专题07相似三角形判定证明及性质知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题07相似三角形判定证明及性质知题通关讲义 知识点01:平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.推论（三角形中的平行线） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成 比例。 · 图 1（正 A 字型）：直线在三角形内部平行于底边，截两条腰，得到的对应线段成比例。 · 图 2（8 字型）：直线在三角形外部平行于底边，截两条腰的延长线，得到的对应线段也成比例。 3.逆定理 如果一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 右边图（正 A 字型）： 直线在三角形内部切两条腰，比例相等 ⇒ 这条线和底边平行。 左边图（8 字型）： 直线在三角形外面切两条腰的延长线，比例相等 ⇒ 这条线也和底边平行。 知识点02:相似三角形的定义 定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 符号：△ABC∽△A′B′C′（注意顶点顺序要一一对应） 相似比：对应边的比值，记作 k。若 △ABC∽△A′B′C′， 则 k 知识点03：平行引理（由平行线分线段成比例推导而来） 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 几何语言：若 DE∥BC，则 △ADE∽△ABC。 对应模型：A 字型、8 字型（对顶相似）。 知识点04：三大相似判定定理 1.两角对应相等（AA） 两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 2.三边对应成比例（SSS） 三边成比例的两个三角形相似。 几何语言：若​，则 △ABC∽△A′B′C′。 3.两边成比例且夹角相等（SAS） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 知识点05：特殊拓展：直角三角形相似判定 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。 几何语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，若  ，则 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 知识点06：相似三角形性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。 2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比。 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比。 要点：要特别注意 “对应” 两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 3.相似三角形周长的比等于相似比。 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的 1. 相似证明时三角形边角对应关系匹配错误 提醒：证明三角形相似，角与边必须严格一一对应；书写相似符号时，顶点字母顺序遵从对应关系，不可随意调换顶点书写顺序。 2. 利用SSA条件判定三角形相似 提醒：SSA不能作为三角形相似的判定依据；两边成比例判定相似时，必须是两组对应边的夹角相等。 3. 定理证明过程直接套用待证的相似判定定理 提醒：在判定定理本身的证明过程中，不可以直接把该判定定理当作已知条件使用；需要借助平行线分线段成比例定理完成推导。 4. 寻找相等角遗漏图形中的隐含角条件 提醒：解题时注意图形自带的公共角、对顶角等隐含相等角，不能只依靠题干文字给出的已知条件。 5. 混淆相似三角形周长比、面积比的运算关系 提醒：相似三角形周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。已知面积比反求相似比时应对面积比开平方，不可直接将面积比当作相似比。 6. 相似三角形对应线段比值记忆错误 提醒：相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比，上述线段比值不取相似比的平方。 7. 对非相似三角形套用面积‑相似比平方结论 提醒：面积比等于相似比的平方仅适用于相似三角形；等高（或同高）三角形面积之比等于底边之比，不可混用结论。 8. 审题未区分相似符号表述造成漏解 提醒：题干使用“ABC∽ DEF”，顶点顺序固定，对应关系唯一；只文字表述“两个三角形相似”，没有相似符号，对应关系不唯一，需要分类讨论。 9. 列比例式时找错相似三角形的对应边 提醒：书写线段比例式前先确定边的对应关系，比例等式中只能填写两组三角形的对应边，不要纳入非对应边。 10. 证明过程省略相似推理直接写出线段成比例 提醒：线段成比例需要由三角形相似推导得到；证明书写不能跳过证相似这一步骤，直接写出线段成比例 题型 考察方向 难度 题型一 由平行判断成比例的线段 ★★ 题型二 由平行截线求相关线段的长或比值 ★★ 题型三 利用平行判定相似 ★★ 题型四 证明三角形的对应线段成比例 ★★★ 题型五 利用相似三角形的性质求解 ★★★ 题型六 相似三角形的判定与性质综合 ★★★ 题型七 利用相似求坐标 ★★★ 题型八 在网格中画与已知三角形相似的三角形 ★★ 题型九 相似三角形 —— 动点问题 ★★★★ 题型十 相似三角形实际应用 ★★★ 题型十一 相似三角形的综合问题 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 由平行判断成比例的线段 1．在中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，一定能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的逆定理的应用，需注意比例线段的对应关系．根据平行线分线段成比例定理的逆定理，如果一条直线截三角形的两边所得对应线段成比例，则这条直线平行于第三边．选项A中比例关系符合逆定理条件，能推出；其他选项的比例关系不能保证平行． 【详解】解：选项A中，， 根据平行线分线段成比例定理的逆定理，则， 选项B、C、D的比例关系均不一定能推出，可排除， 故选：A 2．如图，两条直线，被三条平行线，，所截，交点分别是A，D，F和B，C，E．下列等式中，正确的是______．（填序号） ①；②；③； ④；⑤． 【答案】 ③⑤ 【分析】根据平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。即 ，， 等，利用比例的基本性质进行变形即可判断． 【详解】解： ∵ ∴ 根据平行线分线段成比例定理，可得，，， 对于①，，故①错误； 对于②，由可得，而选项中意味着，故②错误； 对于③，符合平行线分线段成比例定理的推论，故正确； 对于④，由变形可得，故④错误； 对于⑤，由利用比例的基本性质（交换内项）可得，即，故⑤正确 综上所述，正确的等式是③⑤． 3．如图，，的面积是4，的面积是15，则的面积是________________． 【答案】25 【分析】利用平行线分线段成比例定理得出线段比相等，结合三角形面积公式，将线段比转化为面积比，建立方程求解中间三角形面积，进而求得的面积． 【详解】解：设的面积为， 与等高， ，即， 与等高， ，即， ， ， ， 整理 得， 解得，（舍去）， ， ． 题型二 由平行截线求相关线段的长或比值 4．如图，在中，，，，，则的长是（     ） A． B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ 5．如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 【答案】16 【分析】根据题意列出比例关系求出的长度，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 6．小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1），其平面示意图（如图2）是由12个大小相同的小正方形组成的．若小正方形的边长为，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理可证是的中位线，进而利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴． ∵小正方形的边长为， ∴， ∴． 7．如图，在中，，，点D，点E分别是边上两点（D在E的右侧），，连接，F为中点，若，则的长为（     ） A．12 B．6 C．12 D．15 【答案】B 【分析】作于K，先证是的中位线，得，，再证是等腰直角三角形，求出后，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：作于K， ∵，即， ∴， ∴， ∵F为中点， ∴K为中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型三 利用平行判定相似 8．如图，，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】​本题考查了平行线分线段成比例定理​，相似三角形的判定和性质，根据已知的平行关系，运用相关的定理和性质对每个选项进行分析和判断是解题的关键．先根据平行条件，针对每个选项，用平行线分线段成比例定理和三角形相似的判定和性质进行判断即可． 【详解】解：， ， 故A不符合题意； ∵， ， 故B不符合题意； 设 ，，则， ， ， ， ， ， ， ， 这一结论不一定正成立， 故C符合题意； ， ， 故D不符合题意， 故选：C． 9．如图，在中，，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】过点作的平行线，交于点，设，由平行可判定，则，计算得，同理，因此． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点，设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定条件，逐一进行判断即可. 【详解】解：在和中，， 当时，根据两角相等的两个三角形相似，可以得到，故①正确； 当时，，故②不正确； 当时，根据两组对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似，可以得到，故③正确； 当，即时，无法得到，故④不正确； 当时，根据两角相等的两个三角形相似，可以得到，故⑤正确； 故能满足的条件有3个. 题型四 证明三角形的对应线段成比例 11．如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形中的性质，相似三角形的对应边成比例．先根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：B． 12．如图，在Rt中，，，，以点为圆心，2为半径的圆与交于点，过点作交于点．点是边上的动点．当最小时，的长为______． 【答案】 【分析】延长CO交于点E，连接ED，交AO于点P，此时可以转化为，三点共线取到最小值． 【详解】解：如图，延长CO交于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小， ， ，， ， ， 为公共边， ， ， ， 当三点共线时取到最小值， ， ， 即,解得：， 又， ， 即， 解得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了最短路径问题和平行线分线段成比例问题，解题的关键是：利用三角形全等的判定定理证明两个三角形全等，根据对应边相等，进行等量代换，再利用三点共线时距离最短来求解． 13．如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，得出角相等，证明三角形相似即可求出对应线段比例相等. 【详解】解：A选项：， . ， . . A选项正确，不符合题意. B选项：， ， ，， 四边形为平行四边形. . . B选项正确，不符合题意. C选项：，， C选项不正确，符合题意. D选项：，， ，， ， ， . D选项正确，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键在于是否能熟练运用相似三角形的性质和判定. 题型五 利用相似三角形的性质求解 14．若两个相似三角形的面积之比为，则它们的相似之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果. 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为， ∴它们的相似之比为. 15．如图，，，分别是的高和中线，，分别是的高和中线，且，，，则的长为_______． 【答案】4.5 【详解】解：∵，，分别是的高和中线，，分别是的高和中线， ∴，即， ∴． 16．若，和分别是对应边上的中线，且，则________． 【答案】 【分析】已知两个三角形相似，给出面积比，求对应中线的比，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，和分别是对应边上的中线， ∴， ∴（负值已舍去）． 17．将纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，如果以点，F，C为顶点的三角形与相似，那么的长是（   ） A． B． C．或5 D．或5 【答案】C 【分析】分和两种情况求解即可． 【详解】解：∵纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点， ∴， 设， ∵， ∴， 当， ∴， ∴， 解得， ∴； 当， ∴， ∴， 解得， ∴； ∴的长是或5． 题型六 相似三角形的判定与性质综合 18．如图，在中，，若，，，则的长为（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】根据证明，再运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 19．如图，在中，是边上的点，是边上的点，且，，是的中点，若的面积为，则的面积为__________． 【答案】 【分析】根据中点性质可求的面积，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可求的面积． 【详解】解：∵是的中点， ∴． ∵的面积为， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 20．如图，在由单位长度为1的小正方形组成的网格中，已知为的角平分线，为的角平分线，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相似三角形性质：相似三角形对应角平分线的长度比等于相似比，解答即可； 【详解】解：观察网格可得，，点共线， ∴， ∴， ∵，， ∴两个三角形的相似比为， ∵、分别是两个相似三角形的对应角平分线， ∴． 21．如图，在中，，，点在边上，且．点在边上，且，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形外角性质结合已知条件证得，结合证明，利用相似三角形对应边成比例求出的长，进而求得． 【详解】解：∵， ， ，，且， ， ， ， ，， ， ， 解得， ． 题型七 利用相似求坐标 22．如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    23．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 24．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是___． 【答案】或； 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，， ∴ ，， ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 题型八 在网格中画与已知三角形相似的三角形 25．如图，都是方格纸中的格点．为使，则点应是四点中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质,为使,需满足对应边成比例和对应角相等的条件,通过分析的形状和比例,确定中点的位置,使得与,与,与成比例. 【详解】解：应该为; 当在时,若设每一个小正方形的边长为， 则的各边分别为， 原的各边长为， 此时对应边成比例且比例相等为， 则可得到两个三角形相似， 故选：C ． 26．如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． 【答案】6 【分析】根据网格结构得出为直角三角形，且两直角边，，比值为．由相似三角形的性质可知也应为直角三角形，且两直角边之比为．已知且在竖直格线上，分和两种情况讨论，结合分别对应短直角边或长直角边计算或的长度，确定点的位置并验证是否在网格范围内． 【详解】如图所示： 设小正方形的边长为，在中，，，，． ∵与相似， ∴是直角三角形，且两直角边之比为． 由图可知，在同一条竖直格线上，．若，则在以为直径的圆上，此时为等腰直角三角形，与不相似， 故排除． ∴直角顶点为或． 当时，，即在水平格线上．若对应，则， 解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 当时，，即在水平格线上．若对应，则，解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 综上所述，符合条件的点E共有个． 27．如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，也是小正方形的顶点，从点中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质得出，由勾股定理得，证出，得出即可． 【详解】解：与相似的是；理由如下： 连接，如图所示： 则， 、和均找不出的角，不可能与相似， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴． 题型九 相似三角形 —— 动点问题 28．如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当 时，DE有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】连接AE ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴E点的运动轨迹为射线AE ∴当DE最短时， 即当 时，DE有最小值 ∵在 中， ∴ ∵ ∴ 是等腰直角三角形 ∴ ∴DE的最小值是2 故答案为：B．    【点睛】本题考查了相似三角形的性质以线段的最值问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 29．如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． 【答案】4或 【分析】首先在运动过程中，与的公共角始终保持相等， 但另外两组角的对应关系不确定，因此需分情况讨论．然后就每种情况利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：设运动时间为t,由题意可知，，， ①当时， 则，即， 解得． ∴经过，． ②当时， 则，即， 解得． ∴经过，． 综上，经过或，与相似． 30．如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（    ）s后，与相似． A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．设经过秒后两三角形相似，分两种情况分别计算，①若，得，②若，得，代入用表示的线段计算即可． 【详解】解：设经过秒后与相似， ∵， 若， 则需， ， 解得； ， 则需， ， 解得， 经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 题型十 相似三角形实际应用 31．如图①是一种沙漏计时器，某一时刻该沙漏计时器中沙子的情况如图②所示，一段时间后该沙漏计时器中沙子的情况如图③所示，则此时下半部分沙面的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出点O到的距离为，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：根据题意得，点O到的距离为，和之间的距离为， ∴点O到的距离为， 根据题意得，， ∴， ∴． 32．如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N．    【答案】6 【分析】先证，可得，则．由，可得． 【详解】解：动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直， ． ． ． ． ． ，即． ，， ． 33．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十一 相似三角形的综合问题 34．如图，△ABC与△DEF位似，位似中心是点P，其位似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：8 【答案】B 【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答． 【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，其位似比为1：2， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：4． 故选：B． 【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方． 35．如图，在中，，，C、D在边上，且是边长为4的等边三角形，那么的长是_____． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，由等边三角形的性质可得，，再证明，利用相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是边长为4的等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或， 故的长是或， 故答案为：或． 36．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝2：3，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据翻折变换的性质得到DE＝CE、CF＝DF；设AD＝2k，则DB＝3k；根据相似三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：设AD＝2k，则DB＝3k， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝5k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°， ∴∠EDA＋∠FDB＝120°， 又∵∠EDA＋∠AED＝120°， ∴∠FDB＝∠AED， ∴△AED∽△BDF， 由折叠得CE＝DE，CF＝DF， ∴△AED的周长为7k，△BDF的周长为8k， ∴△AED与△BDF的相似比为7：8， ∴CE：CF＝DE：DF＝7：8． 故选：A． 【点睛】主要考查了翻折变换的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用相似三角形的周长之比等于相似比，学会根据条件用字母表示相应的线段长度． 解答题 1．如图，在中，D是的边上的中点，，的延长线交于点E，求的值． 【答案】 【分析】过点F作交于点G，根据平行线分线段成比例可知，由D是边上的中点即可求，进而求解． 【详解】解：过点F作交于点G， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ． 2．如图，在中，．求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题利用平行四边形对边平行的性质，得到两组平行线，借助平行线分线段成比例定理，通过等线段代换完成比例式的传递，最终证得结论． 【详解】略 3．如图，在的正方形网格中，点，均在格点上，请你借助格点，仅用无刻度的直尺按要求作图． （保留作图痕迹） (1)如图1，作出线段的中点． (2)如图2，作出线段的三等分点． (3)如图3，在线段上确定一点使得． 【答案】(1) 如图， (2) 如图， (3) 如图， 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，利用平行判定相似，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）取格点C、D，连接即可确定的中点，再利用相似三角形的判定与性质说明； （2）取格点C、D、E、F，连接、即可确定三等分点，再利用相似三角形的判定与性质说明； （3）取格点C、D，连接即可确定一点，再利用相似三角形的判定与性质说明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点是线段的中点． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴与都是线段的三等分点， ∴点与都为所求作的线段的三等分点； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴点即为所求作． 4．已知：如图，，为的两条高，，为的两条高，且，．求证：． 【答案】证明：∵、分别是、的高， ∴、是直角三角形， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵，， ∴， ∵、分别是、的高，， ∴． 【分析】先证得 ，再证得，最后，根据相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比即可证得结论． 【详解】略 5．如图，为测量电视塔的高度，在点D和点F处分别竖立高是的标杆和，两标杆相隔，且，和在同一平面内．从标杆退后到点G处，点G与塔顶A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆退后到点H处，点H与塔顶A和标杆顶端E在一条直线上．求电视塔的高度． 【答案】电视塔的高度为． 【分析】根据题意可得出，，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 【详解】解：，，， ， ，， ，， ，， ，， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， ， 答：电视塔的高度为． 6．如图，在中，，动点P从点A出发沿边向点B以的速度运动，动点Q同时从点B出发沿边向点C以的速度运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．那么何时与相似？ 【答案】秒和2秒后和相似． 【分析】先由点P与点Q的运动速度，表示出与，再根据边成比例分情况讨论和相似，列式求解即可． 【详解】解：设经过秒钟与相似． 已知点从点开始沿边向点以的速度移动， 点从点开始沿边向点以的速度移动， 可得，， 因为，所以， 分两种情况讨论： 情况一：当时，， 将，，，代入， 可得：，可得， 解得； 情况二：当时，． 将，，，代入， 可得：，可得， 解得． 因为点从点移动到点所需时间为， 点从点移动到点所需时间为， 而和都在这个范围内，所以这两个值都符合题意． 综上所述：秒和2秒后和相似． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07相似三角形判定证明及性质知题通关讲义 知识点01:平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.推论（三角形中的平行线） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成 比例。 · 图 1（正 A 字型）：直线在三角形内部平行于底边，截两条腰，得到的对应线段成比例。 · 图 2（8 字型）：直线在三角形外部平行于底边，截两条腰的延长线，得到的对应线段也成比例。 3.逆定理 如果一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 右边图（正 A 字型）： 直线在三角形内部切两条腰，比例相等 ⇒ 这条线和底边平行。 左边图（8 字型）： 直线在三角形外面切两条腰的延长线，比例相等 ⇒ 这条线也和底边平行。 知识点02:相似三角形的定义 定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 符号：△ABC∽△A′B′C′（注意顶点顺序要一一对应） 相似比：对应边的比值，记作 k。若 △ABC∽△A′B′C′， 则 k 知识点03：平行引理（由平行线分线段成比例推导而来） 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 几何语言：若 DE∥BC，则 △ADE∽△ABC。 对应模型：A 字型、8 字型（对顶相似）。 知识点04：三大相似判定定理 1.两角对应相等（AA） 两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 2.三边对应成比例（SSS） 三边成比例的两个三角形相似。 几何语言：若​，则 △ABC∽△A′B′C′。 3.两边成比例且夹角相等（SAS） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 知识点05：特殊拓展：直角三角形相似判定 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。 几何语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，若  ，则 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 知识点06：相似三角形性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。 2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比。 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比。 要点：要特别注意 “对应” 两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 3.相似三角形周长的比等于相似比。 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的 1. 相似证明时三角形边角对应关系匹配错误 提醒：证明三角形相似，角与边必须严格一一对应；书写相似符号时，顶点字母顺序遵从对应关系，不可随意调换顶点书写顺序。 2. 利用SSA条件判定三角形相似 提醒：SSA不能作为三角形相似的判定依据；两边成比例判定相似时，必须是两组对应边的夹角相等。 3. 定理证明过程直接套用待证的相似判定定理 提醒：在判定定理本身的证明过程中，不可以直接把该判定定理当作已知条件使用；需要借助平行线分线段成比例定理完成推导。 4. 寻找相等角遗漏图形中的隐含角条件 提醒：解题时注意图形自带的公共角、对顶角等隐含相等角，不能只依靠题干文字给出的已知条件。 5. 混淆相似三角形周长比、面积比的运算关系 提醒：相似三角形周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。已知面积比反求相似比时应对面积比开平方，不可直接将面积比当作相似比。 6. 相似三角形对应线段比值记忆错误 提醒：相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比，上述线段比值不取相似比的平方。 7. 对非相似三角形套用面积‑相似比平方结论 提醒：面积比等于相似比的平方仅适用于相似三角形；等高（或同高）三角形面积之比等于底边之比，不可混用结论。 8. 审题未区分相似符号表述造成漏解 提醒：题干使用“ABC∽ DEF”，顶点顺序固定，对应关系唯一；只文字表述“两个三角形相似”，没有相似符号，对应关系不唯一，需要分类讨论。 9. 列比例式时找错相似三角形的对应边 提醒：书写线段比例式前先确定边的对应关系，比例等式中只能填写两组三角形的对应边，不要纳入非对应边。 10. 证明过程省略相似推理直接写出线段成比例 提醒：线段成比例需要由三角形相似推导得到；证明书写不能跳过证相似这一步骤，直接写出线段成比例 题型 考察方向 难度 题型一 由平行判断成比例的线段 ★★ 题型二 由平行截线求相关线段的长或比值 ★★ 题型三 利用平行判定相似 ★★ 题型四 证明三角形的对应线段成比例 ★★★ 题型五 利用相似三角形的性质求解 ★★★ 题型六 相似三角形的判定与性质综合 ★★★ 题型七 利用相似求坐标 ★★★ 题型八 在网格中画与已知三角形相似的三角形 ★★ 题型九 相似三角形 —— 动点问题 ★★★★ 题型十 相似三角形实际应用 ★★★ 题型十一 相似三角形的综合问题 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 由平行判断成比例的线段 1．在中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，一定能判断的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，两条直线，被三条平行线，，所截，交点分别是A，D，F和B，C，E．下列等式中，正确的是______．（填序号） ①；②；③； ④；⑤． 3．如图，，的面积是4，的面积是15，则的面积是________________． 题型二 由平行截线求相关线段的长或比值 4．如图，在中，，，，，则的长是（     ） A． B．4 C．6 D．8 5．如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 6．小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1），其平面示意图（如图2）是由12个大小相同的小正方形组成的．若小正方形的边长为，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，点D，点E分别是边上两点（D在E的右侧），，连接，F为中点，若，则的长为（     ） A．12 B．6 C．12 D．15 题型三 利用平行判定相似 8．如图，，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，则的值为______． 10．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 题型四 证明三角形的对应线段成比例 11．如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 12．如图，在Rt中，，，，以点为圆心，2为半径的圆与交于点，过点作交于点．点是边上的动点．当最小时，的长为______． 13．如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 题型五 利用相似三角形的性质求解 14．若两个相似三角形的面积之比为，则它们的相似之比为（     ） A． B． C． D． 15．如图，，，分别是的高和中线，，分别是的高和中线，且，，，则的长为_______． 16．若，和分别是对应边上的中线，且，则________． 17．将纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，如果以点，F，C为顶点的三角形与相似，那么的长是（   ） A． B． C．或5 D．或5 题型六 相似三角形的判定与性质综合 18．如图，在中，，若，，，则的长为（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 19．如图，在中，是边上的点，是边上的点，且，，是的中点，若的面积为，则的面积为__________． 20．如图，在由单位长度为1的小正方形组成的网格中，已知为的角平分线，为的角平分线，则的值为（     ） A． B． C． D． 21．如图，在中，，，点在边上，且．点在边上，且，则的长为（） A． B． C． D． 题型七 利用相似求坐标 22．如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 23．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    24．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是___． 题型八 在网格中画与已知三角形相似的三角形 25．如图，都是方格纸中的格点．为使，则点应是四点中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 26．如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． 27．如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，也是小正方形的顶点，从点中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是（     ） A． B． C． D． 题型九 相似三角形 —— 动点问题 28．如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为(    )    A． B． C． D． 29．如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． 30．如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（    ）s后，与相似． A． B．或 C．或 D．或 题型十 相似三角形实际应用 31．如图①是一种沙漏计时器，某一时刻该沙漏计时器中沙子的情况如图②所示，一段时间后该沙漏计时器中沙子的情况如图③所示，则此时下半部分沙面的宽度为（    ） A． B． C． D． 32．如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N．    33．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（     ） A． B． C． D． 题型十一 相似三角形的综合问题 34．如图，△ABC与△DEF位似，位似中心是点P，其位似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：8 35．如图，在中，，，C、D在边上，且是边长为4的等边三角形，那么的长是_____． 36．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝2：3，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（　　） A． B． C． D． 解答题 1．如图，在中，D是的边上的中点，，的延长线交于点E，求的值． 2．如图，在中，．求证：． 3．如图，在的正方形网格中，点，均在格点上，请你借助格点，仅用无刻度的直尺按要求作图． （保留作图痕迹） (1)如图1，作出线段的中点． (2)如图2，作出线段的三等分点． (3)如图3，在线段上确定一点使得． 4．已知：如图，，为的两条高，，为的两条高，且，．求证：． 5．如图，为测量电视塔的高度，在点D和点F处分别竖立高是的标杆和，两标杆相隔，且，和在同一平面内．从标杆退后到点G处，点G与塔顶A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆退后到点H处，点H与塔顶A和标杆顶端E在一条直线上．求电视塔的高度． 6．如图，在中，，动点P从点A出发沿边向点B以的速度运动，动点Q同时从点B出发沿边向点C以的速度运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．那么何时与相似？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $