专题10二次函数及其图象与性质知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题10二次函数及其图象与性质知题通关讲义 知识点 01 二次函数定义 1.一般定义 形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且 a≠0的函数叫做二次函数。 x 是自变量，y 是因变量； 最高次数必须是2 次； 二次项系数 a 不能为 0，若 a=0，式子变为一次函数 y=bx+c。 2.各项名称 特殊简化形式（均属于二次函数） b=0，c≠0：y=ax2+c b≠0，c=0：y=ax2+bx b=0，c=0：y=ax2（最简二次函数） 知识点 02 二次函数判定步骤 1.整理式子，把所有项移到等式左侧，化为右边为 0 的整式形式； 2.看自变量最高次数是否为 2； 3.检查二次项系数 a≠0； 4.排除分式、根式含自变量的式子（必须是整式）。 例：y=3x2-5 是；y=2x-1 不是；y=不是（分式）。 知识点 03 根据实际问题列二次函数关系式 常见实际模型： 面积问题：正方形、矩形、圆形面积； 利润问题：单件利润 × 销量，单价变化带来二次关系； 运动问题：竖直上抛、自由落体 h=-gt2+v0t+h0； 增长率模型：两年增长 y=a(1+x)2。 书写要求：根据实际场景写出自变量取值范围（如长度x>0，销量整数）。 知识点 04 已知函数类型求参数 题型：若 y=(m-2)xm2-2+3x-1 是二次函数，求m 解题条件组： 解出次数 = 2，同时二次项系数不为 0。 知识点05:特殊形式：y=ax2(a0) 知识点06：y=ax2+bx+c的图象与性质 知识点07：y=ax2+k图象与性质 知识点08:y=a(x-h)2图象与性质 知识点09：二次函数y=ax2+bx+c图象与a，b，c的关系 · a定开口：正上负下，|a|越大开口越窄； · a、b定对称轴：口诀左同右异，b=0对称轴为y轴； · c定抛物线与y轴交点正负，c=0过原点； ·Δ=b2-4ac决定抛物线和x轴交点数量。 知识点10:图象画法（描点法） 1.化顶点式：将 y=ax2+bx+c 化为 y=a(x−h)2+k。 2.定三要素：开口方向、对称轴 x=h、顶点 (h,k)。 3.对称描点：在对称轴两侧取对称点，用平滑曲线连接。 知识点11:二次函数的平移 （1）平移步骤： ① 将抛物线解析式转化成顶点式 y=a(x-h)2+k，确定其顶点坐标(h,k)； ② 保持抛物线y=ax2 的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，具体平移方法如下： （2）平移规律 在原有函数的基础上 “h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”。概括成八个字“左加右减，上加下减”。 1. 判断二次函数忽略二次项系数不为0的条件 提醒：二次函数一般式y=ax2+bx+c，必须满足a≠0。解析式含字母参数时，不能仅依据最高次数等于2判定为二次函数，务必验证二次项系数不等于0。 2. 未整理解析式直接判定函数类型 提醒：判断函数类别，先将解析式化简整理为标准形式，再判断次数和系数，不可依据原式表面形式直接下结论。 3. 自变量取值范围忽略实际问题约束 提醒：不含实际背景的二次函数，自变量取值范围为全体实数；带有实际情境的二次函数，自变量取值必须符合实际意义，不能直接取全体实数。 4. 误认为a的大小变化造成抛物线上下平移 提醒：|a|决定抛物线开口宽窄，|a|越大，抛物线开口越窄；a的正负决定开口方向。改变a的值只改变开口，不会产生图像上下平移。 5. 对称轴书写格式错误，混淆顶点与对称轴 提醒：抛物线y=ax2顶点坐标(0,0)，对称轴是直线x=0（y轴）。对称轴必须写直线形式，不可只写数字，也不可把对称轴填进顶点坐标位置。 6. 比较y=ax2函数值大小判断依据错误 提醒：对于y=ax2，a>0，自变量距离对称轴越远，函数值越大；a<0，自变量距离对称轴越远，函数值越小。不能直接比较自变量本身数值大小判断函数值。 7. 抛物线y=ax2+k上下平移方向判断出错 提醒：y=ax2上下平移得到y=ax2+k；k>0向上平移，k<0向下平移；平移只改变常数项，二次项保持不变。 8. 利用普通点坐标判定抛物线平移距离 提醒：判断抛物线平移方向和平移单位，应当观察顶点坐标变化；不要选取抛物线上普通点的坐标变化作为平移判断依据。 9. 求抛物线上点的对称坐标出现错误 提醒：抛物线y=ax2对称轴为直线x=0；若点(m,y)在抛物线上，则它的对称点是(-m,y)，横坐标互为相反数，纵坐标不变。 10. 混淆二次函数与一元二次函数的概念 提醒：二次函数y=ax2+bx+c含有x、y两个变量；一元二次方程ax2+bx+c=0}只含有一个未知数x；二者解析式相近，属于不同数学概念。 题型 考察方向 难度 题型一 列二次函数关系式 ★ 题型二 二次函数的识别 ★ 题型三 根据二次函数的定义求参数 ★★ 题型四 y=ax² 的图象和性质 ★ 题型五 y=ax²+k 的图象和性质 ★ 题型六 y=a (x-h)² 的图象和性质 ★ 题型七 y=a (x-h)²+k 的图象和性质 ★★ 题型八 把 y=ax²+bx+c 化成顶点式 ★★ 题型九 y=ax²+bx+c 的图象与性质 ★★ 题型十 y=ax²+bx+c 的最值 ★★ 题型十一 二次函数图象与各项系数符号 ★★★ 题型十二 根据二次函数的图象判断式子符号 ★★★ 题型十三 一次函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十四 反比例函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十五 已知抛物线上对称的两点求对称轴 ★★ 题型十六 根据二次函数的对称性求函数值 ★★ 题型十七 利用二次函数对称性求最短路径 ★★★★ 题型十八 二次函数图象的平移 ★★ 题型十九 待定系数法求二次函数解析式 ★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 列二次函数关系式 1．一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为，面积为，则与的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为， ∴另一条直角边长为， ∵面积为， ∴与的函数解析式是． 2．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据病毒传播模型，每轮传染中每人传染x人，最初1人感染，经过两轮传染，总感染人数y等于. 【详解】解：最初有1人感染，第一轮传染中，1人传染x人，新感染人数为人， 第一轮后总感染人数为人， 第二轮传染开始有人感染，每人传染x人，新感染人数为人， 第二轮后总感染人数为（人）， 故y与x的函数关系式为. 故答案为： 3．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查平均增长率问题．熟练掌握平均增长率公式是解决问题的关键，，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数． 如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，可得出函数关系式． 【详解】∵该公司第二、三两个月投放共享单车数量的月平均增长率为x， ∴第二个月投放共享单车辆，第三个月投放共享单车辆， ∴y与x之间的函数表达式是． 故选：B． 题型二 二次函数的识别 4．下列函数中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：A、不是二次函数，不符合题意； B、中的最高次数为，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、不是二次函数，不符合题意． 5．下列函数是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键．据此即可求解． 【详解】解：A、，只有当时才是二次函数，故不符合题意； B、，函数等号右边不是整式，不是二次函数，故不符合题意； C、，该函数解析式化简后没有二次项，不是二次函数，故不符合题意； D、，是二次函数，故符合题意， 故选：D． 6．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 题型三 根据二次函数的定义求参数 7．如果函数是关于的二次函数，那么的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数定义，二次项系数不为，列不等式求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得． 8．若关于x的函数是二次函数，则______________． 【答案】 【分析】根据二次函数定义，需满足的最高次数为，且二次项系数不为，据此列方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴可得条件，且， 解方程得，即或， 由，得， ∴． 9．若二次函数的图象经过点、，则m的值为（　　） A．0 B．3 C．1 D．0或3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义以其图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质和点坐标特征是解题的关键．根据题意得二次函数一次项系数为0，可得或，再根据二次函数的定义即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点、， ∴函数图象关于y轴对称， ∴函数的解析式形式应该是型， ∴， 解得：或， ∵二次函数的二次项系数不能为0， ∴． 故选：B． 题型四 y=ax² 的图象和性质 10．抛物线，，共有的性质是（     ） A．开口方向相同 B．开口大小相同 C．当时，随的增大而增大 D．对称轴相同 【答案】D 【详解】解：，开口向下，开口向上，且三个抛物线二次项系数的绝对值不相等，故开口方向、大小均不同，A、B错误； 当时，，的随的增大而减小，故C错误； 三个抛物线的对称轴均为轴，故D正确． 11．已知关于x的函数是二次函数，当时y随x的增大而增大，则a的值为________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义和性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数的定义，指数部分必须为2，求出a的值，再根据函数的增减性条件确定a的取值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ 解得， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 12．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质，即可解答． 【详解】解：由图知顶点坐标为，开口向下， ∴当时，可取最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，结合图象知函数y的取值范围是． 题型五 y=ax²+k 的图象和性质 13．已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算出、、，再比较大小即可． 【详解】解：将各点横坐标代入，得，，， ∴． 14．若函数为二次函数，且当时，随的增大而增大，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数定义得的次数为，结合增减性要求得二次项系数小于，解方程后结合不等式筛选得到的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴解得或 ∵时随的增大而增大， ∴， ∴， ∴． 15．如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，且，则m的值为___________． 【答案】1 【分析】令求出点A的坐标，根据正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质得出点C的坐标，将点C代入抛物线解析式得到关于m、a、c的关系式，结合即可求出m的值． 【详解】解：如图，连接， 令，则， 点A的坐标为，即． 四边形是正方形，且点A在y轴上， 点B、C关于y轴对称，，且与互相平分， 点C的横坐标为，纵坐标为， 则点C的坐标为． 点C在二次函数的图象上， ，整理得， ， 整理得，即， ， ． 题型六 y=a (x-h)² 的图象和性质 16．某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，形状相同则二次项系数绝对值相等，开口向下则系数为负，顶点代入顶点式解答即可． 【详解】解：∵抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下． ∴该抛物线的函数表达式为． 故选：C． 17．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，函数值y的最小值为1，则h的值为__________． 【答案】 或 【分析】二次函数开口向上，顶点为，根据对称轴与给定自变量的范围的位置关系分类讨论，列方程求解即可． 【详解】解：二次函数开口向上，顶点坐标为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，分三种情况讨论： ① 若，此时在的范围内，随增大而增大，最小值在处取得，可得，解得或， ， ； ②若，此时在的范围内，随增大而减小，最小值在处取得，可得，解得或， ， ； ③若，此时顶点的横坐标在的范围内，函数最小值为， 不满足最小值为的条件，舍去； 综上，的值为或． 18．设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】将代入两个函数得到和的表达式，再结合各选项中，的大小关系，比较和的大小即可得到答案． 【详解】解：依题意，，， ∴ 若， ∵，∴， ∵，，∴，即， ∴，即，C正确，D错误． 若，，，，得，，A错误． 若，，无法确定的正负，无法得到，B错误． 题型七 y=a (x-h)²+k 的图象和性质 19．抛物线的顶点的横坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵抛物线解析式为，可变形为， 又∵抛物线顶点式为， ∴顶点的横坐标为． 20．已知抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，即可判断． 【详解】解：A、∵抛物线中，， ∴开口向下，故选项错误，不符合题意； B、∵对称轴为直线，故选项错误，不符合题意； C、∵顶点坐标为，故选项正确，符合题意； D、∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，随的增大而增大，故选项错误，不符合题意． 21．若二次函数（为常数）的最小值为，则的值为_____． 【答案】 【分析】二次函数开口向上，最小值为顶点纵坐标，根据题意列方程求解参数． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴函数图象开口向上，最小值为顶点的纵坐标， 函数配方得：， ∴函数的最小值为， 根据题意，得：， 解得． 22．当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 【答案】2或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，最大值可能出现在顶点或区间端点，需结合对称轴位置与的关系分类讨论． 【详解】函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，最大值在顶点处，则， 解得或（舍去）， ； 当时，在时，随的增大而减小， 最大值在处取得，即， 解得，且，符合条件； 当时，在时，随的增大而增大， 最大值在处取得，即， 解得，但，不符合，故舍去； 因此的值为或． 题型八 把 y=ax²+bx+c 化成顶点式 23．在平面直角坐标系中，若抛物线顶点坐标为，则的值分别是（） A．1，1 B． C．，1 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数解析式的顶点式公式，二次函数顶点式：，抛物线的顶点坐标为． 将抛物线方程化为顶点形式，根据顶点坐标求参数． 【详解】解∶抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 又∵顶点坐标为， ∴， ∴， ∴，． 故选∶A． 24．若将二次函数配方为的形式，则______． 【答案】 【分析】利用配方法，把一般式转化为顶点式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的一般式，顶点式，正确利用配方法是解答本题的关键，配方法的方法是：先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半得平方来凑成完全平方式． 25．把二次函数配方成顶点形式，则h，k的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，即可得到答案． 【详解】解：二次函数， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解题关键． 题型九 y=ax²+bx+c 的图象与性质 26．在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用顶点的公式首先求得横坐标，然后把横坐标的值代入解析式求得纵坐标即可． 【详解】解：顶点的横坐标， 把代入得：， ∴顶点坐标是． 27．已知点都在抛物线 上，则 的大小关系为___________． 【答案】 【分析】分别将、、代入函数表达式计算，再比较函数值大小即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故 28．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先配方求出抛物线的顶点式得出顶点坐标，再根据矩形的性质解答． 【详解】解：， 则抛物线的顶点坐标是． 当点A在抛物线的顶点时，最小，其最小值为1． ∵四边形是矩形， ∴， ∴对角线的最小值是1． 29．已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若，是抛物线上的两点，则有；④若m，n（）为方程的两个根，则且；以上说法正确的有（     ）个． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴的位置可判断①和②；根据A，C两点与对称轴的距离大小，可判断点的位置高低，即可判断③；将m，n看作抛物线与直线的交点的横坐标，即可根据图象判断． 【详解】解：对于①，由图可知抛物线开口向下， ， 抛物线与y轴的交点位于正半轴， ， 抛物线的对称轴是直线， ， ， ， ①错误； 对于②， ， ， ， ， ， ②错误； 对于③，，且， ， ③错误； 对于④， ，n（）为方程的两个根， ，n可以看作抛物线与直线的交点的横坐标， ， ④正确． 题型十 y=ax²+bx+c 的最值 30．二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】利用平方的非负性推导函数的最大值． 【详解】解：， ， 当时，取得最大值． 31．已知二次函数（为不等于0的常数）在时有最大值16，则的值为___________． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点是关键．先把解析式化为顶点式得到对称轴，再分和两种情况，根据二次函数在时有最大值16讨论求解即可 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，函数在处有最大值， ∵二次函数在时有最大值16， ∴， ∴； 当时，则离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数在时有最大值16， ∴当时，， ∴， ∴； 综上所述，或． 故答案为：或2． 32．二次函数（为常数）的图象如图，则一元二次方程有实数根的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用图象直接得出的取值范围即可． 【详解】解：一元二次方程有实数根， 可以理解为和有交点， 根据二次函数的图象可得二次函数的最小值是， 故， 解得：． 题型十一 二次函数图象与各项系数符号 33．如图是抛物线的示意图，请写出一个符合条件的的值__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，二次项系数的正负决定了开口方向，这是解题关键． 根据二次函数的性质，得出函数解析式二次项系数小于0即可． 【详解】解：根据图象可得图象开口向下，故二次项系数小于0，即， 所以a的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 34．二次函数的图象如图所示，则______ ，______ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系；抛物线由抛物线开口方向得到，由抛物线对称轴为直线得 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， 故答案为：， 35．如图，在直角坐标平面内，为原点，二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点等信息判断、、的符号及相关代数式的值． 由开口方向得的符号；由对称轴公式得与的关系；由与轴的交点坐标代入函数式判断相关代数式的值；结合、的符号进而分析各选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，则； 对称轴为，即，得，故D错误； 抛物线与轴交于，代入得，故C错误； 当时，对应函数值为抛物线顶点纵坐标，因顶点在轴下方，故，故B正确； 由得，因，故； 则，即A错误． 故选：B． 题型十二 根据二次函数的图象判断式子符号 36．如图，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴正半轴交于点．它的对称轴为直线，则下列说法中正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数的图像性质和二次函数的图像与系数的关系逐项判断即可． 【详解】∵二次函数图像开口向下，与轴正半轴交于点， ∴，， ∴，故①正确； ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵二次函数的图像与轴交于，两点， ∴，故③错误； ∵二次函数的对称轴为直线，与轴交于，两点，且， ∴根据二次函数的对称性可知：， ∴，故④错误． 综上所述：正确的说法有2个， 故选：B 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，理解并熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 37．抛物线经过两点，其中n为大于0的常数．下列四个结论： ①； ②； ③若两点在抛物线上，则﹔ ④当m为任意实数时，． 其中正确的结论是_____（填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数的与系数的关系，熟练掌握数形结合思想是解题的关键．根据题意，画出抛物线的大致图象，再根据抛物线的性质求解即可． 【详解】解：根据题意得出抛物线的图象大致如下： ∵, ∴, ∴, 故①是正确的; 由图象得：抛物线与轴不一定有交点， 故②是错误的； ∵, ∴​,故③是正确的; 当时，函数有最小值, ∴当为任意实数时，, ∴, 故④是正确的； 故答案为：①③④． 38．如图为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向、与坐标轴交点、对称轴得到，，，进而判断四个结论的正误. 【详解】解：抛物线与轴的交点坐标为， 从图中可以看到，交点在轴正半轴， ，正确； 由图象可得，抛物线开口向下，即， 由对称轴公式：， ，即， ， ，错误； ，， ，正确； 当时，代入函数得， 从图象上看，这个点在抛物线上位于轴上方，此时， 即：，正确. 题型十三 一次函数、二次函数图象综合判断 39．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质和二次函数的图象与性质，根据函数的图象与系数的关系逐项分析判断即可． 【详解】当时，一次函数的图象过第一、三象限，二次函数的图象开口向上，故C、D不符合题意； 再由A、B选项中，二次函数的图象可知，故，因此A不符合题意， 故选：B． 40．抛物线与直线在同一平面直角坐标系中的大致图象为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A，根据二次函数图像可知，开口向上，可得到，继而可得到一次函数图像的位置，即可判断； 对于B，开口向下，可得到，继而可得到一次函数图像的位置，即可判断； 对于C，根据二次函数图像可知，开口向上，可得到，交y轴于负半轴，得到，继而根据一次函数图像的位置，即可判断， 对于D，根据二次函数图像可知，开口向下，可得到，交y轴于负半轴，得到，继而可根据一次函数图像的位置，即可判断，从而得到正确选项． 【详解】解：A．根据二次函数图像可知，开口向上，可得到，一次函数经过一、二、四象限，得；故错误； B．开口向下，可得到，一次函数经过一、二、三象限，得；故错误； C．根据二次函数图像可知，开口向上，可得到，交y轴于负半轴，得到，一次函数经过一、二、三象限，得，，故错误； D．根据二次函数图像可知，开口向下，可得到，交y轴于负半轴，得到，此时经过二、三、四象限，故正确． 41．已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数图像性质及共存问题，根据二次函数开口及顶点判断a，c的正负根据反比例函数图像判断k的正负，结合一次函数图像性质即可得到答案； 【详解】解：由图像可得， ，，， ∴一次函数过一、二、四象限， 故选：C． 题型十四 反比例函数、二次函数图象综合判断 42．函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 43．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用二次函数图象得出a，b，c的取值范围，进而结合反比例函数以及一次函数的性质得出答案． 【详解】解：由二次函数开口向上可得：， 对称轴在y轴左侧，故a，b同号，则， 与y轴的交点在原点下方，则， ∴，，， 故反比例函数的图象分布在第二、四象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限． 观察四个选项，只有选项A符合题意， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象，正确得出a，b，c的取值范围是解题的关键． 44．已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象确定出a、b、c的符号，再判断反比例函数与一次函数所在的位置即可． 【详解】解：根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，由与y轴交点在正半轴可得， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数经过第一、二、三象限， 符合条件的只有A选项， 故选：A． 题型十五 已知抛物线上对称的两点求对称轴 45．抛物线经过点，，则这条抛物线的对称轴是（  ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 抛物线经过点，，两点纵坐标相同，说明它们关于对称轴对称，据此进行计算求解即可． 【详解】解：抛物线经过点，，且纵坐标相等， 两点关于抛物线的对称轴对称， 对称轴为，即直线． 故选：C． 46．若点，均在抛物线上，则该抛物线的对称轴为直线________． 【答案】 【分析】点和点纵坐标相等，可知两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值． 【详解】解：∵点和点的纵坐标相等， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 47．若二次函数的x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 14 7 2 则当时，y的值为_____． 【答案】7 【分析】本题主要考查二次函数图象的对称性，根据表格求得对称轴为直线是解题关键． 由给出的x和y的值可得，抛物线的对称轴为，由抛物线的对称性可知，时y的值与时y的值相等，由此即可求解． 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， ∴由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为直线， ∴时y的值与时y的值相等， 由表格可知，当时，， ∴时y的值为7． 故答案为：7． 题型十六 根据二次函数的对称性求函数值 48．已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的增减性，掌握二次函数的增减性、对称性是解题的关键．根据二次函数的对称性和二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：二次函数解析式为， 抛物线开口向上，对称轴是直线， 在对称轴右侧随的增大而增大， 时取得最小值， 点关于直线的对称点为，且， ， 故选：B． 49．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，则表格中的值是___________． 0 1 2 3 0 3 4 3 【答案】 【分析】由表格中和的值相等，可得抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性可知与的纵坐标相等，即可求出． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线上关于对称轴对称的点的纵坐标相等，且直线与直线关于直线对称， 又∵ 当时，， ∴当时，． 50．若二次函数的x与y的部分对应值如下表： x y 3 5 3 则，y的值是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴是直线，再根据二次函数的对称性，即可解答． 【详解】解：由表格可知，二次函数的对称轴是直线， ∴二次函数上的点关于对称轴的对称点为， ∴当时的函数值与时的函数值相等为． 故选D． 题型十七 利用二次函数对称性求最短路径 51．如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为______． 【答案】 【分析】根据抛物线解析式求得点D（1，2）、点E（2，1），作点D关于y轴的对称点D′（-1，2）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案． 【详解】解：如图， 在y=-x2+2x+1中，当x=0时，y=1，即点C（0，1）， ∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2， ∴对称轴为x=1，顶点D（1，2）， 则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，1）， 作点D关于y轴的对称点D′（-1，2），作点E关于x轴的对称点E′（2，-1）， 连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点， 四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE =DE+D′F+FG+GE′ =DE+D′E′ =， ∴四边形EDFG的周长的最小值为：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键． 52．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，， ∵，令， 即， 解得：， ∴, 令，解得， ∴， ∵点是对称轴上的一个动点， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键． 53．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，由抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，得到PE=PF，则△PMF的周长=FM+PM+PF，则要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，故当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，由此求解即可． 【详解】解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E， ∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等， ∴PE=PF， ∴△PMF的周长=FM+PM+PF， ∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小， ∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME， ∵M坐标为（3，6）， ∴ME=6， ∴PF+PM=6 ∵F（0，2）， ∴ ∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得到PE=PF． 题型十八 二次函数图象的平移 54．将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得函数图象的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将的图象向左平移3个单位长度，得，再向上平移4个单位长度，得． 55．将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到抛物线________． 【答案】（或） 【分析】利用抛物线平移规律“左加右减，上加下减”求解，先将原抛物线配方为顶点式简化计算． 【详解】解：先将原抛物线配方得：， 抛物线向左平移个单位长度，根据平移规律“左加右减”，给加得： ． 再向上平移个单位长度，根据平移规律“上加下减”，给整体加得： ，展开整理得：． 即得到的抛物线为：（或）． 56．如图是反比例函数图像，阴影部分表示它与横、纵坐标轴正半轴围成的区域，在该区域内（不包括边界）的整数点个数是，则抛物线向下平移个单位长度后形成的图像是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据反比例函数的图像与性质，即可得到整数点个数是10个，进而得到抛物线向上平移10个单位后形成的图像． 【详解】 解：如图，反比例函数图像与坐标轴围成的区域内不包括边界的整数点个数是10个，即， 抛物线向上平移10个单位后可得：，即， 形成的图像是B选项． 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的图像、二次函数的性质与图像，解答本题的关键是明确题意，求出相应的k的值，利用二次函数图像的平移规律进行解答． 题型十九 待定系数法求二次函数解析式 57．如图，若二次函数的图象经过点，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上的点，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．将坐标代入二次函数表达式即可求出a的值，再由二次函数图象开口向上即可得出结果． 【详解】解：把代入函数解析式， 得： 解得， 由图象得：开口向上， ， 故． 故选：A． 58．已知抛物线与x轴的交点坐标是，且经过点，则此抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】已知抛物线与轴的两个交点，可设交点式求解析式，再代入已知点求出系数，展开整理即可． 【详解】解：∵抛物线与轴的交点坐标是， ∴设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴，展开整理得． 59．在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则当的值最小时，该二次函数图象经过（    ）． A．B，C，D B．A，C，D C．A，B，D D．A，B，C 【答案】D 【分析】本题主要考查了求函数解析式，灵活运用运用待定系数法成为解题的关键． 分别求出抛物线经过，，，四种情况下a、b、c的值，并求得的值进行比较即可解答． 【详解】解：当抛物线经过三点时，由题意可得： ，解得：， ∴； 当抛物线经过三点时，由题意可得： ，解得：， ∴； 当抛物线经过三点时，由题意可得： ，解得：， ∴； 当抛物线经过三点时，由题意可得： ，解得：， ∴； ∵． 故选D． 解答题 1．已知函数是关于x的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)当，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据二次函数的定义，进行求解即可； （2）根据二次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴且， ∴； （2）由（1）可知，二次函数的解析式为， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为5， ∴． 2．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设． (1)由题意可知，则_______________（用含的代数式表示）； (2)设矩形羊圈的面积为S，请写出S与的关系式，并写出的取值范围； (3)请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)当时，矩形羊圈的面积S最大，最大值为 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能正确列出函数表达式． （1）根据栅栏总长列式得出表达式即可； （2）根据矩形面积公式求出S与x的关系式，根据，及外墙长列不等式组解决即可； （3）利用矩形面积公式及二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得：， ∵外墙长且， ， 解得：， ∴S与x的关系式为； （3）解： ， ， ∴当时，S最大，此时，， ∴当时，矩形羊圈的面积S最大，最大值为． 3．用描点法画出二次函数的图象，列表如下： x … 0 2 4 y … m 0 n (1)填空：________；________； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求出和时的函数值即可得到答案； （2）根据表格中的数据利用描点法画函数图象即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，， ∴； （2）略 4．在平面直角坐标系中，二次函数（其中）的图象与轴交于点． (1)若抛物线经过点，求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)若点的坐标为，当取得最小值时，求的值； (3)当时，函数的最大值为，直接写出的值． 【答案】(1)当时，二次函数解析式为，顶点坐标为；当时，二次函数解析式为，顶点坐标为 (2)的值为 (3)的值为或 【分析】（1）把已知点的坐标代入二次函数的解析式，求解参数，再根据顶点式确定顶点坐标； （2）先确定点的坐标，用表示出的长度，再转化为二次函数，利用顶点式求出最小值； （3）先确定开口方向是向上的，而开口向上的二次函数在闭区间上的最大值在离对称轴较远的端点处取得，所以后面分情况讨论对称轴的位置即可求出结论． 【详解】（1）解：因为抛物线经过点，将点的坐标代入得：， 整理得：， 解得：或，都满足， 当时，解析式为，顶点坐标为； 当时，解析式为，顶点坐标为 （2）解：设抛物线与轴的交点的坐标为，则， 因为点的坐标为， ， 当时，取得最小值． 当取得最小值时，的值为． （3）解：把化为顶点式得：， 所以开口向上，对称轴为，在范围内，最大值在端点处取得， 在处，函数值； 在处，函数值， 当时，处离对称轴的距离大于等于处离对称轴的距离， 在处的函数值大于等于在处的函数值， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，处离对称轴的距离小于等于处离对称轴的距离， 在处的函数值小于在处的函数值， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 的值为或． 5．已知抛物线， (1)若抛物线过点，求抛物线的对称轴； (2)已知点在抛物线上，其中，若存在使，试比较的大小关系． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）抛物线过点，可知关于对称轴对称，即可求解； （2）设抛物线的对称轴为，先求出的取值范围，再根据函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴是． （2）解：设抛物线的对称轴为， 由题知， 在的右侧，在的左侧， ∵，存在， ∴点到大于 点到的距离， ∴到的距离为：，点到的距离为：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴都在函数的左侧， ∴， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧函数随着的增大而减小， ∵， ∴． 6．如图，经过，两点的抛物线与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点在抛物线上，求时的点坐标； (3)点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求的坐标； 【答案】(1) (2)，， (3)点的坐标为 【分析】（1）将点，代入抛物线，待定系数法求解析式即可求解； （2）设，根据，建立方程，解方程即可求解； （3）连接与对称轴为的交点为点，此时最小，故的周长最小，待定系数法求直线的解析式为，令，即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线， 得，，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）由得对称轴为 ∵点，关于对称， ∴， 设 ∵ ∴，即 ∴ 当时，解得， 当时，解得， ∴，， （3）如图：连接与对称轴为的交点为点， 此时最小， 故的周长最小． 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴当时，， ∴点的坐标为； 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，面积问题，周长问题，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 7．如图，点在抛物线：上，且在的对称轴右侧． (1)写出的对称轴和的最大值； (2)求的值，并求出点到对称轴的距离； (3)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 【答案】(1)直线，的最大值为4； (2)；点到对称轴的距离为1； (3)移动的最短路程为． 【分析】（1）由的性质得开口方向，对称轴和最值； （2）把代入中即可得出a的值； （3）由，得出抛物线是由抛物线C：向左平移4个单位，再向下平移4个单位得到，即可求出点移动的最短路程． 【详解】（1）解：， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值，即的最大值为4； （2）解：把代入中得： ， 解得：或， ∵点在的对称轴右侧， ∴； 点，对称轴为，所以点到对称轴的距离为1； （3）解：， ∴， 是由向左平移4个单位，再向下平移4个单位得到， 平移距离为， ∴移动的最短路程为． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质以及平移的方法是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10二次函数及其图象与性质知题通关讲义 知识点 01 二次函数定义 1.一般定义 形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且 a≠0的函数叫做二次函数。 x 是自变量，y 是因变量； 最高次数必须是2 次； 二次项系数 a 不能为 0，若 a=0，式子变为一次函数 y=bx+c。 2.各项名称 特殊简化形式（均属于二次函数） b=0，c≠0：y=ax2+c b≠0，c=0：y=ax2+bx b=0，c=0：y=ax2（最简二次函数） 知识点 02 二次函数判定步骤 1.整理式子，把所有项移到等式左侧，化为右边为 0 的整式形式； 2.看自变量最高次数是否为 2； 3.检查二次项系数 a≠0； 4.排除分式、根式含自变量的式子（必须是整式）。 例：y=3x2-5 是；y=2x-1 不是；y=不是（分式）。 知识点 03 根据实际问题列二次函数关系式 常见实际模型： 面积问题：正方形、矩形、圆形面积； 利润问题：单件利润 × 销量，单价变化带来二次关系； 运动问题：竖直上抛、自由落体 h=-gt2+v0t+h0； 增长率模型：两年增长 y=a(1+x)2。 书写要求：根据实际场景写出自变量取值范围（如长度x>0，销量整数）。 知识点 04 已知函数类型求参数 题型：若 y=(m-2)xm2-2+3x-1 是二次函数，求m 解题条件组： 解出次数 = 2，同时二次项系数不为 0。 知识点05:特殊形式：y=ax2(a0) 知识点06：y=ax2+bx+c的图象与性质 知识点07：y=ax2+k图象与性质 知识点08:y=a(x-h)2图象与性质 知识点09：二次函数y=ax2+bx+c图象与a，b，c的关系 · a定开口：正上负下，|a|越大开口越窄； · a、b定对称轴：口诀左同右异，b=0对称轴为y轴； · c定抛物线与y轴交点正负，c=0过原点； ·Δ=b2-4ac决定抛物线和x轴交点数量。 知识点10:图象画法（描点法） 1.化顶点式：将 y=ax2+bx+c 化为 y=a(x−h)2+k。 2.定三要素：开口方向、对称轴 x=h、顶点 (h,k)。 3.对称描点：在对称轴两侧取对称点，用平滑曲线连接。 知识点11:二次函数的平移 （1）平移步骤： ① 将抛物线解析式转化成顶点式 y=a(x-h)2+k，确定其顶点坐标(h,k)； ② 保持抛物线y=ax2 的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，具体平移方法如下： （2）平移规律 在原有函数的基础上 “h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”。概括成八个字“左加右减，上加下减”。 1. 判断二次函数忽略二次项系数不为0的条件 提醒：二次函数一般式y=ax2+bx+c，必须满足a≠0。解析式含字母参数时，不能仅依据最高次数等于2判定为二次函数，务必验证二次项系数不等于0。 2. 未整理解析式直接判定函数类型 提醒：判断函数类别，先将解析式化简整理为标准形式，再判断次数和系数，不可依据原式表面形式直接下结论。 3. 自变量取值范围忽略实际问题约束 提醒：不含实际背景的二次函数，自变量取值范围为全体实数；带有实际情境的二次函数，自变量取值必须符合实际意义，不能直接取全体实数。 4. 误认为a的大小变化造成抛物线上下平移 提醒：|a|决定抛物线开口宽窄，|a|越大，抛物线开口越窄；a的正负决定开口方向。改变a的值只改变开口，不会产生图像上下平移。 5. 对称轴书写格式错误，混淆顶点与对称轴 提醒：抛物线y=ax2顶点坐标(0,0)，对称轴是直线x=0（y轴）。对称轴必须写直线形式，不可只写数字，也不可把对称轴填进顶点坐标位置。 6. 比较y=ax2函数值大小判断依据错误 提醒：对于y=ax2，a>0，自变量距离对称轴越远，函数值越大；a<0，自变量距离对称轴越远，函数值越小。不能直接比较自变量本身数值大小判断函数值。 7. 抛物线y=ax2+k上下平移方向判断出错 提醒：y=ax2上下平移得到y=ax2+k；k>0向上平移，k<0向下平移；平移只改变常数项，二次项保持不变。 8. 利用普通点坐标判定抛物线平移距离 提醒：判断抛物线平移方向和平移单位，应当观察顶点坐标变化；不要选取抛物线上普通点的坐标变化作为平移判断依据。 9. 求抛物线上点的对称坐标出现错误 提醒：抛物线y=ax2对称轴为直线x=0；若点(m,y)在抛物线上，则它的对称点是(-m,y)，横坐标互为相反数，纵坐标不变。 10. 混淆二次函数与一元二次函数的概念 提醒：二次函数y=ax2+bx+c含有x、y两个变量；一元二次方程ax2+bx+c=0}只含有一个未知数x；二者解析式相近，属于不同数学概念。 题型 考察方向 难度 题型一 列二次函数关系式 ★ 题型二 二次函数的识别 ★ 题型三 根据二次函数的定义求参数 ★★ 题型四 y=ax² 的图象和性质 ★ 题型五 y=ax²+k 的图象和性质 ★ 题型六 y=a (x-h)² 的图象和性质 ★ 题型七 y=a (x-h)²+k 的图象和性质 ★★ 题型八 把 y=ax²+bx+c 化成顶点式 ★★ 题型九 y=ax²+bx+c 的图象与性质 ★★ 题型十 y=ax²+bx+c 的最值 ★★ 题型十一 二次函数图象与各项系数符号 ★★★ 题型十二 根据二次函数的图象判断式子符号 ★★★ 题型十三 一次函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十四 反比例函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十五 已知抛物线上对称的两点求对称轴 ★★ 题型十六 根据二次函数的对称性求函数值 ★★ 题型十七 利用二次函数对称性求最短路径 ★★★★ 题型十八 二次函数图象的平移 ★★ 题型十九 待定系数法求二次函数解析式 ★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 列二次函数关系式 1．一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为，面积为，则与的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 2．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 3．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 题型二 二次函数的识别 4．下列函数中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 5．下列函数是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 6．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型三 根据二次函数的定义求参数 7．如果函数是关于的二次函数，那么的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 8．若关于x的函数是二次函数，则______________． 9．若二次函数的图象经过点、，则m的值为（　　） A．0 B．3 C．1 D．0或3 题型四 y=ax² 的图象和性质 10．抛物线，，共有的性质是（     ） A．开口方向相同 B．开口大小相同 C．当时，随的增大而增大 D．对称轴相同 11．已知关于x的函数是二次函数，当时y随x的增大而增大，则a的值为________． 12．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型五 y=ax²+k 的图象和性质 13．已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（      ） A． B． C． D． 14．若函数为二次函数，且当时，随的增大而增大，则______． 15．如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，且，则m的值为___________． 题型六 y=a (x-h)² 的图象和性质 16．某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 17．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，函数值y的最小值为1，则h的值为__________． 18．设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型七 y=a (x-h)²+k 的图象和性质 19．抛物线的顶点的横坐标为（     ） A． B． C． D． 20．已知抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 21．若二次函数（为常数）的最小值为，则的值为_____． 22．当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 题型八 把 y=ax²+bx+c 化成顶点式 23．在平面直角坐标系中，若抛物线顶点坐标为，则的值分别是（） A．1，1 B． C．，1 D． 24．若将二次函数配方为的形式，则______． 25．把二次函数配方成顶点形式，则h，k的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 题型九 y=ax²+bx+c 的图象与性质 26．在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 27．已知点都在抛物线 上，则 的大小关系为___________． 28．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A．1 B． C．2 D． 29．已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若，是抛物线上的两点，则有；④若m，n（）为方程的两个根，则且；以上说法正确的有（     ）个． A． B． C． D． 题型十 y=ax²+bx+c 的最值 30．二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 31．已知二次函数（为不等于0的常数）在时有最大值16，则的值为___________． 32．二次函数（为常数）的图象如图，则一元二次方程有实数根的条件是（   ） A． B． C． D． 题型十一 二次函数图象与各项系数符号 33．如图是抛物线的示意图，请写出一个符合条件的的值__________． 34．二次函数的图象如图所示，则______ ，______ 35．如图，在直角坐标平面内，为原点，二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十二 根据二次函数的图象判断式子符号 36．如图，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴正半轴交于点．它的对称轴为直线，则下列说法中正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．抛物线经过两点，其中n为大于0的常数．下列四个结论： ①； ②； ③若两点在抛物线上，则﹔ ④当m为任意实数时，． 其中正确的结论是_____（填写序号）． 38．如图为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 题型十三 一次函数、二次函数图象综合判断 39．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 40．抛物线与直线在同一平面直角坐标系中的大致图象为（     ） A． B． C． D． 41．已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 题型十四 反比例函数、二次函数图象综合判断 42．函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 43．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是（    ） A． B． B． C． D． 44．已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（    ） A． B． B． C． D． 题型十五 已知抛物线上对称的两点求对称轴 45．抛物线经过点，，则这条抛物线的对称轴是（  ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 46．若点，均在抛物线上，则该抛物线的对称轴为直线________． 47．若二次函数的x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 14 7 2 则当时，y的值为_____． 题型十六 根据二次函数的对称性求函数值 48．已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 49．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，则表格中的值是___________． 0 1 2 3 0 3 4 3 50．若二次函数的x与y的部分对应值如下表： x y 3 5 3 则，y的值是（   ） A．5 B． C． D． 题型十七 利用二次函数对称性求最短路径 51．如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为______． 52．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 53．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 题型十八 二次函数图象的平移 54．将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得函数图象的表达式为（     ） A． B． C． D． 55．将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到抛物线________． 56．如图是反比例函数图像，阴影部分表示它与横、纵坐标轴正半轴围成的区域，在该区域内（不包括边界）的整数点个数是，则抛物线向下平移个单位长度后形成的图像是（　　） A． B． C． D． 题型十九 待定系数法求二次函数解析式 57．如图，若二次函数的图象经过点，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 58．已知抛物线与x轴的交点坐标是，且经过点，则此抛物线的解析式为______． 59．在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则当的值最小时，该二次函数图象经过（    ）． A．B，C，D B．A，C，D C．A，B，D D．A，B，C 解答题 1．已知函数是关于x的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)当，求y的取值范围． 2．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设． (1)由题意可知，则_______________（用含的代数式表示）； (2)设矩形羊圈的面积为S，请写出S与的关系式，并写出的取值范围； (3)请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出的最大值． 3．用描点法画出二次函数的图象，列表如下： x … 0 2 4 y … m 0 n (1)填空：________；________； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象． 4．在平面直角坐标系中，二次函数（其中）的图象与轴交于点． (1)若抛物线经过点，求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)若点的坐标为，当取得最小值时，求的值； (3)当时，函数的最大值为，直接写出的值． 5．已知抛物线， (1)若抛物线过点，求抛物线的对称轴； (2)已知点在抛物线上，其中，若存在使，试比较的大小关系． 6．如图，经过，两点的抛物线与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点在抛物线上，求时的点坐标； (3)点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求的坐标； 7．如图，点在抛物线：上，且在的对称轴右侧． (1)写出的对称轴和的最大值； (2)求的值，并求出点到对称轴的距离； (3)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $