最值问题（高频基础题型） 1. 常见图形分类与公式表格 2. 关键易错点 （1）自变量必须大于 0，边长不能为负数； （2）靠墙题型容易算错平行墙边长（隔断数量决定系数，隔 1 道墙减2x，隔 2 道减3x）； （3）求完顶点后必须校验：对称轴数值不能超过篱笆总长度限制。 3. 典型模板例题 用 40m 篱笆围矩形花圃，一边靠墙，垂直墙边长为x，求最大面积。 解：平行墙边长=40-2x，S=x(40-2x)=-2x2+40x a=-2<0，对称轴x=10，在0<x<20范围内 Smax=200m2 知识点03：模型二：销售利润最值应用题（中考必考核心大题） 1. 基础利润公式（必须背诵） 单件利润 = 实际售价 − 单件进价 总利润W = 单件利润 × 销售数量 2. 两类价格调整题型对比表 3. 附加限制条件（高频坑点） 售价不能低于进价； 商品库存有限，销量不能超过库存上限； 价格只能为整数，求出顶点小数时取临近整数对比利润。 4. 标准解题流程示例 西瓜进价 2 元 / 千克，售价 3 元，日销 200kg；每降价 0.1 元，多卖 40kg，求最大利润定价。 设降价0.1x元，单件利润=1-0.1x，销量=200+40x W=(1-0.1x)(200+40x)=-4x2+20x+200 a=-4<0，对称轴x=2.5，对应定价3-0.25=2.75元时利润最大。 知识点04：模型三：抛物线型实际建模（拱桥、隧道、喷泉、建筑） 1. 坐标系建立两种常用方法 方法 1：顶点在原点（最简推荐） 抛物线顶点(0,0)，开口向下，解析式y=ax2 (a<0)，代入地面端点坐标求a。 方法 2：顶点在(h,k) 顶点式y=a(x-h)2+k，适合对称轴不在 y 轴的场景。 2. 三类典型实景考点表格 3. 通用解题步骤 （1）建平面直角坐标系（优先顶点放原点简化计算）； （2）标出图像已知点坐标； （3）代入顶点式 / 一般式求a； （4）将高度 / 距离代入解析式，解方程求对应横坐标； （5）结合左右对称计算宽度。 4. 易错提醒 （1）开口向下a一定为负数，容易符号写错； （2）求宽度要取左右两个x值做差，不可只算单侧； （3）货车通行问题：先算车辆对应宽度处拱高，对比车高判断能否通过。 知识点05：模型四：动态几何中的二次函数（压轴难点） 1. 常见载体：直角三角形、矩形、菱形动点 动点沿边匀速运动，设运动时间 / 路程为x，用相似、勾股表示线段长，推导出面积 / 线段长二次函数。 2. 两类函数图像特征 单段动点：完整抛物线（开口向上 / 向下）； 分段动点：分两段，前一段开口向上，后一段开口向下，图像为两段抛物线拼接。 3. 核心考点 求面积S关于路程x的函数； 求面积最大值； 给定面积反求动点位置。 知识点06：补充拓展：自由落体物理模型 下落高度公式：h=-gt2+v0t+h0（g重力加速度） h0：初始高度；v0：初速度； 对称轴对应到达最高点时间，顶点纵坐标为最大高度； 令h=0可求出落地总时间。 知识点07：最值两大求解方法（答题二选一） 方法 1：配方法（推荐书写步骤） 方法 2：顶点公式法（计算更快） 对称轴x=-，将x代入原式计算最值。 知识点08：自变量取值范围核心判定规则（必考扣分点） 1.长度、价格、销量：x>0； 2.几何动点：运动路程不超过图形边长，0<x<L； 3.销售涨价：售价≥进价，销量≥0； 4.实际物品数量：x为正整数； 5.若对称轴不在取值区间： a<0：区间左端点为最大值； a>0：区间右端点为最小值。 1、求实际问题最值忽略自变量取值范围 提醒：二次函数顶点取得最值，前提是顶点横坐标落在自变量允许的取值区间之内；如果顶点横坐标不在该区间，最值只能在区间端点处取得，不可直接将顶点纵坐标当作实际问题的最值。 2、建立函数解析式遗漏自变量取值范围 提醒：构建二次函数关系式时，先要明确自变量对应的实际含义；依据题目限制条件写出自变量的取值范围，解题不可省略该步骤。 3、利润题型中价格变动与销量关系列式错误 提醒：价格上涨则销量下降，价格下降则销量上升，不能颠倒二者变化方向；利润计算公式：利润＝单件利润×销售数量，单件利润必须扣除产品成本，避免单件利润计算出错。 4、抛物线建模时主观默认顶点为坐标原点 提醒：实际抛物线问题中，坐标系的原点由题目条件确定；原点选取不同，所得二次函数解析式不同，不能未经审题就直接设定顶点坐标为(0,0)。 5、解方程得到结果后未按实际意义舍去无效解 提醒：利用一元二次方程求出两个未知数的解后，需要对照自变量取值范围筛选结果；不符合实际背景的解应当舍去，不能直接保留全部计算解。 6、二次函数应用题误读坐标轴代表的实际量 提醒：审题确认横轴、纵轴各自对应的实际含义；不能依靠固有经验主观判定坐标轴意义，防止代入数值时出现变量匹配错误。 7、面积类二次函数问题忽略边长大于0的隐含限制 提醒：求解几何面积最值时，图形每一条边长都必须大于0；以此推导出自变量的取值边界，不能只使用题干给出的显性约束条件。 8、跨对称轴错误判断二次函数增减性 提醒：判断二次函数增减性需要结合抛物线开口方向与对称轴；增减变化只适用于对称轴的同一侧，不可以跨越对称轴判定函数的增减趋势。 题型 考察方向 难度 题型一 图形问题 ★★★ 题型二 图形运动问题 ★★★★ 题型三 拱桥问题 ★★★ 题型四 销售问题 ★★★ 题型五 投球问题 ★★★ 题型六 喷水问题 ★★★ 题型七 增长率问题 ★★★ 题型八 其他问题 ★★★ 题型九 线段周长问题 ★★★★ 题型十 面积问题 ★★★★ 题型十一 角度问题 ★★★★ 题型十二 特殊三角形问题 ★★★★ 题型十三 特殊四边形 ★★★★★ 题型十四 相似三角形问题 ★★★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 图形问题 1．如图，一矩形场地，两边长分别为、，现欲在矩形内修两条宽为的小路，剩余部分的面积是，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移、二次函数的应用等知识．把两条路进行平移，一条移动到上方，一条移动到左方，那么剩余部分就变成了边长为和的长方形，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式． 【详解】解：依题意得把两条路分别进行平移， 长为的路移动到上方，长为的路移动到左方， ∴草坪就变成了边长为和的长方形， ∴， 故选：C． 2．如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为米，足球场的面积为平方米，则关于的函数关系式（结果保留）为______． 【答案】 【分析】根据跑道周长公式表示出矩形的宽，再利用矩形面积公式列出函数关系式； 【详解】解：设矩形的宽为米， 跑道周长为米，由两条直道和两个半圆组成，两个半圆合为一个圆，直道的长为米， ， ， 足球场是矩形， ， ， ． 3．如图，用篱笆（虚线部分）在墙角围一个矩形，已知篱笆的长度是，如何围篱笆才能使其所围矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】围成矩形的长、宽都等于时，所围矩形的面积最大；最大面积为 【分析】根据题意，设，则，根据面积公式列出函数关系式，构造二次函数，求最值即可． 【详解】解：根据题意，设，则， 故， 根据题意，得， 解得， ∵， ∴， 由， ， ∴当时，有最大值，最大值为． 故围成矩形的长、宽都等于时，所围矩形的面积最大；最大面积为． 4．学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用26米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为43米，设实验田的长为x米． (1)的长为_________米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为150平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 【答案】(1) (2) (3)实验田的最大面积为平方米 【分析】（1）根据栅栏总长度3倍长度长度个门的宽，列式即可； （2）先确定的取值范围，再根据题意列方程求解即可； （3）设实验田面积为，则，再根据二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：∵米， 根据题意可得：， 整理后得米； （2）解：∵，侧墙最大可用15米， ∴， ∵米，侧墙最大可用26米，故，解得， ∴， ∵矩形面积为， ∴， 整理得：， 解得，（不符合要求，舍去）， ∴； （3）解：设实验田面积为， 则， 这是开口向下的二次函数，对称轴为直线， ∵， ∴时，取得最大值，此时，符合的要求， ∴代入，得， ∴实验田的最大面积为平方米． 题型二 图形运动问题 5．如图，矩形的两边长，，点M、N分别从A、B同时出发．M在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，N在边上沿方向以每秒的速度的匀速运动，当N到达C点时，M、N停止运动．当运动时间______秒时，的面积最大，最大值为______．    【答案】 4 20 【分析】，，根据，结合得出当时，的面积最大，且最大值为． 【详解】解：∵N在边上沿方向以每秒的速度的匀速运动，当N到达C点时，M、N停止运动， ∴， ∵M在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，N在边上沿方向以每秒的速度的匀速运动， ∴，， ∴ ， ∴当时，的面积最大，且最大值为： ． 故答案为：4；20． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是根据题意得出． 6．如图，在中，，，点D在线段上由点A向点B运动，且交的边于点E，，设，在中扫过的面积为y，则x与y的函数关系可以用图像（   ）表示． A． B． C．D． 【答案】C 【分析】作于点H，分情况讨论：当在的左侧时， ；当在处时，；当在的右侧时，，结合图象判断即可． 【详解】解：如图，作于点H， ∵在中，，，， ∴，， ∵，， ∴，， 当在的左侧时， 中扫过的面积； 当在处时， 中扫过的面积； 当在的右侧时，， 中扫过的面积， ∴只有选项C符合． 7．如图所示，已知在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当运动到时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：___________，___________． （用含的代数式表示）； (2)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (3)点、运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)不能，理由如下： 当的面积等于时，则， 整理得， ∴， ∴方程没有实数根， ∴的面积不能等于； (3)当点、运动秒后，的面积最大，最大为 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果； （3）将三角形的面积转化为二次函数，根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由题意得，． （2）略 （3）解：当点运动到点时，（秒）； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大，最大为， 故当点、运动秒后，的面积最大，最大为． 8．如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿A→B→C的方向运动到点C停止，运动速度为，若射线，分别是正北方向和正东方向，在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F，连接，设的面积为，点P运动的时间为（线段可视为面积为0的三角形）． (1)当点F与矩形顶点重合时，； (2)求当E在线段上时，y关于x的函数解析式； (3)当点P在线段上，且将矩形分成两部分图形的面积比为时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）分两种情况讨论，点在和上，利用矩形的性质，以及等腰直角三角形的判定与性质求解即可； （2）分三种情况讨论，当时；当时；当时，分别画出示意图，根据等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理表示边长，建立函数解析式； （3）分四种情况讨论，表示将矩形分成两部分图形中其中一部分的面积，再进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点在上， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 当在上时，点F与矩形顶点不重合，舍去 ∴时，点F与矩形顶点C重合． （2）解：∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．连接．设的面积为，点P运动的时间为． 则 ∴当时，如图所示： 过点作， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， 则，， ∵， ∴是等腰直角三角形， 则,， 故； ∴当时，如图所示： 同理得是等腰直角三角形， 则 ∴， 即， ∴当时，过点作，如图所示： 同理得是等腰直角三角形， 则， ∴， 即， 综上：当E在线段上时，； （3）解：当时，过点作于点K，如图： 则同上可得：，，， ∴， ∴， ∴的面积随着的变化而变化， ∴将矩形分成两部分图形的面积比不为定值； 当时，如图： 则同上可得：，， ∴， ∴， ∴面积比为； 当时，过点作于点， 则，， ∴，， ∴ ∴ ∴的面积随着的变化而变化， ∴将矩形分成两部分图形的面积比不为定值； 当时，如图： 则，， ∴， ∴， ∴面积比为， 综上：当时，面积比为． 题型三 拱桥问题 9．如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，离地面150米处的水平宽度（即的长）为40米，则“门”的内侧的高度的大小是______米． 【答案】200 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合建立直角坐标系、熟练掌握待定系数法是解题的关键．以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，再求出时的y值，从而可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图： ∴，，，， 设内侧抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， ∴内侧抛物线的解析式为， 当时，， ∴米， 故答案为：200． 10．如图是抛物线形的拱桥，当水面宽时，顶点离水面，当水面宽度增加到时，水面下降（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系从而得出二次函数的解析式是解决问题的关键． 根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数的解析式，再把代入抛物线的解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点， 由平面直角坐标系可知，，即， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为，即， 当时，， 所以水面下降． 故选：C． 11．如图所示，桥梁上两条钢缆的形状可以近似看成两条相同的抛物线，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，y轴左侧的一条抛物线可以用表示． (1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ (2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？ 【答案】(1)钢缆的最低点到桥面的距离是； (2)两条钢缆最低点之间的距离是． 【分析】（1）把左侧抛物线化成顶点式，求得抛物线顶点（最低点）坐标即可求解； （2）求得右面的一条抛物线的顶点坐标为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为， ∴钢缆的最低点到桥面的距离是； （2）解：∵左面的一条抛物线可以用表示， ∴左面的一条抛物线的顶点坐标为， ∵左、右两条抛物线关于轴对称， ∴右面的一条抛物线的顶点坐标为， ， ∴两条钢缆最低点之间的距离是． 12．开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）将代入抛物线的解析式，求出y的值，再根据求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点D的坐标为，P的坐标为． 设虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为：， 将点代入得，， 解得， ∴虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，，M、N关于抛物线的对称轴对称， ∴点N的横坐标为2， 当时，， ， ∴灯笼底端（点E或F）到的距离为米． 题型四 销售问题 13．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，设每件涨价元，则每星期售出商品的利润随之变化，所得利润．下列结论中正确的是（    ） A．涨价时不存在利润最大 B．自变量的取值范围是 C．当时，最大利润为6000元 D．当定价65元时，利润最大为6250元 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．把二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∵， ∴当时，y取得最大值，为6250， 即涨价5元时存在利润最大，为6250元，故A、C选项错误，不符合题意； 此时当定价65元时，利润最大为6250元，故D选项正确，符合题意； 根据题意得：且， 即自变量的取值范围是，故B选项错误，不符合题意； 故选：D 14．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整商品售价，每涨价1元，每星期要少卖出10件．设每件商品涨价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的函数解析式为________________ 【答案】 【分析】根据总销售额每件售价每星期销售量，分别得到涨价后的售价和销售量，即可列出函数关系式． 【详解】解：∵每件商品原售价为元，涨价元后，每件售价为元， ∵原每星期可卖出件，每涨价元少卖出件，涨价元后，每星期销售量为件， ∴总销售额等于售价乘以销售量，可得， 即． 15．综合与实践 某镇黄金梨种植基地迎来丰收季，黄澄澄的梨果挂满枝头，果农们忙碌采摘，洋溢着喜悦．该镇以“兴产业、促就业、带民富”为思路，立足资源禀赋，优化农业结构，发展特色林果经济，创新“合作社+基地+种植户”模式，带动农户抱团发展．某合作社以12元/千克的价格购进一批黄金梨，如果以20元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克；如果以25元/千克的价格销售，那么每天可售出200千克．根据销售经验可以知道，每天的销售量（单位：千克）与销售价格（，且为整数，单位：元/千克）存在一次函数关系． (1)与之间的函数表达式为_____（不用写出自变量的取值范围） (2)设该合作社销售黄金梨每天获得的利润为w，则当销售价格为多少元/千克时，每天获得的利润w最大?最大利润是多少? (3)若物价局规定商品的利润率不能高于100%，而该合作社每天销售黄金梨的利润为2520元，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)当销售价格为或元/千克时，每天获得的利润w最大，最大利润为元 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用． （1）根据题意，销量与价格的函数关系为，待定系数法求解析式即可求解； （2）依题意，，进而根据二次函数的性质即可求解； （3）依题意，，解方程并检验，即可求解． 【详解】（1）解：设销量与价格的函数关系为， ∵当时，，当时， ∴ 解得： ∴ （2）解：依题意， ∵为整数 ∴当或时，每天获得的利润w最大 当时： 当时： 答：当销售价格为或元/千克时，每天获得的利润w最大，最大利润为元 （3）解：依题意， 整理得 即： 解得：或 又∵物价局规定商品的利润率不能高于100%， 即 ∴ ∴ 题型五 投球问题 16．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：m）与小球的运动时间（单位：s）之间的关系式是（）．有下列结论错误的是（） A．小球从抛出到落地需要 B．小球运动时和时的高度一样 C．小球运动时的高度小于运动时的高度 D．小球运动中的高度可以是 【答案】D 【分析】本题主要考查实际问题与二次函数；通过计算落地时间验证A，计算和的高度验证B，计算和的高度验证C，通过判别式验证D是否可能． 【详解】解：∵落地时， ∴， 即， 解得或， ∵为抛出时刻， ∴落地时间，故A正确； 当时，， 当时，， ∴h相同，故B正确； 当时，， 当时，， ∵， ∴C正确； 设，则， 即， ， ∴方程无实数解，高度不可能为，故D错误． 综上，错误结论是D． 故选：D． 17．苍南队在浙训练中发现，每一次篮球投篮轨迹满足抛物线，篮球出手至入筐过程中的水平距离长为_________米． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题关键．将代入二次函数的解析式可得或，再根据二次函数的对称轴为直线，然后根据篮球框在抛物线的对称轴的右侧即可得． 【详解】解：由题意，将代入抛物线得：， 解得或， 抛物线的对称轴为直线， ∵篮球框在抛物线的对称轴的右侧，且， ∴篮球出手至入筐过程中的水平距离长为4米， 故答案为：4． 18．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)假设小强在练习实心球时，他的正前方距离原点米的点处放置有一个米高的警示牌（与轴垂直），问实心球是否会砸到警示牌，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为． (2)实心球会砸到警示牌，理由详见解析． 【分析】（1）先根据顶点的坐标设抛物线的顶点式，再代入求得抛物线解析式．（2）警示牌在距离原点米的位置，计算对应横坐标时的纵坐标，与米比较后判断实心球是否会砸到警示牌． 【详解】（1）解：已知抛物线的顶点的坐标为，设抛物线的解析式为，其中， 将代入得 ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， 实心球会砸到警示牌． 19．踢足球是同学们喜爱的一项运动．如图，甲同学站在球门正前方的点处练习射门，他离球门的距离；身高的乙同学站在球门前的点处充当守门员，且他只做上下起跳防守，最大起跳高度为；点，，在一条直线上，，足球球门高度为，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，足球飞行路线可看成抛物线的一部分． (1)甲射门时，球离点的水平距离与离地高度的部分数据如下表所示，求关于的函数解析式； 0 5 10 15 16 … 0 3 4 3 2．56 … (2)在（1）的条件下，若乙防守，通过计算判断甲的这次射门能否成功； (3)甲改变射门的角度再次射门，使球的最大高度发生改变，但保持球达到最大高度时与点的水平距离不变，若在乙防守的前提下甲这次射门能成功，求的取值范围． 【答案】(1) (2)解：乙防守时甲这次射门不成功，判断如下： ∵，， ∴， ∵乙防守， ∴乙可达最高为， 当时， ， ∴乙防守时甲这次射门不成功； (3) 【分析】（1）先求出顶点坐标，再利用待定系数法即可求出答案； （2）先求出乙可达的最大高度，再求出当时的函数值，比较后即可得到结论； （3）依题意得，求出，由时，，由时，，分别求出的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格可得，当和时，y的值相等， ∴对称轴为， ∴顶点为， ∴； 将代入得， 解得， ∴； （2）略 （3）解：依题意得，且经过， ∴ 解得， ∴， 当时，足球要超过乙跳起来的最大高度，即， ∴ 解得； 当时，足球要低于门框的最大高度，即， ∴ 得， ∴． 题型六 喷水问题 20．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，建立如图所示的平面直角坐标系，得水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式是，则水流喷出的最大高度为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，把二次函数解析式化为顶点式，顶点的纵坐标即为水流喷出的最大高度，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流喷出的最大高度是（m）， 故选：A． 21．某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 【答案】/米 【分析】由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点的坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵，故函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：水流喷出的最大高度为． 22．射水鱼以陆生昆虫为食．它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中以内的昆虫．如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分（如图）．在一次捕食时，射水鱼射出的水珠运动的高度y（单位：）与向前运动的水平距离x（单位：）之间的关系可以近似地表示为．根据这一关系回答下列问题： (1)如果这次射出的水流没有遇到障碍物，那么当水珠向前运动的水平距离在什么范围时，它运动的高度逐步上升？当水珠向前运动的水平距离在什么范围时，它运动的高度逐步下降？水珠运动的最大高度是多少？ (2)假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离、高度处，那么这次射出的水流能否击中这只昆虫？ 【答案】(1)当时，它运动的高度逐步上升；当时，它运动的高度逐步下降；水珠运动的最大高度是； (2)这次射出的水流不能击中这只昆虫 【分析】（1）根据函数解析式可得对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线开口向下，进而可得在对称轴的左侧，即时，随的增大而增大，在对称轴的右侧即时，随的增大而减小，即可求解； （2）将代入得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，，过原点， 在对称轴的左侧，即时，随的增大而增大，在对称轴的右侧即时，随的增大而减小， ∴当时，它运动的高度逐步上升；当时，它运动的高度逐步下降；水珠运动的最大高度是； （2）解：当时，， ∴这次射出的水流不能击中这只昆虫． 23．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 【答案】(1)， (2)水流高度能达到的最大高度是米 (3)消防车从点沿方向应至少前进米 【分析】（1）根据已知数据确定点、，再利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线表达式转化为顶点式，即可得到答案； （3）先求出当时，，，再由平移即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将和代入中，得， 解得； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为：， 将表达式转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流高度能达到的最大高度是米； （3）解：令，即，整理得：， 解得：，， ∵点在点正前方米处， ∴， ∴至少需前进（米）， ∴消防车从点沿方向应至少前进米. 题型七 增长率问题 24．某市今年第一季度的专项教育投入为亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为______．（不要求写自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得今年第二季度的专项教育投入为亿元，则今年第二季度的专项教育投入为亿元，然后化简即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：今年第二季度的专项教育投入为亿元， ∴今年第二季度的专项教育投入为亿元， 故答案为：． 25．为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系，理解在第一个月投放1500辆电动自行车的基础上增长2次得到y是解题的关键． 在第一个月投放1500辆电动自行车的基础上，增长2次即可得到y，据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：第二个月投放单车数量， 第三个月投放单车数量． 故选A． 26．完成以下问题： (1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式． (2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x．写出两年后产品的年销售量y（单位：万件）关于x的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆柱表面积公式列式即可； （2）当年销售量等于上年度销售量乘以年平均下降率，由此列式求解． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，一年后的年销售量为：， 两年后产品的年销售量． 27．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 题型八 其他问题 28．某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试．飞机着陆后滑行的距离s（单位：）关于滑行的时间t（单位：）的函数解析式是，则飞机的滑行时长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的应用，正确进行配方是解题关键． 由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当取得最大值时，即为飞行着陆后停下来需滑行的时间． 【详解】解：∵ ， ∴ 当时，取得最大值，飞机停止滑行， ∴ 滑行时长为， 故选：D． 29．在泡菜腌制的过程中，亚硝酸盐的含量会随着时间的推移而发生变化．一般来说，腌制初期亚硝酸盐含量较低，到达一个峰值后又逐渐下降．这个变化曲线近似于抛物线．假设腌制时间（单位：天）与亚硝酸盐含量（单位：毫克/千克）之间的关系可以用函数来表示，其中是腌制时间，是对应的亚硝酸盐含量．根据实验数据，我们得到以下结论： ①腌制开始（第天）时，亚硝酸盐含量为毫克/千克； ②腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克； ③腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克． 因此，泡菜腌制过程中第_____天亚硝酸盐含量最高． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是求出二次函数的解析式．先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：将点、、代入中得： ， 解得：， ， ， 当时，有最大值为，即泡菜腌制过程中第天亚硝酸盐含量最高， 故答案为：． 30．如图，砗磲是地球上最大的双壳类动物，被称为“贝王”，其幼年生长较快，随年龄增加生长速率持续放缓．某海洋研究院对南海地区的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本平均日生长速率（单位：微米/天）与年龄（单位：岁）近似满足关系：，其中． (1)若该砗磲样本的年龄为18岁，求它的平均日生长速率； (2)现测得该砗磲样本的平均日生长速率为20微米/天，求它的年龄． 【答案】(1) (2)30岁 【分析】（1）将代入即可求出答案． （2）将代入，转化成一元二次方程，然后将其因式分解即可求出的值，需要注意利用取值范围求出唯一的的值． 【详解】（1）解：砗磲样本的年龄为18岁，， ． （2）解：砗磲样本的平均日生长速率为20微米/天，， ， 去分母得， 移项得， ， ，． ， （舍去）． ． 它的年龄为30岁． 31．综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【答案】(1)与的函数关系式为，当时，该充电站的收入为元 (2)的值为或，收入与的新关系式为 (3)，理由如下： 设净收益为W， ∴， ， 二次函数图象开口向下， ∴当时取得最大值， 由题意得，时净收益最大， ∴ 解得． 【分析】（1）观察表格数据可判断是的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入计算即可； （2）根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式； （3）设净收益为W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，结合顶点横坐标为80即可求出的值． 【详解】（1）解：由表格数据可知与成正比例关系，设， 将，代入得， ∴与的函数关系式为， 当时，（元）； （2）解：收支平衡满足， ∴ 解得，，此时收支平衡时收入等于成本， ∴收入与的新关系式为； （3）略 题型九 线段周长问题 32．已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，与线段交点问题，熟知二次函数的图象和性质及分类讨论思想是解题的关键． 由抛物线的表达式可得出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，，再利用分类讨论的数学思想即可解答． 【详解】解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴点在抛物线对称轴上， ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴当时，将代入函数解析式得：，解得， 将代入函数解析式得：，解得， ∴； 当时，， ∴顶点在点A下方， ∴抛物线与线段没有交点， 综上所述，的取值范围为． 故答案为：． 33．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，已知点，，若线段与抛物线只有一个公共点，则的值可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及二次函数与线段交点问题，读懂题意，数形结合，作出图形，由线段与抛物线只有一个公共点即可得到，从而得到答案，根据题意作出图形、数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点， ， 作，如图所示：   在上，即，解得或， 点，，若线段与抛物线只有一个公共点， ，即四个选项中只有满足范围， 故选：A． 34．如图，二次函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)如图1，求A，B两点的坐标； (2)如图2，在抛物线的对称轴l上，是否存在一点D，使得的值最小，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，若点E是直线下方抛物线上的动点，当的面积是的面积的一半时，求点E坐标． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2)存在， (3) 【分析】（1）将代入求解即可； （2）根据轴对称的性质得到当点B，C，D在一条直线上时，取得最小值，求出直线的解析式及抛物线的对称轴，进而计算即可； （3）过E点作轴交BC于点M，设点E的坐标为，根据的面积是的面积的一半列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得或， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． （2）解：存在点D，如图2，连接交直线l于点D，连接， ∵点A与点B关于对称轴l对称， ∴， ∴， ∴当点B，C，D在一条直线上时，取得最小值，此时点D即为与直线l的交点， 当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，将点代入，得， 解得， ∴． 抛物线的对称轴为直线，将代入得， ∴点D的坐标为． （3）解：由（2）知，直线的解析式为，如图3，过E点作轴交于点M， 设点E的坐标为，则点M的坐标为， ∴， ∴的面积，的面积， ∵的面积是的面积的一半， ∴， 解得或（舍）， ∴点E的坐标为． 题型十 面积问题 35．直线与抛物线交于、两点，点在抛物线上，若三角形的面积为，求点的坐标____________． 【答案】或或 【分析】作出图象，首先求得线段的长，然后利用面积求得点P的纵坐标，从而求得点P的坐标． 【详解】解：如图， 令， 解得：， ∴， ∴， 设点 ∴， 解得：或4， ∴或， ∴P点的坐标为或或． 36．如图，二次函数过点，长方形的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和（     ） A．16 B．8 C．14 D．9 【答案】A 【分析】利用抛物线和长方形的轴对称性，将轴左侧的阴影部分对称变换到轴右侧，发现阴影部分面积之和等于轴右侧长方形的面积. 【详解】解：二次函数的图象关于轴对称，长方形的顶点、在轴上，、在图象上， 长方形关于轴对称， 点的横坐标为， 点的横坐标为，当时，， 点的坐标为， ，， 根据对称性，轴左侧阴影部分的面积等于轴右侧抛物线与轴、围成的空白部分的面积， 阴影部分的面积之和等于矩形（即轴右侧长方形部分）的面积， . 37．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为，点，另抛物线经过点. (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限的抛物线上是否存在一点M使的面积最大，若存在，请求出点M的坐标，并求出最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在M点的坐标为，的面积最大为 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设，分割法求三角形的面积，将三角形的面积的最大值转化为二次函数求最值问题，即可得出结果. 【详解】（1）解：将A点坐标，点，点，代入二次函数中， 可得，解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：存在； 令，即， 解得． ∴，又． 设直线的解析式为，把代入得，解得， 所以直线的解析式为． 过点M作轴于F，交于点E． 设，则． ∴． ∴． ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，此时，M点的坐标为． 题型十一 角度问题 38．如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为第一象限抛物线上一点，且，则点M的坐标为________．    【答案】 【分析】先求出B、C的坐标得到，则，从而得到，设与x轴的交点为N，求出，进而求出直线的解析式为，由此联立两函数解析式即可求出答案． 【详解】解：在，当时，，当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 设与x轴的交点为N， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， 故答案为：．    【点睛】 本题主要考查了一次函数与二次函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确求出点N的坐标是解题的关键． 39．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴正半轴于点C．若P为第二象限抛物线上的一点，且，求点P的坐标． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质的综合，勾股定理的逆定理，待定系数法求一次函数解析式等知识点，通过判断是直角三角形，得到，则有，取的中点，连，先证出，再证出，待定系数法求直线的解析式为，从而得到直线的解析式为，联立得方程组，进而即可得解，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】令，则， 解得或， ，； 令，则， ， ，，， ， 是直角三角形， ， ∴ ， 取的中点，连，过两点作直线， ∴， ∴， ， ， ， ∴， ，， ，即 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 直线的解析式为， ∴联立， 解得：（舍去）或， ∴． 40．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1．点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解答； （2）先求出直线的解析式，证明为等腰直角三角形，则，设，则，可得，即可求解； （3）分两种情况：当点Q在上方时， 当点Q在下方时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 当时，取得最大值，此时点，的面积最大，最大值为； （3）解：存在． 当点Q在上方时，作点关于y轴的对称点，过点B作交抛物线于点Q，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，此时点Q符合题意， 设直线的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为； 当点Q在下方时，作点，直线与抛物线交于点， 同理直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 题型十二 特殊三角形问题 41． 的三个顶点 均在抛物线 上， 并且斜边 平行于 轴， 若斜边上的高为 ， 则 的值为___________________ ． 【答案】1 【分析】此题考查二次函数的性质，直角三角形的特征，勾股定理，观察图形的能力，要找到各点坐标之间的关系，巧妙地代换未知量． 由抛物线表达式和三角形性质求出A、B、C各点坐标，就可以求出h． 【详解】解：由题，，均在抛物线上，并且斜边平行于轴， 知、两点关于轴对称，记斜边交轴于点， 可设，，，，，，斜边上的高为， 故， 是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半， ， ， 方程两边平方得，即， 因为， 所以． 故答案为：1． 42．如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，过M点作于H点，如图，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过M点作于H点，如图， 当时，， ∴， 设， ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴或， 即或， 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 综上所述，M点的坐标为或． 故选：C． 43．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 题型十三 特殊四边形 44．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点B作y轴的垂线，交抛物线于另一点A，点C，D在线段上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E，F两点、若四边形为正方形，则线段的长为______． 【答案】/ 【分析】点代入抛物线中求出解析式为，再设，进而求得E点坐标为，代入中即可求解． 【详解】解：将点代入抛物线中，解得， ∴抛物线解析式为， 设分别与轴交于点和点，    当四边形为正方形时，设，则， 此时E点坐标为，代入抛物线中， 得到：， 解得 (负值舍去)， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键． 45．如图，已知矩形的顶点、均在抛物线上，点、在轴上方，顶点、均在轴上，且，则的长为（     ） A．5 B．6 C．6.3 D．7 【答案】B 【分析】由．设，，利用抛物线对称性得到点G坐标，将点代入抛物线解析式求出k，进而求出长． 【详解】解：， 设，． ∵矩形中，，又点D、点G均在抛物线上，且抛物线关于y轴对称， ∴矩形关于y轴对称， 点G的横坐标为k，纵坐标为，即． 把代入， ． 整理得． 解得，（舍去）． ∴． 46．如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为S．求S关于的函数关系式；当取何值时，S有最大值，求出S的最大值； (3)若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以，M，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，当时，S有最大值，最大值为 (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可． （2）求出直线的函数解析式，用含t的式子表示出点H、N的坐标，得出，再根据求出S关于t的函数关系式，最后根据二次函数的性质解答即可； （3）求出点B坐标，得到的长，再分、M在点A的左侧且，和当M点在点A的右侧，时三种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】（1）解：将和代入得 , 解得, ∴该抛物线的解析式为； （2）解：设直线的函数解析式为，把和代入得 ， 解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点的横坐标为，轴，交于点， ∴，, ∴， ∴, ∵, ∴当时，S有最大值，最大值为; （3）解：存在，理由如下： 把代入得， 解得，， ∴， ∴， 如图，当时，四边形为平行四边形， ∴， 把代入得， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点M在点A的左侧，时，四边形是平行四边形， 过点Q作轴于D，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点Q的纵坐标为， 把代入得， 解得，（不符合，舍去）， ∴点M的横坐标为， ∴； 如图，当M点在点A的右侧，时，四边形是平行四边形， 过点Q作轴于E，则， 同理可得． 题型十四 相似三角形问题 47．如图，已知抛物线：与轴交于点，，（在的左侧），与轴交于点，对称轴是直线，是第一象限内抛物线上的任一点． (1)求抛物线的解析式； (2)有可能是等边三角形吗？若是，请求点P的坐标，若不是，请说明理由； (3)过点作轴的垂线与线段交于点，垂足为点，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 不可能是等边三角形，理由如下： 取的中点，过点作轴交抛物线于点，连接， ，则， 令，则，， ， ， 不可能是等边三角形； (3)点的坐标为或 【分析】（1）把点代入中，再由对称轴是直线列方程，两个方程组成方程组可解答； （2）当是等边三角形时，点在的垂直平分线上，所以取的中点，过点作轴交抛物线于点，连接，计算，可知不可能是等边三角形； （3）分两种情况：①当时，根据的长列方程可解答；②当，过点作轴于，证明，可得结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）略 （3）解：设点的坐标为，则，， 分两种情况： ①如图2，， ，， ， ， ，， ， ， 解得：，， ； ②如图3，，则， 过点作轴于， ， ， ， ， ， ， 解得：（舍，， ； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法，等边三角形的判定，相似三角形性质和判定，三角函数等知识，解题的关键是运用分类讨论的思想解决以，，为顶点的三角形与相似的情况． 48．如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点M，交x轴于点N． (1)直接写出抛物线和直线的解析式； (2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求m的值； (3)是否存在点这样的点P，使得以O，M，N为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或或 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求出即可得； （2）先根据直线的解析式求出点的坐标，再利用两点之间的距离公式分别求出，和的值，然后分三种情况：①，②，③，建立方程，解方程即可得； （3）先分别求出的值，再分两种情况：①和②，利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为； 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为． （2）解：，轴交直线于点，交轴于点， ， ， ，，， ①当时，为等腰三角形， 则，即， 解得或（不符合题意，舍去）； ②当时，为等腰三角形， 则，即， 解得或（不符合题意，舍去）； ③当时，为等腰三角形， 则，即， 解得， 综上，或或． （3）解：， ， ①当时， 则，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 将代入得：， 则此时点的坐标为； ②当时， 则，即， 解得或， 将代入得：， 将代入得：， 则此时点的坐标为或； 综上，存在这样的点，此时点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、一次函数的几何应用、相似三角形的性质、等腰三角形等知识点，较难的是题（3），正确分情况讨论是解题关键． 49．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，和轴相交于点，连接、． (1)求抛物线的解析式（关系式）． (2)在第一象限外，是否存在点，使得以为直角边的和相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点，然后直接写出点的坐标，并判断是否有满足条件的点在抛物线上；若不存在，请说明理由． (3)在直线上方的抛物线上，找一点，使，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)要寻找在第一象限外点，使得以为直角边的和相似，那么可以通过作的垂线，垂足分别为、，再根据相似三角形边长成比例求出另一直角边的长度，最后求出点的坐标．若点为直角顶点，则点E的坐标为或，此时点不在抛物线上；若点为直角顶点，则点的坐标为或，此时点在抛物线上． (3)点D的坐标为或 【分析】（1）将点、点坐标代入抛物线解析式中即可求解； （2）通过作的垂线，垂足分别为、，再根据相似三角形边长成比例求出另一直角边的长度，最后求出点的坐标，代入抛物线解析式，确定其是否在抛物线上； （3）过点作轴交于点，则可以以作为公共底边，点横坐标作为和高之和表示，代入面积关系式中，可解得点坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得，， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线与轴交于点， 点坐标为， 又点坐标为，点坐标为， ，， ，， 由题意，为直角边，点在第一象限外，分别以点和点为垂足，作的垂线，分别交轴和轴于点、，则另一条直角边或可在对应垂线上确定． ①当点为直角顶点时，可分两种情况讨论，即或． 设直线解析式为，将，分别代入解析式，得 ，解得， 直线解析式为， 令直线交轴于点， ，， ， ， 点坐标为． 同理可得直线的解析式为， 如图，当时，， 即， 解得， 设点，则， 解得或（舍去）， 故此时点坐标为． 如图，当时，， 即， 解得， 设点，则， 解得或（舍去）， 故此时点坐标为． ②当点为直角顶点时，也可分两种情况讨论，即或． 令直线交轴于点， 同理，可得点坐标为，直线的解析式为． 如图，当时，，解得， ，解得， 设点，则， 解得或（舍去）， 故此时点坐标为． 如图，当时，，解得， ，解得， 设点，则， 解得或（舍去）． 故此时点坐标为． 最后，将这四个点代入抛物线中验证是否在其上： 代入，可得，故不在抛物线上； 代入，可得，故不在抛物线上； 代入，可得，故在抛物线上； 代入，可得，故不在抛物线上； 综上，只有点在抛物线上． （3），， ． 点为直线上方抛物线上一点， 设点D的坐标为，作轴交于点， 点在直线上， 点坐标为， ， ， 解得或， 代入抛物线解析式得或， 点的坐标为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $