专题10四分位数.箱线图与数据离散程度专题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题10四分位数.箱线图与数据离散程度专题通关讲义 知识点 01 四分位数基础概念 1. 核心定义 排序后数据四等分，三个分界值Q1（下四分位数）、Q2（中位数）、Q3（上四分位数）统称四分位数。 2. 四分位数标准求解步骤 （1）原始数据从小到大排序（必做，不排序全错） （2）求Q2（中位数），分割上下两组数据 n奇数：上下半组不含中位数 n偶数：前为下半组，后为上半组 （3）下半组中位数 =Q1；上半组中位数 =Q3 知识点02箱线图 1.箱线图五数概括 绘制箱线图只需要 5 个关键数值，缺一不可： 最小值Min、Q1、Q2、Q3、最大值Max 2.箱线图画图规范步骤 3.箱线图读图信息对照表 知识点 03 四分位数 & 箱线图优缺点 知识点04: 数据的离散程度（难点，计算 + 理解并重） 用来判断一组数据波动大小、稳定性，波动越小，数据越稳定。 （一）极差 定义：一组数据中 最大值 -最小值。 公式：极差 = 最大值 - 最小值 特点 计算最简单，仅反映数据变化范围； 只用到最值，易受极端值影响，描述波动较粗略。 （二）方差（核心难点） 1.定义：衡量一组数据偏离平均数的程度，方差越大，波动越大、越不稳定；方差越小，波动越小、越稳定。 2.计算公式 数据x1,x2,.....,xn，平均数为 s2=[(x1−)2+(x2−)2+⋯+(xn−)2] 3.核心规律（必背） 方差s2 越大 → 数据波动大，稳定性差； 方差s2 越小 → 数据波动小，稳定性强。 4.拓展结论（解题提速） 一组数据同时加 / 减同一个数，平均数改变，方差不变； 一组数据同时乘同一个正数，平均数、方差均发生变化。 （三）标准差 1.定义方差的算术平方根 2.公式s= 3.优势：单位和原始数据一致，生活应用题描述波动更直观 知识点 05 极差、方差、标准差全方位对比表 知识点06:数据变化规律（拓展考点，选择填空高频） 设原数据：x1,x2,...,xn，平均数，方差s2 1、未排序直接计算四分位数 易错提醒：计算四分位数的前提是将数据从小到大有序排列；未排序直接取值计算，所得四分位数全部错误。 2、四分位数位次判定规则混淆 易错提醒：四分位数的位置由数据总个数确定；数据总个数为奇数、偶数时，取值规则不同，不可套用固定取值方法。 3、箱线图可读取信息认知错误 易错提醒：箱线图仅能反映数据最值、中位数、上下四分位数及数据分布范围；无法获取原始数据、无法直接求解平均数。 4、极差与四分位距概念混淆 易错提醒：极差为最大值与最小值的差，反映整体数据波动范围；四分位距为上四分位数与下四分位数的差，反映中间半数数据波动范围，二者定义与意义不可混淆、替代。 5、方差计算步骤遗漏出错 易错提醒：方差计算需依次求偏差、平方、求和、求平均值；计算过程严禁遗漏平方步骤，严禁直接用偏差求和计算方差。 6、方差大小与数据波动关系颠倒 易错提醒：方差越大，数据离散程度越大、波动越大、数据越不稳定；方差越小，数据离散程度越小、波动越小、数据越稳定，二者对应关系不可颠倒。 7、跨组数据直接用方差比较稳定性 易错提醒：方差仅适用于同类型、同量级的数据比较稳定性；不同背景、不同量级的数据，不可仅凭方差数值判定波动大小。 8、方差与标准差概念混用 易错提醒：标准差是方差的算术平方根，二者数值、定义不同；解题需严格审题，区分所求量为方差或标准差，严禁直接混用。 9、凭箱线图线段长度判断数据个数 易错提醒：箱线图线段长短代表数据区间跨度大小，与区间内数据个数无关；不可根据线段长短判定对应区间数据数量多少。 题型 考察方向 难度 题型一 求四分位数 ★★ 题型二 画箱线图 ★★ 题型三 求方差 ★★ 题型四 利用方差求未知数据的值 ★★★ 题型五 根据方差判断稳定性 ★★ 题型六 运用方差做决策 ★★★ 题型七 求极差 ★ 题型八 已知极差求未知数据 ★★ 题型九 标准差 ★★ 题型十 求离差平方和 ★★★ 题型十一 离差平方和的应用 ★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 求四分位数 1．“幸福感指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标，常用以内的一个数来表示，该数越接近表示满意程度越高．现随机抽取位市民，他们的幸福感指数分别为，，，，，，，，则该组数据的第一四分位数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将数据从小到大排序为 方法一：，第一四分位数为第个与第个数据的平均数，即； 方法二：第一四分位数为这四个数据的中位数，即． 2．在某项以至为评价等级的调查问卷中，收集到的个得分数据分别为：，，，，，，，，，，其下四分位数和上四分位数之和是_______________． 【答案】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据四分位数计算规则得到下四分位数和上四分位数，计算两者的和即可． 【详解】解：将给定数据从小到大排序，得到：，，，，，，，，，， 方法一： 下四分位数位置，位置不是整数，向上取整得第个数据， 下四分位数为， 上四分位数位置，位置不是整数，向上取整得第个数据， 上四分位数为， 两者之和为； 方法二：下四分位数为，，，，的中位数， 上四分位数为，，，，的中位数， 两者之和为． 3．将某组数据绘制成箱线图如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．最大值是180，最小值是120 B．中位数是150 C．第一四分位数是140 D．四分位距是60 【答案】D 【分析】定位箱线图各统计量的位置，读取最大值、最小值、中位数及四分位数． 【详解】解：由箱线图可知，最大值为180，最小值为120，中位数为150 ，第一四分位数为140 ，第三四分位数为163， ∴四分位距为． 题型二 画箱线图 4．年月日，贵阳某中学八年级班男生参加篮球运球绕杆考试，现将考试成绩制作成箱线图（如图），由图不能确定的数据是（   ）. A．上四分位数 B．平均数 C．中位数 D．最大值 【答案】B 【分析】本题考查箱线图的意义与数据特征的识别．熟悉箱线图的构成与“五数概括”：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，是解题的关键． 根据箱线图的核心作用是展示数据的五数概括：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，无法直接得到平均数，对选项进行判断即可． 【详解】解：上四分位数 (选项)：箱子的右边界对应的值； 中位数 (选项)：箱子内部的横线对应的值； 最大值 (选项)：右侧须线的端点对应的值； 平均数 (选项) ：需要所有数据的总和除以数据个数，箱线图仅展示分位数和极值，未提供每个数据的具体值，因此无法确定平均数． 故选：． 5．某学校八年级一班和二班各有名男生，他们身高（单位：）的箱线图如图所示，则一班男生身高的第一四分位数________二班男生身高的第一四分位数（填“”“”或“”）；________班（填“一”或“二”）男生的身高相对比较集中． 【答案】 二 【分析】根据箱线图的特征，箱体下边缘对应的数值即为第一四分位数；数据的集中程度可通过极差或四分位距（箱体长度）来判断，范围越小数据越集中． 【详解】解：由箱线图可知，一班男生身高的第一四分位数为，二班男生身高的第一四分位数为， ， 一班男生身高的第一四分位数二班男生身高的第一四分位数； 观察图形可知，二班男生身高的极差（最大值减最小值）和四分位距（第三四分位数减第一四分位数）均小于一班， 二班男生的身高相对比较集中． 6．某同学将英语演讲比赛中每位选手最终得分绘制成如图所示的统计图，根据图中数据可以得到（     ） ①这次比赛的所有选手得分中，最高分为98分； ②所有选手得分的平均分为85分； ③最高分与最低分相差6分； ④所有选手得分的上四分位数为88分． A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①④ 【答案】D 【详解】解：由箱线图可知， 这次比赛的所有选手得分中，最高分为98分； 所有选手得分的中位数为85分，平均数无法确定； 最高分与最低分相差分； 所有选手得分的上四分位数为88分， 结论①、④正确，②、③错误． 题型三 求方差 7．已知一组数据1，3，5，7，则该组数据的方差（     ） A．1 B．4 C．5 D．20 【答案】C 【分析】按照方差的计算步骤，先求出数据的平均数，再代入方差公式计算即可得到结果. 【详解】解：∵ 数据为，共个数， ∴ 平均数， ∴ . 8．已知一组数据的方差是5，则数据的方差是_________． 【答案】 【分析】一组数据每个数据同时加上同一个常数，数据波动程度不变，方差不变，结合原数据方差即可得结果． 【详解】解：设原数据的平均数为， ∵ 原数据的方差， 设新数据的平均数为， 可得， 新数据的方差， 将代入上式， 得． 9．某校在八年级学生体质健康监测时，小江立定跳远前次测试平均成绩为米，方差为．小江又跳了一次，成绩恰好也为米，则小江这次立定跳远成绩的方差相对前次立定跳远成绩的方差会（     ） A．变大 B．不变 C．变小 D．无法判断 【答案】C 【分析】先确定三次成绩的平均数，再根据方差公式计算三次成绩的方差，与原方差比较大小得到结论. 【详解】∵前次测试的平均成绩为米，第次成绩为米 ， ∴次测试的平均成绩米； 设前两次成绩为，由题意得原方差 ， ∴， ∴次测试的方差， ∴次成绩的方差相对前次的方差变小. 题型四 利用方差求未知数据的值 10．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，那么另一组数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均数和方差分别是（  ） A．2，3 B．6，9 C．6，27 D．6，18 【答案】C 【分析】根据平均数和方差的变化规律可得数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均数和方差分别是数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数和方差的3倍和32倍，计算即可. 【详解】∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3， ∴数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均数是3×2=6，方差是3²×3=27． 故选：C 【点睛】本题主要考查了平均数和方差的知识，若一组数据x₁，x₂，x₃， …xn的平均数为，方差为S²，则数据ax1，ax2，ax3， …axn的平均数为，方差为a2S2，掌握以上知识是解题的关键． 11．若一组数据2，3，x的方差与另一组数据12，13，14的方差相等，则x的值为_____． 【答案】1或4/4或1 【分析】根据方差的性质，当一组数据同时加减一个数时方差不变，进而得出答案． 【详解】解：∵一组数据2，3，x的方差与另一组数据12，13，14的方差相等， ∴这组数据可能是2，3，4或1，2，3， ∴或4， 故答案为1或4． 【点睛】本题考查的是方差，正确记忆方差的有关性质是解题关键． 12．已知一组数据、、、、的平均数为5，方差为8，则数据、、、、的平均数和方差分别为（    ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 【答案】C 【详解】解：设原数据的平均数为，方差为，新数据的平均数为，方差为， 由题意得，． 新数据的平均数为 ， ∵， ∴， 同理，……，， ∴新数据的方差为 ． 题型五 根据方差判断稳定性 13．在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（     ） A．甲的成绩比乙的成绩稳定 B．乙的成绩比甲的成绩稳定 C．甲、乙两人的成绩一样稳定 D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 【答案】B 【分析】比较甲、乙两人成绩的方差大小，判断成绩的稳定性． 【详解】解：∵甲、乙两位同学的平均分相同，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，， ∴乙的成绩比甲的成绩稳定． 14．甲、乙两地月上旬的日平均气温如图所示，则甲，乙两地这天中日平均气温的方差与的大小关系是_____．（填“”或“”） 【答案】 【分析】由折线统计图可以看出，甲的气温波动较大，乙的气温波动较小，所以甲的方差大于乙的方差． 【详解】解：由折线统计图可知，甲的气温波动较大，乙的气温波动较小， ． 15．掷实心球是河南中招体育选考项目中的一项．已知甲、乙两人10次掷实心球的平均成绩相同，落点如图所示，对于两人10次成绩的方差，下列说法正确的是（     ） A．甲的方差大 B．乙的方差大 C．两人的方差一样大 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据方差来衡量数据波动大小、离散程度，进行判断即可． 【详解】解：∵一组数据中，方差越小，数据越稳定、波动越小，方差越大，数据越分散、波动越大， ∴观察图片可知，甲的成绩比乙的成绩更加分散， ∴甲的方差比乙的方差大． 题型六 运用方差做决策 16．随着“双减”政策落地和云南省校园体育活动的深入推进，各地学校都在大力开展阳光体育活动．某校为选拔学生参加市级中小学生田径运动会，组织甲、乙、丙、丁四位同学进行了为期一周的封闭训练，并开展五次跳远测试．已知四人跳远成绩的平均分相同，方差分别为，，，．若优先选择发挥最稳定的学生参赛，应选（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查方差的统计意义，当数据平均分相同时，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定，比较四人方差大小即可得到结果． 【详解】解：∵方差越小，数据波动越小，发挥越稳定，且四人跳远成绩的平均分相同， 又∵， ∴甲的方差最小，发挥最稳定，应选甲． 17．现有甲、乙、丙、丁四个队参加某种比赛，各队人数相同，平均身高也相同，他们身高的方差分别为，，，，则这四个队中，你认为选取________队参加决赛比较合适． 【答案】甲 【分析】方差越小，数据波动越小，身高越整齐，本题各队人数和平均身高均相同，只需比较方差大小即可得到结论． 【详解】解：∵，且四个队人数、平均身高都相同， ∴甲队的方差最小，身高最整齐，选取甲队参加决赛更合适． 18．立定跳远是集弹跳、爆发力、身体的协调性和技术等方面的身体素质于一体的运动，甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，在连续一周的训练中，他们成绩的平均数和方差如下表，要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应该选择（     ） 甲 乙 丙 丁 平均数 242 239 242 242 方差 2.85 7.05 5.36 1.05 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】平均数越大代表平均成绩越好，方差越小代表数据波动越小，发挥越稳定，先筛选出平均成绩好的选手，再比较方差得到符合要求的人选． 【详解】解：∵ 乙的平均数为，小于甲、丙、丁的平均数， ∴ 乙平均成绩更低，先排除乙， ∵ 甲、丙、丁的平均数相同，平均成绩水平一致， 又∵ 三人的方差满足，丁的方差最小， ∴ 丁的发挥最稳定，满足成绩好且发挥稳定的要求， 因此应该选择丁． 题型七 求极差 19．已知一组数据：、、、、、、，这组数据极差是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：该组数据最大值为，最小值为，极差为. 20．一组数据的极差是3，则另一组数据的极差是（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【分析】本题考查极差的定义，不妨设一组数据中第p个数据最大，第q个数据最小，则，在另一组数据中最大值一定是第p个数据，最小值一定是第q个数据，根据极差定义即可求解． 【详解】解：一组数据的极差是3，不妨设第p个数据最大，第q个数据最小，则， 则在另一组数据中最大值一定是第p个数据，最小值一定是第q个数据， 则极差为． 故选：A． 21．去年的“植树节”时，文德中学八（1）班6个小组的植树棵数分别是：5，7，3，x，6，4．已知这组数据的众数是5棵，则该组数据的极差是（     ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据众数为一组数据中出现次数最多的数据，得到，再根据极差为最大数与最小数的差值，进行求解即可. 【详解】解：∵这组数据的众数是5， ∴， ∴极差为：． 题型八 已知极差求未知数据 22．中考前夕，数学老师想看看小明同学的数学成绩是否稳定，于是他统计了小明同学近5次数学模拟考试的成绩，对于这名数学老师来说，他最想知道的是小明这5次考试数学成绩的（    ） A．平均数和中位数 B．方差或极差 C．众数或中位数 D．平均数或众数 【答案】B 【分析】根据方差、极差的意义即可解答． 【详解】解：老师最关注小明数学成绩的稳定性，由于方差和极差都能反映数据的波动大小，故判断小明的数学成绩是否稳定，应知道方差或极差． 故选：B． 【点睛】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数，离散程度的统计量有极差，方差，标准差，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 23．甲、乙两地5月份每天最高气温的箱线图如图所示，则5月气温波动较大的是______．（填“甲地”或“乙地”） 【答案】甲地 【详解】解：箱线图中，数据的波动越大，说明数据离散程度越高， 气温的极差（最高温与最低温的差值）越大． 观察图形可得：甲地气温的极差（整体跨度）大于乙地，气温分布更分散， 因此5月气温波动较大的是甲地． 24．下列命题中，真命题是（    ） ①若，则 ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 ③若一组数据2，4，，-1的极差为7，则的值是6 ④已知点，在一次函数的图象上，则 A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值即可求出y的值即可判断①；根据两直线的位置关系即可判断②；根据极差的定义即可判断③；根据一次函数的增减性即可判断④． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴，故①错误； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，说法正确； ③若一组数据2，4，，-1的极差为7，则或 则的值是6或-3，说法错误； ④一次函数中，则随增大而减小，而，则故④正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，两直线的位置关系，极差的定义，一次函数的增减性等等熟知相关知识是解题的关键． 题型九 标准差 25．已知一组数据的方差是，则这组数据的标准差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方差和标准差，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．根据标准差是方差的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵数据的方差是， ∴这组数据的标准差是； 故选：D． 26．某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如表所示： 每天出次品的个数 0 2 3 4 天数 3 2 4 1 那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是_____． 【答案】 【分析】根据所给出的数据求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出这组数据的方差，最后根据标准差的定义解答即可． 【详解】解：这组数据的平均数是：， 这组数据的方差是：， 则这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是． 27．若样本，的平均数为12，方差为4，则对于样本，下列结论正确的是（   ）． A．平均数为12，标准差为2 B．平均数为12，标准差为4 C．平均数为27，标准差为2 D．平均数为27，标准差为4 【答案】D 【分析】本题考查求平均数和标准差，根据平均数和方差的变化规律：一组数据的平均数为，方差为，则：的平均数为，方差为，以及标准差为方差的算术平方根，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，的平均数为：，方差为：， ∴标准差为：； 故选D． 题型十 求离差平方和 28．某校八年级共有200名学生，平均年龄为14岁，年龄的方差为3，则该校八年级200名学生年龄的离差平方和为（     ） A．0 B．3 C．42 D．600 【答案】D 【详解】解：设200名学生年龄的离差平方和为， 数据个数，方差， ∵ ， ∴ ． 29．若把数据6，7，8，8，8，8，7，10，9分成6，7，7，8和8，8，8，9，10两组，则它们的组内离差平方和为______． 【答案】 【分析】根据组内离差平方和的定义，分别计算两组的离差平方和，再求和得到结果． 【详解】解：第一组数据为，，，， 计算第一组平均值：， 第一组离差平方和：； 第二组数据为，，，，， 计算第二组平均值：， 第二组离差平方和：； 总组内离差平方和为：． 30．一组包含5个从小到大排列的数据，将这组数据分成两组，四种分法的组内离差平方和如下表所示，其中分法三划分出的两组数据的离差平方和分别为26和12.5，根据组内离差平方和最小的原则，应该选用的分法是（     ） 分组方法 分法一 分法二 分法三 分法四 组内离差平方和 86.75 62.5 x 74 A．分法一 B．分法二 C．分法三 D．分法四 【答案】C 【分析】先计算分法三的组内离差平方和，再比较四种分法的组内离差平方和大小，选取最小的对应分法． 【详解】解：分法三的组内离差平方和为， ∵ ， ∴ 分法三的组内离差平方和最小． 题型十一 离差平方和的应用 31．八年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟200个，离差平方和分别是,，你认为哪一位同学的成绩最稳定（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查方差的意义，方差越小数据越稳定，由于四位同学测试次数相同，方差与离差平方和成正比，只需比较离差平方和的大小即可判断稳定性． 【详解】解：∵四位同学平均成绩相同，测试次数均为3次，方差公式为，其中n为测试次数， ∴n相同，方差大小与离差平方和的大小一致. 又∵ ， ∴乙的方差最小， ∴乙的成绩最稳定． 32．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．现需要把这5名同学引体向上的个数分为两组，且使引体向上个数相差较小的同学分在同一组．常用的分组原则是（     ） A．组内离差平方和最小 B．组内离差平方和最大 C．组间离差平方和最小 D．组间的平均数差最小 【答案】A 【详解】解：在统计学中，使“组内离差平方和最小，组间离差平方和最大”是常用的分组原则， 所以选项A正确． 33．统计兴趣小组的同学收集了我国7个地区的人均耕地面积（单位：公顷）数据：0.1，0.6，0.2，0.3，0.6，1.8，2.0．为合理分组，设计以下解决方案：规定两组组内离差平方和之和越小，分组越合理． 组序 分组情况 第1组组内离差平方和 第2组组内离差平方和 第1组 第2组 1 0.1，0.2，0.3 0.6，0.6，1.8，2.0 0.02 1.71 2 0.1，0.2，0.3，0.6 0.6，1.8，2.0 0.14 1.15 3 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6 1.8，2.0 0.21 0.02 4 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6，1.8 2.0 1.94 0 则合理分组是（     ） A．组序1 B．组序2 C．组序3 D．组序4 【答案】C 【分析】计算各组序的两组组内离差平方和之和，则和越小分组越合理，比较大小即可得解． 【详解】解：分别计算各组序的两组组内离差平方和之和： 组序1：， 组序2：， 组序3：， 组序4：， ∵， ∴组序3的分组最合理． 解答题 1．某校开展航天知识竞赛，记分员分别记录了甲，乙两组同学的得分情况（单位：分）．相关信息如下： 甲组：，，，，，，，． 乙组：，，，，，，，． 甲、乙两组竞赛成绩的箱线图如图． (1)甲组的中位数是________分，下四分位数是________分，乙组的上四分位数是________分． (2)请结合箱线图评价这两组同学的成绩． 【答案】(1)，， (2)①甲组的最小值与四分位数均大于乙组； ②从箱线图看，甲组中间的数据更集中，稳定性更好． 综上，甲组同学的成绩整体优于乙组． 【分析】（1）根据中位数、下四分位数、上四分位数的计算方法分别计算即可； （2）根据箱线图和四分位数比较两组数据即可． 【详解】（1）解：甲组的中位数为， 甲组下四分位数，方法一、∵甲组的中位数为， ∴下四分位数是中位数左侧四个数据的中位数，即， 方法二、∵， ∴下四分位数是第、个数据的平均数，即， 乙组的上四分位数：方法一、乙组的中位数是， ∴乙组的上四分位数是中位数右侧四个数的中位数，即， 方法二、∵， ∴上四分位数是第、个数据的平均数，即． （2）解：略 2．学校为了选拔4名播音员，对20名学生进行了两次普通话水平测试（满分10分），测试结果如下表： 第一次测试结果 第二次测试结果 成绩/分 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 人数 2 3 7 6 2 5 6 5 3 1 (1)利用计算器分别计算两次测试成绩的方差． (2)哪次测试结果对选拔播音员更有参考意义？ 【答案】(1)第一次测试成绩的方差为，第二次测试成绩的方差为． (2)第二次测试结果对选拔播音员更有参考意义． 【分析】（1）先通过加权平均数公式计算两次测试的平均成绩，再代入方差公式计算方差． （2）比较两次测试的方差大小，结合选拔需求判断参考意义． 【详解】（1）解：设第一次测试成绩的平均数为，方差为；第二次测试成绩的平均数为，方差为，参与测试的总人数为20． ， ， ， ； （2）解：∵， ∴第二次测试成绩的离散程度更大，学生间的水平差异更明显，更易区分出普通话水平较高的学生，对选拔播音员更有参考意义． 3．主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：，，，，，，，，，． 八年级：，，，，，，，，，． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：________，________； (2)求的值； (3)综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由如下： ∵， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度的打分波动小于八年级的学生对“校园餐”的满意度的打分， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致． 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据八年级平均数即可求解； （3）根据方差的意义求解即可． 【详解】（1）解：把七年级学生的打分情况从小到大排列为：，，，，，，，，，， ∵位于第位和第位的分别为，，其中出现了次，出现的次数最多， ∴中位数；众数； （2）解：∵八年级打分的平均分为分， ∴，             即， ； （3）略 4．平均数和中位数都是一组数据的代表值，但其代表的意义又有所不同．设数据，，，，分别为2，3，5，8，12，其平均数为，中位数为，回答下面的问题． (1)平均数____________，中位数____________． (2)设， ， ， ． 计算，并比较它们的大小，计算，并比较它们的大小． (3)根据计算结果，猜想一组数据与哪个数的距离和最小，与哪个数的差的平方和最小． 【答案】(1)6；5 (2)，，，，， (3)一组数据与中位数的距离和最小，与平均数的差的平方和最小 【分析】（1）根据平均数公式即可计算，再把数据按从小到大排序为：2，3，5，8，12，找到中间位置即可得中位数； （2）将数据2，3，5，8，12分别代入计算即可得的值，再比较大小即可； （3）根据（2）的计算结果可得：，，即可猜想一组数据与中位数的距离和最小，与平均数的差的平方和最小． 【详解】（1）解：根据平均数定义得： ， ∴平均数为6． 把数据按从小到大排序为：2，3，5，8，12， 观察发现中间位置的数为：5， ∴的值为5． ∴数据2，3，5，8，12的平均数为6，中位数为5； （2）解：根据（1）得，根据题意得、、、、分别为2、3、5、8、12， ∴ ， ， ∴． ， ， ． ， ∴． （3）解：根据（2）的计算结果可得：，， ∴一组数据与中位数的距离和最小，与平均数的差的平方和最小． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10四分位数.箱线图与数据离散程度专题通关讲义 知识点 01 四分位数基础概念 1. 核心定义 排序后数据四等分，三个分界值Q1（下四分位数）、Q2（中位数）、Q3（上四分位数）统称四分位数。 2. 四分位数标准求解步骤 （1）原始数据从小到大排序（必做，不排序全错） （2）求Q2（中位数），分割上下两组数据 n奇数：上下半组不含中位数 n偶数：前为下半组，后为上半组 （3）下半组中位数 =Q1；上半组中位数 =Q3 知识点02箱线图 1.箱线图五数概括 绘制箱线图只需要 5 个关键数值，缺一不可： 最小值Min、Q1、Q2、Q3、最大值Max 2.箱线图画图规范步骤 3.箱线图读图信息对照表 知识点 03 四分位数 & 箱线图优缺点 知识点04: 数据的离散程度（难点，计算 + 理解并重） 用来判断一组数据波动大小、稳定性，波动越小，数据越稳定。 （一）极差 定义：一组数据中 最大值 -最小值。 公式：极差 = 最大值 - 最小值 特点 计算最简单，仅反映数据变化范围； 只用到最值，易受极端值影响，描述波动较粗略。 （二）方差（核心难点） 1.定义：衡量一组数据偏离平均数的程度，方差越大，波动越大、越不稳定；方差越小，波动越小、越稳定。 2.计算公式 数据x1,x2,.....,xn，平均数为 s2=[(x1−)2+(x2−)2+⋯+(xn−)2] 3.核心规律（必背） 方差s2 越大 → 数据波动大，稳定性差； 方差s2 越小 → 数据波动小，稳定性强。 4.拓展结论（解题提速） 一组数据同时加 / 减同一个数，平均数改变，方差不变； 一组数据同时乘同一个正数，平均数、方差均发生变化。 （三）标准差 1.定义方差的算术平方根 2.公式s= 3.优势：单位和原始数据一致，生活应用题描述波动更直观 知识点 05 极差、方差、标准差全方位对比表 知识点06:数据变化规律（拓展考点，选择填空高频） 设原数据：x1,x2,...,xn，平均数，方差s2 1、未排序直接计算四分位数 易错提醒：计算四分位数的前提是将数据从小到大有序排列；未排序直接取值计算，所得四分位数全部错误。 2、四分位数位次判定规则混淆 易错提醒：四分位数的位置由数据总个数确定；数据总个数为奇数、偶数时，取值规则不同，不可套用固定取值方法。 3、箱线图可读取信息认知错误 易错提醒：箱线图仅能反映数据最值、中位数、上下四分位数及数据分布范围；无法获取原始数据、无法直接求解平均数。 4、极差与四分位距概念混淆 易错提醒：极差为最大值与最小值的差，反映整体数据波动范围；四分位距为上四分位数与下四分位数的差，反映中间半数数据波动范围，二者定义与意义不可混淆、替代。 5、方差计算步骤遗漏出错 易错提醒：方差计算需依次求偏差、平方、求和、求平均值；计算过程严禁遗漏平方步骤，严禁直接用偏差求和计算方差。 6、方差大小与数据波动关系颠倒 易错提醒：方差越大，数据离散程度越大、波动越大、数据越不稳定；方差越小，数据离散程度越小、波动越小、数据越稳定，二者对应关系不可颠倒。 7、跨组数据直接用方差比较稳定性 易错提醒：方差仅适用于同类型、同量级的数据比较稳定性；不同背景、不同量级的数据，不可仅凭方差数值判定波动大小。 8、方差与标准差概念混用 易错提醒：标准差是方差的算术平方根，二者数值、定义不同；解题需严格审题，区分所求量为方差或标准差，严禁直接混用。 9、凭箱线图线段长度判断数据个数 易错提醒：箱线图线段长短代表数据区间跨度大小，与区间内数据个数无关；不可根据线段长短判定对应区间数据数量多少。 题型 考察方向 难度 题型一 求四分位数 ★★ 题型二 画箱线图 ★★ 题型三 求方差 ★★ 题型四 利用方差求未知数据的值 ★★★ 题型五 根据方差判断稳定性 ★★ 题型六 运用方差做决策 ★★★ 题型七 求极差 ★ 题型八 已知极差求未知数据 ★★ 题型九 标准差 ★★ 题型十 求离差平方和 ★★★ 题型十一 离差平方和的应用 ★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 求四分位数 1．“幸福感指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标，常用以内的一个数来表示，该数越接近表示满意程度越高．现随机抽取位市民，他们的幸福感指数分别为，，，，，，，，则该组数据的第一四分位数为（     ） A． B． C． D． 2．在某项以至为评价等级的调查问卷中，收集到的个得分数据分别为：，，，，，，，，，，其下四分位数和上四分位数之和是_______________． 3．将某组数据绘制成箱线图如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．最大值是180，最小值是120 B．中位数是150 C．第一四分位数是140 D．四分位距是60 题型二 画箱线图 4．年月日，贵阳某中学八年级班男生参加篮球运球绕杆考试，现将考试成绩制作成箱线图（如图），由图不能确定的数据是（   ）. A．上四分位数 B．平均数 C．中位数 D．最大值 5．某学校八年级一班和二班各有名男生，他们身高（单位：）的箱线图如图所示，则一班男生身高的第一四分位数________二班男生身高的第一四分位数（填“”“”或“”）；________班（填“一”或“二”）男生的身高相对比较集中． 6．某同学将英语演讲比赛中每位选手最终得分绘制成如图所示的统计图，根据图中数据可以得到（     ） ①这次比赛的所有选手得分中，最高分为98分； ②所有选手得分的平均分为85分； ③最高分与最低分相差6分； ④所有选手得分的上四分位数为88分． A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①④ 题型三 求方差 7．已知一组数据1，3，5，7，则该组数据的方差（     ） A．1 B．4 C．5 D．20 8．已知一组数据的方差是5，则数据的方差是_________． 9．某校在八年级学生体质健康监测时，小江立定跳远前次测试平均成绩为米，方差为．小江又跳了一次，成绩恰好也为米，则小江这次立定跳远成绩的方差相对前次立定跳远成绩的方差会（     ） A．变大 B．不变 C．变小 D．无法判断 题型四 利用方差求未知数据的值 10．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，那么另一组数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均数和方差分别是（  ） A．2，3 B．6，9 C．6，27 D．6，18 11．若一组数据2，3，x的方差与另一组数据12，13，14的方差相等，则x的值为_____． 12．已知一组数据、、、、的平均数为5，方差为8，则数据、、、、的平均数和方差分别为（    ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 题型五 根据方差判断稳定性 13．在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（     ） A．甲的成绩比乙的成绩稳定 B．乙的成绩比甲的成绩稳定 C．甲、乙两人的成绩一样稳定 D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 14．甲、乙两地月上旬的日平均气温如图所示，则甲，乙两地这天中日平均气温的方差与的大小关系是_____．（填“”或“”） 15．掷实心球是河南中招体育选考项目中的一项．已知甲、乙两人10次掷实心球的平均成绩相同，落点如图所示，对于两人10次成绩的方差，下列说法正确的是（     ） A．甲的方差大 B．乙的方差大 C．两人的方差一样大 D．无法确定 题型六 运用方差做决策 16．随着“双减”政策落地和云南省校园体育活动的深入推进，各地学校都在大力开展阳光体育活动．某校为选拔学生参加市级中小学生田径运动会，组织甲、乙、丙、丁四位同学进行了为期一周的封闭训练，并开展五次跳远测试．已知四人跳远成绩的平均分相同，方差分别为，，，．若优先选择发挥最稳定的学生参赛，应选（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 17．现有甲、乙、丙、丁四个队参加某种比赛，各队人数相同，平均身高也相同，他们身高的方差分别为，，，，则这四个队中，你认为选取________队参加决赛比较合适． 18．立定跳远是集弹跳、爆发力、身体的协调性和技术等方面的身体素质于一体的运动，甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，在连续一周的训练中，他们成绩的平均数和方差如下表，要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应该选择（     ） 甲 乙 丙 丁 平均数 242 239 242 242 方差 2.85 7.05 5.36 1.05 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型七 求极差 19．已知一组数据：、、、、、、，这组数据极差是（     ） A． B． C． D． 20．一组数据的极差是3，则另一组数据的极差是（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 21．去年的“植树节”时，文德中学八（1）班6个小组的植树棵数分别是：5，7，3，x，6，4．已知这组数据的众数是5棵，则该组数据的极差是（     ） A．5 B．4 C．3 D． 题型八 已知极差求未知数据 22．中考前夕，数学老师想看看小明同学的数学成绩是否稳定，于是他统计了小明同学近5次数学模拟考试的成绩，对于这名数学老师来说，他最想知道的是小明这5次考试数学成绩的（    ） A．平均数和中位数 B．方差或极差 C．众数或中位数 D．平均数或众数 23．甲、乙两地5月份每天最高气温的箱线图如图所示，则5月气温波动较大的是______．（填“甲地”或“乙地”） 24．下列命题中，真命题是（    ） ①若，则 ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 ③若一组数据2，4，，-1的极差为7，则的值是6 ④已知点，在一次函数的图象上，则 A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 题型九 标准差 25．已知一组数据的方差是，则这组数据的标准差是（    ） A． B． C． D． 26．某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如表所示： 每天出次品的个数 0 2 3 4 天数 3 2 4 1 那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是_____． 27．若样本，的平均数为12，方差为4，则对于样本，下列结论正确的是（   ）． A．平均数为12，标准差为2 B．平均数为12，标准差为4 C．平均数为27，标准差为2 D．平均数为27，标准差为4 题型十 求离差平方和 28．某校八年级共有200名学生，平均年龄为14岁，年龄的方差为3，则该校八年级200名学生年龄的离差平方和为（     ） A．0 B．3 C．42 D．600 29．若把数据6，7，8，8，8，8，7，10，9分成6，7，7，8和8，8，8，9，10两组，则它们的组内离差平方和为______． 30．一组包含5个从小到大排列的数据，将这组数据分成两组，四种分法的组内离差平方和如下表所示，其中分法三划分出的两组数据的离差平方和分别为26和12.5，根据组内离差平方和最小的原则，应该选用的分法是（     ） 分组方法 分法一 分法二 分法三 分法四 组内离差平方和 86.75 62.5 x 74 A．分法一 B．分法二 C．分法三 D．分法四 题型十一 离差平方和的应用 31．八年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟200个，离差平方和分别是,，你认为哪一位同学的成绩最稳定（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 32．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．现需要把这5名同学引体向上的个数分为两组，且使引体向上个数相差较小的同学分在同一组．常用的分组原则是（     ） A．组内离差平方和最小 B．组内离差平方和最大 C．组间离差平方和最小 D．组间的平均数差最小 33．统计兴趣小组的同学收集了我国7个地区的人均耕地面积（单位：公顷）数据：0.1，0.6，0.2，0.3，0.6，1.8，2.0．为合理分组，设计以下解决方案：规定两组组内离差平方和之和越小，分组越合理． 组序 分组情况 第1组组内离差平方和 第2组组内离差平方和 第1组 第2组 1 0.1，0.2，0.3 0.6，0.6，1.8，2.0 0.02 1.71 2 0.1，0.2，0.3，0.6 0.6，1.8，2.0 0.14 1.15 3 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6 1.8，2.0 0.21 0.02 4 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6，1.8 2.0 1.94 0 则合理分组是（     ） A．组序1 B．组序2 C．组序3 D．组序4 解答题 1．某校开展航天知识竞赛，记分员分别记录了甲，乙两组同学的得分情况（单位：分）．相关信息如下： 甲组：，，，，，，，． 乙组：，，，，，，，． 甲、乙两组竞赛成绩的箱线图如图． (1)甲组的中位数是________分，下四分位数是________分，乙组的上四分位数是________分． (2)请结合箱线图评价这两组同学的成绩． 2．学校为了选拔4名播音员，对20名学生进行了两次普通话水平测试（满分10分），测试结果如下表： 第一次测试结果 第二次测试结果 成绩/分 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 人数 2 3 7 6 2 5 6 5 3 1 (1)利用计算器分别计算两次测试成绩的方差． (2)哪次测试结果对选拔播音员更有参考意义？ 3．主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：，，，，，，，，，． 八年级：，，，，，，，，，． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：________，________； (2)求的值； (3)综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 4．平均数和中位数都是一组数据的代表值，但其代表的意义又有所不同．设数据，，，，分别为2，3，5，8，12，其平均数为，中位数为，回答下面的问题． (1)平均数____________，中位数____________． (2)设， ， ， ． 计算，并比较它们的大小，计算，并比较它们的大小． (3)根据计算结果，猜想一组数据与哪个数的距离和最小，与哪个数的差的平方和最小． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $