专题01菱形的性质与判定知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题01菱形的性质与判定知题通关讲义 知识点01:基本定义与从属关系 1.定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.从属关系：四边形→平行四边形→菱形；菱形是特殊平行四边形，兼具平行四边形全部性质 + 自身特有性质。 3.补充：正方形是特殊的菱形。 知识点02:菱形的性质（必考重点：通用性质 + 独有性质） 1. 继承平行四边形共有性质 对边平行、对角相等、邻角互补、对角线互相平分、中心对称图形。 2. 菱形独有性质 知识点03:菱形的面积计算 知识点04:菱形三种判定定理（重难点、证明题核心） 1. 菱形与普通平行四边形性质相互混淆 提醒：菱形是特殊平行四边形，具备平行四边形所有性质。菱形独有性质：四条边相等，对角线互相垂直；普通平行四边形对角线并不垂直，解题不能交叉混用性质。 2. 仅凭对角线互相垂直直接判定四边形为菱形 提醒：对角线互相垂直的四边形不能直接判定为菱形；若已知为平行四边形，加上对角线互相垂直可判定菱形；对角线互相垂直且平分的四边形，才可以判定是菱形。 3. 菱形判定选用条件不足或者条件冗余 提醒：菱形两类判定思路：①先证平行四边形，再证一组邻边相等或者对角线互相垂直；②直接证四边形四条边全部相等。依据题干已有条件选择判定路径，避免条件缺少或者多余。 4. 忽视菱形对角线分割得到的直角三角形 提醒：菱形对角线互相垂直且平分，把菱形分割成四个全等直角三角形；计算边长可以借助该直角三角形，解题不要忽略这一隐含条件。 5. 菱形面积公式计算遗漏二分之一系数 提醒：菱形面积两种计算方式：底×高；对角线1对角线2。利用对角线求面积时，不能丢掉系数，直接用两条对角线乘积当作面积。 6. 判定菱形未关注题干给出的基础图形 提醒：审题确认原始图形是普通四边形还是平行四边形；题干已经给出是平行四边形时，只需补充邻边相等或者对角线互相垂直，不需要重复证明平行。 7. 菱形折叠问题主观猜测线段与角度大小 提醒：菱形折叠前后对应边相等、对应角相等；折叠常产生直角三角形、等腰三角形，计算前标记全部折叠带来的等量关系，不能主观推断边长、角度。 题型 考察方向 难度 题型一 利用菱形的性质求角度 ★ 题型二 利用菱形的性质求线段长 ★ 题型三 利用菱形的性质求线段长 ★ 题型四 利用菱形的性质证明 ★★ 题型五 添一个条件使四边形是菱形 ★★ 题型六 证明四边形是菱形 ★★ 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 ★★★ 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 ★★★ 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 利用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据菱形邻角互补求出的度数，再根据菱形对角线平分一组对角即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形是菱形， 平分， ． 2．如图，已知菱形的一个内角，对角线、相交于点，点在上，且，则的度数为_____________． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得，，结合等腰三角形的性质可得，作差求出即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数是（     ） A．55° B．75° C．60° D．65° 【答案】D 【详解】由题意得， ， ， ， ， ． 题型二 利用菱形的性质求线段长 4．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得，则菱形的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出，，，结合勾股定理求出边长，进而计算周长． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， 在中，， ∴菱形的周长为． 5．如图，在平行四边形中，，将线段向右平移得到线段，点分别在边上．若四边形是菱形，则___________． 【答案】 【分析】根据平行四边形性质得到，根据平移性质得到，，根据菱形的性质得到，进而得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵将线段向右平移得到线段，点分别在边上， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴． 6．如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（     ） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】由菱形对角线互相垂直平分得到B、D关于轴对称，推得，把的最小值转化为的长度；结合判定为等边三角形，为中点则，结合线段长度利用勾股定理计算出的数值． 【详解】解：∵四边形是菱形，且四个顶点均在坐标轴上，， ∴， ∴是等边三角形，， ∵， ∴． ∵平分， ∴． 在中，， ∴， 解得． 如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴的最小值即的最小值， 当点B、P、E位于同一直线上，即时，的值最小． ∵点E是的中点，，， ∴，． 即的最小值是4． 题型三 利用菱形的性质求面积 7．年洛水昌谷•春季风筝节已于年月在宜阳县洛水昌谷景区成功举办．为参加此次风筝节，小明制作了一款菱形风筝，已知这个菱形的两条对角线长分别为，，则它的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可知，风筝的面积为． 8．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 【答案】96 【分析】根据菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴该菱形的面积为． 9．菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为__________． 【答案】2400 【分析】根据勾股定理以及菱形的性质求出菱形的另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，在菱形中，对角线交于点O，则， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 即其透光面积为． 10．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点H．若，，则的面积是（     ） A．16 B．10 C．8 D．4 【答案】C 【分析】过点作于， 由作图知，射线平分， 根据菱形的性质得到，根据角平分线的性质得到， 根据三角形面积的公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于， 由作图知，射线平分， 四边形是菱形，对角线、相交于点， ， ， ． 题型四 利用菱形的性质证明 11．如图，菱形的对角线与相交于点．下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在菱形中，，故A正确，不符合题意； 对角线与相互垂直平分，则，，故BD正确，不符合题意； 的大小不能确定，故C错误，符合题意． 12．如图，菱形的周长为20，面积为24，P是对角线上一点，过点P作于点F，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，，证明，推出，得到当共线，即时，取得最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当共线，即时，取得最小值，最小值为的长， ∵菱形的周长为20， ∴， ∵菱形的面积为24， ∴， ∴，即的最小值为． 13．如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点，且，则下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵平行四边形中，， ∴，，， ∴， ∴，则A选项正确； 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，，故B选项正确； 则， ∴； 仅菱形才一定成立，故D选项错误． 题型五 添一个条件使四边形是菱形 14．要使为菱形，则需要添加的条件是（     ） A． B． C．对角线，互相平分 D．对角线，互相垂直 【答案】D 【分析】已知是平行四边形，结合菱形的判定定理逐一判断选项，即可得到正确结果. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 是平行四边形的固有性质，因此选项A不能判定它是菱形； 对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，因此选项B错误； 对角线互相平分是平行四边形的性质，因此选项C不能判定它是菱形； 根据菱形判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴添加条件“对角线，互相垂直”可判定为菱形. 15．如图，在中，，平行四边形的顶点E在边上，连接、．添加一个条件，可以使四边形成为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，推导与的位置和数量关系，再根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形逐一验证即可． 【详解】在中，四边形是平行四边形， ∴（即），且； 选项A：若，则，不能判定为菱形，不符合题意； 选项B：若，则，不能判定为菱形，不符合题意； 选项C：若，由得， ∴ 在中，，， ∴， ∴，即； ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形，符合题意； 选项D：若，由平行四边形得， ∴，仅能说明是等腰直角三角形，不能推出是菱形，不符合题意． 16．如图，在四边形中，，垂足为O，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________（写出一个即可）． 【答案】（或或或或等） 【分析】根据菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，进行添加条件． 【详解】解：（或） 理由如下：∵，，， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 理由同上； 理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 17．如图，在中，，交于点O，添加下列条件后不能判定为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵，，∴是菱形，故本选项不符合题意； B、∵，∴，∵，∴是菱形，故本选项不符合题意； C、∵，∴，，∵，∴，∴是矩形，不能判定是菱形，故本选项符合题意； D、∵，，∴是菱形，故本选项不符合题意． 题型六 证明四边形是菱形 18．如图，分别以线段的两个端点A，B为圆心，以大于的相同长度为半径画弧，在的两侧交于点C，D，顺次连接，则四边形就是一个菱形，理由是（  ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【答案】B 【分析】根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形，判定即可． 【详解】解：由图形作法可知：，可知四边形是菱形． 19．如图，为等腰三角形，若把它沿底边翻折得到，则四边形为菱形的依据是___________________． 【答案】四条边相等的四边形是菱形 【分析】由折叠的性质，可得，又由为等腰三角形，即可证得，又由四条边都相等的四边形是菱形，即可判定四边形是菱形． 【详解】解：∵是沿底边翻折所得， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴四边形是菱形． 故四边形为菱形的依据是： 四条边相等的四边形是菱形 20．活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是菱形，以下测量方案正确的是（     ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量两条对角线是否相等 C．测量两条对角线是否互相垂直 D．测量四条边是否相等 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理，四条边相等的四边形是菱形，据此判断即可． 【详解】解：∵四条边都相等的四边形是菱形， ∴现要判断这个四边形是否为菱形，可以测量四条边是否相等． 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 21．如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据等角对等边和中点的概念得到，然后求出，证明出是菱形，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵点为中点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是菱形， ∴ 故选：D． 22．如图，按以下步骤作四边形；①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于内部点；④连接，，，．若，则__________． 【答案】68 【分析】结合作图证明四边形为菱形，然后根据菱形的性质求解即可． 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形为菱形， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 23．如图，四边形中，，，，过点B作的平行线，过点D作的平行线，两平行线相交于点E，连接AE，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是菱形，是等边三角形，求得，，再求得，再利用等边对等角以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴． 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 24．如图，，分别以点为圆心，长为半径画弧，在两侧交于点，连接，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先分析作图过程，证明是菱形，再利用菱形的性质得到，，最后用勾股定理计算． 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意可得， 四边形是菱形， ，，， ， ． 25．如图，平行四边形的对角线相交于点，且．若，则的长为___________． 【答案】 【分析】首先证明平行四边形是菱形，再利用直角三角形的性质，勾股定理求解即可； 【详解】解：∵平行四边形的对角线相交于点，且， ∴平行四边形是菱形， ∴,， ∵，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴． 26．如图，将两张宽度均为的纸条交叉重叠在一起，若，则的长为________． 【答案】 【分析】过点C作于P，作于Q；首先可证明四边形是平行四边形，进而利用面积相等证明四边形是菱形，则可得是等边三角形，进一步即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于P，作于Q； 由题意知，， ∴四边形是平行四边形； ∵两张纸宽度相同， ∴； ∵， ∴ ∴四边形是菱形， ∴； ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∴， 解得：， ∴. 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 27．如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】此题考查菱形的判定与性质及勾股定理，解题关键在于掌握判定定理和作辅助线首先过点作于点，于点，由题意可得四边形是平行四边形，继而求得的长，判定四边形是菱形，则可求得答案 【详解】解：过点作于点，于点， 根据题意得：，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∵在中，，即 ∴， 同理：， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴ 故选： 28．如图，在的两边上分别截取，，使，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，，与相交于点．若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图过程可知，可得四边形是菱形，则，由勾股定理求得，再求得两条对角线的长，利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图过程可知， 四边形是菱形， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 29．如图所示的是吊灯的截面示意图，连接菱形外框的对角线交于点，四边形内框是平行四边形，若菱形外框的边长为10，对角线的长为，则内框和外框之间阴影部分的面积为（   ） A．96 B．84 C．66 D．48 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，根据菱形的性质得到，则由勾股定理可得，进而可得，求出，再证明四边形是菱形，得到，据此根据列式计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 故选：D． 解答题 1．如图，在四边形中，，相交于点，，，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据，得到，进而得到四边形是平行四边形，根据平行线的性质，角平分线的定义，推出，进而得到，即可得证； （2）根据角的数量关系，和差关系求出的度数，再根据菱形的性质，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 2．如图，菱形的对角线与相交于点，，菱形的边长为6．求： (1)对角线的长； (2)菱形的面积． 【答案】(1) (2)菱形的面积为 【分析】（1）由菱形的性质可得，再证明为等边三角形，即可得出结果； （2）先求出的长，再结合菱形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵菱形的边长为6， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴； （2）解：由（1）可得为等边三角形，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 3．如图，在菱形中， (1)尺规作图：作的角平分线交于点，并在线段上截取，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，求证：平分． 【答案】(1)如图，，，即为所求． (2)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴平分． 【分析】（1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交，于，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点，连接并延长交于点，再用圆规在上截取，连接； （2）根据菱形的性质，证明，推出，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 4．如图，在菱形中，是的中点，，的延长线交于点，连接，． (1)求证：； (2)连接，请判断与的位置关系，并说明理由； (3)当菱形满足______时，四边形是菱形． 【答案】(1) 证明∶∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵是的中点， ∴， 在与中． ∴， ∴； (2) ，理由： 如图， ∵四边形是菱形 ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； (3)． 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到； （3）根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，求得，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当菱形满足时，四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是菱形 ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是菱形． 故答案为：． 5．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，则 时，四边形是菱形．（只需完成填空，不需写出具体过程.） 【答案】(1)证明：在和中， ， ， ，， ∴， ， 四边形是平行四边形； (2)6 【分析】（1）由，，，易证得，即可得，，再证得，即可判定四边形是平行四边形； （2）当四边形是菱形时，，根据菱形的性质即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：当四边形是菱形时，， ∵，，， ， ， ∴是等边三角形， ， 当的长是6时，四边形是菱形． 6．如图，在平行四边形中，平分交于点E，点F在边上，连接交于点O，连接，．有以下条件：①，②． (1)请从以上①，②中任选一个作为条件，求证：四边形为菱形； (2)在（1）的结论下，若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：情况一：选条件①： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形； 情况二：选条件②： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形； (2)． 【分析】（1）情况一：根据平行四边形的性质得到，可知，根据角平分线的定义得到，即，根据等角对等边得到，证明，得到，即，证明四边形是平行四边形，根据即可证明平行四边形为菱形； 情况二：根据平行四边形的性质得到，可知，根据角平分线的定义得到，即，根据等角对等边得到，证明，得到，即，证明四边形是平行四边形，根据即可证明平行四边形为菱形； （2）根据菱形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质及角平分线的定义得到，根据等角对等边得到，根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理求出，则，根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵菱形， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01菱形的性质与判定知题通关讲义 知识点01:基本定义与从属关系 1.定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.从属关系：四边形→平行四边形→菱形；菱形是特殊平行四边形，兼具平行四边形全部性质 + 自身特有性质。 3.补充：正方形是特殊的菱形。 知识点02:菱形的性质（必考重点：通用性质 + 独有性质） 1. 继承平行四边形共有性质 对边平行、对角相等、邻角互补、对角线互相平分、中心对称图形。 2. 菱形独有性质 知识点03:菱形的面积计算 知识点04:菱形三种判定定理（重难点、证明题核心） 1. 菱形与普通平行四边形性质相互混淆 提醒：菱形是特殊平行四边形，具备平行四边形所有性质。菱形独有性质：四条边相等，对角线互相垂直；普通平行四边形对角线并不垂直，解题不能交叉混用性质。 2. 仅凭对角线互相垂直直接判定四边形为菱形 提醒：对角线互相垂直的四边形不能直接判定为菱形；若已知为平行四边形，加上对角线互相垂直可判定菱形；对角线互相垂直且平分的四边形，才可以判定是菱形。 3. 菱形判定选用条件不足或者条件冗余 提醒：菱形两类判定思路：①先证平行四边形，再证一组邻边相等或者对角线互相垂直；②直接证四边形四条边全部相等。依据题干已有条件选择判定路径，避免条件缺少或者多余。 4. 忽视菱形对角线分割得到的直角三角形 提醒：菱形对角线互相垂直且平分，把菱形分割成四个全等直角三角形；计算边长可以借助该直角三角形，解题不要忽略这一隐含条件。 5. 菱形面积公式计算遗漏二分之一系数 提醒：菱形面积两种计算方式：底×高；对角线1对角线2。利用对角线求面积时，不能丢掉系数，直接用两条对角线乘积当作面积。 6. 判定菱形未关注题干给出的基础图形 提醒：审题确认原始图形是普通四边形还是平行四边形；题干已经给出是平行四边形时，只需补充邻边相等或者对角线互相垂直，不需要重复证明平行。 7. 菱形折叠问题主观猜测线段与角度大小 提醒：菱形折叠前后对应边相等、对应角相等；折叠常产生直角三角形、等腰三角形，计算前标记全部折叠带来的等量关系，不能主观推断边长、角度。 题型 考察方向 难度 题型一 利用菱形的性质求角度 ★ 题型二 利用菱形的性质求线段长 ★ 题型三 利用菱形的性质求线段长 ★ 题型四 利用菱形的性质证明 ★★ 题型五 添一个条件使四边形是菱形 ★★ 题型六 证明四边形是菱形 ★★ 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 ★★★ 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 ★★★ 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 利用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知菱形的一个内角，对角线、相交于点，点在上，且，则的度数为_____________． 3．如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数是（     ） A．55° B．75° C．60° D．65° 题型二 利用菱形的性质求线段长 4．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得，则菱形的周长为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形中，，将线段向右平移得到线段，点分别在边上．若四边形是菱形，则___________． 6．如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（     ） A．4 B．5 C． D． 题型三 利用菱形的性质求面积 7．年洛水昌谷•春季风筝节已于年月在宜阳县洛水昌谷景区成功举办．为参加此次风筝节，小明制作了一款菱形风筝，已知这个菱形的两条对角线长分别为，，则它的面积为（     ） A． B． C． D． 8．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 9．菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为__________． 10．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点H．若，，则的面积是（     ） A．16 B．10 C．8 D．4 题型四 利用菱形的性质证明 11．如图，菱形的对角线与相交于点．下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 12．如图，菱形的周长为20，面积为24，P是对角线上一点，过点P作于点F，则的最小值为________． 13．如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点，且，则下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 题型五 添一个条件使四边形是菱形 14．要使为菱形，则需要添加的条件是（     ） A． B． C．对角线，互相平分 D．对角线，互相垂直 15．如图，在中，，平行四边形的顶点E在边上，连接、．添加一个条件，可以使四边形成为菱形的是（     ） A． B． C． D． 16．如图，在四边形中，，垂足为O，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________（写出一个即可）． 17．如图，在中，，交于点O，添加下列条件后不能判定为菱形的是（    ） A． B． C． D． 题型六 证明四边形是菱形 18．如图，分别以线段的两个端点A，B为圆心，以大于的相同长度为半径画弧，在的两侧交于点C，D，顺次连接，则四边形就是一个菱形，理由是（  ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 19．如图，为等腰三角形，若把它沿底边翻折得到，则四边形为菱形的依据是___________________． 20．活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是菱形，以下测量方案正确的是（     ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量两条对角线是否相等 C．测量两条对角线是否互相垂直 D．测量四条边是否相等 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 21．如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 22．如图，按以下步骤作四边形；①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于内部点；④连接，，，．若，则__________． 23．如图，四边形中，，，，过点B作的平行线，过点D作的平行线，两平行线相交于点E，连接AE，则（     ） A． B． C． D． 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 24．如图，，分别以点为圆心，长为半径画弧，在两侧交于点，连接，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 25．如图，平行四边形的对角线相交于点，且．若，则的长为___________． 26．如图，将两张宽度均为的纸条交叉重叠在一起，若，则的长为________． 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 27．如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 28．如图，在的两边上分别截取，，使，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，，与相交于点．若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 29．如图所示的是吊灯的截面示意图，连接菱形外框的对角线交于点，四边形内框是平行四边形，若菱形外框的边长为10，对角线的长为，则内框和外框之间阴影部分的面积为（   ） A．96 B．84 C．66 D．48 解答题 1．如图，在四边形中，，相交于点，，，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 2．如图，菱形的对角线与相交于点，，菱形的边长为6．求： (1)对角线的长； (2)菱形的面积． 3．如图，在菱形中， (1)尺规作图：作的角平分线交于点，并在线段上截取，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，求证：平分． 4．如图，在菱形中，是的中点，，的延长线交于点，连接，． (1)求证：； (2)连接，请判断与的位置关系，并说明理由； (3)当菱形满足______时，四边形是菱形． 5．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，则 时，四边形是菱形．（只需完成填空，不需写出具体过程.） 6．如图，在平行四边形中，平分交于点E，点F在边上，连接交于点O，连接，．有以下条件：①，②． (1)请从以上①，②中任选一个作为条件，求证：四边形为菱形； (2)在（1）的结论下，若平分，，，求四边形的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $