专题06圆周角专题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题06圆周角专题通关讲义 知识点01:基础核心概念 1. 圆周角定义 顶点在圆上，且角的两边都与圆相交的角叫做圆周角。 两大判定条件（缺一不可） ①顶点必须落在圆周上； ②角的两条边都和圆存在另一个交点（两边与圆相交）。 2. 圆周角与圆心角对比表 知识点02:圆周角定理及推论（高频考点） 定理：同弧所对的圆周角的度数 = 同弧所对的圆心角度数的一半”， 几何语言：所对∠BAC=∠BOC 补充：圆周角度数 = 所对弧度数的一半 核心推论（直接用）： 直径 / 半圆所对圆周角=90∘（⊙O中，BC为直径⇒∠BAC=90∘） 90∘圆周角所对弦 = 直径（∠BAC=90⇒BC为直径） 同弧 / 等弧所对圆周角相等（所对∠ACB=∠ADB） 知识点03:圆内接四边形专项知识点（独立考点，填空、证明高频） 定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形，叫做圆内接四边形，这个圆称为四边形的外接圆。 性质 （核心）：圆内接四边形的对角互补，即对角相加等于 180°。 圆内接四边形对角互补（ABCD内接于⊙O⇒∠A+∠C=180∘，∠B+∠D=180∘） 反向判定：如果一个四边形对角互补，则该四边形四个顶点四点共圆。 解题应用：已知四边形三个内角，快速求第四个角；利用外角相等证明三角形相似、角度等量代换。 知识点04:标准解题模型（教师板书必备，学生直接套用） 1.同弧等角模型 图中共享一段圆弧，多个圆周角全部相等，实现角等量替换，是几何证明最常用模型。 2.直径直角模型 连接直径两端与圆上任意一点，自动形成 Rt△，结合勾股定理、直角三角形性质计算边长、角度。 3.圆内接四边形倒角模型 遇四点共圆，优先使用对角互补、外角等于内对角，快速转换角度，简化推理步骤。 1、圆周角概念判定出错 易错提醒：圆周角必须同时满足两项条件：角的顶点在圆上，角的两条边均与圆相交；仅顶点在圆上，不能判定该角为圆周角。 2、圆周角与圆心角倍数关系错用 易错提醒：同一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的二分之一；该结论只适用于同一段弧，不可直接套用在不同弧的角度计算上。 3、同弧、等弧与圆周角的推论误用 易错提醒：同弧所对应的圆周角必然相等；等弧可推出圆周角相等；圆周角相等反推弧相等时，必须满足同圆或等圆的前提，否则结论不成立。 4、直径与直角圆周角逆定理使用失误 易错提醒：直径所对的圆周角为直角；若圆周角等于90°，则其所对的弦是直径；运用逆定理时，必须确认角的顶点位于圆上。 5、弦对应圆周角漏解 易错提醒：一条弦可对应优弧、劣弧两段圆弧，对应两类互补的圆周角；解题不能只计算劣弧对应的圆周角，遗漏优弧对应的情况。 6、圆内接四边形性质记忆错误 易错提醒：圆内接四边形对角互补，任意一个外角等于它的内对角；不能错误记为四边形邻角互补。 7、圆周角所对弧识别错误 易错提醒：进行角度运算时准确定位圆周角所截取的弧；切勿选取角两侧以外的圆弧作为该圆周角所对的弧，避免角度计算错误。 8、推论缺少同圆或等圆前提条件 易错提醒：由圆周角相等推导弧相等、弦相等，必须以同圆或者等圆作为前提；缺少该前提时，此推论不能直接使用。 题型 考察方向 难度 题型一 圆周角的概念辨析及简单运算 ★ 题型二 圆周角定理 ★★ 题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等 ★★ 题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 ★★ 题型五 90 度的圆周角所对的弦是直径 ★★ 题型六 已知圆内接四边形求角度 ★★ 题型七 求四边形外接圆的直径 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 圆周角的概念辨析及简单运算 1．下列各图中的为圆周角的是（     ） A． B． C．D． 【答案】C 【详解】解：根据圆周角的定义，选项C中的为圆周角． 2．如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据圆周角的定义逐个选项判断即可解答．本题考查了圆周角的定义，熟记定义“顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角”是解题的关键． 【详解】解：是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 不是圆周角， 故选：C． 3．如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，延长交于点，根据平行线的性质得出，根据邻补角得出，根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 故选：B． 题型二 圆周角定理 4．同圆中，已知所对的圆心角是，则所对的圆周角度数___________． 【答案】 【分析】根据圆周角定理，同圆中同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半． 【详解】解：同圆中，所对的圆周角是． 5．如图，是的直径，若，则圆周角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求出，再结合圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∴． 6．如图，内接于，，，为的直径，________ ． 【答案】 【分析】由内接于，，，可得等腰三角形中； 由直径所对的圆周角为直角，可得中；再由同弧所对的圆周角相等可得，进而得出；再由，即可求得的度数． 【详解】解：∵内接于，，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴在中， 又∵， ∴， ∵， ∴． 7．如图，和均为的内接三角形，且为直径，若，则的度数是（      ）     A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理可得，，再根据直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， 故选：C． 题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等 8．如图，在中，，点在上．若，则______°． 【答案】40 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握同圆或等圆中同弧所对圆周角相等是解题的关键．本题可依据同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等这一圆周角定理来求解的度数． 【详解】解：在中，， ． 故答案为：． 9．如图，是的直径，点C、D在圆上，若，则______度． 【答案】28 【分析】本题考查了在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 10．如图，正方形内接于，点在上，则的度数为___________． 【答案】/度 【分析】根据正方形的性质得出，根据圆周角定理即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形内接于， ∴， ∵和是所对的圆周角， ∴． 11．如图，四边形内接于，连接并延长交于点，连接．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同弧所对圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，根据题意求得和的度数，通过是直径，求得，结合即可． 【详解】解：连接、，如图， ∵， ∴， ， ， ， 是直径， ， ， ， 故选：． 题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 12．如图，点C在以为直径的上，，则的长为____． 【答案】 【分析】根据为的直径，可得，再由直角三角形的性质可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 13．如图，是半圆O的直径，，D是半圆上任意一点，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直径所对圆周角等于，得到，进而得到，再根据圆周角定理得到． 【详解】解：连接， 是半圆O的直径， ， ， ， ， ． 14．如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结．若的半径长为，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．如图，延长交于点，连接，利用折叠的性质可判断和所在圆为等圆，则根据圆周角定理得到，所以，根据圆周角定理得到，再利用勾股定理可计算出即可． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， 劣弧沿弦翻折，交翻折后的弧于点，而和都对， ， ， 为直径，的半径长为， ，， 在中，， 故答案为：． 15．如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由为的直径得，即得，由平行线的性质得，，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴． 题型五 90 度的圆周角所对的弦是直径 16．下列图形中，线段是所在圆的直径的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理推论：度的圆周角所对的弦是直径，据此逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； B．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； C．图中直角是圆周角，所以线段是圆的直径，故选项符合题意； D．图中直角是圆周角，但是点A不在圆上，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； 故选：C． 17．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，过原点，且与轴、轴交于点A，，点A的坐标为，的直径为10．则点的坐标为______． 【答案】 【分析】连接AB，根据90°的圆周角所对的弦是直径可知，AB是直径；再根据勾股定理求出OB的长，可得出答案． 【详解】连接AB, ∵∠AOB=90°， ∴AB是直径， ∴AB=10． 又∵∠AOB=90°，点A的坐标为， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的定理是90°的圆周角所对的弦是直径，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 18．如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为4，则圆心A的坐标是____  ． 【答案】 【分析】如图，连接，证明为的直径，可得，，，可得，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为的直径， ∵的半径为4， ∴，，， ∴，， ∵为的中点， ∴，即． 19．如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为，连接，证明，得出，点在点为圆心，4为半径的圆上，利用勾股定理求出从而计算出答案． 【详解】解：设的中点为，连接， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ∴点在点为圆心，4为半径的圆上． ， ， ∵的最小值为2． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，二次根式的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题． 题型六 已知圆内接四边形求角度 20．如图，四边形是的内接四边形，已知，则______． 【答案】125 【分析】由圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角互补，由此求解即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 21．如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的内接四边形的性质求出，根据圆周角定理即可计算出答案． 【详解】解：四边形内接于， ， 由圆周角定理可得：． 22．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴. 23．如图，在中，为直径，为上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为________． 【答案】/36度 【分析】设上点D的对应点为点E，连接，则得，；由是直径及圆内接四边形的性质可得的度数，从而求得结果． 【详解】解：设上点D的对应点为点E，连接，如图， 由折叠性质得：，； ∴， ∵是直径， ∴； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 题型七 求四边形外接圆的直径 24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】D 【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可． 【详解】解：连接OD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠A=60°， ∵OD=OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD=OD=OA， ∵AD=2， ∴OA=OD=OB=2， ∴AB=2+2=4， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键． 25．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为______． 【答案】 【分析】连接，并延长交圆于点，连接，，可得，从而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的长，从而可求出圆O的面积． 【详解】解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，． 则，． ∵， ∴//， ∴ ∴BE=CD， ∵ ∴． 在Rt△中，AB=10， 所以，由勾股定理得， ∴． 所以圆的面积为． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，正确作出辅助线构造直角是解答本题的关键． 26．图，定长弦在以为直径的上滑动（点、与点、不重合），是的中点，过点作于点，若，，，则的最大值是________． 【答案】4 【分析】连接，，求出，，，四点共圆，则是的一条弦，当为的直径时最大． 【详解】：如图，连接，，根据， 所以，，，四点共圆，且为直径， 的中点为圆心，则为的一条弦， 当为的直径时最大， 所以时最大， 即的最大值为4． 故答案为4 【点睛】本题考查了四点共圆，解题的关键是找出符合条件的的位置，有一定难度． 27．如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，求得，由点F的运动轨迹是在以为直径，半径为的圆上，连接交于点O，则点在上运动，连接，当三点共线时，求出有最大值为，即可求出答案． 【详解】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点， ∴， ∴， ∵， ∴点F的运动轨迹是在以为直径，半径为的圆上，连接交于点O，则点在上运动，连接， ∵， 所以当三点共线时，有最大值为， ∴的最大面积是． 解答题 1．判断下列各图中的是不是圆周角，并说明理由． 【答案】(1)角的边与圆没有两个交点，不是圆周角，不符合圆周角定义． (2)角的顶点不在圆上，不是圆周角，不符合圆周角定义． (3)角的顶点在圆上，角的两边与圆相交，是圆周角，符合圆周角定义． (4)角的顶点不在圆上，不是圆周角，不符合圆周角定义． 【分析】根据圆周角的定义作答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 2．如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若所对圆心角的度数为，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图：连接， ∵为的直径， ∴，即 ∵点D是弦延长线上一点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）如图：连接，根据为的直径，得出，根据，利用垂直平分线的性质可得，则，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而可得，即可证明CE=CD； （2）先求得，如图，连接，，依题意，根据圆周角定理可得，根据三角形的外角的性质以及（1）的结论可得，再利用直角三角形的性质以及勾股定理可得，然后再求半径即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 如图，连接，， ∵所对圆心角的度数为， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得：，， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得：（已舍去负值）， ∵为的直径， ∴的半径为． 3．四边形中，． (1)如图1，经过、、三点作，求证：点在上； (2)如图2，连结、，若，求证：． 【答案】(1)证明：连接， ，且经过、、三点， 为直径， ， 点在上． (2)证明：取中点O，连接，， ∵， ∴ ， 垂直平分 ． 【分析】（1）连接，由，且经过、、三点，得到为直径，再根据，得到点在上． （2）取中点O，连接，，由直角三角形斜边中线得到，即可得到垂直平分，得到． 【详解】（1）略 （2）略 4．问题背景：如图1，是的直径，点C，点D在圆上（在直径的异侧），且D为弧的中点，连接．探究思路：如图2，将绕点D顺时针旋转得到，证明C，B，E三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出． (1)请你根据探究思路，写出完整的推理过程； 问题解决： (2)若点C，点D在直径的同侧，如图3所示，且点D为弧的中点，连接，，求线段的长 （用含有a，b的式子表示）； 拓展探究： (3)将沿翻折得到，如图4所示，试探究：之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)推导过程如下： ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴在中，可得，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) (3)，理由如下： 如下图，将绕点逆时针旋转得到，连接，同理可得：点在上， ∴，， ∵沿翻折得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）首先根据旋转的性质可得，进而可得为等腰直角三角形，由勾股定理可得，进而可知，然后结合，，即可证明结论； （2）将绕点顺时针旋转得到，易得，进而可得；证明为等腰直角三角形，可得，结合，即可获得答案； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，结合旋转的性质以及翻折的性质，易得，进而由勾股定理可得，进一步可得；证明，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的直径，为的中点， ∴，， 如下图，将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴在上， ∵， ∴， ∴； （3）略 5．已知是的高，点E是平面内的一点． (1)如图1，点E在线段上，，，若，求的度数； (2)如图2，点E在线段的延长线上，的平分线与的延长线交于点F，连接、．若，，求证：； (3)如图3，，，，，点F是平面内一点，满足与互补，点E是直线上一点，将E点绕点A顺时针旋转90°得到点，当取得最小值时，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2) 证明：如图，过点F作交的延长线于点M， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴． (3) 【分析】（1）根据已知条件结合等边对等角，线段和差关系得到，从而求得结果； （2）过点F作交的延长线于点M，通过导角利用三角形内角和定理，角平分线性质证得，，从而得出是等腰直角三角形，继而证得结论； （3）由已知条件可得点A，D，C，F四点共圆，从而得出点F的运动轨迹，再确定出点的运动轨迹是与夹角为的直线l，将直线l绕点A逆时针旋转得，过点B作交于点N，确定出，最后利用勾股定理和解直角三角形即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 略 （3）解：∵，点F是平面内一点，满足与互补， ∴， ∴点A，D，C，F四点共圆， ∴点F的运动轨迹是以为直径的圆， 如图，取的中点O，连接，，， ∵点E是直线上一点，将E点绕点A顺时针旋转得到点， ∴点的运动轨迹是与夹角为的直线l， ∵，， ∴， 如图，将直线l绕点A逆时针旋转得，过点B作交于点N， 在中，， ∴， ∴的最小值为点B到的垂线段距离，即，此时、、共线， ∵，， ， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， 在中，， 当点，O，F三点共线时，有最大值， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06圆周角专题通关讲义 知识点01:基础核心概念 1. 圆周角定义 顶点在圆上，且角的两边都与圆相交的角叫做圆周角。 两大判定条件（缺一不可） ①顶点必须落在圆周上； ②角的两条边都和圆存在另一个交点（两边与圆相交）。 2. 圆周角与圆心角对比表 知识点02:圆周角定理及推论（高频考点） 定理：同弧所对的圆周角的度数 = 同弧所对的圆心角度数的一半”， 几何语言：所对∠BAC=∠BOC 补充：圆周角度数 = 所对弧度数的一半 核心推论（直接用）： 直径 / 半圆所对圆周角=90∘（⊙O中，BC为直径⇒∠BAC=90∘） 90∘圆周角所对弦 = 直径（∠BAC=90⇒BC为直径） 同弧 / 等弧所对圆周角相等（所对∠ACB=∠ADB） 知识点03:圆内接四边形专项知识点（独立考点，填空、证明高频） 定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形，叫做圆内接四边形，这个圆称为四边形的外接圆。 性质 （核心）：圆内接四边形的对角互补，即对角相加等于 180°。 圆内接四边形对角互补（ABCD内接于⊙O⇒∠A+∠C=180∘，∠B+∠D=180∘） 反向判定：如果一个四边形对角互补，则该四边形四个顶点四点共圆。 解题应用：已知四边形三个内角，快速求第四个角；利用外角相等证明三角形相似、角度等量代换。 知识点04:标准解题模型（教师板书必备，学生直接套用） 1.同弧等角模型 图中共享一段圆弧，多个圆周角全部相等，实现角等量替换，是几何证明最常用模型。 2.直径直角模型 连接直径两端与圆上任意一点，自动形成 Rt△，结合勾股定理、直角三角形性质计算边长、角度。 3.圆内接四边形倒角模型 遇四点共圆，优先使用对角互补、外角等于内对角，快速转换角度，简化推理步骤。 1、圆周角概念判定出错 易错提醒：圆周角必须同时满足两项条件：角的顶点在圆上，角的两条边均与圆相交；仅顶点在圆上，不能判定该角为圆周角。 2、圆周角与圆心角倍数关系错用 易错提醒：同一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的二分之一；该结论只适用于同一段弧，不可直接套用在不同弧的角度计算上。 3、同弧、等弧与圆周角的推论误用 易错提醒：同弧所对应的圆周角必然相等；等弧可推出圆周角相等；圆周角相等反推弧相等时，必须满足同圆或等圆的前提，否则结论不成立。 4、直径与直角圆周角逆定理使用失误 易错提醒：直径所对的圆周角为直角；若圆周角等于90°，则其所对的弦是直径；运用逆定理时，必须确认角的顶点位于圆上。 5、弦对应圆周角漏解 易错提醒：一条弦可对应优弧、劣弧两段圆弧，对应两类互补的圆周角；解题不能只计算劣弧对应的圆周角，遗漏优弧对应的情况。 6、圆内接四边形性质记忆错误 易错提醒：圆内接四边形对角互补，任意一个外角等于它的内对角；不能错误记为四边形邻角互补。 7、圆周角所对弧识别错误 易错提醒：进行角度运算时准确定位圆周角所截取的弧；切勿选取角两侧以外的圆弧作为该圆周角所对的弧，避免角度计算错误。 8、推论缺少同圆或等圆前提条件 易错提醒：由圆周角相等推导弧相等、弦相等，必须以同圆或者等圆作为前提；缺少该前提时，此推论不能直接使用。 题型 考察方向 难度 题型一 圆周角的概念辨析及简单运算 ★ 题型二 圆周角定理 ★★ 题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等 ★★ 题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 ★★ 题型五 90 度的圆周角所对的弦是直径 ★★ 题型六 已知圆内接四边形求角度 ★★ 题型七 求四边形外接圆的直径 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 圆周角的概念辨析及简单运算 1．下列各图中的为圆周角的是（     ） A． B． C．D． 2．如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 3．如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型二 圆周角定理 4．同圆中，已知所对的圆心角是，则所对的圆周角度数___________． 5．如图，是的直径，若，则圆周角的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，内接于，，，为的直径，________ ． 7．如图，和均为的内接三角形，且为直径，若，则的度数是（      ）     A． B． C． D． 题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等 8．如图，在中，，点在上．若，则______°． 9．如图，是的直径，点C、D在圆上，若，则______度． 10．如图，正方形内接于，点在上，则的度数为___________． 11．如图，四边形内接于，连接并延长交于点，连接．若，，则（    ） A． B． C． D． 题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 12．如图，点C在以为直径的上，，则的长为____． 13．如图，是半圆O的直径，，D是半圆上任意一点，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 14．如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结．若的半径长为，，则_______． 15．如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型五 90 度的圆周角所对的弦是直径 16．下列图形中，线段是所在圆的直径的是（   ） A． B． C． D． 17．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，过原点，且与轴、轴交于点A，，点A的坐标为，的直径为10．则点的坐标为______． 18．如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为4，则圆心A的坐标是____  ． 19．如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 题型六 已知圆内接四边形求角度 20．如图，四边形是的内接四边形，已知，则______． 21．如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 22．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（     ） A． B． C． D． 23．如图，在中，为直径，为上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为________． 题型七 求四边形外接圆的直径 24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 25．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为______． 26．图，定长弦在以为直径的上滑动（点、与点、不重合），是的中点，过点作于点，若，，，则的最大值是________． 27．如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 解答题 1．判断下列各图中的是不是圆周角，并说明理由． 2．如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若所对圆心角的度数为，，求的半径． 3．四边形中，． (1)如图1，经过、、三点作，求证：点在上； (2)如图2，连结、，若，求证：． 4．问题背景：如图1，是的直径，点C，点D在圆上（在直径的异侧），且D为弧的中点，连接．探究思路：如图2，将绕点D顺时针旋转得到，证明C，B，E三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出． (1)请你根据探究思路，写出完整的推理过程； 问题解决： (2)若点C，点D在直径的同侧，如图3所示，且点D为弧的中点，连接，，求线段的长 （用含有a，b的式子表示）； 拓展探究： (3)将沿翻折得到，如图4所示，试探究：之间的数量关系，并说明理由． 5．已知是的高，点E是平面内的一点． (1)如图1，点E在线段上，，，若，求的度数； (2)如图2，点E在线段的延长线上，的平分线与的延长线交于点F，连接、．若，，求证：； (3)如图3，，，，，点F是平面内一点，满足与互补，点E是直线上一点，将E点绕点A顺时针旋转90°得到点，当取得最小值时，直接写出的最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $