专题02矩形的性质与判定知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题02矩形的性质与判定知题通关讲义 知识点01:矩形的基本概念 1.定义 2.从属关系 矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的一切性质，同时拥有自身独有的特殊性质。 知识点02:矩形的性质 矩形包含平行四边形共有性质和自身独有性质，汇总如下： 知识点03:重要推论（直角三角形斜边中线定理） 矩形的一条对角线可将其分割为两个全等直角三角形，由此得出核心结论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1.由来：矩形对角线互相平分且相等，将矩形沿一条对角线分割，得到两个全等直角三角形，直接推出本结论； 2.几何语言： 在△ABC中，∠ABC=90，点O是斜边AC中点 BO=AC 3.延伸结论： 若直角三角形一边中线等于该边一半，则这个三角形是直角三角形（逆定理，可用于证明直角）； 矩形对角线相交后，会形成两对全等的等腰三角形(△AOB、△BOC、△COD、△DOA)均为等腰三角形）。 知识点04:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 知识点05:矩形与平行四边形性质、判定对比（易混点对比，强化记忆） 知识点06常考几何模型（经典必考模型，附解题思路） 模型 1：矩形 + 对角线模型 特征：连接矩形两条对角线，得到四个等腰三角形。 考点：线段相等、角度计算、等腰三角形证明、线段求值。 核心思路：利用OA=OB=OC=OD转化线段。 模型 2：直角三角形斜边中线模型 特征：直角 + 斜边中点。 考点：线段倍分关系、角度计算、证明线段相等。 口诀：遇直角、见中点，连线构造斜边中线。 模型 3：矩形 + 折叠模型（期末压轴、填空压轴高频） 特征：矩形沿某条直线折叠，出现全等图形、相等线段、相等角。 解题思路： (1)折叠前后对应边、对应角相等； (2)结合矩形直角、勾股定理列方程求解边长； (3)常结合等腰三角形、平行线性质解题。 模型 4：矩形 + 动点模型 特征：矩形边上有动点，探究线段长度、角度、图形形状变化。 解题思路：以不变应万变，抓住矩形直角、对角线性质、斜边中线定理 1. 矩形与普通平行四边形性质发生混淆 提醒：矩形是特殊平行四边形，拥有平行四边形全部性质；矩形独有性质：四个角为直角、对角线相等。普通平行四边形对角线不相等，解题不可混用性质。 2. 仅凭对角线相等直接判定四边形为矩形 提醒：对角线相等的四边形不能直接判定为矩形；若已知是平行四边形，加上对角线相等即可判定矩形；对角线互相平分且相等的四边形，可以判定为矩形。 3. 矩形判定选用的条件不足或者条件冗余 提醒：矩形两种判定思路：①先证平行四边形，再证一个内角是直角或者对角线相等；②直接证明四边形有三个角是直角。结合题干已有条件选择判定方法，不要随意增加或者缺少条件。 4. 忽略矩形对角线分割形成的等腰三角形 提醒：矩形对角线相等且互相平分，分割得到四个等腰三角形，存在多组相等线段；解题需要识别该隐含条件，避免遗漏线段等量关系。 5. 矩形边长对角线的勾股定理计算出错 提醒：矩形长、宽与对角线构成直角三角形，使用勾股定理计算；对角线不等于长与宽直接相加，禁止将两条边长求和当作对角线长度。 6. 判定矩形未关注题干给出的基础图形 提醒：审题区分原始图形是普通四边形还是平行四边形；当已知已经是平行四边形时，不需要再证明对边平行，只需补充直角或者对角线相等的条件即可判定矩形。 7. 矩形折叠问题找错折叠对应的等量关系 提醒：矩形折叠前后对应边相等、对应角相等；折叠经常出现直角三角形，计算前标记全部折叠带来的相等线段和角，不可主观猜想边长和角度。 题型 考察方向 难度 题型一 矩形性质理解 ★ 题型二 利用矩形的性质求角度 ★ 题型三 根据矩形的性质求线段长 ★ 题型四 根据矩形的性质求面积 ★ 题型五 利用矩形的性质证明 ★★ 题型六 求矩形在坐标系中的坐标 ★★ 题型七 矩形与折叠问题 ★★★ 题型八 斜边的中线等于斜边的一半 ★★ 题型九 矩形的判定定理理解 ★★ 题型十 添一条件使四边形是矩形 ★★★ 题型十一 证明四边形是矩形 ★★ 题型十二 根据矩形的性质与判定求角度 ★★★ 题型十三 根据矩形的性质与判定求线段长 ★★★ 题型十四 根据矩形的性质与判定求面积 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 矩形性质理解 1．下列各项中，矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（     ） A．对角相等 B．对边相等 C．邻角互补 D．对角线相等 【答案】D 【详解】解：A、B选项：平行四边形与矩形的对角，对边均相等，不符合题意； C选项：平行四边形对边平行，邻角互补，矩形也具有该性质，不符合题意； D选项： 一般平行四边形对角线仅互相平分， 矩形对角线相等，符合题意． 2．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，，则的长为________． 【答案】5 【分析】根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：，，， ． 3．已知矩形对角线夹角，较短边，则矩形面积为______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得出对角线相等且互相平分，从而得到，结合判定为等边三角形，求出对角线长，再利用勾股定理求出矩形的另一边长，最后计算面积． 【详解】解：四边形是矩形 ，， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 矩形的面积． 题型二 利用矩形的性质求角度 4．如图，矩形的对角线，相交于点，如果，那么的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质，等腰三角形性质求解即可． 【详解】解：∵矩形，对角线，相交于点， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 5．如图1，一束激光通过玻璃砖时传播路径发生改变．图2是其部分光线示意图，其中四边形是矩形，点，分别在边，上，．若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】由矩形的性质，结合平行线的性质，推断的度数即可． 【详解】解：如图所示，延长、交于点， 四边形是矩形， ， ， 又， ， 即， 故的度数为． 6．如图，在矩形纸片中，沿着点A折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点P．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是（     ） A．或或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】分情况讨论：与的夹角为或与的夹角为． 【详解】解：当与的夹角为时，， 根据折叠的性质，有， 在矩形中，， ； 当点在矩形内部时，与的夹角为，即， 在矩形中，， 根据折叠的性质，有， ； 当点在矩形外部时，与的夹角为，即， 在矩形中，， ， 根据折叠的性质，有， ； 综上，或或． 题型三 根据矩形的性质求线段长 7．在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分求解即可． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ，， 又， ． 8．如图，在矩形中，对角线与相交于点．若，则的长为_______． 【答案】 【分析】由矩形的性质得出，，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴． 9．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且．若，则的长为________． 【答案】2 【分析】由矩形性质可得，结合可证点为中点，利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， 点是边的中点， 是的中位线， ． 10．如图，在矩形中，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点到的距离为2，则可得动点在平行于且与之间的距离为2的直线上，再设直线与交于点，延长至点，使得，连接，，则线段的长即为所求，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设点到的距离为， ∵，， ∴， 解得， ∴如图，动点在平行于且与之间的距离为2的直线上， 设直线与交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 延长至点，使得，连接，， ∴垂直平分，且， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为． 【点睛】本题的难点在于正确找出动点的运动轨迹． 题型四 根据矩形的性质求面积 11．如图，矩形中，点在上，且平分，，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得出，得出，由角平分线和等腰三角形的性质得出求出，由直角三角形的性质得出，得出，即可得出结果． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 平分，， ， ， ， ，， ， 矩形面积：； 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明是解题的关键． 12．如图，矩形中，对角线，交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】12 【分析】根据矩形的中心对称性和全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵矩形是中心对称图形，对称中心是对角线与的交点O， ， ， ∴图中阴影部分的面积的面积． 13．如图，有两张矩形纸片和，，，使重叠部分为平行四边形，且点与点重合．当两张纸片交叉所成的角为时，重叠部分的面积等于_______________． 【答案】 【分析】根据矩形对边平行的性质判定重叠部分为平行四边形，由交叉角为及矩形直角性质判定为等腰直角三角形，利用勾股定理求出平行四边形的底边长，结合矩形宽求出面积． 【详解】解：如下图，设与交于点N， ∵四边形和四边形是矩形， ∴， ∴重叠部分为平行四边形，且该平行四边形在边上的高为， ∵两张纸片交叉所成的角， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴重叠部分的面积． 题型五 利用矩形的性质证明 14．如图，四边形和四边形分别是菱形和矩形，点，，在同一条直线上，与交于点，若，，则矩形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形和菱形的性质得到，再证明，利用勾股定理求得即可解答． 【详解】解：四边形和四边形分别是菱形和矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ， 矩形的面积为． 15．如图，、是矩形的两条对角线，E是的延长线上一点，连接，若，，则的度数是__________°． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角和底角的关系是解题的关键． 根据矩形的性质得，，由平行线性质得出，再结合已知条件得，进而得出，由此即可解题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 16．如图，矩形中，、的平分线、分别交边、于点E、F．请添加一个条件____________________，使四边形为菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由角平分线知、，结合可得，即，即可得证． 【详解】解：当时，四边形是菱形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 17．如图，矩形中，对角线、相交于点，已知，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由矩形的性质得到，因此是的垂直平分线，得到，设，在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】如图，连接， ∵四边形是矩形，对角线、相交于点， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴． 题型六 求矩形在坐标系中的坐标 18．如图，四边形是矩形，，两点的坐标分别是，，点在第一象限，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质，结合两点的坐标，即可得出结果. 【详解】解：∵，两点的坐标分别是，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴轴，轴，， 又∵点在第一象限， ∴. 19．如图，矩形在平面直角坐标系中，、、，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得是矩形，求出，，即可解决问题． 【详解】解：如图： 根据矩形的性质得是矩形， ∵、、， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ∴点C的坐标为． 20．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点是的中点，可得出点的坐标，当，由等腰三角形的性质即可得出点的坐标． 【详解】解：过点作于点， ∵矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点， ∴点，点的纵坐标为， ∵，， ∴， 即点， ∴点． 题型七 矩形与折叠问题 21．如图，将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点．若，则图中阴影部分的面积为（      ） A．12 B．10 C．8 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，等角对等边，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质并灵活应用． 利用矩形的性质和翻折的性质得出，假设，则，利用勾股定理列出方程求解，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ， 由翻折的性质可得， ， ， 假设，则，在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， ， 的面积为， 故选：B． 22．如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使得点落在线段的点处，则线段的长为_________． 【答案】3 【分析】由矩形与折叠可得，，再利用勾股定理求解． 【详解】解：矩形，，， ，， 折叠， ， 在中，． 23．如图所示，矩形纸片中，，，折叠纸片使边与对角线重合，折痕为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设折叠后点与对角线上的点重合，连接，根据矩形的性质及勾股定理求出，根据折叠性质得出，，，进而求出，设，则，在中，利用勾股定理，列方程求出的值，即可得出答案． 【详解】解：如图，设折叠后点与对角线上的点重合，连接， ∵矩形纸片中，，， ∴，， ∵折叠纸片使边与对角线重合，折痕为， ∴，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为． 题型八 斜边的中线等于斜边的一半 24．课堂实践活动中，一名学生用刻度尺（单位：）测量自制直角三角形手工纸片．如图所示，已知，D为斜边的中点，点A，B对应的刻度分别为2和8，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵为的中点，， ． 25．如图，在中，，D是的中点．若，则的长为_____________． 【答案】5 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长，再根据勾股定理即可解答． 【详解】解：，D是的中点，， ， 根据勾股定理可得． 26．如图，在矩形中，，在上取一点，使，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，根据矩形的性质和已知条件，得到是等边三角形，据此可知，从而求得，然后根据等边对等角和三角形内角和定理得到，继而求得． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 四边形是矩形， ，， 点是直角斜边的中点， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 27．如图，在菱形中，连接，交于点，点，分别是，上的动点，且，点是的中点，若，，则点到线段的距离的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，连接，作，则，当三点共线时，有最小值，此时点与点重合，斜边上的中线求出的长，菱形的性质结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，进而求出的最小值即可. 【详解】解：过点作于，作于点，连接，，则即为点到线段的距离，， ∴当三点共线时，有最小值为，此时点与点重合， 四边形是菱形，，， ，，， 在中，， ， ，解得 ， ， 是的中点，， ， 点到线段的距离的最小值为. 题型九 矩形的判定定理理解 28．如图1，小明将一个直角尺紧靠平行四边形活动架的一边，调整活动架如图2，调整后的活动架的形状是矩形，判断的依据是_______． 【答案】有一个角是直角的平行四边形是矩形 【分析】根据矩形的判定方法，进行求解即可． 【详解】解：小明将一个直角尺紧靠平行四边形活动架的一边，调整活动架如图2，调整后的活动架的形状是矩形，判断的依据是有一个角是直角的平行四边形是矩形． 29．在一次数学活动课上，老师要求同学们检验一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组的四位同学拟定的检验方案，其中正确的是（     ） A．测量对角线是否相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否互相平分 D．测量其内角是否有三个是直角 【答案】D 【分析】以矩形的判定条件为依据，判断各选项的方案是否成立. 【详解】解：∵对角线相等的四边形不一定是矩形， ∴A错误； ∵两组对边分别相等、对角线互相平分的四边形均为平行四边形，不一定是矩形， ∴B、C错误； ∵有三个内角是直角的四边形是矩形， ∴D正确． 30．如图，，为的正方形网格中的两个格点．四个顶点都是格点的矩形称作格点矩形，在此图中以，为顶点的格点矩形共可以画出_________个． 【答案】 【分析】根据网格特点、矩形的判定画出相应的图形即可． 【详解】如图所示，共可以画出以下个以，为顶点的格点矩形． 题型十 添一条件使四边形是矩形 31．如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件______使平行四边形ABCD是矩形． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据矩形的判定方法即可解决问题 【详解】解：若使平行四边形是矩形， 可添加的条件是： ；（对角线相等的平行四边形是矩形），等（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， （答案不唯一） ． 32．如图，四边形的对角线，交于点，，．请添加一个条件，使它成为矩形，这个条件可以是_________．（写出一个即可） 【答案】或（合理即可） 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 由矩形的判定，添加或（合理即可）． 33．如图，在中，再添加一个条件，不能判定是矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐一分析各个选项，证明的对角线相等或有一个角为即可判断是矩形． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴得到的一组邻边相等，无法判定是矩形．故本选项符合题意． B、∵四边形是平行四边形， ∵，， ∵， ∴， ∴是矩形．故本选项不合题意． C、∵， ∴， ∴是矩形．故本选项不合题意． D、∵， ∴是矩形．故本选项不合题意． 题型十一 证明四边形是矩形 34．如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（     ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 【答案】C 【分析】根据矩形的判定定理求解即可． 【详解】解：检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，依据是对角线相等的平行四边形是矩形， 35．如图，在中，，，，，分别是，，的中点，连接，，，．若，则的长为____________． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形与矩形的判定，勾股定理，掌握利用中位线定理判定平行四边形，结合对角线相等判定矩形，再用勾股定理计算边长是解题的关键． 利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，结合判定它为矩形，再在直角三角形中用勾股定理求的长． 【详解】解：，，分别是，，的中点， ，，，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形， ， ． 故答案为：5． 36．如图，若干个形状、大小完全相同的小菱形组成网格，小菱形的顶点称为格点，且小菱形的边长为1，，若在网格中作一个矩形，使得矩形的4个顶点都在格点上，很明显，这样的图形有多种画法，则满足条件的矩形的面积最大值是（    ） ． A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 取格点E，F，G，H，根据菱形对角线互相垂直可证明四边形是矩形，且根据网格的特点可知四边形是面积最大的矩形．过点D作于E，则，进而可得，，即可求出，证明四边形是平行四边形，得到，同理可得，则可得到． 【详解】解：如图所示，四边形即为所求； 根据菱形的对角线互相垂直可得，， 根据网格特点可得， ∴四边形是矩形． 过点D作于N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 故选：C 题型十二 根据矩形的性质与判定求角度 37．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及性质，由平行四边形的性质得出，，得出，即可证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，进一步即可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 38．如图，点D，E，F分别是的中点，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线，矩形的判定及性质，勾股定理；由三角形的中位线得，，，由矩形的判定方法得边形是矩形，由勾股定理得，即可求解；掌握三角形的中位线，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：点D，E，F分别是的中点， ，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ； 故答案：． 39．如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，矩形的判定和性质，角平分线的计算，根据题意得到，，可判定①正确；根据平行四边形，矩形的判定方法得到四边形是矩形，由此可判定②③④，由此即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵平移到， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，故②正确； ∵四边形是矩形， ∴，，故④正确， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵平分，即， ∴， ∴平分，故③正确； 综上所述，正确的有4个， 故选：D ． 题型十三 根据矩形的性质与判定求线段长 40．如图，在菱形中，，交于点，若，则的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的应用．解题的关键在于能够灵活运用这些知识点进行推理和计算．首先确定四边形的形状，然后利用菱形的性质求出的长度，最后得出的长度． 【详解】解：， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，即， ， 四边形是矩形， ， 四边形是菱形，， ， ， ． 故选：A． 41．如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别是，，点是线段上一动点，过点作于点，作于点，连接，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】先证明四边形是矩形，得到，从而得到当时，最小，即线段有最小值，利用勾股定理求得，再利用等面积法得到，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴要使线段最小，则需最小， ∴当时，最小，即线段有最小值， ∵，两点的坐标分别是，， ∴，， ∴在中，由勾股定理，得， ∴， 即， ∴， ∴线段的最小值为． 42．如图，在中， ，，，P为上任意一点，于F，于E，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】连接，证明四边形为矩形，得出，根据垂线段最短，得出当时，最小，根据等积法求出最小值即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当时，最小， 根据勾股定理得：， ∵此时， ∴． 题型十四 根据矩形的性质与判定求面积 43．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题关键．过点作，分别交、于点M、N，由矩形的性质推出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点作，分别交、于点M、N， 则四边形、、、都是矩形， ，，，，， 四边形是矩形， ， ，即， ， 阴影部分的面积为， 故选：C 44．如图，是内部一点，，且，，依次取、、、中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是____． 【答案】 【分析】先根据三角形中位线定理可得，，，从而可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得平行四边形是矩形，最后利用矩形的面积公式求解即可得． 【详解】解：点分别是，的中点，且， ， 同理可得：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， 平行四边形是矩形， ∴四边形的面积是． 45．如图，菱形的面积为30，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，矩形的性质与判定，连接交于点O，根据菱形的性质可得，，再由三角形中位线定理可得，则可证明四边形是矩形，据此根据矩形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵菱形的面积为30， ∴，即； ∵点分别为的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴． 故选：B． 解答题 1．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，若，，求菱形面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形； (2)48 【分析】（1）首先根据菱形的性质得，，再结合已知条件，得，结合，可知四边形是平行四边形，进而得出结论； （2）首先得到，，根据勾股定理可求得，由菱形面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ， 菱形的面积． 2．如图，在中，，分别延长，至点，，且，，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的周长为，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，， 是矩形， ， ， ∴平行四边形是菱形； (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，是矩形，进而得到，得到，即可得证； （2）根据菱形的周长求出菱形的边长，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理，求出的长，再利用矩形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知四边形为菱形，且， ，， ∵在中，， ， ， ， ， ． 3．如图，在矩形中，、为对角线上两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)证明：如图，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形 (2) 【分析】（1）先利用矩形对角线互相平分的性质得到、，再结合得出，最后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形； （2）先由垂直平分得，在中利用勾股定理算出对角线，再根据得即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∵， ∴． 4．如图，在中，，是边上一点，连接，，分别为，的中点，连接，，．已知． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，分别是，的中点， 是的中位线， ，即， ， ， 四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）先用三角形中位线定理得到，再由推出，两组对边分别平行，证出四边形是平行四边形； （2）先结合中位线以及平行四边形的性质算出的长度，再利用直角三角形斜边中线的性质求出，最后在中用勾股定理求出的长． 【详解】（1）略 （2）是的中位线， ， ∵四边形为平行四边形， ，， ，为的中点， ， ． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形，，，动点从点出发，沿的方向以每秒2个单位长度的速度运动，与点第二次相遇时停止，设点运动的时间为秒． (1)点的坐标为__________． (2)在点从点运动到点的过程中，用含的式子表示的长度． (3)连接、、，当的面积为时，求关于的函数解析式． (4)当点第一次运动到点时，有一条垂直于轴的直线开始从的位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，当点停止运动时直线也随之停止．在运动过程中，当点在直线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据矩形的性质和坐标特点解答即可； （2）当点P分别运动到点A、点B时，求得运动时间，根据即可求解； （3）分三种情况，当时；当时；当时；利用三角形面积即可求解； （4）分两种情况：点P由A到B的过程中，点P在直线上；点P由B到A的过程中，点P在直线上；由此可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，轴，轴， ∴； （2）解：当点P运动到点A时，运动时间为（秒），当点P运动到点B时，运动时间为（秒）， 当点P在线段上时，， 此时； （3）解：当时，此时点P在线段上，如图1； ∵， ∴； 当时，此时点P在线段上，如图2； ， 则； 当时，如图2，此时， 则； 综上，； （4）解：当点P由A到B的过程中，点P在直线上，如图3； 此时，点P的坐标为 设直线与x轴的交点为D，其运动的距离为，则， 当点P在直线上时，则， ∴， ∴， 则点P的坐标为； 当点P由B到A的过程中，点P在直线上； 此时，点P的坐标为， 则， 当点P在直线上时，则， ∴， ∴， 则点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 6．如图，在矩形纸片中，，，点为边上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处． (1)如图①，若，求点到的距离； (2)如图②，过点作交于点，垂足为，连接． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②延长交于，当时，求的长． 【答案】(1)点到的距离为 (2)解：①四边形是菱形，理由如下： 由折叠可得，，，， ∵， ∴， ∵；， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； ②的长为 【分析】（1）由折叠得，，可推出，即为等边三角形，过作，求出，进而利用含的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可； （2）①由折叠得，；结合，通过等角的余角相等推得，故，进而得，先证四边形是平行四边形，再由邻边，判定其为菱形；②先设，在中，由勾股定理列方程，解得；再设，在中列方程，结合菱形性质，最终求得． 【详解】（1）解：连接，过点A作于点F，如图： 由折叠可得，，， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①略 ②设． ∵， ∴． 由折叠得， ∴， 在中， 解得， ∴． 设，由折叠得， ∴， ∵， ∴， 在中， 解得， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 7．如图，在四边形中，，．对角线、相交于点，有下列条件：①，②． (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)选①： 证明：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是矩形； 选②： 证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是矩形． (2)12 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再根据所选情况证明四边形是矩形； （2）根据勾股定理求出的长，进而求出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是矩形， ， ，， ， 矩形的面积为：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02矩形的性质与判定知题通关讲义 知识点01:矩形的基本概念 1.定义 2.从属关系 矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的一切性质，同时拥有自身独有的特殊性质。 知识点02:矩形的性质 矩形包含平行四边形共有性质和自身独有性质，汇总如下： 知识点03:重要推论（直角三角形斜边中线定理） 矩形的一条对角线可将其分割为两个全等直角三角形，由此得出核心结论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1.由来：矩形对角线互相平分且相等，将矩形沿一条对角线分割，得到两个全等直角三角形，直接推出本结论； 2.几何语言： 在△ABC中，∠ABC=90，点O是斜边AC中点 BO=AC 3.延伸结论： 若直角三角形一边中线等于该边一半，则这个三角形是直角三角形（逆定理，可用于证明直角）； 矩形对角线相交后，会形成两对全等的等腰三角形(△AOB、△BOC、△COD、△DOA)均为等腰三角形）。 知识点04:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 知识点05:矩形与平行四边形性质、判定对比（易混点对比，强化记忆） 知识点06常考几何模型（经典必考模型，附解题思路） 模型 1：矩形 + 对角线模型 特征：连接矩形两条对角线，得到四个等腰三角形。 考点：线段相等、角度计算、等腰三角形证明、线段求值。 核心思路：利用OA=OB=OC=OD转化线段。 模型 2：直角三角形斜边中线模型 特征：直角 + 斜边中点。 考点：线段倍分关系、角度计算、证明线段相等。 口诀：遇直角、见中点，连线构造斜边中线。 模型 3：矩形 + 折叠模型（期末压轴、填空压轴高频） 特征：矩形沿某条直线折叠，出现全等图形、相等线段、相等角。 解题思路： (1)折叠前后对应边、对应角相等； (2)结合矩形直角、勾股定理列方程求解边长； (3)常结合等腰三角形、平行线性质解题。 模型 4：矩形 + 动点模型 特征：矩形边上有动点，探究线段长度、角度、图形形状变化。 解题思路：以不变应万变，抓住矩形直角、对角线性质、斜边中线定理 1. 矩形与普通平行四边形性质发生混淆 提醒：矩形是特殊平行四边形，拥有平行四边形全部性质；矩形独有性质：四个角为直角、对角线相等。普通平行四边形对角线不相等，解题不可混用性质。 2. 仅凭对角线相等直接判定四边形为矩形 提醒：对角线相等的四边形不能直接判定为矩形；若已知是平行四边形，加上对角线相等即可判定矩形；对角线互相平分且相等的四边形，可以判定为矩形。 3. 矩形判定选用的条件不足或者条件冗余 提醒：矩形两种判定思路：①先证平行四边形，再证一个内角是直角或者对角线相等；②直接证明四边形有三个角是直角。结合题干已有条件选择判定方法，不要随意增加或者缺少条件。 4. 忽略矩形对角线分割形成的等腰三角形 提醒：矩形对角线相等且互相平分，分割得到四个等腰三角形，存在多组相等线段；解题需要识别该隐含条件，避免遗漏线段等量关系。 5. 矩形边长对角线的勾股定理计算出错 提醒：矩形长、宽与对角线构成直角三角形，使用勾股定理计算；对角线不等于长与宽直接相加，禁止将两条边长求和当作对角线长度。 6. 判定矩形未关注题干给出的基础图形 提醒：审题区分原始图形是普通四边形还是平行四边形；当已知已经是平行四边形时，不需要再证明对边平行，只需补充直角或者对角线相等的条件即可判定矩形。 7. 矩形折叠问题找错折叠对应的等量关系 提醒：矩形折叠前后对应边相等、对应角相等；折叠经常出现直角三角形，计算前标记全部折叠带来的相等线段和角，不可主观猜想边长和角度。 题型 考察方向 难度 题型一 矩形性质理解 ★ 题型二 利用矩形的性质求角度 ★ 题型三 根据矩形的性质求线段长 ★ 题型四 根据矩形的性质求面积 ★ 题型五 利用矩形的性质证明 ★★ 题型六 求矩形在坐标系中的坐标 ★★ 题型七 矩形与折叠问题 ★★★ 题型八 斜边的中线等于斜边的一半 ★★ 题型九 矩形的判定定理理解 ★★ 题型十 添一条件使四边形是矩形 ★★★ 题型十一 证明四边形是矩形 ★★ 题型十二 根据矩形的性质与判定求角度 ★★★ 题型十三 根据矩形的性质与判定求线段长 ★★★ 题型十四 根据矩形的性质与判定求面积 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 矩形性质理解 1．下列各项中，矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（     ） A．对角相等 B．对边相等 C．邻角互补 D．对角线相等 2．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，，则的长为________． 3．已知矩形对角线夹角，较短边，则矩形面积为______． 题型二 利用矩形的性质求角度 4．如图，矩形的对角线，相交于点，如果，那么的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图1，一束激光通过玻璃砖时传播路径发生改变．图2是其部分光线示意图，其中四边形是矩形，点，分别在边，上，．若，则的度数为__________． 6．如图，在矩形纸片中，沿着点A折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点P．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是（     ） A．或或 B．或 C．或 D．或 题型三 根据矩形的性质求线段长 7．在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，对角线与相交于点．若，则的长为_______． 9．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且．若，则的长为________． 10．如图，在矩形中，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（     ） A． B． C． D． 题型四 根据矩形的性质求面积 11．如图，矩形中，点在上，且平分，，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 12．如图，矩形中，对角线，交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为________． 13．如图，有两张矩形纸片和，，，使重叠部分为平行四边形，且点与点重合．当两张纸片交叉所成的角为时，重叠部分的面积等于_______________． 题型五 利用矩形的性质证明 14．如图，四边形和四边形分别是菱形和矩形，点，，在同一条直线上，与交于点，若，，则矩形的面积为（     ） A． B． C． D． 15．如图，、是矩形的两条对角线，E是的延长线上一点，连接，若，，则的度数是__________°． 16．如图，矩形中，、的平分线、分别交边、于点E、F．请添加一个条件____________________，使四边形为菱形． 17．如图，矩形中，对角线、相交于点，已知，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 题型六 求矩形在坐标系中的坐标 18．如图，四边形是矩形，，两点的坐标分别是，，点在第一象限，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 19．如图，矩形在平面直角坐标系中，、、，则点C的坐标为______． 20．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 题型七 矩形与折叠问题 21．如图，将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点．若，则图中阴影部分的面积为（      ） A．12 B．10 C．8 D．20 22．如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使得点落在线段的点处，则线段的长为_________． 23．如图所示，矩形纸片中，，，折叠纸片使边与对角线重合，折痕为，则的长为（     ） A． B． C． D． 题型八 斜边的中线等于斜边的一半 24．课堂实践活动中，一名学生用刻度尺（单位：）测量自制直角三角形手工纸片．如图所示，已知，D为斜边的中点，点A，B对应的刻度分别为2和8，则的长为（     ） A． B． C． D． 25．如图，在中，，D是的中点．若，则的长为_____________． 26．如图，在矩形中，，在上取一点，使，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 27．如图，在菱形中，连接，交于点，点，分别是，上的动点，且，点是的中点，若，，则点到线段的距离的最小值为（     ） A． B． C． D． 题型九 矩形的判定定理理解 28．如图1，小明将一个直角尺紧靠平行四边形活动架的一边，调整活动架如图2，调整后的活动架的形状是矩形，判断的依据是_______． 29．在一次数学活动课上，老师要求同学们检验一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组的四位同学拟定的检验方案，其中正确的是（     ） A．测量对角线是否相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否互相平分 D．测量其内角是否有三个是直角 30．如图，，为的正方形网格中的两个格点．四个顶点都是格点的矩形称作格点矩形，在此图中以，为顶点的格点矩形共可以画出_________个． 题型十 添一条件使四边形是矩形 31．如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件______使平行四边形ABCD是矩形． 32．如图，四边形的对角线，交于点，，．请添加一个条件，使它成为矩形，这个条件可以是_________．（写出一个即可） 33．如图，在中，再添加一个条件，不能判定是矩形的是（     ） A． B． C． D． 题型十一 证明四边形是矩形 34．如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（     ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 35．如图，在中，，，，，分别是，，的中点，连接，，，．若，则的长为____________． 36．如图，若干个形状、大小完全相同的小菱形组成网格，小菱形的顶点称为格点，且小菱形的边长为1，，若在网格中作一个矩形，使得矩形的4个顶点都在格点上，很明显，这样的图形有多种画法，则满足条件的矩形的面积最大值是（    ） ． A． B．6 C． D．8 题型十二 根据矩形的性质与判定求角度 37．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ___________． 38．如图，点D，E，F分别是的中点，，，，则的长为______． 39．如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十三 根据矩形的性质与判定求线段长 40．如图，在菱形中，，交于点，若，则的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 41．如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别是，，点是线段上一动点，过点作于点，作于点，连接，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D．5 42．如图，在中， ，，，P为上任意一点，于F，于E，则的最小值是_________． 题型十四 根据矩形的性质与判定求面积 43．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 44．如图，是内部一点，，且，，依次取、、、中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是____． 45．如图，菱形的面积为30，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 解答题 1．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，若，，求菱形面积． 2．如图，在中，，分别延长，至点，，且，，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的周长为，求四边形的面积． 3．如图，在矩形中，、为对角线上两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长度． 4．如图，在中，，是边上一点，连接，，分别为，的中点，连接，，．已知． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形，，，动点从点出发，沿的方向以每秒2个单位长度的速度运动，与点第二次相遇时停止，设点运动的时间为秒． (1)点的坐标为__________． (2)在点从点运动到点的过程中，用含的式子表示的长度． (3)连接、、，当的面积为时，求关于的函数解析式． (4)当点第一次运动到点时，有一条垂直于轴的直线开始从的位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，当点停止运动时直线也随之停止．在运动过程中，当点在直线上时，求点的坐标． 6．如图，在矩形纸片中，，，点为边上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处． (1)如图①，若，求点到的距离； (2)如图②，过点作交于点，垂足为，连接． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②延长交于，当时，求的长． 7．如图，在四边形中，，．对角线、相交于点，有下列条件：①，②． (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $