3.4.2 相似三角形的性质 教学设计 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

《3.4.2 相似三角形的性质》教学设计 课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本节课是北师大版九年级上册第三章《图形的相似》中3.4节的第2课时，主要内容是探索相似三角形的周长比和面积比与相似比的关系。 学生已经学习了相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比，具备了一定的几何探究基础。本节课在此基础上，进一步探索相似三角形的周长和面积的性质，完善相似三角形的性质体系。 教材通过“计算探究—归纳总结—应用拓展”的过程，引导学生经历从合情推理到得出结论的思维过程，进一步发展学生的几何直观和合情推理能力。 学习者分析 学生已经学习了相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比，以及相似三角形的定义和判定方法，具备了一定的几何探究基础。 学生对于“面积比等于相似比的平方”这一结论容易记错，特别是与周长比混淆，需要通过具体的计算和对比加深理解。同时，学生在运用性质解决实际问题时，可能会出现对应关系找错的问题，需要通过练习加以巩固。 教学目标 1. 经历探索相似三角形性质的过程，理解并掌握相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方。 2. 经历计算、观察、归纳的探究过程，发展合情推理能力，进一步积累数学活动经验。 3. 能运用相似三角形的性质解决简单的实际问题，培养应用意识。 教学重点 相似三角形的周长比和面积比的性质及其应用。 教学难点 理解面积比等于相似比的平方，并能灵活运用性质解决问题。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：引入新课 1. 复习提问：上节课我们学习了相似三角形的哪些性质？内容是什么？ 2. 引导思考：相似三角形的对应高、中线、角平分线的比都等于相似比，那么它们的周长比和面积比又有什么关系呢？ 3. 引出课题：今天我们就来探索相似三角形的周长和面积的性质。 活动意图说明：通过复习上节课的内容，引导学生思考周长和面积的性质，自然引入新课。 学生活动1： 学生回忆上节课内容： （1）对应高的比等于相似比 （2）对应中线的比等于相似比 （3）对应角平分线的比等于相似比 学生思考周长比和面积比与相似比的关系。 环节二：探索新知 【探究活动】相似三角形的周长与面积 如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k。 思考： 1. △ABC与△A′B′C′的周长比是多少？ 2. △ABC与△A′B′C′的面积比是多少？ 【周长比的推导】 ∵ △ABC∽△A′B′C′，相似比为k ∴ AB:A′B′ = BC:B′C′ = AC:A′C′ = k 即 AB = k·A′B′，BC = k·B′C′，AC = k·A′C′ △ABC的周长 = AB + BC + AC = k·A′B′ + k·B′C′ + k·A′C′ = k(A′B′ + B′C′ + A′C′) = k × △A′B′C′的周长 ∴ 周长比 = k 【面积比的推导】 作BC边上的高AD，作B′C′边上的高A′D′ 由上节课的结论可知：AD:A′D′ = k S△ABC = ½·BC·AD = ½·k·B′C′·k·A′D′ = k²·(½·B′C′·A′D′) = k²·S△A′B′C′ ∴ 面积比 = k² 【归纳结论】 相似三角形的性质： 1. 相似三角形的周长比等于相似比； 2. 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 活动意图说明：通过引导学生推导周长比和面积比与相似比的关系，培养学生的逻辑推理能力和归纳能力。 学生活动2： 1. 学生思考周长比和面积比与相似比的关系。 2. 学生跟随教师推导周长比和面积比。 3. 师生共同归纳总结性质。 环节三：典例精析 例1：两个相似三角形的相似比为2:3，它们的周长之和为20cm，求这两个三角形的周长。 解：设两个三角形的周长分别为2x cm和3x cm ∵ 周长比等于相似比 ∴ 2x + 3x = 20 解得 x = 4 ∴ 两个三角形的周长分别为8cm和12cm。 例2：如图，在正方形网格中有两个相似三角形，它们的面积比是多少？ 解：设小正方形的边长为1 第一个三角形的底为2，高为2 面积 = ½×2×2 = 2 第二个三角形的底为4，高为4 面积 = ½×4×4 = 8 ∴ 面积比 = 2:8 = 1:4 即面积比等于相似比的平方（相似比1:2，面积比1:4）。 活动意图说明：通过例题巩固相似三角形周长比和面积比的性质，培养学生的应用能力。 学生活动3： 1. 学生独立完成例1，运用周长比等于相似比的性质。 2. 学生思考例2，计算两个三角形的面积。 3. 学生展示解题过程，互评纠错。 板书设计 3.4.2 相似三角形的性质 相似三角形的性质： 1. 对应高的比 = 相似比 2. 对应中线的比 = 相似比 3. 对应角平分线的比 = 相似比 4. 周长比 = 相似比 5. 面积比 = 相似比的平方 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. 两个相似三角形的相似比为1:2，它们的周长比为______，面积比为______。 2. 两个相似三角形的面积比为9:16，它们的相似比为______，周长比为______。 选做题： 3. 两个相似三角形的周长分别为6cm和9cm，它们的面积之差为10cm²，求这两个三角形的面积。 【综合拓展类作业】 4. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD:DB=1:2，求△ADE与△ABC的周长比和面积比。 课堂总结 课堂小结，自我完善 教师引导学生畅谈本节课的收获： 1. 相似三角形的周长比与相似比有什么关系？ 2. 相似三角形的面积比与相似比有什么关系？ 3. 运用性质时要注意什么？（注意对应关系，注意面积比是相似比的平方） 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 两个相似三角形的相似比为3:5，它们的周长比为______，面积比为______。 2. 两个相似三角形的面积比为4:9，它们的相似比为______，周长比为______。 选做题： 3. 两个相似三角形的周长分别为8cm和12cm，它们的面积之和为50cm²，求这两个三角形的面积。 【综合拓展类作业】 4. 如图，在△ABC中，DE∥BC，△ADE的面积等于梯形DBCE的面积，求AD:AB的值。 答案： 【课堂练习】 1. 周长比1:2，面积比1:4 2. 相似比3:4，周长比3:4 3. 解：周长比=6:9=2:3 → 相似比=2:3 → 面积比=4:9 设两个三角形的面积分别为4x和9x 则 9x - 4x = 10 → 5x=10 → x=2 ∴ 两个三角形的面积分别为8cm²和18cm²。 4. 解：∵ DE∥BC ∴ △ADE∽△ABC ∵ AD:DB=1:2 → AD:AB=1:3 ∴ 周长比=1:3，面积比=1:9 【作业设计】 1. 周长比3:5，面积比9:25 2. 相似比2:3，周长比2:3 3. 解：周长比=8:12=2:3 → 相似比=2:3 → 面积比=4:9 设两个三角形的面积分别为4x和9x 则 4x + 9x = 50 → 13x=50 → x=50/13 ∴ 两个三角形的面积分别为200/13 cm²和450/13 cm²。 4. 解：∵ DE∥BC ∴ △ADE∽△ABC ∵ S△ADE = S梯形DBCE ∴ S△ADE : S△ABC = 1:2 ∴ 相似比 = √(1:2) = 1:√2 = √2:2 即 AD:AB = √2:2 教学反思 本节课是相似三角形性质的第2课时，主要内容是探索相似三角形的周长比和面积比与相似比的关系。教学中通过引导学生推导周长比和面积比，培养学生的逻辑推理能力。 教学中要特别强调“面积比等于相似比的平方”这一结论，通过具体的计算和对比，帮助学生理解和记忆，避免与周长比混淆。同时，要通过练习让学生熟练运用性质解决问题，特别是已知面积比求相似比的逆运用，要注意开平方。 学科网（北京）股份有限公司 $