第二章 一元二次方程（4核心+6题型+5难点+复习讲义）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学单元复习讲义通过表格梳理复习要点与重难点，以知识框架系统呈现一元二次方程的定义、解法、根与系数关系及应用，突出“降次”思想和实际问题建模等核心，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点是分层练习设计，基础达标与能力进阶题组覆盖不同层次需求，题型示例如增长率问题培养模型意识，难点精练中换元法提升运算能力。每个题型附解题要点，助力学生掌握方法，教师可据此实施精准教学，有效提升复习效率。

第二章 一元二次方程 复习要点 1. 理解一元二次方程的定义、一般形式 `ax²+bx+c=0 (a≠0)`，能准确区分各项系数及判别式 `Δ=b²-4ac` 的作用。 2. 掌握配方法、公式法、因式分解法解方程，深入理解“降次”的转化思想，能根据方程特点灵活选择适当方法。 3. 掌握根的判别式与根与系数的关系，能利用它们判断根的情况并解决有关问题。 4. 掌握列一元二次方程解决实际问题的完整步骤（审、设、列、解、验、答），能根据实际意义检验并取舍根。 复习重难点 重点 灵活选用适当方法解一元二次方程，并运用方程模型解决实际问题。 难点 从实际问题中抽象等量关系建立方程模型，以及理解“降次”思想，熟练完成配方与公式推导。 知识点 一元二次方程的定义及一般形式 1、一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3） 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2、一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2） 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 要点速测 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，是整式方程，未知数最高次数为2． 【详解】解：A、中含有2个未知数，是二元一次方程，不符合定义； B、，整理得，只含一个未知数，是整式方程，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义； C、中 是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不符合定义； D、，整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合定义． 2．（25-26八年级下·安徽六安·期末）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】1 【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，二次项系数不为，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 知识点 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 要点速测 4．（25-26八年级下·山东济南·期末）一元二次方程的一个根为，则m的值为_______． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， 解得． 5．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________． 【答案】 【分析】把代入方程得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：根据题意，把代入方程得， ， 整理得，， ． 知识点 解一元二次方程 1、解一元二次方程-直接开平方 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±． 2、解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3、解一元二次方程-公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 4、解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 要点速测 6．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）变形后使用直接开平方法求解， （2）无法因式分解，使用求根公式法求解， （3）整理为一般形式后使用因式分解法求解． 【详解】（1）解：对于方程， 两边同时除以得， 开平方得， 解得，． （2）解：对于方程， 可得，，， ∴， ∴， 解得，． （3）解： ∴， 因式分解得， 可得或， 解得，． 7．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解方程 (1)；（公式法） (2)．（配方法） 【答案】(1)，． (2)，． 【详解】（1）解： 整理得，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． （2）解： ， ， ， ， ∴，． 知识点 一元二次方程根与系数的关系 1. 对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0），若方程两根为x1、x2，则x1+x2= -，x1x2 = ，直接将根的和与积的数值代入等式，构建关于参数的方程求解。 2.结合判别式△= b2 - 4ac≥0，确保方程有实根，避免所求参数使方程无解，通过联立方程与不等式确定参数的准确取值。 要点速测 8．（25-26八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】(1)证明： ， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）计算出根的判别式，再利用完全平方公式变形可得，因此方程总有两个不相等的实数根； （2）由根与系数的关系，用表示和，代入解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：， 由根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， 解得． 知识点 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程 要点速测 9．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 【答案】(1)，；； (2)解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【分析】根据图形和条件确定边长表达式； 根据面积公式列出方程求解即可； 根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）略． 题型1 一元二次方程的定义与一般形式 ▌例1 （25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程． 【详解】解：A、只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，符合一元二次方程定义； B、未知数最高次数为，是一元一次方程，不符合要求； C、含有两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； D、分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求． 解题要点 1. 严格判定：解题先看方程是否“整式、只含一个未知数、最高次数为2”，必须满足二次项系数a≠0，这是判定与含参问题的易错点。 2. 标准变形：解题时将所有项移项至等号左边，合并同类项化为ax²+bx+c=0（a≠0）的标准形式，再准确对应a、b、c的值，避免符号错误。 ▌迁移练1-1（25-26八年级下·浙江丽水·期末）把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． ▌迁移练1-2（25-26八年级上·上海浦东新·期末）若关于的方程是一元二次方程，则___________． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解此定义是关键；根据一元二次方程的定义，最高次项指数为2且二次项系数不为零，即可求解． 【详解】解：由题意，方程为一元二次方程， 则满足， 解得， 即或． 当时，二次项系数；当时，二次项系数． 故均符合条件． 故答案为：或． ▌迁移练1-3（25-26九年级上·全国·期中）已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解答的关键． 根据一元二次方程的定义，方程中的最高次数必须 2，且二次项系数不能为零．因此，需满足指数且系数． 【详解】解：由方程是关于的一元二次方程，得的最高次数为2，即， 解得． 又因为二次项系数，即， 所以， 当时，方程为，满足一元二次方程的定义． 故答案为：． 题型2 一元二次方程的解求参数的值 ▌例2 （2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解: 因为是方程的根， 将代入方程得：， 整理得， 移项得． 解题要点 1. 直接代入法：若已知方程的一个根，直接将根代入原方程（或一般形式），转化为关于参数的方程，解之即得参数值。 2. 判别式约束：若已知方程有实数根、相等根或无实数根等条件，需利用判别式Δ=b²-4ac建立不等式或方程求解，并确保二次项系数a≠0。 ▌迁移练2-1（25-26八年级下·浙江宁波·期末）一元二次方程的一个解是，则的值是______． 【答案】 【详解】解：是一元二次方程的一个解， 满足一元二次方程， 将代入方程得， 整理得， 移项得． ▌迁移练2-2（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如果a是方程的一个实数根，则的值为________． 【答案】2027 【分析】根据方程根的定义可推出，然后整体代入式子即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． ▌迁移练2-3（25-26八年级下·北京·期末）若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 【答案】 【分析】先由方程根的定义，得到，再化简所求代数式，将整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：是关于的方程的一个根， ，则， ． 题型3 解一元二次方程 ▌例3 （25-26八年级下·湖南长沙·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 开平方，得， ∴或， 解得； （2）解：， 移项，得， 因式分解，得， 或， ． 解题要点 1. 方法选择策略：先观察方程特征。缺项（b=0）用直接开平方，二次项系数为1且一次项为偶数优先考虑配方法，一般形式首选公式法，易于因式分解则用因式分解法。 2. 计算核心步骤：无论何种方法，必须先将方程化为标准形式ax²+bx+c=0（a≠0）。用公式法时，先算判别式Δ=b²-4ac判定根的情况，再代入求根公式，最后结果需化简。 ▌迁移练3-1（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）先去括号，移项，合并同类项，再开平方即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ，； （2）解： ， ， ，． ▌迁移练3-2（25-26八年级下·河北石家庄·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)，； (2)， 【分析】（1）运用配方法求解方程即可； （2）运用十字相乘法求解方程即可． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ， 解得，． ▌迁移练3-3（25-26八年级下·河北张家口·期末）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 【答案】(1)错误；错误． (2)． 【分析】（1）由乘积为5的两个因数有无数种情况从而可判断嘉嘉错误，通过移项分析发现琪琪对的分析是错的； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或是错误的； 因化为一般式是， ∴，，， ∴琪琪同学的解法错误； （2）解： 移项得：， 提取公因式得：， ∴或， ． 题型4 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ▌例4 （2026·广东佛山·一模）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】首先将方程整理成一般式，然后利用判别式判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程 ∴ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 解题要点 1. 化为标准式并计算Δ：先将方程化为ax²+bx+c=0（a≠0），准确找出a、b、c，代入判别式Δ=b²-4ac求出具体数值。 2. 根据Δ符号下结论：Δ＞0⇔两个不等实根；Δ＝0⇔两个相等实根；Δ＜0⇔无实数根。含参问题还需结合a≠0及题目条件（如“有实根”则Δ≥0）建立不等式求参范围。 ▌迁移练4-1（25-26八年级上·上海普陀·期末）关于的一元二次方程的根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式， 由于， 因此， 所以方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． ▌迁移练4-2（25-26八年级下·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，结合一元二次方程根的判别式求解参数的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ． 方程有两个相等的实数根， ， 变形得， 解得或， 又， ． ▌迁移练4-3（25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 【答案】且 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴．其中，，， 代入得：， 展开得， 化简得， 解得． 综上，k的取值范围为且． 题型5 利用一元二次方程根与系数的关系求值 ▌例5 （25-26八年级下·福建泉州·期末）已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出、，整体代入代数式求值． 【详解】解：，是方程的两个根， 则，， 故． 解题要点 1. 先验根与化标准：前提是方程必须有实数根（即Δ≥0），且必须化为标准形式ax²+bx+c=0（a≠0），再准确得出x₁+x₂=-b/a，x₁·x₂=c/a。 2. 灵活变形与整体代入：将所求代数式（如x₁²+x₂²、1/x₁+1/x₂、|x₁-x₂|等）用两根和与积表示，再整体代入求值，避免单独求根。注意含参问题需先由Δ≥0确定参数范围。 ▌迁移练5-1（25-26八年级下·浙江台州·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】4 【分析】根据一元二次方程解的定义得到，根据根与系数的关系得到，将所求式子变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∵是方程的根，满足方程等式， ∴，即， ∴． ▌迁移练5-2（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据根与系数关系得到，再利用整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ ▌迁移练5-3（25-26八年级下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为完全平方公式的展开形式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中，，， 由根与系数的关系可得：，， 将所求代数式变形得：， 代入计算得：， 故的值为． 题型6 用一元二次方程解决实际问题 ▌例6 （25-26八年级下·浙江金华·期末）某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到． (1)求每期海水稻亩产量的平均增长率． (2)农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)海水稻的定价为每千克10元或12元 【分析】（1）设平均增长率为，根据“第三期亩产量达到”建立等式求解即可． （2）设海水稻的定价为每千克元，根据“每天可获利960元”建立等式求解即可． 【详解】（1）解：设平均增长率为， 则， 解得：（负值舍）， 答：每期海水稻亩产量的平均增长率为． （2）解：设海水稻的定价为每千克元，则每千克的利润为元， 根据题意可知，日销售量减少千克，则日销售量为千克， 则：，即， 解得：或12， 答：海水稻的定价为每千克10元或12元． 解题要点 1. 审题设列：仔细审题，找准等量关系，设未知数。将条件转化为方程，务必化为标准形式ax²+bx+c=0。注意单位统一，并检验方程是否符合实际背景。 2. 验根取舍：解方程后，必须检验根是否满足题意。舍去负根、零根或使实际问题无意义的根（如人数、长度不能为负），最后写出完整答语。 ▌迁移练6-1（25-26八年级下·山东潍坊·期末）某物流园区的货运停车场为矩形，其面积为，停车场内共设计了如图所示的40个停车位，每个停车位的尺寸都一样，其长比宽的2倍还多．停车场内所有横、纵向的通车道的宽度均相等．设每个停车位的宽为． (1)请用含的代数式表示横向通车道的长； (2)求该停车场的每个停车位的宽． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据长比宽的2倍多表示出停车位的长，再结合图形中横向停车位的排列数量，加上通车道宽度相关的部分，得到横向通车道的长的表达式； （2）结合图形分别表示出整个停车场的长和宽，利用停车场面积为建立方程，并解方程，结合实际意义对根进行取舍，得到停车位的宽即可． 【详解】（1）解：∵每个停车位的宽为，且长比宽的2倍多， ∴停车位的长为， 观察图形可得横向通车道的长为4个停车位的宽与两个停车位长的和， ∴横向通车道的长为； （2）解：由题意得： 整理得： 解得：，（舍去） 答：货运停车场的每个停车位的宽为． ▌迁移练6-2（25-26九年级上·甘肃武威·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意得，整理并求解即可． 【详解】（1）解：     淇淇的说法正确，理由如下： 解得：，     ∵x取正整数， ∴，均不满足实际问题，舍去 所以淇淇的说法正确． （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． ▌迁移练6-3（25-26八年级下·福建福州·期末）月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据图中每行和每列数的关系，即可得到答案． （2）设最小数为，最大数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵每行的后一个数比前一个数大，每列的下一个数比上一个数大， ∴中间的数可用表示为， 最大的数可用表示为； （2）解：设最小数为，最大数为，根据题意可列方程：， ， 解得或（舍去）， 最小数为，最大数为， 个数为， 其和为． 难点一 利用配方法的求最值问题 1. 配方构造的“恒等变形”障碍 学生易陷入“硬凑完全平方”的误区，忽视代数式的内在约束。尤其是面对含参系数、分式或复合函数时，需先提取二次项系数，再巧妙添补常数项。此过程的难点在于确保每一步变形均为等价恒等变换，同时洞察非标准形式（如双变量或隐含约束）下的转化路径，避免因机械套用公式导致构造失败。 2. 最值取得的“条件等价”认知偏差 配方后，学生常默认平方项为零时即为最值，却忽略定义域或参数范围的限定。难点在于将代数最值问题升维为“在可行域内求平方项极值”的约束问题。需深刻理解：配方仅提供形式上的下界（或上界），而实际最值必须在变量允许范围内验证，并处理边界情形，否则易产生增根或漏解。 难点精练 1．（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；大；8 (2) ，理由如下： ， ． 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）略 2．（25-26八年级下·江西抚州·期末）【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【答案】(1) (2)当时，最大值为7． (3)、、． 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． 3．（25-26九年级上·江西抚州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（，是整数），所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： (1)下列各数中，“完美数”有_____（只填序号）：①7；②10；③15；④34． (2)若是“完美数”，可配方成（，为整），求与的值； (3)已知实数，均满足，求代数式的最小值． 【答案】(1)②④ (2) (3)1 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）把配方成的形式，即可求解； （3）根据，可得，则原式变形为，再配方，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴7不是“完美数”； ， ∴10是“完美数”； ∵， ∴15不是“完美数”； ∵， ∴34是“完美数”； 故答案为：②④ （2）解：∵，可配方成（，为整）， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 即当时，代数式取得最小值，最小值为1． 难点二 换元法解一元二次方程 1. 整体构造的识别障碍 难点在于从复杂多项式中敏锐识别出可重复替换的“整体模块”，如互为倒数或平方关系的代数式。学生易被表面形式迷惑，难以完成从“旧元”到“新元”的等价映射，导致换元失败。 2. 还原求解的等价疏忽 引入新元后，常忽视对定义域（如分母不为零）的等价转换，且解出新值后，易遗漏“回代”求解原未知数的关键步骤，或因反向代入复杂方程而产生运算错误。 难点精练 1．（25-26八年级下·山东济南·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； （2）略 2．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 【答案】(1)原方程的解为，， (2)这四个整数为2，3，4，5 【分析】（1）将原方程整理，设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再求x． （2）设最小数为，由题意得，即，设，则再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x即可． 【详解】（1）解：原方程整理得 ， 设， 则原方程可化为， 因式分解得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得， 原方程的解为，，． （2）解：设最小数为， 由题意得， 即， 设， 则，即， 因式分解得 ， ，， 为正整数，，即， 因式分解得， 解得， 舍去． 这四个整数为． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，换元法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，模仿题干解题方法，进行计算，即可作答． （2）先整理得，则，再得，解得，，再逐个分析检验，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则， 原方程化为， ∴， 解得，．当时，无意义，舍去； 当时，，解得， ∴原方程的解为，． （2）解：依题意，， 设， 原方程化为， ∴， ∴， 解得，． 当时，， ∴， 当时，， ∴无意义，舍去； 综上：． 难点三 判别式和根与系数的关系综合问题 1. 双重条件的兼容性陷阱 学生易孤立使用韦达定理求参，却忽略判别式需保证方程有实根的前提。难点在于必须联立“Δ≥0”与“两根和、积”的代数条件，并求交集，否则极易产生使方程无解的增根。 2. 代数变形的非等价转化 利用两根和积构造关系式（如求最值、证明不等式）时，难点在于将目标多项式灵活变形为含“x₁+x₂”与“x₁x₂”的对称式，并严格注意变形过程中参数取值范围的变化，避免非等价放缩导致结论失真。 难点精练 1．（25-26八年级下·北京平谷·期末）已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，结合求出k的值． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵该方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ， ， ， ∴， 解得， ， ． 2．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1)证明：方程中，，，， ∴． ∵无论取何值，， ∴， 即无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）先得到一元二次方程的判别式，再由平方非负性判定即可得证； （2）由一元二次方程根与系数关系得到，，整体代入已知等式解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：关于的一元二次方程， ，， ∵， ∴， ∴，即，解得． 3．（2026·广东清远·一模）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)在第（1）问的条件下，若，是一元二次方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，计算判别式后解不等式即可得到m的取值范围； （2）先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再利用完全平方公式变形，结合已知条件得到关于m的方程，求解后结合第一问的范围舍去不合理的解，即可得到m的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程为有两个不相等的实数根， ∴，其中，，， ， 解得； （2）解：∵，是方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， 代入得：， 解得，， ∵由（1）知，，不符合要求，舍去， ∴． 难点四 用一元二次方程解决动态几何问题 1. 运动状态的代数化建模障碍 难点在于将几何图形中的动点路径、速度与时间关系，精准转化为线段长度或面积的代数表达式。学生易忽略运动过程中图形形状的变化（如点在线段或延长线上），导致方程定义域界定失准。 2. 方程解的几何合理性检验 解出方程后，难点在于既要验证解是否满足运动时间范围，又要结合图形几何性质（如边长非负、三边关系）剔除增根。此双重检验极易被遗漏，造成答案与几何实际情境不符。 难点精练 1．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 【答案】(1)； (2)或4时，的面积为 【分析】（1）根据点P、Q运动的速度，表示出、即可； （2）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论． 【详解】（1）解：∵，点从点出发，以的速度沿运动， ∴； ∵点从点出发，以的速度沿运动， ∴； （2）解：由题意得：，，， ∴； 由题意得：， 解得：或， ∴或4时，的面积为． 2．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）如图：在直角坐标系中，长方形中，，，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度移动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度运动，设点的运动时间为秒． (1)如图1，当为何值时，的面积为； (2)当是的角平分线时，求出此时点的坐标； (3)当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）用含的式子表示三角形底与高，代入面积公式列方程，舍去负根即可求出的值； （2）利用长方形对边平行得到，结合角平分线条件推导出，得到，用表示，在中利用勾股定理列出关于的方程求解，即可得到点坐标； (3)先写出三点坐标，借助平面内两点距离公式写出、、三条边长代数式，分、、三类情况列方程求解，舍去不符合实际运动意义的根，即可得到所有符合条件的的值． 【详解】（1）解：如图，由题意得，， ， 当的面积为时， ，解得或（不合题意，舍去）， 即当时，的面积为； （2）解：如图， ∵四边形是长方形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得或， 即或， ∴此时点的坐标为或； （3）解：由题意得，，， ∴，，， 是等腰三角形，可分三种情况讨论： ①，则 ， 解得或（不合题意，舍去）； ②，则 ， 解得或； ③，则 ， 解得或（不合题意，舍去）； 综上，或或或． 难点五 一元二次方程中新定义型综合问题 1. 新概念的等价转化障碍 难点在于快速捕捉题目自定义运算或特殊规则的数学本质，并将其等价转化为常规的方程形式。学生易受陌生表述干扰，难以剥离表象，从而无法建立有效方程模型。 2. 嵌套条件的分类讨论疏漏 新定义往往嵌套附加条件（如整数根、特定范围），求解时须按参数或根的性质分层讨论。难点在于需兼顾新定义规则与判别式、韦达定理的隐性约束，分类时极易出现重复或遗漏，导致解集失准。 难点精练 1．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系，结合完全平方公式即可得到，，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 【答案】(1)①③ (2) 或 (3) 或 【分析】本题考查了一元二次方程的解、新定义“同伴方程”． 分别求出三个方程的解，根据“同伴方程”的定义进行判断即可； 先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同伴方程”，分情况求解即可； 一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，； 解方程， 可得：； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同伴方程”； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； （3）解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同伴方程”， 或， 或． 基础达标 一、单选题 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 方程含两个未知数，不是一元二次方程． B. 方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程． C. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程． D. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 2．（25-26八年级下·吉林·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【详解】解：已经是一般形式， 对应可得二次项系数，一次项系数，常数项． 3．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】解：一元二次方程中，，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，结合三角形三边关系排除不符合的边长，再计算周长得到结果． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得，， ∵三角形边长为正数， ∴舍去负根，得第三边长为， ∵，符合三角形三边关系， ∴三角形周长为． 二、填空题 6．（25-26八年级下·河南开封·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 【答案】 ，， 【分析】先将给定的一元二次方程整理为一般形式，再分别确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将一元二次方程移项整理为一般形式，得 ， ∴该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 7．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是________ ． 【答案】 【分析】把代入方程中，求出的值，结合即可得解． 【详解】解：由题意得：把代入方程中得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两个根为，，则的值为_______ 【答案】 【分析】由根与系数的关系得到的值，再根据求值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·北京·期末）已知，是关于x的方程的两个根，满足，则m的值是________． 【答案】 【分析】将给定等式展开后代入计算得到的值，再验证方程存在两个实根，即可得到最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根 ， ∴由一元二次方程根与系数的关系得 ，， ∵， ∴， ∴， 将，代入上式得， 解得， 此时方程的判别式，满足方程有两个根的条件， 因此的值为． 10．（25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 三、解答题 11．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）用指定的方法解下列方程： (1)（因式分解法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据题目要求用因式分解法解方程即可； （2）根据题目要求用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， 二次项系数化为1，得， 因式分解，得， 解得：，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根  ， ∴  ， 解得：，． 12．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 【答案】(1) 年到年这种药剂价格的年平均下降率为 (2) 该药剂在年的价格为元 【分析】（1）设年到年这种药剂价格的年平均下降率为，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可． 【详解】（1）解：设年到年这种药剂价格的年平均下降率为， 解得 ，（不符合题意，舍去） ． 答：年到年这种药剂价格的年平均下降率为． （2）解：（元） 答：该药剂在年的价格为元． 13．（25-26八年级下·山东烟台·期末）某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． (1)该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； (2)该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)每件文创产品的售价应降低10元； (2)每天利润不能达到1400元，理由如下： 假设每天利润能够达到1400元，设每件文创产品的售价降低y元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即每天利润不能够达到1400元． 【分析】（1）设每件文创产品的售价降低x元，根据题意列方程解方程即可； （2）假设每天利润能够达到1400元，根据题意列一元二次方程，根据根的判别式判断方程根的情况即可． 【详解】（1）解：设每件文创产品的售价降低x元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， 解得， 又要尽可能让利于顾客， ． 答：每件文创产品的售价应降低10元； （2）略． 14．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 【答案】(1)①；②米 (2)养蜂场的面积不能达到平方米．理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到平方米， ∵长为米， ∴， 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到平方米． 【分析】（1）①利用“的长的长木栏总长门的宽度的长”，可用含的代数式表示出的长； ②根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合，即可确定结论； （2）假设养蜂场的面积可以达到平方米，由长为米，可得出长为米，根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不正确． 【详解】（1）解：①依题意，得：（米）； ②依题意，得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴的长为米； （2）略． 能力进阶 一、单选题 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 【答案】B 【分析】分两种情况讨论：已知边长2为等腰三角形的腰长，或已知边长2为等腰三角形的底边长，分别计算k的值，再用三角形三边关系验证，得到符合条件的结果． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为2，另外两边长是方程的两个实根， ∴分两种情况讨论： ①当边长2为腰长时，方程有一个根为， 把代入方程得， 解得， 此时方程为， ∴， 解得， ∴另一根为，三角形三边长为， ∵ ，不满足三角形三边关系，此情况舍去； ②当边长2为底边长时，两腰是方程的两个实根，即方程有两个相等实根， ∴， 解得， 此时方程的根为，三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 综上，的值为16． 2．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】根据根的判别式、一元二次方程的解，逐个验证结论，结合条件推导判别式的符号，最终确定正确选项． 【详解】解：① 将代入方程，得， 提取公因式得， 当时等式恒成立，不一定满足，故①错误； ② 将代入方程，得，由条件，可得， 因此是方程的根，故②正确； ③原方程的解为和，则原方程可写为， 展开得，即，， 代入新方程得：，， 整理得， 解得或，故③错误； ④ 由条件，，， 可得， 若，则， 可推出，与矛盾， 因此， 方程判别式， 因为，，所以， ，方程一定有实数根，故④正确. 综上，正确结论为②④． 二、填空题 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式因式分解后整体代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得，， ． 4．（25-26九年级下·山东淄博·期末）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 【答案】 【分析】根据“同族二次方程”的定义得到，进而可得方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， 解得， ． 三、解答题 5．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）已知关于的一元二次方程，有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据根与系数的关系得，，然后将原式变形为代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：根据根与系数的关系得，， ， ， ， 解得，， ， 的值为4． 6．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 (3)存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程 复习要点 1. 理解一元二次方程的定义、一般形式 `ax²+bx+c=0 (a≠0)`，能准确区分各项系数及判别式 `Δ=b²-4ac` 的作用。 2. 掌握配方法、公式法、因式分解法解方程，深入理解“降次”的转化思想，能根据方程特点灵活选择适当方法。 3. 掌握根的判别式与根与系数的关系，能利用它们判断根的情况并解决有关问题。 4. 掌握列一元二次方程解决实际问题的完整步骤（审、设、列、解、验、答），能根据实际意义检验并取舍根。 复习重难点 重点 灵活选用适当方法解一元二次方程，并运用方程模型解决实际问题。 难点 从实际问题中抽象等量关系建立方程模型，以及理解“降次”思想，熟练完成配方与公式推导。 知识点 一元二次方程的定义及一般形式 1、一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是 ；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个 ； ③未知数的最高次数是 ． （3） 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2、一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式 ．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2） 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成 ． 要点速测 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽六安·期末）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 3．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 知识点 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的 是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 要点速测 4．（25-26八年级下·山东济南·期末）一元二次方程的一个根为，则m的值为_______． 5．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________． 知识点 解一元二次方程 1、解一元二次方程- 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用 解一元二次方程． 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±． 2、解一元二次方程- （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3、解一元二次方程- （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 4、解一元二次方程- （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 要点速测 6．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 7．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解方程 (1)；（公式法） (2)．（配方法） 知识点 一元二次方程根与系数的关系 1. 对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0），若方程两根为x1、x2，则x1+x2= ，x1x2 = ，直接将根的和与积的数值代入等式，构建关于参数的方程求解。 2.结合判别式△= ，确保方程有实根，避免所求参数使方程无解，通过联立方程与不等式确定参数的准确取值。 要点速测 8．（25-26八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两根，且，求的值． 知识点 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为 ． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为 ，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1． ：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2． ：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3． ：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解． 5． ：检验所求出的根是否符合所列方程 要点速测 9．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 题型1 一元二次方程的定义与一般形式 ▌例1 （25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 解题要点 1. 严格判定：解题先看方程是否“整式、只含一个未知数、最高次数为2”，必须满足二次项系数a≠0，这是判定与含参问题的易错点。 2. 标准变形：解题时将所有项移项至等号左边，合并同类项化为ax²+bx+c=0（a≠0）的标准形式，再准确对应a、b、c的值，避免符号错误。 ▌迁移练1-1（25-26八年级下·浙江丽水·期末）把方程化为一般形式是__________． ▌迁移练1-2（25-26八年级上·上海浦东新·期末）若关于的方程是一元二次方程，则___________． ▌迁移练1-3（25-26九年级上·全国·期中）已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 题型2 一元二次方程的解求参数的值 ▌例2 （2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 解题要点 1. 直接代入法：若已知方程的一个根，直接将根代入原方程（或一般形式），转化为关于参数的方程，解之即得参数值。 2. 判别式约束：若已知方程有实数根、相等根或无实数根等条件，需利用判别式Δ=b²-4ac建立不等式或方程求解，并确保二次项系数a≠0。 ▌迁移练2-1（25-26八年级下·浙江宁波·期末）一元二次方程的一个解是，则的值是______． ▌迁移练2-2（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如果a是方程的一个实数根，则的值为________． ▌迁移练2-3（25-26八年级下·北京·期末）若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 题型3 解一元二次方程 ▌例3 （25-26八年级下·湖南长沙·期末）解方程： (1)； (2)． 解题要点 1. 方法选择策略：先观察方程特征。缺项（b=0）用直接开平方，二次项系数为1且一次项为偶数优先考虑配方法，一般形式首选公式法，易于因式分解则用因式分解法。 2. 计算核心步骤：无论何种方法，必须先将方程化为标准形式ax²+bx+c=0（a≠0）。用公式法时，先算判别式Δ=b²-4ac判定根的情况，再代入求根公式，最后结果需化简。 ▌迁移练3-1（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程 (1)； (2)． ▌迁移练3-2（25-26八年级下·河北石家庄·期末）解方程： (1)； (2) ▌迁移练3-3（25-26八年级下·河北张家口·期末）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 题型4 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ▌例4 （2026·广东佛山·一模）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________． 解题要点 1. 化为标准式并计算Δ：先将方程化为ax²+bx+c=0（a≠0），准确找出a、b、c，代入判别式Δ=b²-4ac求出具体数值。 2. 根据Δ符号下结论：Δ＞0⇔两个不等实根；Δ＝0⇔两个相等实根；Δ＜0⇔无实数根。含参问题还需结合a≠0及题目条件（如“有实根”则Δ≥0）建立不等式求参范围。 ▌迁移练4-1（25-26八年级上·上海普陀·期末）关于的一元二次方程的根的情况是______． ▌迁移练4-2（25-26八年级下·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________________． ▌迁移练4-3（25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 题型5 利用一元二次方程根与系数的关系求值 ▌例5 （25-26八年级下·福建泉州·期末）已知，是方程的两个根，则__________． 解题要点 1. 先验根与化标准：前提是方程必须有实数根（即Δ≥0），且必须化为标准形式ax²+bx+c=0（a≠0），再准确得出x₁+x₂=-b/a，x₁·x₂=c/a。 2. 灵活变形与整体代入：将所求代数式（如x₁²+x₂²、1/x₁+1/x₂、|x₁-x₂|等）用两根和与积表示，再整体代入求值，避免单独求根。注意含参问题需先由Δ≥0确定参数范围。 ▌迁移练5-1（25-26八年级下·浙江台州·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为___________． ▌迁移练5-2（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为__________． ▌迁移练5-3（25-26八年级下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，则的值为______． 题型6 用一元二次方程解决实际问题 ▌例6 （25-26八年级下·浙江金华·期末）某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到． (1)求每期海水稻亩产量的平均增长率． (2)农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？ 解题要点 1. 审题设列：仔细审题，找准等量关系，设未知数。将条件转化为方程，务必化为标准形式ax²+bx+c=0。注意单位统一，并检验方程是否符合实际背景。 2. 验根取舍：解方程后，必须检验根是否满足题意。舍去负根、零根或使实际问题无意义的根（如人数、长度不能为负），最后写出完整答语。 ▌迁移练6-1（25-26八年级下·山东潍坊·期末）某物流园区的货运停车场为矩形，其面积为，停车场内共设计了如图所示的40个停车位，每个停车位的尺寸都一样，其长比宽的2倍还多．停车场内所有横、纵向的通车道的宽度均相等．设每个停车位的宽为． (1)请用含的代数式表示横向通车道的长； (2)求该停车场的每个停车位的宽． ▌迁移练6-2（25-26九年级上·甘肃武威·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． ▌迁移练6-3（25-26八年级下·福建福州·期末）月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 难点一 利用配方法的求最值问题 1. 配方构造的“恒等变形”障碍 学生易陷入“硬凑完全平方”的误区，忽视代数式的内在约束。尤其是面对含参系数、分式或复合函数时，需先提取二次项系数，再巧妙添补常数项。此过程的难点在于确保每一步变形均为等价恒等变换，同时洞察非标准形式（如双变量或隐含约束）下的转化路径，避免因机械套用公式导致构造失败。 2. 最值取得的“条件等价”认知偏差 配方后，学生常默认平方项为零时即为最值，却忽略定义域或参数范围的限定。难点在于将代数最值问题升维为“在可行域内求平方项极值”的约束问题。需深刻理解：配方仅提供形式上的下界（或上界），而实际最值必须在变量允许范围内验证，并处理边界情形，否则易产生增根或漏解。 难点精练 1．（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 2．（25-26八年级下·江西抚州·期末）【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 3．（25-26九年级上·江西抚州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（，是整数），所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： (1)下列各数中，“完美数”有_____（只填序号）：①7；②10；③15；④34． (2)若是“完美数”，可配方成（，为整），求与的值； (3)已知实数，均满足，求代数式的最小值． 难点二 换元法解一元二次方程 1. 整体构造的识别障碍 难点在于从复杂多项式中敏锐识别出可重复替换的“整体模块”，如互为倒数或平方关系的代数式。学生易被表面形式迷惑，难以完成从“旧元”到“新元”的等价映射，导致换元失败。 2. 还原求解的等价疏忽 引入新元后，常忽视对定义域（如分母不为零）的等价转换，且解出新值后，易遗漏“回代”求解原未知数的关键步骤，或因反向代入复杂方程而产生运算错误。 难点精练 1．（25-26八年级下·山东济南·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 2．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 难点三 判别式和根与系数的关系综合问题 1. 双重条件的兼容性陷阱 学生易孤立使用韦达定理求参，却忽略判别式需保证方程有实根的前提。难点在于必须联立“Δ≥0”与“两根和、积”的代数条件，并求交集，否则极易产生使方程无解的增根。 2. 代数变形的非等价转化 利用两根和积构造关系式（如求最值、证明不等式）时，难点在于将目标多项式灵活变形为含“x₁+x₂”与“x₁x₂”的对称式，并严格注意变形过程中参数取值范围的变化，避免非等价放缩导致结论失真。 难点精练 1．（25-26八年级下·北京平谷·期末）已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求的值． 2．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 3．（2026·广东清远·一模）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)在第（1）问的条件下，若，是一元二次方程的两个实数根，当时，求的值． 难点四 用一元二次方程解决动态几何问题 1. 运动状态的代数化建模障碍 难点在于将几何图形中的动点路径、速度与时间关系，精准转化为线段长度或面积的代数表达式。学生易忽略运动过程中图形形状的变化（如点在线段或延长线上），导致方程定义域界定失准。 2. 方程解的几何合理性检验 解出方程后，难点在于既要验证解是否满足运动时间范围，又要结合图形几何性质（如边长非负、三边关系）剔除增根。此双重检验极易被遗漏，造成答案与几何实际情境不符。 难点精练 1．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 2．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 3．（2026·江苏南通·模拟预测）如图：在直角坐标系中，长方形中，，，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度移动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度运动，设点的运动时间为秒． (1)如图1，当为何值时，的面积为； (2)当是的角平分线时，求出此时点的坐标； (3)当为何值时，是等腰三角形？ 难点五 一元二次方程中新定义型综合问题 1. 新概念的等价转化障碍 难点在于快速捕捉题目自定义运算或特殊规则的数学本质，并将其等价转化为常规的方程形式。学生易受陌生表述干扰，难以剥离表象，从而无法建立有效方程模型。 2. 嵌套条件的分类讨论疏漏 新定义往往嵌套附加条件（如整数根、特定范围），求解时须按参数或根的性质分层讨论。难点在于需兼顾新定义规则与判别式、韦达定理的隐性约束，分类时极易出现重复或遗漏，导致解集失准。 难点精练 1．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 3．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 基础达标 一、单选题 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·吉林·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 3．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级下·河南开封·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 7．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是________ ． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两个根为，，则的值为_______ 9．（25-26八年级下·北京·期末）已知，是关于x的方程的两个根，满足，则m的值是________． 10．（25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 三、解答题 11．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）用指定的方法解下列方程： (1)（因式分解法） (2)（公式法） 12．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 13．（25-26八年级下·山东烟台·期末）某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． (1)该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； (2)该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 14．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 能力进阶 一、单选题 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 2．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 二、填空题 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 4．（25-26九年级下·山东淄博·期末）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 三、解答题 5．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）已知关于的一元二次方程，有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 6．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $